生活中的立体图形（提升练）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 生活中的立体图形 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像 细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ， 说明 （ ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 2．（23-24七年级上·河南新乡·期末）中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术 文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是 提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（ ） 考点 1：点、线、面、体的关系 考点 2：平面图形旋转后所得的立体图形 考点 3：截一个几何体 考点 4：欧拉公式 考点 1 点、线、面、体的关系 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 4．（23-24七年级上·河南郑州·期中）请写出生活中的一个现象，使其可解释为“点动成线”， 你所写的这个现象是 . 5．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）我们如果将一枚硬币竖立在桌面，击打一侧使其快 速旋转，就会看到一个“球”，这种现象说明 ． 6．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）有下面四种现象：①旋转一扇门，门运动的痕迹； ②扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；③夜晚天空划过流星的痕迹；④汽车雨刷在挡风玻 璃上画出的痕迹．其中能说明“线动成面”的现象是 （填序号）． 7．（22-23七年级上·广东河源·期中）用数学原理分析下列生活实例： （1）钢笔写字 ； （2）自行车的辐条运动形成几何图形 ； （3）直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥体 ． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（ ） 考点 2 平面图形旋转后所得的立体图形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）下列几何体不能通过平面图形旋转得到的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）请写出图中的平面图形绕其所画虚线旋转一周之后 形成的立体图形的名称． ①___________； ②___________； ③___________． 4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，长方形的长为3cm，宽为2cm，分别以该长方形 的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作V甲、V乙（ 2圆柱V r h ）， 则下列关系正确的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A．V V甲 乙 B．V V甲 乙 C．2V V甲 乙 D．V V甲 乙 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，①面数较多的立体图形就是多面体； ②长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；③长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体； ④棱锥底面边数与侧棱数相等；⑤直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑥棱 柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑦圆锥和圆柱的底面都是圆；⑧由某一图形绕着 一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑨将一个半圆绕它的直径所在的直线旋 转一周得到的几何体是球体；其中正确的序号是 ． 6．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为6cm，宽为4cm， 若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是________，有____个平面，____个曲面； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 7．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为 a， b，将它分别绕直线（图 1）和直线（图 2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若 5a  ， 5b  ，则图 2中，绕直线 n旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留  ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 8．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为 a、宽为b， 将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 (2)当 5a  ， 2b  时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母 a和b表示） 9．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将 梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图 形的体积并求出它们的比值是多少？ 考点 3 截一个几何体 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）如图，用一个平面去截一个圆锥，截面的形状是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，用虚线所示平面切割一块长方体的铁块，则截面 形状是（ ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江西萍乡·期末）用一个平面去截下列几何体，截得的平面图形可能是三 角形的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）用平面去截一个正方体，截面形状不可能．．．是（ ） A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．正八边形 5．（23-24七年级上·广东河源·期末）小明在他的一个密闭且透明的圆柱形水杯中装一半水， 有一天他随意转动水杯，发现形成不一样的水面形状，不管如何转动水杯，其水面的形状不可．． 能．是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 A．三角形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）用一平面去截一个六棱柱（如图），下列关于截面（截 出的平面）的形状的结论： ①可能是三角形； ②可能是四边形； ③可能是五边形； ④可能是六边形． 其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 7．（2023·广东深圳·一模）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中， 可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ） A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形 8．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图所示，用四个不同的平面去截一个正方体，请 在下面横线上写出截面的形状． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 9．（23-24七年级上·河南郑州·期中）（1）把图中各几何体的截面形状填在横线上； 图①的截面形状是________，图②的截面形状是________， 图③的截面形状是________，图④的截面形状是________， 图⑤的截面形状是________，图⑥的截面形状是________． （2）结合上图中图⑤、图⑥，想一想，如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是 几边形？ 1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图 形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 V 4 6 8 ______ 考点 4 欧拉公式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 棱数 E 6 ______ 12 ______ 面数 F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______， 这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉 公式． 2．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 ( )v ， 面数 ( )f ，棱数 ( )e 之间存在一个有趣的数量关系： 2v f e   ，这就是著名的欧拉定理．某个玻 璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有 28个顶点， 每个顶点都 3条棱，设该多面体外表面三角形个数是 x个，八边形的个数是 y，则 x y  ． 3．（20-21七年级上·四川达州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点 数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察 下列几种简单多面体模型，回答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小 8，且有 30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 且有 24个顶点，每个顶点出都有 3条棱，设该多面体外表三角形的个数为 a个，八边形的个 数为b个，求 a b 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 生活中的立体图形 1．【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点动成线，根据点动成线直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：B． 2．【答案】A 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结 合题意即可求解． 【详解】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面， 故选：A． 3．【答案】C 考点 1：点、线、面、体的关系 考点 2：平面图形旋转后所得的立体图形 考点 3：截一个几何体 考点 4：欧拉公式 考点 1 点、线、面、体的关系 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可． 【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据点、线、面、体的相关知识，解题的关键在于掌握几何变换之间的关 系． 4．【答案】笔尖在纸上写出汉字（答案不唯一） 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，将数学知识与实际生活的例子联系起来是解题关键．结 合实际生活的例子分析得出即可． 【详解】解：笔尖在纸上写出汉字可解释为“点动成线”， 故答案为：笔尖在纸上写出汉字． 5．【答案】面动成体 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据面动成体的意义进行说明即可． 【详解】解：硬币是面，旋转得到球体， 属于面动成体， 故答案为：面动成体． 【点睛】本题考查点、线、面、体，理解“点动成线，线动成面，面动成体”是正确解答的前提． 6．【答案】④ 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体的特征对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】①旋转一扇门，门运动的痕迹是面动成体，不符合题意； ②扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是点动成线，不符合题意； ③夜晚天空划过流星的痕迹是点动成线，不符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ④汽车雨刷在挡风玻璃上画出的痕迹是线动成面，符合题意． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析 问题，解决问题的能力． 7．【答案】 点动成线 圆形 面动成体 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体进行判断即可． 【详解】解：（1）钢笔的笔尖可以近似看作是一个点，写字的笔画可以看作线， 因此钢笔写字可以解释为：点动成线， 故答案为：点动成线； （2）行车的辐条看成线段，线动成面，可得辐条运动形成几何图形是圆形， 故答案为：圆形； （3）直角三角形看成面，根据面动成体，可得转动一周所得到的几何体为圆锥， 故答案为：面动成体． 【点睛】本题考查点、线、面、体，理解点动成线，线动成面，面动成体是正确判断的前提． 1．【答案】B 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查的是点、线、面、体知识点，可把较复杂的图象进行分解旋转，然后再组合．上 面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，下面的长方形旋转一周后是一个圆柱．所以应是圆锥 和圆柱的组合体． 【详解】解：上面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，下面的长方形旋转一周后是一个圆 柱．所以应是圆锥和圆柱的组合体 所以应是圆锥和圆柱的组合体． 故选：B． 考点 2 平面图形旋转后所得的立体图形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 2．【答案】C 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了平面图形旋转问题．根据平面图形旋转特征，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、选项是圆柱，可以通过长方形旋转得到，故本选项不符合题意； B、选项是球，可以通过圆旋转得到，故本选项不符合题意； C、选项不能通过图形旋转得到，故本选项符合题意； D、选项是圆锥，可以通过直角三角形旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：C 3．【答案】①圆锥；②球体；③圆柱 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了面动成体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角 形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱， 半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球，据此可得答案． 【详解】解：直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周得到的图形为圆锥； 半圆沿着它的直径旋转一周得到的图形为球体； 长方形绕着它的一边旋转一周得到的图形为圆柱； 故答案为：①圆锥；②球体；③圆柱． 4．【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查平面图形的旋转，立体图形的体积的计算，掌握旋转的性质，体积的计 算公式是解题的关键． 根据图形的旋转，圆柱体体积的公式分别求出甲、乙的体积即可求解． 【详解】解：当以长为轴旋转时， 22 2 3 24V     甲 ； 当以宽为轴旋转时， 22 3 2 36V     乙 ； ∴V V甲 乙， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 故选：D． 5．【答案】③④⑥⑦⑧⑨ 【知识点】几何体中的点、棱、面、点、线、面、体四者之间的关系、平面图形旋转后所得的 立体图形 【分析】根据多面体的特征、棱柱的特征、圆锥的特征、面动成体等知识逐一判断即得答案． 【详解】解：①面数较多的立体图形不一定是多面体，如圆柱，故①说法错误； ②长方体是四棱柱，但四棱柱不一定是长方体，故②说法错误； ③长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体，故③说法正确； ④棱锥底面边数与侧棱数相等，故④说法正确； ⑤直角三角形绕一直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，绕斜边旋转一周得到的立体图形是 两个圆锥的组合体，故⑤说法错误； ⑥直棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形，故⑥说法正确； ⑦圆锥和圆柱的底面都是圆，故⑦说法正确； ⑧由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体，故⑧说法正确； ⑨将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体，故⑨说法正确； 综上，正确的结论是：③④⑦⑧⑨； 故答案为：③④⑥⑦⑧⑨． 【点睛】本题考查了多面体、棱柱、圆锥和面动成体等知识，熟知常见立体图形的特点是解题 的关键． 6．【答案】(1)圆柱，2，1 (2) 3144 cm 或 396 cm 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体． （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱， 进而可得出平面和曲面的个数； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，有 2 个平面，1个曲面， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 故答案为：圆柱，2，1； （2）①若绕4cm的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为6cm，高为4cm的圆柱， 它的体积为： 2 36 4 144 cm    ； ②若绕6cm的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为4cm，高为6cm的圆柱， 它的体积为： 2 34 6 96 cm    ； 综上：得到的几何体的体积为 3144 cm 或 396 cm ． 7．【答案】(1)圆锥 (2)25 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，图形的旋转变换，圆锥的定义及圆的面积公式，熟 练掌握圆锥的定义及圆的面积公式是解答此题的关键． （1）根据圆锥的定义可知即可得出答案； （2）根据圆锥的底面是圆，运用圆面积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据圆锥的定义可知：旋转所得的几何体都是圆锥． 故答案为：圆锥； （2）绕直线 n旋转一周后形成的几何体的底面积 25 25    ． 8．【答案】 (1)C (2)①侧面积相等 ②体积比为 2 5 (3)侧面积相等；体积比为 ba 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、用代数式表示式 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识 点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为： 2π 2 5 20π   ， 乙圆柱的侧面积为： 2π 5 2 20π   ， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为： 2π 2 5 20π   ， 乙圆柱的体积为： 2π 5 2 50π   ， 所以甲乙两圆柱的体积比为： 20π 2 50π 5  ； （3）解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比 2 2 b a b a b a     ． 9．【答案】 (1)小红 (2)甲的体积为 345πcm ；乙的体积 336πcm ；它们的比值是5: 4 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆 柱和圆锥的高． （1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，先 分别求解两个立体图形的体积，再求解比值即可． 【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等； 所以同意小红的说法； 故答案为：小红； （2）解：甲的体积：    2 2 31π 3 6 π 3 6 3 54π 9π 45π cm3         ， 乙的体积：    2 2 31π 3 3 π 3 6 3 27 π 9π 36π cm3         ， ∴ 45π :36π 5 : 4 ． 考点 3 截一个几何体 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 1．【答案】B 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查了立体图形截面的选择，建立空间想象能力是解决本题的关键． 通过 对截面的观察即可得解． 【详解】解：通过观察用一个平面去截一个圆锥，可知 B选项正确， 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据题意可知截面的四个角是直角，从而可得答案． 【详解】解：根据题意可知，截面是一个长方形， ∴四个选项中只有 C选项符合题意， 故选 C． 3．【答案】C 【知识点】截一个几何体 【分析】三棱柱，圆锥，四棱锥的截面都有可能是三角形，圆柱的截面可能是长方形，圆形， 椭圆形，据此得到答案． 【详解】解：三棱柱，圆锥，四棱锥的截面都有可能是三角形，圆柱的截面不可能是三角形， 故选：C． 【点睛】此题考查了截一个几何体,熟练掌握各个几何体的截面是解题的关键． 4．【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，用一个平面去截一个正方体，截面经过几个面，截面就是 几边形，即可解答． 【详解】解：用一个平面去截一个正方体，则截面的形状可能为等边三角形，长方形，六边形， 不可能是正八边形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握圆柱体的截面形状是解题的关键．根据圆柱体的 截面形状，判断即可． 【详解】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形， 所以，一个密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，则水面的形状不可能是三 角形． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，根据六棱柱有 8个面，用平面去截六棱柱时最多与 8个面 相交得八边形，最少与五个面相交得三角形，即可得出答案，考查了空间想象能力． 【详解】解：六棱柱有 8个面，用平面去截六棱柱时最多与 8个面相交得八边形，最少与五 个面相交得三角形， 用一平面去截一个六棱柱，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形， 故选：D． 7．【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相 交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案； 【详解】解：∵正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三 个面相交得三角形， ∴截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形， 故选 D． 【点睛】本题考查了正方体的截面，解题的关键是熟练掌握面面相交等到线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 8．【答案】正方形；正方形；长方形；长方形 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查正方体的截面，解题时，要注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与 截面的角度和方向有关．根据正方体的形状及截面的角度和方向判断即可． 【详解】解：（1）竖截正方体，截面平行于侧面，那么截面应该是正方形； （2）横截正方体，截面平行于两底，那么截面应该是正方形； （3）（4）沿对边截正方体，截面应该都是长方形． 故答案为：正方形；正方形；长方形；长方形． 9．【答案】（1）圆，长方形，三角形，圆，长方形，三角形；（ 2）五边形，六边形 【知识点】截一个几何体 【分析】此题考查判断几何体的名称以及截面形状． （1）首先观察图形，先判断出各个几何体的名称，然后根据平面截几何体的方向和角度，判 断出截面的形状； （ 2）正方体共有六个面，故用平面截一个正方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边 形，最少与三个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能是三角形、四边形、五边 形、六边形． 【详解】解：（1）图①的截面形状是圆，图②的截面形状是长方形， 图③的截面形状是三角形，图④的截面形状是圆， 图⑤的截面形状是长方形，图⑥的截面形状是三角形． 故答案为：圆，长方形，三角形，圆，长方形，三角形； （2）正方体共有六个面，故用平面截一个正方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边 形，最少与三个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能为三角形、四边形、五边 形、六边形． ∴如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是五边形、六边形． 1．(1)见解析 考点 4 欧拉公式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 (2) 2V F E   【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念． （1）观察几何体，补充表格即可； （2）通过观察，发现棱数顶点数面数 2 ． 【详解】（1）解： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 V 4 6 8 6 棱数 E 6 9 12 12 面数 F 4 5 6 8 （2）解：观察表得， 顶点数（V ）、面数（ F ）和棱数（ E ）之间的数量关系是 2V F E   ， 故答案为： 2V F E   ． 2．14 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉 定理．得到多面体的棱数，求得面数即为 x y 的值． 【详解】解：有 24个顶点，每个顶点处都有 3条棱，两点确定一条直线； 共有 24 3 2 36   条棱， 那么 24 36 2f   ，解得 14f  ， 14x y   ． 故答案为：14． 3．(1)6；6； 2V F E   (2)12 (3) 14a b  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵 活运用． （1）观察可得顶点数面数棱数 2 ； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）得到多面体的棱数，求得面数即为 a b 的值． 【详解】（1）解：四面体的棱数为 6； 正八面体的顶点数为 6； 关系式为： 2V F E   ； 故答案为：6；6； 2V F E   ； （2）一个多面体的面数比顶点数小 8， 8V F   ， 2V F E   ，且 30E  ， 8 30 2F F     ， 解得 12F  ； 故答案为：12； （3）有 24个顶点，每个顶点处都有 3条棱，两点确定一条直线； 共有 24 3 2 36   条棱， 那么 24 36 2F   ， 解得 14F  ， 14a b   ．