精品解析：江西省八校协作体2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题

江西省八校协作体高二年级第一次联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第4节3.4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 3. 设为实数，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 20 D. 15 6. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，则 B. 若，，，则点在平面内 C. 已知，，则与方向相同的单位向量是 D. 若，，是空间的一组基，则向量，，也是空间的一组基 10. 已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. D. 若点是圆上的一点，则的最大值是 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量坐标为，平面的法向量坐标为，且，则_____. 13. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是_____. 14. 已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，，. （1）设，，求的坐标； （2）求的面积. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的标准方程； （2）已知点是圆上的一点，求的取值范围. 17. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点. （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省八校协作体高二年级第一次联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第4节3.4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以抛物线方程为，， 因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为. 故选：D 2. 若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】设是直线上任意一点，则平移后得点，于是直线的斜率. 故选：A. 3. 设为实数，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出的取值范围，求出，求出焦距. 【详解】由题意，，解得， 又， 故，所以焦距为. 故选：B. 4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线过定点，圆的最大半径即为，计算可得半径最大的圆的标准方程. 【详解】直线，变形可得， 所以该动直线过定点， 则以点为圆心且与直线相切的所有圆中， 圆心到定点的距离为最大半径，所以半径的最大值为， 则半径最大的圆的标准方程为. 故选:D. 5. 已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，当到直线的距离最大时，的面积最大，再结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 又圆心坐标为，所以，又半径为， 则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为. 故选：D. 6. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值. 【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点， 在正三棱锥中，所以， 平面，又平面，所以，则. 又， 所以 ， 所以当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：C 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，结合椭圆的定义以及等边三角形的性质，利用三角形的余弦定理，可得答案. 【详解】设关于平分线的对称点为， 由椭圆对称性及角平分线性质可知，，三点共线且， 又因为，所以是正三角形，设， 由方程，则的周长为， 可得，所以，即，. 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以该椭圆的面积为. 故选：B. 8. 已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，即可根据两点距离得的轨迹为，根据相切，即可勾股定理求解. 【详解】连接，，因为点是线段的中点，所以， 又，所以，即. 设，则，即， 所以点在圆上， 所以当直线与圆相切时，取得最大值，此时. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，则 B. 若，，，则点在平面内 C. 已知，，则与方向相同的单位向量是 D. 若，，是空间的一组基，则向量，，也是空间的一组基 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据平面法向量的位置关系，可得平面的位置关系，可得答案； 对于B，根据三个向量之间的线性关系，可得答案； 对于C，利用空间向量的坐标表示，求得其模长，结合单位化，可得答案； 对于D，根据空间中基底的定义，结合条件，可得答案. 【详解】因为，，所以，所以，故A错误； 因为， 所以，，共面，即点在平面内，故B正确； 因为，，所以， 所以与方向相同的单位向量是，故C错误； 若为共面向量，则存在不全零的实数使得， 故， 而，，是空间的一组基， 故，矛盾，故不共面，故为一组基底，故D正确. 故选：BD. 10. 已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. D. 若点是圆上的一点，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心和半径；根据圆的对称性求得直线记为线段的中垂线，可知A正确；两圆方程作差可知B正确；利用垂径定理可求得C错误；根据圆的性质可求得圆上点到中点距离的最大值，由此可得D正确. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径为；圆心，半径为； 对于A，由圆的对称性可知：直线是线段的中垂线， ，直线的中垂线方程为：，即，A正确； 对于B，两圆方程作差可得直线方程为：，B正确； 对于C，到直线的距离， ，C错误； 对于D，记为中点，则， ，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由，可判定A正确；假设存在点，，可判断B；设直线的方程为，求得切点的纵坐标，与渐近线联立方程组求得交点的坐标，计算可判断C，利用中点坐标公式可判断D. 【详解】由题意，双曲线，可得，，则， 所以焦点，，设，则，且，即， 由，故A正确； 假设存在点，设，则，且，即， 所以， 所以不存在点，使得，故B错误； 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由,得， 又直线与相切，所以，整理得， 所以，即0，解得， 即点的纵坐标为. 不妨设直线与的交点为，与的交点为， 由，解得，即点的纵坐标为， 由，解得，即点的纵坐标为， 则点，的纵坐标之积为，故C正确； 因为， 所以点是线段的中点，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：设切线方程与椭圆方程联立，求得切点坐标的纵坐标，与渐近线交点的纵坐标，进而利用代数运算求得结果，体现了平面解析几何的坐标法解决几何问题的特点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量坐标为，平面的法向量坐标为，且，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】运用平面向量数量积计算即可. 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求得点关于轴的对称点为，求得到圆上上的点的最短距离即可. 【详解】由圆，得圆心坐标，半径为1， 点关于轴的对称点为， 则到圆上上的点的最短距离即为它爬到的最短路程， 所以它爬到的最短路程是. 故答案为：. 14. 已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为______. 【答案】11 【解析】 【分析】由题意作图，根据已知点求得抛物线方程，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用斜率表示所求代数式，可得答案. 【详解】 因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以. 显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由，得，所以，解得， 所以，同理可得， 所以， 所以的最小值是11，此时，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，，. （1）设，，求的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1） 先设，再根据模长得出得， 进而得出向量坐标； （2）先根据向量数量积及模长计算余弦值，再应用同角三角函数关系得出正弦，进而求出面积即可. 【小问1详解】 由已知得， 因为，设，所以， 解得， 所以或. 【小问2详解】 由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的标准方程； （2）已知点是圆上的一点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，再根据点在圆上得出距离相等，计算求参即可得出圆心及半径，最后得出圆的标准方程即可； （2）设，又点是圆上的一点，再应用直线和圆有公共点即圆心到直线距离小于半径即可求参. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，可设，又圆过点，， 所以， 解得，所以， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，又点是圆上的一点， 所以直线与圆有公共点，所以， 解得，即的取值范围是. 17. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点. （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）的长为,余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解, （2）根据数量积的定义求解，，，即可根据模长公式以及夹角公式求解. 【小问1详解】 由题意知 . 【小问2详解】 因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 即线段的长为. 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上过的点及离心率列出方程组，求出椭圆方程； （2）设，，利用点差法可求直线直线的斜率，进而可求直线的方程； （3）设直线，利用根与系数的关系求得点的坐标，求得，利用已知得，求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，， 又线段的中点为，所以，即， 又，是上的点，所以， 所以，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 由题意左焦点，直线的斜率不为0，设直线， 由得，所以， ，，. 设的中点为，则， 点在轴上，且，，则垂直平分，且， 所以的中垂线方程为，令，得， 所以， 又， 所以， 解得，所以直线的斜率是. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①或；②是， 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）①设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；②设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合①中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解. 【小问1详解】 由题意知 解得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由，消得， 所以，解得， 所以. ①因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ②直线，即， 由，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $