精品解析：浙江省浙江星辰联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

2024学年第一学期浙江星辰联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线斜率是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜截式方程得出斜率. 【详解】直线的斜率是1. 故选：B. 2. 在斜三棱柱中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用空间向量的线性运算即可解. 【详解】三棱柱中，. 故选：C. 3. 已知圆的方程为：，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的一般方程与标准方程互化可得圆心坐标. 【详解】易知圆方程可化为， 因此圆心坐标为. 故选：D 4. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. -2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：C 5. 已知直线与直线平行，则（ ） A. ±2 B. 2 C. -2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】直线与直线平行，时不合题意， 不等于0时，则，所以. 故选：A 6. 直线：，与圆C：相交弦中最短的弦长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，结合点到直线的距离公式求出最短的弦长. 【详解】直线：过定点，圆C：的圆心，半径， 则，点在圆内，当且仅当时，直线与圆相交所得弦长最短， 所以最短的弦长为. 故选：B 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据椭圆定义以及余弦定理计算可得，再由双曲线定义可得，即可得双曲线的方程. 【详解】不妨设，椭圆长半轴长为，双曲线实轴长为，如下图所示： 根据椭圆定义可知，由离心率定义可得， 解得； 又，可得， 解得； 由易知，可得； 又，可得， 因此可得双曲线的方程为. 故选：D 8. 已知两点，，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，再结合双曲线的性质逐项判断即可得解. 【详解】由点，，得， 由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为， 由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为， 直线为“两全其美线”，当且仅当直线与双曲线的两支相交， 对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是； 对于B，直线与双曲线左支无公共点，B不是； 对于C，由，知直线过双曲线的中心， 且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线与双曲线两支相交，C是； 对于D，由，知直线过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域， 直线与双曲线无公共点，D不是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义，求出点的轨迹是解决问题的关键. 二、共多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆C：，直线：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有三个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断AB；求出圆心到直线距离判断C；确定两圆的位置关系判断D. 【详解】圆C：的圆心，半径， 对于A，直线：，由，解得， 直线过定点，A正确； 对于B，，点在圆内，直线与圆C有两个交点，B正确； 对于C，当时，直线：，点到直线的距离， ，则圆C上恰有三个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，， 两圆相交，有2条公切线，D错误. 故选：ABC 10. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】利用给定的椭圆、双曲线方程，结合它们的相关性质逐项判断. 【详解】对于A，双曲线的渐近线为，A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，B错误； 对于C，椭圆中，长半轴长，半焦距，离心率，C错误； 对于D，由，解得，此方程组有4个解，因此椭圆和双曲线有4个公共点，D正确. 故选：AD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则点P的轨迹长度为1 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】连接，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 则 ， 故， 对于A，若，，则， 因为，所以， 所以点P的轨迹长度为， 对于B，， 若，则， 所以，故B正确； 对于C，若，，则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点到平面的距离， 在中，， 则， 所以，故C正确； 对于D，若时，，， 则 ， 设，则， 则， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 所以， ，， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率为，由求解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以， 解得， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故答案为： 13. 直线被椭圆截得的弦长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】联立，求出交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由，得， 解得或，则或， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由可得存在一点，使得，即可得，再利用相应比例关系可得对应体积. 【详解】如下图所示： 由可得； 即, 可得，即； 又，由空间向量基本定理可得在平面内存在一点，使得； 所以，，可得， 由三棱锥的体积为3，可得三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间向量的共面定理得出点与点的比例关系，再根据对应比例求得相应三棱锥的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，中心为原点，左焦点，离心率为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）已知点，若P是椭圆上的动点，求线段中点M的轨迹方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）设点，借助中点坐标公式，利用坐标代换法求出轨迹方程. 【小问1详解】 依题意，椭圆半焦距，由离心率为，得椭圆的长半轴长， 因此该椭圆的短半轴长， 所以该椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，由M为线段的中点，得， 而点是椭圆上的动点，则有，即， 所以线段中点M的轨迹方程是. 16. 某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. （1）若此人刚好不被台风影响，求的最大值； （2）若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】（1）； （2）小时. 【解析】 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 小问1详解】 由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. 【小问2详解】 由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为. 17. 已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程； （3）已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程. （3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值. 【小问1详解】 依题意，双曲线焦点在轴上，半焦距，实半轴长，则虚半轴长， 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 显然直线不垂直于轴，否则弦中点纵坐标为0， 设直线的方程为，即，设， 由消去得：， 依题意，，由M为中点，得，解得， 此时方程为，，符合题意， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 由，得点在双曲线夹含虚轴的区域内， 又点在双曲线右支上，即， 因此， 当且仅当是线段与双曲线右支的交点时取等号， 所以的最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，. （1）若E为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在点，或，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形得，从而得到线面平行； （2）由题意易知是四棱锥高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，即可得结论. 【小问1详解】 取中点，连接，又分别为的中点， ，，底面四边形是矩形，为棱的中点， ，，则，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，可得平面. 【小问2详解】 在棱上存在点，且或，证明如下， 在等边中S在平面上的射影为中点P， 所以面，则是四棱锥的高. 设，则，结合，知矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，. 由题意， 整理得，解得或， 所以存在点，或时，使直线与平面所成角余弦值为. 19. 定义：P，Q为一个几何系统中的任意两点，则为这两个点的最大距离，例如，某个几何系统由一个圆构成，则为此圆的直径. （1）已知为边长为2的正三角形，求由的外接圆构成的几何系统的； （2）已知为直角边为2的等腰直角三角形，其中，求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的； （3）已知正四面体的棱长为2，求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和的外接圆所构成的几何系统的.（此小题只要求给出答案，不需过程.） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）通过题目所给信息得到的求法，利用数形结合方法求解圆心/球心之间距离，再加上半径即为所求最大距离. 【小问1详解】 由题意可知最大距离即为的外接圆的直径，可以直接由正弦定理计算得到. 【小问2详解】 可如图建立坐标系：以点为原点，以，为坐标轴，可以得出三个圆的圆心分别为，，，可求出圆心之间最大距离为，再由圆的标准方程为得到的半径为，圆的标准方程为，得到的半径为. 则该几何系统的最大距离为. 【小问3详解】 可以将正四面体放入立方体当中，则其棱切球刚好为立方体的内切球，且立方体的棱长为正四面体棱长的倍，可得到棱切球的半径为. 正四面体的棱切球的球心位即为正四面体的中心，的外接圆上任意一点距离该球心的距离等于的任意一个顶点到该球心距离，即该正四面体的外接球的半径. 综上，该几何系统的最大距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期浙江星辰联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的斜率是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 在斜三棱柱中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的方程为：，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. -2 C. 2 D. 5. 已知直线与直线平行，则（ ） A. ±2 B. 2 C. -2 D. 6. 直线：，与圆C：相交弦中最短的弦长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 8. 已知两点，，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ） A. B. C. D. 二、共多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆C：，直线：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有三个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 10. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则点P轨迹长度为1 B. 若，则 C 若，，则 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为___________. 13. 直线被椭圆截得的弦长为_______. 14. 已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在平面直角坐标系中一个椭圆，中心为原点，左焦点，离心率为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）已知点，若P是椭圆上的动点，求线段中点M的轨迹方程. 16. 某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. （1）若此人刚好不被台风影响，求的最大值； （2）若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 17. 已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程； （3）已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，. （1）若E为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 19. 定义：P，Q为一个几何系统中的任意两点，则为这两个点的最大距离，例如，某个几何系统由一个圆构成，则为此圆的直径. （1）已知为边长为2的正三角形，求由的外接圆构成的几何系统的； （2）已知为直角边为2的等腰直角三角形，其中，求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的； （3）已知正四面体的棱长为2，求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和的外接圆所构成的几何系统的.（此小题只要求给出答案，不需过程.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$