精品解析：辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024-2025学年高二普高班上学期11月月考数学试题

长江卫生中等职业技术学校2024——2025学年度 高二11月考试数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线的斜率为，， 故答案为：A 2. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心之间的距离判断两圆的位置关系，从而确定公切线条数. 【详解】圆的圆心坐标为半径为1，圆的圆心坐标为半径为7， 两圆圆心距离为，小于两圆半径之差， 圆与圆的位置关系为内含，没有公切线. 故选：A. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 4. 已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ，1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性计算再根据平面向量基本定理得出参数. 【详解】, 所以. 故选：C. 5. 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决. 【详解】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，， 容易求得，. 取的中点，连接，易得，则， 所以多面体的体积 . 故选：B 6. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般形式下的平行条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以. 故选：A． 7. 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面， 到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得: ,解得: 考点：利用等体积法求距离 8. 已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值. 【详解】如图:令，，则，故. 因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上. 设，连接，因为，所以点在直线上. 因为，所以，即，所以. 结合图形可知，当时，即取得最大值，且. 故选：D 【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题. 二、多选题（每小题6分，选对按比例给分，选错不得分，共18分） 9. 已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】讨论、，分别令、求截距，根据相等关系列方程求值即可. 【详解】当时，显然x轴和y轴上截距不相等； 所以， 令，则；令，则； 所以，可得或. 故选：AD 10. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ） A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B. 若，则，的夹角是锐角 C. 不相等的两个空间向量的模可能相等 D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可判断AD；对B，举例即可反驳；根据空间向量定义即可判断C. 【详解】选项A，由空间向量基本定理可知正确； 选项B，当且，时，，故B错误； 选项C，由空间向量定义可知正确； 选项D，由空间向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 11. 已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（ ） A. 该三棱柱既有外接球，又有内切球 B. 三棱锥的体积是 C. 直线与直线恒不垂直 D. 直线与平面所成角的正弦值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据外接球、内切球、锥体体积、线线垂直、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为， 则， ，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误. B选项，设是的中点，则，， 根据正三棱柱的性质可知，， 由于平面，所以平面， 所以，B选项正确. 以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设， ， ，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误. ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， ， ， 即， 所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.） 12. 若直线与直线平行，则直线与之间的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合两直线平行斜率相等，求出，再根据两平行直线之间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线与直线平行，易得，因此直线，直线，所以直线与之间的距离. 故答案为：. 13. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为__________（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角､二面角中最小的角的余弦值为__________ 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】将折叠后的四面体置于长方体中，求得长方体的长宽高，进而求得四面体的体积，利用体积，表面积，内切球的半径的关系求得内切球的半径，利用等体积法求得四面体的各面上的高，从而得到各棱与相应面所成的角的余弦值，在长方体中不难求得四面体的对棱所成角的余弦值，然后比较得到答案. 【详解】如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中.设长方体的长宽高分别为. ，解得， 所以四面体的体积为， 四面体的表面积为，内切球半径， 则， 设，取的中点，连接，则 ，，， 故长为6的两组对棱所成的角的余弦值都是，长为4的两组对棱所成的角为直角； 由于四面体各个面的面积都是，所以各个面上的高都是相等的，设为， 则， 当棱的长选取最长为6时，该棱与相应各面所成的角最小， 其正弦值为，余弦值为， 各异面直线所成的角，线面所成的角中最小的角的余弦值是， 故答案为：，. 14. 已知直线：和：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，易得，垂足为M，所以点M在以AB为直径的圆上，求出点M轨迹方程为圆P，又M，N分别在圆P，圆C上，即可求出的最大值. 【详解】由题意知：恒过定点， ：恒过定点，又， 所以，垂足为M，所以点M在以AB为直径的圆上， 圆心为，半径为， 故点M轨迹方程为圆P：(除 外）. 又圆C：的圆心为，半径为3， 所以，又M，N分别在圆P，圆C上，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）若为中点，连接，易证是平行四边形，有，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 若为中点，连接，又为棱的中点，， 所以，且，即是平行四边形， 所以，面，面，则面. 【小问2详解】 由平面，，构建如图所示空间直角坐标系， 由，，，则，显然面的一个法向量为， 所以，若面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面和夹角的余弦值为. 16. 如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且． （1）求证：平面ACF； （2）求点E到平面ACF的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直． （2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果． 【小问1详解】 解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，， ，2，，，0，，，0，，，2，， ，2，，，2，，，，，，0，． ，， ，，且，平面， 平面 【小问2详解】 解：由（1）知，为平面的一个法向量，，， 向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是， 故点到平面的距离； 17. 已知中，，角A的平分线在轴上． （1）求点关于轴的对称点的坐标及边，边所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程． 【答案】（1），, （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可直接求出点关于x轴的对称点的坐标；根据角A的平分线在轴上，可得，列方程求得，即可求得边，边所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程，将的坐标代入，即可求得答案. 【小问1详解】 点关于x轴的对称点的坐标为， 设，由题意得，即．解得, 所以直线AB的方程为，即， 直线AC的方程为 ，即． 【小问2详解】 设的外接圆方程为， 由 解得 , 所以所求圆的方程为． 18. 已知的顶点边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案. （2）联立直线方程，求得点的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案. 【小问1详解】 由边上的高所在的直线方程为，得直线的斜率，而的顶点， 所以直线的方程为：，即. 【小问2详解】 选①，角的平分线所在直线方程为，令该直线与边交于点， 由，解得，即点A坐标为， 设点B关于的对称点为， 则，解得，即坐标为， 显然点在直线上，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 选②，边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即点A坐标为， 设点，则的中点在直线上，即， 整理得，又点在直线上，即， 由，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 19. 如图，矩形中，，，E，F分别为边，的中点.将该矩形沿折起，使得. （1）证明：平面； （2）在直线上确定点M，使得平面与平面的夹角的余弦值为. 【答案】（1）证明见解析 （2）M在线段上，处，或M在线段的延长线上，处 【解析】 【分析】（1）连接，分别交，与点P，Q，连接，由已知条件和三角形中位线定理可证得，再利用线面平行的判定定理可证得结论， （2）取中点O，连接，则，从而平面，以所在的直线为x轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 【小问1详解】 连接，分别交，与点P，Q，连接， 因为矩形中，，，E，F分别为边，的中点 所以四边形为正方形，P为的中点. 同理，Q为的中点. 所以， 因为平面， 平面， 所以平面； 【小问2详解】 由条件，，，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 中，，， 取中点O，连接，则，从而平面 以所在的直线为x轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，，，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，得， 则 则，解得或 故M在线段上，处，或M在线段的延长线上，处. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长江卫生中等职业技术学校2024——2025学年度 高二11月考试数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ，1 5. 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　） A. B. C. D. 6. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 7. 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A. 2 B. C. D. 1 8. 已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、多选题（每小题6分，选对按比例给分，选错不得分，共18分） 9. 已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（ ） A. B. C. 3 D. 10. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ） A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B. 若，则，的夹角是锐角 C. 不相等的两个空间向量的模可能相等 D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 11. 已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（ ） A. 该三棱柱既有外接球，又有内切球 B. 三棱锥的体积是 C. 直线与直线恒不垂直 D. 直线与平面所成角的正弦值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.） 12. 若直线与直线平行，则直线与之间的距离为___________. 13. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为__________（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角､二面角中最小的角的余弦值为__________ 14. 已知直线：和：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值. 16. 如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且． （1）求证：平面ACF； （2）求点E到平面ACF的距离． 17. 已知中，，角A的平分线在轴上． （1）求点关于轴的对称点的坐标及边，边所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程． 18. 已知的顶点边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 19. 如图，矩形中，，，E，F分别为边，的中点.将该矩形沿折起，使得. （1）证明：平面； （2）在直线上确定点M，使得平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $