专题1.11一元二次方程综合练习（基础、培优）-2024-2025学年九年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题1-11 一元二次方程综合练习（基础、培优） 【学科专题——导学+2篇专项练习目录】 【1】学科专题——关键知识导学 【2】专题1-11 一元二次方程综合练习——基础篇 【3】专题1-11 一元二次方程综合练习——培优篇 【学科专题——关键知识导学】 专题1-11 一元二次方程综合练习（基础篇） 1．（2024春•惠城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x+2y＝1 B．ax2+bx+c＝0 C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0 2．（2024秋•静海区期中）若（m﹣3）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠3 B．m＝3 C．m≥3 D．m≠0 3．（2024秋•武鸣区期中）已知一元二次方程5x2﹣1＝4x，其中一次项系数、常数项分别为（　　） A．4、﹣1 B．4、1 C．﹣4、﹣1 D．﹣4、1 4．（2024秋•兰山区校级月考）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 5．（2024秋•龙华区校级期中）某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达12亿元，若把增长率记作x，则方程可列为（　　） A．3（1+x）＝12 B．3（1+x）2＝12 C．3+3（1+x）2＝12 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝12 6．（2024秋•安溪县期中）某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为x元”，小溪假设“每件上衣应降价y元”，下列说法正确的是（　　） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为（x﹣50）（20+2x）＝672 D．按小溪的设元方法，应列方程为（30﹣y）（20+2y）＝672 7．（2024•开封二模）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣2 8．（2024秋•西城区校级期中）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则另一个根的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 9．（2024秋•兴庆区校级期中）若方程（m+3）x|m+1|＝0是关于x的一元二次方程，则m的倒数的值为 　 　． 10．（2024•同心县模拟）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 11．（2024秋•惠州期中）设a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，则3﹣4a2﹣2a的值为 　 　． 12．（2024秋•北辰区期中）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣5x+m2﹣9＝0不含常数项，则m的值为 　 　． 13．（2024•罗江区模拟）九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 　 　． 14．（2024秋•丹阳市期中）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值为 　 　． 15．（2024秋•浦东新区期中）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为 　 　． 16．（2024秋•海淀区校级期中）关于x的一元二次方程：（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的一个解是0，则a的值为 　 　． 17．（2023秋•安定区期末）解方程： （1）（x+1）2﹣64＝0； （2）2x2﹣x﹣6＝0． 18．（2024秋•黄浦区期中）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值． 19．（2024秋•阆中市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求k的值及此时方程的两个根． 20．（2024•南山区校级一模）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为 　 　元，平均每天的销售量为 　 　件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？ 专题1-11 一元二次方程综合练习（培优篇） 21．（2024秋•西工区期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0有一个根为1，则另一个根为（　　） A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣3 22．（2024秋•洛龙区期中）若α，β是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ﹣3＝（　　） A．1 B．0 C．2024 D．2025 23．（2024秋•郫都区校级期中）如果一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么一元二次方程bx2+x﹣k＝0根的存在情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 24．（2024秋•郫都区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 25．（2024秋•和平区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且m≠1 C． D．，且m≠1 26．（2024•禹城市模拟）关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 27．（2024秋•中阳县月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 28．（2024•湖州一模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 29．（2024秋•东莞市校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x1＝2，则x2的值为 　 　． 30．（2024秋•锦江区校级期中）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为 　 　． 31．（2024秋•成都期中）若x1，x2是方程x2﹣6x＝2024＝0的两个实数根，则代数式﹣4x1+2x2的值等于 　 　． 32．（2024秋•浦东新区校级期中）若关于x的方程（k+1）x2+6＝x有实数根，则最大的整数k的取值为 　 　． 33．（2024秋•海口期中）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则＝ 　 　． 34．（2024•双峰县模拟）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　 　． 35．（2024春•瑶海区校级月考）方程组的两组解是和，则a1a2﹣b1b2＝　 　． 36．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　 　． 37．（2024秋•郑州期中）用合适的方法解下列一元二次方程． （1）x2﹣5x+6＝0； （2）2x2﹣5x﹣1＝0． 38．（2024秋•武鸣区期中）阅读并填空：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y， 原方程化为 　 　① 解得 　 　． 当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1． 当y＝3时，x﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2． ∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0． 39．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 40．（2024秋•银川期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-11 一元二次方程综合练习（基础、培优） 【学科专题——导学+2篇专项练习目录】 【1】学科专题——关键知识导学 【2】专题1-11 一元二次方程综合练习——基础篇 【3】专题1-11 一元二次方程综合练习——培优篇 【学科专题——关键知识导学】 专题1-11 一元二次方程综合练习（基础篇） 1．（2024春•惠城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x+2y＝1 B．ax2+bx+c＝0 C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0 【分析】首先判断是否是整式方程，如果是整式方程，化简后只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程． 【详解】解：A、含有2个未知数，故错误； B、当a＝0时不是一元二次方程，故错误； C、为分式方程，故错误； D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，正确； 故选：D． 2．（2024秋•静海区期中）若（m﹣3）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠3 B．m＝3 C．m≥3 D．m≠0 【分析】根据一元二次方程的定义知：m﹣3≠0，则可得m≠3，从而完成详解． 【详解】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ∵（m﹣3）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣3≠0， ∴m≠3， 故选：A． 3．（2024秋•武鸣区期中）已知一元二次方程5x2﹣1＝4x，其中一次项系数、常数项分别为（　　） A．4、﹣1 B．4、1 C．﹣4、﹣1 D．﹣4、1 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，其中一次项系数、常数项分别为﹣4，﹣1． 故选：C． 4．（2024秋•兰山区校级月考）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【详解】解：∵x2+8x+7＝0， ∴x2+8x＝﹣7， ⇒x2+8x+16＝﹣7+16， ∴（x+4）2＝9． ∴故选：A． 5．（2024秋•龙华区校级期中）某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达12亿元，若把增长率记作x，则方程可列为（　　） A．3（1+x）＝12 B．3（1+x）2＝12 C．3+3（1+x）2＝12 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝12 【分析】根据第一天的票房及以后每天票房的增长率，可得出第二天及第三天的票房，结合三天后累计票房收入达12亿元，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一天票房约3亿元，且以后每天票房的增长率为x， ∴第二天票房约3（1+x）亿元，第三天票房约3（1+x）2亿元． 根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝12． 故选：D． 6．（2024秋•安溪县期中）某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为x元”，小溪假设“每件上衣应降价y元”，下列说法正确的是（　　） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为（x﹣50）（20+2x）＝672 D．按小溪的设元方法，应列方程为（30﹣y）（20+2y）＝672 【分析】小安：设每件上衣的售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣50）元，平均每天可售出（180﹣2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程；小溪：设每件上衣应降价y元，则每件的销售利润为（30﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：小安：设每件上衣的售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣50）元，平均每天可售出20+2（80﹣x）＝（180﹣2x）件， 根据题意得：（x﹣50）（180﹣2x）＝672； 小溪：设每件上衣应降价y元，则每件的销售利润为80﹣50﹣y＝（30﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件， 根据题意得：（30﹣y）（20+2y）＝672． 故选：D． 7．（2024•开封二模）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣2 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得Δ＝4+4a＞0，解出a的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得Δ＝4﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，解得a＞﹣1， ∵a≠0， ∴a的值可以为， 故选：A． 8．（2024秋•西城区校级期中）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则另一个根的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算． 【详解】解：设方程的另一根为x1， 根据根与系数的关系可得：1+x1＝﹣， 解得x1＝﹣． 故选：C． 9．（2024秋•兴庆区校级期中）若方程（m+3）x|m+1|＝0是关于x的一元二次方程，则m的倒数的值为 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义，建立等式和不等式求出m的值，再根据倒数的定义求解，即可解题． 【详解】解：∵方程（m+3）x|m+1|＝0是关于x的一元二次方程， ∴根据一元二次方程的定义得，m+3≠0，|m+1|＝2， 整理得m≠﹣3，m＝﹣3或m＝1， 解得m＝1， ∵根据倒数的定义，1的倒数是1， ∴m的倒数值为1， 故答案为：1． 10．（2024•同心县模拟）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 【分析】由关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，解方程可求得k的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＝0， 解得：k＝， 故答案为：． 11．（2024秋•惠州期中）设a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，则3﹣4a2﹣2a的值为 　 　． 【分析】由a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，可得出2a2+a＝1，再将其代入原式＝3﹣2（2a2+a）中，即可求出结论． 【详解】解：∵a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根， ∴2a2+a﹣1＝0， ∴2a2+a＝1， ∴原式＝3﹣2（2a2+a）＝3﹣2×1＝1． 故答案为：1． 12．（2024秋•北辰区期中）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣5x+m2﹣9＝0不含常数项，则m的值为 　 　． 【分析】由题可知，该一元二次方程的二次项系数m﹣3≠0，且常数项m2﹣9＝0，由此可解得m的值． 【详解】解：由题意得， 解得m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 13．（2024•罗江区模拟）九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 　 　． 【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程． 【详解】解：全班有x名学生，那么每名学生送照片（x﹣1）张， ∴全班应该送照片x（x﹣1）， 则可列方程为：x（x﹣1）＝1560． 故答案为：x（x﹣1）＝1560． 14．（2024秋•丹阳市期中）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值为 　 　． 【分析】先分组，然后运用配方法得到（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12，最后利用偶次方的非负性得到最小值． 【详解】解：a2+b2﹣8a﹣2b+5， ＝a2﹣8a+b2﹣2b+5， ＝（a2﹣8a+16）+（b2﹣2b+1）+5﹣17， ＝（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12， ∵（a﹣4）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝4，b＝1时，原式有最小值，最小值为﹣12． 故答案为：﹣12． 15．（2024秋•浦东新区期中）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为 　 　． 【分析】设这个百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降低的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这个百分率为x， 根据题意得：4000（1﹣x）2＝2560， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， ∴这个百分率为20%． 故答案为：20%． 16．（2024秋•海淀区校级期中）关于x的一元二次方程：（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的一个解是0，则a的值为 　 ． 【分析】根据一元二次方程的概念和解为0列式计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程：（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的一个解是0， ∴a﹣1≠0，a2﹣1＝0， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 17．（2023秋•安定区期末）解方程： （1）（x+1）2﹣64＝0； （2）2x2﹣x﹣6＝0． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）∵（x+1）2﹣64＝0， ∴（x+1）2＝64， ∴x+1＝±8， 解得x1＝7，x2＝﹣9； （2）∵2x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣2）（2x+3）＝0， 则x﹣2＝0或2x+3＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣． 18．（2024秋•黄浦区期中）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值． 【分析】设另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5，先求出t，然后解关于m的一元二次方程． 【详解】解：设另一根为t， 根据题意得2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5， 所以t＝4，m2﹣2m+5＝8，即m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， 所以另一个根为4，m的值为3或﹣1． 19．（2024秋•阆中市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求k的值及此时方程的两个根． 【分析】（1）根据Δ＝（k﹣1）2+8，且（k﹣1）2非负即可得出Δ＞0，此题得证； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝k﹣3，x1•x2＝﹣k2，再结合（x1﹣x2）2＝8，即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k） ＝k2﹣6k+9+4k ＝（k﹣1）2+8， ∵（k﹣1）2≥0， ∴Δ＞0， 故无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）∵x1+x2＝k﹣3，x1•x2＝﹣k， ∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1•x2＝7， ∴（k﹣3）2+3k＝7， 解得k＝1或2， 当k＝1时，x2+2x﹣1＝0， 解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣， 当k＝2时，x2+x﹣2＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣2． 20．（2024•南山区校级一模）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为 　 　元，平均每天的销售量为 　 　件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？ 【分析】（1）根据“这种玩具的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件玩具的原利润及降价x元，即可得出降价后每件玩具的利润及销量； （2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵每件玩具降价x元， ∴每件玩具的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件． 故答案为：（40﹣x）；（20+2x）． （2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． ∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴x＝20． 答：每件玩具应降价20元． 专题1-11 一元二次方程综合练习（培优篇） 21．（2024秋•西工区期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0有一个根为1，则另一个根为（　　） A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】设方程的另一根为x，利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案． 【详解】解：设方程的另一根为x， ∵方程x2+mx﹣3＝0一个根为1， ∴x＝﹣3，即方程的另一根为﹣3， 故选：D． 22．（2024秋•洛龙区期中）若α，β是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ﹣3＝（　　） A．1 B．0 C．2024 D．2025 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是该方程的两个实数根，则，据此可得α+β＝4，αβ＝﹣2024，再代值计算即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：α+β＝4，αβ＝﹣2024， ∴α+β﹣αβ﹣3＝4﹣（﹣2024）﹣3＝2025， 故选：D． 23．（2024秋•郫都区校级期中）如果一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么一元二次方程bx2+x﹣k＝0根的存在情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【分析】先根据函数y＝kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，再根据一元二次方程bx2+x﹣k＝0中，Δ＝4k+1＞0，即可得出答案． 【详解】解：根据函数y＝kx+b的图象可得；k＜0，b＜0， ∴bk＞0， ∴一元二次方程bx2+x﹣k＝0中，Δ＝12﹣4b•（﹣k）＝4k+1＞0， ∴一元二次方程bx2+x﹣k＝0中根的存在情况是有两个相等的实数根， 故选：A． 24．（2024秋•郫都区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【分析】一移，二配，三变形，将方程配方后，求出a，b的值，进而求出ab的值即可． 【详解】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024， ∴（x﹣1）2＝2025， ∴a＝﹣1，b＝2025， ∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1； 故选：C． 25．（2024秋•和平区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且m≠1 C． D．，且m≠1 【分析】依据题意，由一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，可得m﹣1≠0，且Δ＝1﹣4（m﹣1）≥0，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根， ∴m﹣1≠0，且Δ＝1﹣4（m﹣1）≥0． ∴m≠1且m≤． 故选：D． 26．（2024•禹城市模拟）关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【详解】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 27．（2024秋•中阳县月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 【分析】首先求出一元二次方程的解为x＝2或8，然后由矩形的性质得到BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，利用勾股定理求出，进而得到CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2，即可求解． 【详解】解：x2+6x﹣16＝0， （x﹣2）（x+8）＝0， x﹣2＝0或x+8＝0， 解得x＝2或8； ∵四边形ABCD是矩形，AE＝AB＝3， ∴BC＝AD＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2． ∴方程x2+6x﹣16＝0的正数解是线段CE的长． 故选：C． 28．（2024•湖州一模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：B． 29．（2024秋•东莞市校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x1＝2，则x2的值为 　 　． 【分析】利用两根之和＝﹣求解即可． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝6， ∵x1＝2， ∴x2＝4． 故答案为：4． 30．（2024秋•锦江区校级期中）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为 　 　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，代入整理后的代数式，即可求解． 【详解】解：∵m、n是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∴＝＝＝﹣， 故答案为：﹣． 31．（2024秋•成都期中）若x1，x2是方程x2﹣6x＝2024＝0的两个实数根，则代数式﹣4x1+2x2的值等于 　 　． 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知﹣6x1＝2024，x1+x2＝6，将﹣4x1+2x2变形后得到﹣6x1+2（x1+x2），由此即可求解． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣2024＝0的两个实数根， ∴﹣6x1﹣2024＝0，x1+x2＝6， ∴﹣6x1＝2024， ∵﹣4x1+2x2 ＝﹣6x1+2x1+2x2 ＝﹣6x1+2（x1+x2） ＝2024+2×6 ＝2024+12 ＝2036． 故答案为：20236． 32．（2024秋•浦东新区校级期中）若关于x的方程（k+1）x2+6＝x有实数根，则最大的整数k的取值为 　 　． 【分析】当k+1＝0时，原方程为一元一次方程，有一个实根；k+1≠0时为一元二次方程，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4（k+1）×6≥0，然后综合两种情况得到k的取值范围为k≤﹣，从而可确定最大的整数k． 【详解】解：当k+1＝0，即k＝﹣1时，原方程化为6＝x，方程有一个实根， 当k+1≠0，即k≠﹣1时，原方程为一元二次方程，方程化为一般式为（k+1）x2﹣x+6＝0 ∵Δ＝（﹣1）2﹣4（k+1）×6≥0， 解得k≤﹣ 所以k的取值范围为k≤﹣且k≠﹣1， 综上所述，k的取值范围为k≤﹣， ∴最大的整数k的取值为﹣1， 故答案为：﹣1． 33．（2024秋•海口期中）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则＝ 　 　． 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求出x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，再把＝变形为（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后计算即可． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1， ∴＝+2x1•x2﹣2x1•x2＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝9+2＝11， 故答案为：11． 34．（2024•双峰县模拟）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　 　． 【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【详解】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0， 化简得x2+10x+7＝0， ∵m，n是该方程的两根， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴+＝＝， 故答案为：． 35．（2024春•瑶海区校级月考）方程组的两组解是和，则a1a2﹣b1b2＝　 　． 【分析】首先二元二次方程组是无法直接处理的，所以可以通过代入消元转化成一元二次方程，再结合题目要求的是a1a2，b1b2，刚好可以应用一元二次方程根与系数得以求解． 【详解】解：， 由①得：y＝a﹣x ③， 将③代入②，得：x（a﹣x）＝b， 整理，得：x2﹣ax+b＝0， ∴由韦达定理，得：x1x2＝b，x1+x2＝a， ∵y＝a﹣x， ∴y1y2＝（a﹣x1）（a﹣x2）＝a2﹣a（x1+x2）+x1x2 ＝a2﹣a2+b＝b， ∵，， ∴a1a2﹣b1b2＝x1x2﹣y1y2＝b﹣b＝0． 故答案为：0． 36．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　 　． 【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根， 则k2﹣9＝0， 解得k＝±3， ②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0 解得：k＝﹣5． 故答案为±3或﹣5． 37．（2024秋•郑州期中）用合适的方法解下列一元二次方程． （1）x2﹣5x+6＝0； （2）2x2﹣5x﹣1＝0． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3； （2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝25+8＝33＞0， 则， 即，． 38．（2024秋•武鸣区期中）阅读并填空：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y， 原方程化为 　y2﹣3y＝0　① 解得 　y＝0或y＝3　． 当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1． 当y＝3时，x﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2． ∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0． 【分析】利用换元法解方程求解即可． 【详解】解：设x2﹣1＝y， 原方程化为y2﹣3y＝0 ①， 解得y＝0或y＝3． 设x2+3＝m，则方程可化为m2﹣4m＝0， 解得m＝0或m＝4， 当m＝0时，x2+3＝0，此方程无实数根； 当m＝4时，x2+3＝4，解得x1＝1，x2＝﹣1； 故答案为：y2﹣3y＝0，y＝0或y＝3． 39．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得：m（1600﹣×40）＝240000， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝200，m2＝300（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 40．（2024秋•银川期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程＝速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度； （2）由于∠B＝90°，如果△PBQ为等腰三角形，那么只有一种情况，即BP＝BQ，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值； （3）根据四边形APQC的面积＝△ABC的面积﹣△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【详解】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6， ∴AB＝8． ∴BQ＝x，PB＝8﹣2x； （2）由题意，得 8﹣2x＝x， ∴x＝． ∴当x＝时，△PBQ为等腰三角形； （3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2， 则， 解得x1＝x2＝2． 假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC面积的面积等于20cm2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$