精品解析：江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期高二年级期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 直线与圆有两个公共点，那么点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定 4. 如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆和圆，则两圆的公切线条数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知抛物线，则抛物线上一点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（ ） A B. C. 4 D. 8 8. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率越大，倾斜角越大 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的斜率为 D. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 10. 已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的方程为 C. 的面积为 D. 的周长为 11. 数学中有许多形状优美曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线有3个公共点 B 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值为______. 13. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 14. 若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大題共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，，. （1）求AB边上的高所在直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 16. 已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 17. 已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. （1）求拋物线的标准方程及其准线方程； （2）若，求线段AB的中点到轴的距离. 18. 已知，，点满足，记点轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于两点（C在之间），若，，求的值； （3）已知点，过点作直线与轨迹交于，两点，记直线的斜率分别为，，试问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若，求线段OM的长度； ②求点到直线OM的距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二年级期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】因为直线的斜率不存在， 所以其斜率为. 故选：C. 2. 若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式求解即可. 【详解】依题意可得，解得， 则直线方程为， 而方程，即， 所以两条平行线间的距离为. 故选：B. 3. 直线与圆有两个公共点，那么点与圆位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系． 【详解】因为直线与圆有两个公共点， 所以有， 即， 因为点与的圆心的距离为， 圆的半径为1，所以点在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来. 4. 如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 5. 已知圆和圆，则两圆的公切线条数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先把圆的一般方程转化为标准方程，分别求出两圆圆心与半径，利用圆心距与半径和差大小，判断两圆的位置关系，可得圆的公切线的条数． 【详解】已知圆，圆心，半径. 圆，即， 圆心，半径. 所以圆心距，， 所以, 所以两圆相交，故公切线的条数为. 故选：B. 6. 已知抛物线，则抛物线上一点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得当点为平行于的直线且与抛物线相切的切点时，才能取最小值，求出切线方程，即可得点的坐标，即可得解. 【详解】解：由题意可知，当平行于的直线与抛物线相切， 且点为切点时， 点到直线最小， 设切线方程为， 即， 由，可得， 所以，解得， 所以， 即， 所以点到直线的距离. 故选：A. 7. 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】延长、交于点，由光学性质分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】由椭圆，则，长轴长. 如图，在平面直角坐标系中， 延长交于点，连接， 由题意可知，又因为， 则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则为的中位线， 则. 故选：C. 8. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率越大，倾斜角越大 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的斜率为 D. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】A项举例直线斜率正负特例即可；B项求与轴交点的纵坐标可得；C项化一般式方程为点斜式可得；D项结合图象判断可得. 【详解】A项，设两条直线斜率分别为，，， 但斜率为的直线倾斜角，而斜率为的直线倾斜角为， ，故A错误； B项，直线，令，得， 即直线在轴上的截距为，故B正确； C项，直线方程可化为， 所以直线的斜率为，故C错误； D项，若直线经过第一、二、四象限，则，， 所以点在第二象限，故D正确. 故选：BD. 10. 已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的方程为 C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合对称性，利用椭圆与双曲线的定义可得，，再由点在圆上得，消去可得的关系，即，联立解得，进而可得，再依选项逐个求解判断可得. 【详解】由题意知，设焦距为，则. 设椭圆的长轴长为，短轴长为， 双曲线的实轴长为，虚轴长为， 根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限， 由椭圆的定义知，，则 由双曲线的定义知，，则 由两式相加化简得， 点在圆上， ，， 则，则，又， A项，联立， 解得，，故A正确； B项，由A可知，，， 解得，， 则， 所以双曲线方程为，故B正确； C项，由，， 则 ， 所以的面积，故C正确； D项，的周长为 ，故D错误. 故选：ABC. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，联立，可得，再代入，得，由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点或，满足题意，即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 解得或， 所以或或， 所以曲线与直线有3个公共点，故正确； 对于B，由，可得， 则有，平方得， 代入，得， 即， 因为，， 所以关于的方程有两个不同的正根， 从而得有四个不同的解， 所以曲线与圆有4个公共点，故正确； 对于C，， 如图所示： 曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 因为所在圆的圆心为，半径为2，, 在中，，， 所以， 所以扇形的面积, ， 所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故错误； 对于D，当与或重合时， 则，故正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程中表示的及关系,即可求得的值. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，可知， 所以， 再由离心率，即， 解得， 故答案为：. 13. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：. 14. 若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得圆的圆心及半径，由条件，根据图形结合直线与圆相切性质得，可知点在以为圆心，为半径的圆上，结合题意将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决，再由圆心到直线的距离与半径关系得出不等式，求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 如图，连接，由，结合切线的性质可得， ，，又， 则平面四边形既是矩形，又是菱形，即为正方形. 所以，即点在以为圆心，为半径的圆上. 所在圆的方程为， 由题意若直线上存在点，满足， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离 ， 即，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：解决此题关键在于利用相切性质将条件转化为点在定圆上运动，进而将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决即可. 四、解答题：本大題共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，，. （1）求AB边上的高所在直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由垂直可得高线斜率，由点斜式直线方程可得； （2）按截距是否为分类讨论.当截距不为时，设出截距式方程代入点的坐标待定系数可得. 【小问1详解】 如图，过作，垂足为， 由题意知， 则，又， 故直线CD的方程为：，即， 即AB边上的高所在直线的方程为：； 【小问2详解】 由题意，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， ①当时，由直线过，则直线方程为， ②当时，设直线方程为：， 代入点，得，解得， 则直线方程为，即， 综上所述，直线方程为：或 16. 已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆的方程，求出两条直线的交点坐标，将交点坐标代入圆的方程即可； （2）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径即可. 【小问1详解】 由圆的圆心在第一象限，半径为， 可设圆的方程为，其中， 联立，解得两直线的交点为， 由得，又因为， 所以，圆心为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 ①当切线的斜率不存在时，直线为， 此时，圆心到直线的距离，舍去； ②当切线的斜率存在时，设直线方程为，即， 此时，圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为或. 17. 已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. （1）求拋物线的标准方程及其准线方程； （2）若，求线段AB的中点到轴的距离. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程； （2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为，即可求解问题. 【小问1详解】 由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； 【小问2详解】 设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 18. 已知，，点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于两点（C在之间），若，，求的值； （3）已知点，过点作直线与轨迹交于，两点，记直线的斜率分别为，，试问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）利用定义判断动点轨迹是双曲线，再利用双曲线中基本量的关系求解即可. （2）依据题意写出直线方程，联立求出交点坐标，再结合给定条件求解即可. （3）用不同方法设出直线方程，再利用韦达定理求解，最后将结果代入中，消去变量，得到定值即可. 【小问1详解】 因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； 【小问2详解】 因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则，， 由得，解得， 【小问3详解】 如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：，，， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为， 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到 而， 由韦达定理得， 所以 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 19. 已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若，求线段OM的长度； ②求点到直线OM的距离的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由焦距求，代入点的坐标联立方程求解可得； （2）①设直线AB的方程为，将条件转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数的方程，求解可得；②由韦达定理用分别表示弦中点坐标与，利用面积关系得关于的函数关系，再求函数最值可得. 【小问1详解】 由题知，，即，， 由点在椭圆上，代入椭圆方程得， ，解得，则， 故椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点， 所以可设直线AB的方程为，并设， 由得. 则，，. 因为，则，即， 即 ， 解得，. 由， 所以AB的中点为， 即点，所以； ②由①可知AB的中点为， 则，且直线OM的斜率为， 所以直线OM的方程为. 设点A到直线的距离为， 因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为， 又因为 ， 由知，， 所以， 解得， 由，令， 则，由在单调递增， 得，即当时，. 即点到直线OM的距离的最小值为. 【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三角形面积之和，从而简化运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$