专题01 整数（竞赛教程讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题01 整数 真题重现 （2024七年级·全国·竞赛）上海世博会将于2010年5月1日至10月31日举行，截至2009年9月23日，已有242个国家和国际组织确认参加上海世博会．其中非洲个国家，美洲个国家，欧洲个国家，亚洲个国家，大洋洲个国家，国际组织个． 已知：（1）； （2）是完全平方数； （3）与242的最大公约数是22． 求的值． 考点突破 一、奇数与偶数 【学霸笔记】 一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫作质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数. 这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类: 质数、合数有下面常用的性质: 1. 1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数. 2. 若质数则必或. 3. 若正整数a，b的积是质数p，则必有a＝p或b＝p. 【典例】一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（　　） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个 【分析】设个位数为x，十位数为y，则这个两位数为10y+x，个位十位交换后两位数表示为10x+y，根据所得的数比原来的数大9列出方程，再根据未知数的取值确定符合质数的个数即可． 【解答】解：设原两位数的个位数为x，十位数为y（x，y为自然数），原两伴数为10y+x，新两位数为10x+y，根据题意得： 10x+y﹣（10y+x）＝9， 化简得：x﹣y＝1， 因为x，y为1﹣9内的自然数，两位数为质数且个位与十位上的数大1时，符合条件的数有23、67、89， 所以这样的两位数中，质数有3个． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，涉及到质数的性质．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意不要漏解． 【巩固】已知三个不同的质数a，b，c满足abbc+a＝2000，那么a+b+c＝　　． 二、奇数与偶数 【学霸笔记】 整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质: 1. 奇数≠偶数. 2. 两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下所示： 3. 若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数. 4.设m、n是整数，则，的奇偶性相同. 5.设m是整数，则m与的奇偶性相同. 【典例】已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S＝（a+2n+1）+（b+2n+2）+（c+2n+3），那么（　　） A．S是偶数 B．S是奇数 C．S的奇偶性与n的奇偶性相同 D．S的奇偶性不能确定 【分析】弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．可将3数相加，可知和为偶数，再根据三数和为偶数必有一数为偶数的性质可得积也为偶数． 【解答】解：（a+2n+1）+（b+2n+2）+（c+2n+3）＝a+b+c+6（n+1）． ∵a+b+c为偶数，6（n+1）为偶数， ∴a+b+c+6（n+1）为偶数 ∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数， ∴S是偶数．故选：A． 【点评】三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．三个数中有一个为偶数，则三数之积也为偶数 【巩固】已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc＝99，那么|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|的值等于　　． 三、数的十进制 【典例】用十进制计数法表示正整数，如365＝300+60+5＝3×102+6×101+5，用二进制计数法来表示正整数，如：5＝4+1＝1×22+0×21+1×20，记作：5＝（101）2，14＝8+4+2＝1×23+1×22+1×21+0×20，记作：14＝（1110）2，则（101011）2表示数（　　） A．24 B．42 C．43 D．61 【分析】根据二进制记数法可以得到（101011）2＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后计算即可求得． 【解答】解：（101011）2＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝32+8+2+1＝43， 故选：C． 【点评】本题考查了数的十进制，有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键，主要考查了学生的自学能力． 【巩固】（1）【归纳与发现】 ①填空：12＝3×4，1+2＝3×1；69＝3×　　，6+9＝3×　　； ②填空：312＝3×104，3+1+2＝3×2；504＝3×　　，5+0+4＝3×　 ． （2）【验证与说理】 ①试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除（是3的整数倍）； ②设是一个四位数（a，b，c，d分别为其千位，百位，十位，个位上的数字），若a+b+c+d可以被3整除，试说明可以被3整除． 四、数的整除性 【学霸笔记】 对于整数a和不为零的整数b，总存在整数m、n使得，其中m称为商，n称为余数，特别地，当n=0时，即a=bm，便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数)，记为. 整除有以下基本性质: 1. 若，则； 2. 若则； 3. 若且(a，c)=1，则，特别地，若质数，则必有或； 4. 若且(b，c)=1，则. 解整除有关问题常用到数的整除性常见特征: 1. 被2整除的数:个位数字是偶数； 2. 被5整除的数:个位数字是0或5； 3. 被4整除的数:末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除； 4. 被8整除的数:末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除: 5. 被3整除的数:数字和被3整除； 6. 被9整除的数:数字和被9整除； 7. 被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除 【典例】若x，y为整数，且2x+3y，9x+5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除． 【分析】先设u＝2x+3y，v＝9x+5y，假设17|u，把两式相减即可得到17|3v，即17|9x+5y，同理把两式相减消去x即可得到17|2x+3y． 【解答】证明：设u＝2x+3y，v＝9x+5y．若17|u，从上面两式中消去y，得 3v﹣5u＝17x．① 所以17|3v． 因为（17，3）＝1，所以17|v，即17|9x+5y． 若17|v，同样从①式可知17|5u． 因为（17，5）＝1， 所以17|u，即17|2x+3y． 【点评】本题考查的是数的整除性问题，属较简单题目． 【巩固】已知7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数． 五、带余除法 【学霸笔记】 用一个正整数b去除另一个正整数a，若商为q，余数为r，则有， 余数有以下基本性质: 1. ； 2. 一个正整数a被另一个正整数n(n>1)除时，余数只可能是0，1，2，…，(n一1)中的一个，这样我们可以把整数按余数来分类； 3. 若两个正整数a，b被m除所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作 a≡b(modm)，即(a-b)被m整除. 【典例】一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值． 【分析】这个数加1可以被9，8，7，6，5，4，3，2整除，只需要求出9、8、7、6、5、4、3、2的最小公倍数减一即可． 【解答】解：设这个自然数是N．根据题意，可知， 这个自然数加1就可以被9，8，7，6，5，4，3，2整除， ∴N就是9，8，7，6，5，4，3，2的最小公倍数减去1， ∴N＝3×3×2×2×2×7×5﹣1＝2519． 【点评】本题主要考查了整除的性质和求最小公倍数的方法．由每组的余数均比除数小1，可得原数+1可被2～10整除，故欲求N的最小值，只需求出2～10的最小公倍数，即N+1的最小值即可． 【巩固】若1059，1417，2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，求x﹣y的值． 模拟演练 1．如a、b、c是三个任意整数，那么、、（　　） A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数 2．正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，并且a+bc+b+ca＝24，则这样的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在1～2005的所有正整数中，共有 　 　个整数x，使33x+1和x3被5除的余数相同． 4．设四位数满足a3+b3+c3+d3+1＝10c+d，则这样的四位数的个数为　 　． 5．有若干个苹果，2个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，则这堆苹果最少有　 　个． 6．我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12，那么满足x|（y+1）与y|（x+1）的正整数组（x，y）共有 　 　组． 7．a，b，c都是质数，且满足a+b+c+abc＝99，则　 　． 8．从古至今，密码的使用在很多方面都发挥着极其重要的作用．有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序（自左至右、自上而下）与26个自然数1，2，3，…，25，26对应（见下表）． Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 设明文的任一字母对应的自然数为x，译为密文字母后对应的自然数为x'．例如，有一种译码方法按照以下变换实现：x→x'，其中x'是（3x+2）被26除所得的余数与1之和（1≤x≤26）． 则x＝1时，x'＝6，即明文Q译为密文Y；x＝10时，x'＝7，即明文P译为密文U． 现有某变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x'：x→x'，x'为（3x+b）被26除所得余数与1之和（1≤x≤26，1≤b≤26）． 已知运用此变换，明文H译为密文T，则明文DAY译成密文为　 　． 9．求证： （1）8|（551999+17）； （2）8（32n+7）； （3）17|（191000﹣1）． 10．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出5个数、、、与的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设N＝3194，请你当魔术师，求出数． 11．某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数． 12．设a，b是两个不相等的正整数，P为质数，满足b2+a＝p2，且是整数． （1）求证：a＞b； （2）求p的值； （3）求a，b的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题01 整数 真题重现 1．（2024七年级·全国·竞赛）上海世博会将于2010年5月1日至10月31日举行，截至2009年9月23日，已有242个国家和国际组织确认参加上海世博会．其中非洲个国家，美洲个国家，欧洲个国家，亚洲个国家，大洋洲个国家，国际组织个． 已知：（1）； （2）是完全平方数； （3）与242的最大公约数是22． 求的值． 【答案】， 【分析】本题考查完全平方数，公约数，解二元一次方程等，先由（1）（2）得出最小是最小是，进而结合（3）以及6个数之和为242确定d的值；再根据，确定；进而推出，由知或，分情况讨论得出a和c的值，即可求解． 【详解】解：， 由（3）知是整数． 由（1）、（2）知最小是最小是，则d最小是． 若，则最小是，，矛盾． 所以． 由（1）、（2）知， 若，则，矛盾． 所以，则． ， 由知或． 若，则①， ， 与奇偶性相同， 由（2）知是完全平方数，且，则②， 得，矛盾； 则③，， 与奇偶性相同， 由（2）知是完全平方数， 则④， 得． 综上：，． 考点突破 一、奇数与偶数 【学霸笔记】 一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫作质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数. 这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类: 质数、合数有下面常用的性质: 1. 1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数. 2. 若质数则必或. 3. 若正整数a，b的积是质数p，则必有a＝p或b＝p. 【典例】一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（　　） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个 【分析】设个位数为x，十位数为y，则这个两位数为10y+x，个位十位交换后两位数表示为10x+y，根据所得的数比原来的数大9列出方程，再根据未知数的取值确定符合质数的个数即可． 【解答】解：设原两位数的个位数为x，十位数为y（x，y为自然数），原两伴数为10y+x，新两位数为10x+y，根据题意得： 10x+y﹣（10y+x）＝9， 化简得：x﹣y＝1， 因为x，y为1﹣9内的自然数，两位数为质数且个位与十位上的数大1时，符合条件的数有23、67、89， 所以这样的两位数中，质数有3个． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，涉及到质数的性质．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意不要漏解． 【巩固】已知三个不同的质数a，b，c满足abbc+a＝2000，那么a+b+c＝　　． 【分析】由题设条件abbc+a＝2000得a（bbc+1）＝2000，注意到2000能够被8整除，由此推断a、（bbc+1）的奇偶性．以此为突破口，问题就迎刃而解了． 【解答】解：∵a（bbc+1）＝2000，∴a能被2000整除且a，b，c为不同的质数 ∴a＝2或5 当a＝2，bbc+1＝1000 ∴bbc＝999∴33×37＝999 ∴b＝3，c＝37 当a＝5，bbc+1＝400 ∴bbc＝399（不合题意） ∴a+b+c＝2+3+37＝42． 【点评】本题用到了：任何一个整数都能分解成质因数的连乘积，这种分解式是唯一的． 二、奇数与偶数 【学霸笔记】 整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质: 1. 奇数≠偶数. 2. 两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下所示： 3. 若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数. 4.设m、n是整数，则，的奇偶性相同. 5.设m是整数，则m与的奇偶性相同. 【典例】已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S＝（a+2n+1）+（b+2n+2）+（c+2n+3），那么（　　） A．S是偶数 B．S是奇数 C．S的奇偶性与n的奇偶性相同 D．S的奇偶性不能确定 【分析】弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．可将3数相加，可知和为偶数，再根据三数和为偶数必有一数为偶数的性质可得积也为偶数． 【解答】解：（a+2n+1）+（b+2n+2）+（c+2n+3）＝a+b+c+6（n+1）． ∵a+b+c为偶数，6（n+1）为偶数， ∴a+b+c+6（n+1）为偶数 ∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数， ∴S是偶数．故选：A． 【点评】三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．三个数中有一个为偶数，则三数之积也为偶数 【巩固】已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc＝99，那么|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|的值等于　　． 【分析】通过讨论判断出a、b、c中只有一个数为奇数，又知偶数质数仅有2一个，可推出a＝b＝2，c＝19． 【解答】解：a+b+c+abc这个式子，在a、b、c都是整数时有如下特性， a、b、c三个数全为奇数时值为偶数； 只有两个数为奇数时值为偶数； 只有一个数为奇数时值为奇数； 全为偶数时值为偶数； a+b+c+abc＝99，因此只有一个数为奇数， 而偶数质数仅有2一个， 因此不妨设a＝b＝2， 则c＝19，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝34． 故答案为：34． 【点评】此题考查了质数与合数的概念，2在解题中起着重要作用．解题时要侧重于逻辑推理，这也是竞赛题的精彩之处． 三、数的十进制 【典例】用十进制计数法表示正整数，如365＝300+60+5＝3×102+6×101+5，用二进制计数法来表示正整数，如：5＝4+1＝1×22+0×21+1×20，记作：5＝（101）2，14＝8+4+2＝1×23+1×22+1×21+0×20，记作：14＝（1110）2，则（101011）2表示数（　　） A．24 B．42 C．43 D．61 【分析】根据二进制记数法可以得到（101011）2＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后计算即可求得． 【解答】解：（101011）2＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝32+8+2+1＝43， 故选：C． 【点评】本题考查了数的十进制，有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键，主要考查了学生的自学能力． 【巩固】（1）【归纳与发现】 ①填空：12＝3×4，1+2＝3×1；69＝3×　　，6+9＝3×　　； ②填空：312＝3×104，3+1+2＝3×2；504＝3×　　，5+0+4＝3×　 ． （2）【验证与说理】 ①试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除（是3的整数倍）； ②设是一个四位数（a，b，c，d分别为其千位，百位，十位，个位上的数字），若a+b+c+d可以被3整除，试说明可以被3整除． 【分析】（1）①②根据有理数的加法法则、乘法法则计算； （2）利用数的十进制表示出2325，根据数的整除解答； ②利用数的十进制表示出，再根据数的整除解答． 【解答】解（1）①12＝3×4，1+2＝3×1；69＝3×23，6+9＝3×5； ②312＝3×104，3+1+2＝3×2；504＝3×168，5+0+4＝3×3， 故答案为：①23，5；②168，3； （2）①2325＝2×1000+3×100+2×10+5×1 ＝2×（999+1）+3×（99+1）+2×（9+1）+5 ＝2×999+2+3×99+3+2×9+2+5 ＝（2×999+3×99+2×9）+（2+3+2+5） ＝3（2×333+3×33+2×3）+3×4， ∵2×333+3×33+2×3为整数，4为整数， ∴2325可以被3整除， 2+3+2+5＝12＝3×4，3×4能被3整除， ∴2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除； ②abcd＝1000a+100b+10c+d ＝a（999+1）+b（99+1）+c（9+1）+d ＝999a+a+99b+b+9c+c+d ＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d） ＝3（333a+33b+3c）+（a+b+c+d）， ∵a，b，c，d为整数， ∴333a+33b+3c 是整数， ∴3×（333a+33b+3c）能被3整除， ∴若 a+b+c+d 能被3整除，则abcd可以被3整除． 【点评】本题考查的是数的十进制、数的整除，正确利用数的十进制表示数是解题的关键． 四、数的整除性 【学霸笔记】 对于整数a和不为零的整数b，总存在整数m、n使得，其中m称为商，n称为余数，特别地，当n=0时，即a=bm，便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数)，记为. 整除有以下基本性质: 1. 若，则； 2. 若则； 3. 若且(a，c)=1，则，特别地，若质数，则必有或； 4. 若且(b，c)=1，则. 解整除有关问题常用到数的整除性常见特征: 1. 被2整除的数:个位数字是偶数； 2. 被5整除的数:个位数字是0或5； 3. 被4整除的数:末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除； 4. 被8整除的数:末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除: 5. 被3整除的数:数字和被3整除； 6. 被9整除的数:数字和被9整除； 7. 被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除 【典例】若x，y为整数，且2x+3y，9x+5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除． 【分析】先设u＝2x+3y，v＝9x+5y，假设17|u，把两式相减即可得到17|3v，即17|9x+5y，同理把两式相减消去x即可得到17|2x+3y． 【解答】证明：设u＝2x+3y，v＝9x+5y．若17|u，从上面两式中消去y，得 3v﹣5u＝17x．① 所以17|3v． 因为（17，3）＝1，所以17|v，即17|9x+5y． 若17|v，同样从①式可知17|5u． 因为（17，5）＝1， 所以17|u，即17|2x+3y． 【点评】本题考查的是数的整除性问题，属较简单题目． 【巩固】已知7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数． 【分析】7位数能被8，9整除，运用整数能被8、9整除的性质讨论x和y的取值组合，从而得出答案． 【解答】解：∵72|， ∴8|，9|， 由此得：1+2+8+7+x+y+6＝24+x+y是9的倍数，而0＜x≤9，0＜y≤9， 则x+y＝3或12，又必是8的倍数，必是4的倍数， 则y＝1，3，5，7或9， 当y＝1时，x＝2，8|216； 当y＝3时，x＝0或9，8不能整除36（不符合题意），8|936（符合题意）； 当y＝5时，x＝7，8不能整除756（不符合题意）； 当y＝7时，x＝5，8|576； 当y＝9时，x＝3，8不能整除396（不符合题意）； 综上可得：当y＝1，x＝2；y＝3，x＝9，y＝7，x＝5时所得的7位数满足条件． ∴符合条件的7位数为：1287216，1287936，1287576． 【点评】本题考查了数的整除性的知识，难度较大，关键是根据整除的知识得到x+y的可能值及y的可能值，然后分类讨论可能性． 五、带余除法 【学霸笔记】 用一个正整数b去除另一个正整数a，若商为q，余数为r，则有， 余数有以下基本性质: 1. ； 2. 一个正整数a被另一个正整数n(n>1)除时，余数只可能是0，1，2，…，(n一1)中的一个，这样我们可以把整数按余数来分类； 3. 若两个正整数a，b被m除所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作 a≡b(modm)，即(a-b)被m整除. 【典例】一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值． 【分析】这个数加1可以被9，8，7，6，5，4，3，2整除，只需要求出9、8、7、6、5、4、3、2的最小公倍数减一即可． 【解答】解：设这个自然数是N．根据题意，可知， 这个自然数加1就可以被9，8，7，6，5，4，3，2整除， ∴N就是9，8，7，6，5，4，3，2的最小公倍数减去1， ∴N＝3×3×2×2×2×7×5﹣1＝2519． 【点评】本题主要考查了整除的性质和求最小公倍数的方法．由每组的余数均比除数小1，可得原数+1可被2～10整除，故欲求N的最小值，只需求出2～10的最小公倍数，即N+1的最小值即可． 【巩固】若1059，1417，2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，求x﹣y的值． 【分析】设已知三数除以x的商分别为自然数a、b、c，根据题干条件1059、1417和2312分别被自然数x除时，所得余数都是自然数y，于是可列式ax+y＝1059，①bx+y＝1417，②cx+y＝2312，③根据这三个式子求出x和y的值． 【解答】解：设已知三数除以x的商分别为自然数a、b、c，则可得 ax+y＝1059①， bx+y＝1417②， cx+y＝2312③， ②﹣①得，（b﹣a）x＝358＝2×179④， ③﹣②得，（c﹣b）x＝895＝5×179⑤， ⑤﹣①得，（c﹣a）x＝1253＝7×179⑥， 从④、⑤、⑥三式可知，x＝179， ∴1059＝179×5+164， ∴y＝164， ∴x﹣y＝179﹣164＝15． 【点评】本题主要考查数的整除性，解答本题的关键是设已知三数除以x的商分别为自然数a、b、c，根据题干条件列出方程，此题难度不大 模拟演练 1．如a、b、c是三个任意整数，那么、、（　　） A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数 【分析】分三种情况讨论：①假设a，b，c都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【解答】解：假设a，b，c都是偶数或都是奇数，则a+b，b+c，a+c都是偶数，那么、、都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么、、有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么、、有一个是整数， 综上所述：、、至少有一个是整数， 故选：C． 【点评】本题考查了整数的奇偶性问题，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 2．正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，并且a+bc+b+ca＝24，则这样的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先将a+bc+b+ca＝24 可以化为 （a+b）（c+1）＝24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案． 【解答】解：a+bc+b+ca＝24 可以化为 （a+b）（c+1）＝24，其中a，b，c都是正整数，并且其中两个数相等， 令a+b＝A，c+1＝C 则A，C为大于2的正整数， 那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12， ①、A＝2，C＝12时，c＝11，a+b＝2，无法得到满足等腰三角形的整数解； ②、A＝3，C＝8时，c＝7，a+b＝3，无法得到满足等腰三角形的整数解； ③、A＝4，C＝6时，c＝5，a+b＝4，无法得到满足等腰三角形的整数解； ④、A＝6，C＝4时，c＝3，a+b＝6，可以得到a＝b＝c＝3，可以组成等腰三角形； ⑤、A＝8，C＝3时，c＝2，a+b＝8，可得a＝b＝4，c＝2，可以组成等腰三角形，a＝b＝4是两个腰； ⑥、A＝12，C＝2时，可得 a＝b＝6，c＝1，可以组成等腰三角形，a＝b＝6是两个腰． ∴一共有3个这样的三角形． 故选：C． 【点评】本题考查数的整除性及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键． 3．在1～2005的所有正整数中，共有 　332　个整数x，使33x+1和x3被5除的余数相同． 【分析】首先求出33x+1除以5的余数和x3除以5的余数，分别求出余数的循环节，然后比较相等个数的余数中，有几个数让33x+1和x3被5除的余数相同，根据规律，求出总数． 【解答】解：33x+1除以5的余数， 依次为1、2、4、3、1、2、4、3… 4个数为一个循环， x3除以5的余数， 依次为1、3、2、4、0、1、3、2、4、0、1、3、2、4、0、3、3、2、4、0… 显然5个数为一个循环， 依次为1、3、2、4、0， 这样，我们考虑20个数的循环， 33x+1除以5的余数：1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3； x3除以5的余数：1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0； 对比可以看出第1、12、18、19这几个数，使33x+1和x3被5除的余数相同， 即20个数的一个循环中，有4个数符合要求， 即2005＝20×100+5， 前5个数中有1个符合要求， 故满足要求的总数为100×4+1＝401（个）， 故答案为401． 【点评】本题主要考查同余问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握带余除法的知识，此题比较简单． 4．设四位数满足a3+b3+c3+d3+1＝10c+d，则这样的四位数的个数为　5　． 【分析】首先根据题意确定a，b，c，d的取值范围，再分类讨论求解即可． 【解答】解：根据题意可得：a，b，c，d是小于10的自然数， ∵a3+b3+c3+d3+1＝10c+d， ∴可得a3+b3+c3+d3+1是两位数， ∴a，b，c，d均为小于5的自然数， ∴如果c＝1，d＝0，则a＝2，b＝0，此时这个四位数为2010， 如果c＝1，d＝1，则a＝2，b＝0，此时这个四位数为2011， 如果c＝1，d＝2，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1112， 如果c＝2，找不到符合要求的数， 如果c＝3，d＝0，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1130， 如果c＝3，d＝1，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1131， 如果c＝4，则c3＝64，不符合题意， 故此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131． 故答案为：5． 【点评】此题考查了数字的表示方法与有关性质．解此题的关键是依据已知，求得a，b，c，d的取值范围，利用分类讨论思想求解． 5．有若干个苹果，2个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，则这堆苹果最少有　61　个． 【分析】设这堆苹果最少有x个，2个一堆是q1堆，3个一堆是q2堆，4个一堆是q3堆，5个一堆是q4堆，6个一堆是q5堆，根据题意列出方程组，把x﹣1与q转化为最小公倍数关系，即可求出x的最小值． 【解答】解：设这堆苹果最少有x个，依题意得 ，所以 由此可见，x﹣1是2，3，4，5，6的最小公倍数 因为2、3、4、5、6的最小公倍数是60，所以x﹣1＝60，即x＝61 故答案为：61个． 【点评】本题考查的是带余数的除法，根据题意列出方程组是解答此题的关键． 6．我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12，那么满足x|（y+1）与y|（x+1）的正整数组（x，y）共有 　5　组． 【分析】根据满足x|（y+1）与y|（x+1），因而x与y的差一定是1或相等，据此即可进行讨论即可． 【解答】解：根据满足x|（y+1）与y|（x+1），因而x与y的差一定是1或相等． 可以验证（1，1）（1，2）（2，1）（2，3）（3，2）满足条件， 当x＞3以后（x，x+1）以及（x，x）（x，x﹣1）都不满足条件． 故共有5组，分别是（1，1）（1，2）（2，1）（2，3）（3，2）． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了数的整除性，根据x|（y+1）与y|（x+1），得到x与y的差一定是1或相等，是解题的关键． 7．a，b，c都是质数，且满足a+b+c+abc＝99，则　　． 【分析】先根据假设a，b，c都是奇数，判断出与已知相矛盾，可得出a，b，c中必有两个偶数是2，再求出另一个数的值，代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：若a，b，c都是奇数，那么abc也为奇数，则a+b+c+abc为偶数，与a+b+c+abc＝99矛盾， ∴a，b，c中必有一个偶数， 又∵a，b，c都是质数， ∴a，b，c中必有一个偶数是2， 令a＝2，则b+c+2bc＝97， 同理，若b，c都是奇数，则bc为奇数，则b+c+2bc为偶数，与b+c+2bc＝97矛盾， ∴b，c中也必有一个偶数，则偶数必是2， 令b＝2，可得c＝19， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查的是质数与合数，熟知“在所有质数中只有2是偶数”是解答此题的关键． 8．从古至今，密码的使用在很多方面都发挥着极其重要的作用．有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序（自左至右、自上而下）与26个自然数1，2，3，…，25，26对应（见下表）． Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 设明文的任一字母对应的自然数为x，译为密文字母后对应的自然数为x'．例如，有一种译码方法按照以下变换实现：x→x'，其中x'是（3x+2）被26除所得的余数与1之和（1≤x≤26）． 则x＝1时，x'＝6，即明文Q译为密文Y；x＝10时，x'＝7，即明文P译为密文U． 现有某变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x'：x→x'，x'为（3x+b）被26除所得余数与1之和（1≤x≤26，1≤b≤26）． 已知运用此变换，明文H译为密文T，则明文DAY译成密文为　CHQ　． 【分析】根据明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x'：x→x'，x'为（3x+b）被26除所得余数与1之和（1≤x≤26，1≤b≤26）推知[（3×13+b）﹣4]是26的倍数即可得出b的值，易得结果． 【解答】解：∵明文H译为密文T， 即H为16，T为5， ∴（16×3+b）÷26＝n…4， ∴b＝8， 根据题意，D为13，则（3×13+8）÷26＝1…21， 21+1＝22， ∴D译文为C， 同理：A译文为H，Y译文为Q， 故答案为CHQ． 【点评】此题以密码知识为载体，考查了同学们的逻辑推理能力，要明确带余除法的意义，可为解题指明方向． 9．求证： （1）8|（551999+17）； （2）8（32n+7）； （3）17|（191000﹣1）． 【分析】（1）根据55+1能被8整除可得出551999+1也能被8整除，进而可得出答案； （2）先根据32﹣1＝9﹣1＝8能被8整除可得出32n﹣1能被8整除，故32n﹣1+8能被8整除，即32n+7能被8整除； （3）根据19﹣2＝17能被17整除，可知194﹣（24+1）能被17整除，进而可得出（194）250+1250﹣2能被17整除，故可得出结论． 【解答】证明：（1）∵55+1能被8整除， ∴551999+1也能被8整除， ∵16能被8整除， ∴551999+1+16＝551999+17能被8整除； （2）∵32﹣1＝9﹣1＝8能被8整除， ∴32n﹣1能被8整除， ∴32n﹣1+8能被8整除， 即32n+7能被8整除； （3）∵19﹣2＝17能被17整除， ∴194﹣（24+1）能被17整除， ∵191000＝（194）250+1250﹣2能被17整除， ∴17|（191000﹣1）． 【点评】本题考查的是同余问题，熟知同余问题的等价关系式解答此题的关键． 10．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出5个数、、、与的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设N＝3194，请你当魔术师，求出数． 【分析】根据题意可以列出3194，然后依题解得a+b+c的值，最后算出． 【解答】解：由3194， 222×（a+b+c）＝3194+100a+10b+c，3194÷222＝14…86， ∴a+b+c＞14 当a+b+c＝15时，15×222﹣3194＝3330﹣3194＝136，而1+3+6≠15，故错误． 当a+b+c＝16时，16×222﹣3194＝358； 当a+b+c＝17时，17×222﹣3194＝580，5+8+0≠17，不合题意； 当a+b+c＝18时，18×222﹣3194＝802，8+0+2≠18，不合题意； 当a+b+c≥19时，1000，不合题意． ∴136+222＝358． 【点评】本题主要考查整数的十进制表示法的知识点，此题难度较大，解题的关键是求出a+b+c的值． 11．某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数． 【分析】由题意得，每一个学生的得分＝选对所得分数+不答所得分数﹣选错扣的分数，据此可得每一个学生的得分都是偶数，从而得出全体学生的得分总和一定是偶数． 【解答】证明：我们证明每一个学生的得分都是偶数． 设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有（40﹣a﹣b）道题没有答．于是此人的得分是 5a+（40﹣a﹣b）﹣b＝4a﹣2b+40， 这是一个偶数． 所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数． 【点评】此题结合实际问题考查整数的奇偶性问题，解答此题的关键是理清题意，找准代数式，得到每一个学生的得分都是偶数． 12．设a，b是两个不相等的正整数，P为质数，满足b2+a＝p2，且是整数． （1）求证：a＞b； （2）求p的值； （3）求a，b的值． 【分析】（1）运用不等式的性质和因式分解，由1可推出a＞b，从而解决问题； （2）设k（其中k＞1，k为正整数），则有a2+b＝k（b2+a）＝kp2，与条件“b2+a＝p2”结合，可得p2．若为正整数，则与a+b﹣1中有一个是1，另一个是p2，或两个都是p；若是正整数，则a﹣b与中有一个是1，另一个是p2，或两个都是p．只需通过分类讨论就可解决问题； （3）由（2）可知，只有当a﹣b＝p时，存在正整数a、b及质数p，使得条件成立，此时（a﹣b）2＝p2＝b2+a，整理得a＝2b+1，从而得到k4．由k是大于1的正整数可得是小于3的正整数，从而求出b，就可得到a． 【解答】解：（1）∵a，b是两个不相等的正整数， ∴a2+b，b2+a都是正整数，a+b﹣1＞0． ∵是整数， ∴1， ∴a2+b≥b2+a， ∴a2+b﹣b2﹣a＝（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣1）≥0， ∵a+b﹣1＞0，a≠b， ∴a＞b； （2）设k（其中k＞1，k为正整数）， 则有a2+b＝k（b2+a）＝kp2， ∴（k﹣1）p2＝kp2﹣p2＝a2+b﹣b2﹣a＝（a﹣b）（a+b﹣1）， ∴p2． ∵P是质数， ∴p2＝1×p2＝p×p． ①1且a+b﹣1＝p2， 此时a+b﹣1＝p2＝b2+a，整理得b2﹣b+1＝0， 方程无解． ②p2且a+b﹣1＝1， 此时a+b＝2，与条件“a、b为不相等的正整数”矛盾； ③a+b﹣1＝p， 此时（a+b﹣1）2＝p2＝b2+a， ∴a＝（a+b﹣1）2﹣b2＝（a+2b﹣1）（a﹣1）， ∴a+2b﹣11． ∵a+2b﹣1为整数， ∴也是整数， ∴正整数a＝2． ∵a＞b， ∴正整数b＝1， ∴p＝a+b﹣1＝2， ∴2， ∴k，与k为正整数矛盾； ④1且a﹣b＝p2， 此时a﹣b＝p2＝b2+a， 整理得b2+b＝0， 解得b1＝0，b2＝﹣1， 与b为正整数矛盾； ⑤p2且a﹣b＝1， 此时a＝b+1， k ＝1 ∵b2+b+1﹣2b＝b2﹣b+1＝（b）20， ∴b2+b+1＞2b＞0， ∴1， ∴k＜2， 与“k是大于1的正整数”矛盾； ⑥a﹣b＝p， 此时（a﹣b）2＝p2＝b2+a， 整理得a＝2b+1， 则k 4． ∵k是大于1的正整数， ∴是小于3的正整数， ∴整数b+1＝3， ∴b＝2， ∴a＝2b+1＝5， ∴p＝a﹣b＝3． 综上所述：p＝3； （3）由（2）可知， 只有当a﹣b＝p时，存在正整数a、b及质数p，使得条件成立， 此时（a﹣b）2＝p2＝b2+a，整理得a＝2b+1， 则k 4． ∵k是大于1的正整数， ∴是小于3的正整数， ∴整数b+1＝3， ∴b＝2， ∴a＝2b+1＝5． 【点评】本题考查了质数与合数、质因数的分解、因式分解、分式的分解等知识，难度比较大，在解决问题的过程中用到了分类讨论、转化（将一个分式转化为一个整数与一个分子是整数的简单分式的和）、反证法等重要的数学思想方法，应学会使用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$