专题04 二次函数与一元二次方程（5基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题04 二次函数与一元二次方程 抛物线与x、y轴的交点问题 1．（2023秋•雨花区期末）如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•雨花区期末）抛物线与轴的两交点之间的距离是　　 A．1 B．3 C．5 D．6 3．（2023春•雨花区校级期末）关于二次函数，下列说法错误的是　　 A．图象开口向下 B．图象顶点坐标是 C．当时，随增大而减小 D．图象与轴有两个交点 4．（2021秋•岳麓区校级期末）抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，那么抛物线与轴的另一个交点坐标为　　 A． B． C． D．， 5．（2023春•长沙期末）已知二次函数，其与轴有 　 　个交点． 6．（2023春•雨花区校级期末）（1）已知，，均为实数，且，求关于的方程的根． （2）已知二次函数的图象经过，，三点，求该二次函数的解析式． 图象法确定一元二次方程的根 1．（2022秋•望城区期末）已知二次函数为常数）的图象上一点为，则关于的一元二次方程的两实数根是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2023春•雨花区校级期末）四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线；乙同学发现当时，；丙同学发现函数的最小值为；丁同学发现是一元二次方程的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 4．（2022春•开福区校级期末）将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若直线与这个图象恰好有3个公共点，则的值为 　 　． 5．（2022秋•望城区期末）已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）方程是否有实数根？如有，请求出它的实数根． （3）当时，求的取值范围（直接写出结果）． 二次函数与不等式 1．（2023秋•雨花区期末）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围是　　． 2．（2022春•长沙期末）若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 　 　 ． 3.（2022春•开福区校级期末）已知抛物线与轴最多有一个交点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴在轴左侧； ②关于的方程无实数根； ③； ④的最小值为3． 其中，正确结论的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2021秋•长沙县期末）已知二次函数． （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）试画出该函数的草图，并说明二次函数的图象是由的图象先向 　 　平移 　　个单位，再向 　　 　　个单位得到； （3）结合图象直接写出当时，自变量的取值范围． 5．（2024·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 6．（2024·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 7．（2024·安徽阜阳·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并用描点法画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 y … (2)观察图象，直接写出当时，y的取值范围为 ． 根据图表获取二次函数性质问题 1．（2023春•芙蓉区校级期末）表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： 0 1 3 6 下列各选项中，正确的是　　 A．这个函数的最小值为 B．这个函数的图象开口向下 C．这个函数的图象与轴无交点 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（2022春•长沙期末）二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： 0 1 2 2 2 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，． 其中正确的结论是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 二次函数与一次函数综合 1．（2022秋•雨花区期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过、两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求抛物线与轴的另一交点及其顶点的坐标． 2．（2023春•雨花区校级期末）如图，抛物线交轴正半轴于点，直线经过抛物线的顶点．已知该抛物线的对称轴为直线，交轴于点． （1）求点的坐标及，的值； （2）是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接，．设点的横坐标为，的面积为，当为多少时，． 求x轴与抛物线的截线长 1．（2021秋•开福区校级期末）已知抛物线与轴交于、两点，若点的坐标为，则线段的长为 　 　． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定：抛物线与轴的两个交点以及顶点构成的三角形称为“顶点三角形”，若顶点三角形为等边三角形，则称该抛物线为“正抛物线”（如图3），若顶点三角形为等腰直角三角形，则称该抛物线为“正直抛物线”（如图2）． (1)如图1，已知，是线段的中点，，，求证：以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； (2)若点与点在“正直抛物线”上，求该“正直抛物线”的解析式； (3)已知：与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为，将抛物线图象中在直线上方的图象沿直线向下翻折，当直线与翻折后的图象有个交点时，求的取值范围． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 动点与最值问题 1．（2023秋•长沙期末）如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连接．则线段的最大值是　　 A．3 B． C． D．5 2．（24-25九年级上·天津·期中）如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 3．（2024·河北沧州·期中）抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． (1)求k，b的值； (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交AB于点E，，垂足为点F，当时，求点F的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点M，直接写出的面积． 4．（2024·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，抛物线与y轴交于点C，交x轴于A、B两点（A在B的左边），点E为抛物线第一象限上一动点． (1)直接写出A，B两点坐标； (2)连接，过点E作轴交于点F． ①当时，求点E的坐标； ②连接，，得到，求的面积的最大值． 新定义问题 1．（2023春•雨花区校级期末）新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，2， （1）二次函数的“图象数”为 　 　． （2）若“图象数”是，，的二次函数的图象与轴只有一个交点，求的值． 2．（2022春•长沙期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长． （1）求抛物线的雅礼弦长； （2）求抛物线的雅礼弦长的取值范围； （3）设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值． 3．（2024·北京东城·期中）设、是任意两个实数，定义符号的含义为：当时，；当时，．例如：． 参照上面的材料，解答下列问题： (1) ． (2)若，求的取值范围． (3)①写出函数与的图像的交点坐标 ． ②根据函数和的图像写出当 时，的最大值为 ． 41．（2024·江苏苏州·期中）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图像的“2倍点”．例如，点是函数的图像的“2倍点”． (1)一次函数的图像的“2倍点”的坐标是________，二次函数的图像的“2倍点”的坐标是________； (2)若关于x的二次函数（c为常数）的图像在上存在两个“2倍点”，求c的取值范围； (3)设关于x的函数的图像上有且只有一个“2倍点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图像上有两个“2倍点”分别为点B，点C（点B在点C的左侧），且，求m，n的值． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数与一元二次方程 抛物线与x、y轴的交点问题 1．（2023秋•雨花区期末）如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【解答】解：抛物线对称轴为直线，点坐标为， 由抛物线的对称性可得图象与轴另一交点坐标为， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称． 2．（2024春•雨花区期末）抛物线与轴的两交点之间的距离是　　 A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】 【分析】首先根据题意可得到方程，然后再解方程得到的值，进而得到交点坐标，从而得到答案． 【解答】解：抛物线与轴有两个交点， ， 解得：，， 两个交点坐标是，，， 两个交点之间的距离是5， 故选：． 【点评】此题主要考查了抛物线与轴的交点，关键是掌握求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标． 3．（2023春•雨花区校级期末）关于二次函数，下列说法错误的是　　 A．图象开口向下 B．图象顶点坐标是 C．当时，随增大而减小 D．图象与轴有两个交点 【答案】 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【解答】解：因为，所以图象开口向下， 故正确； 顶点坐标是， 故正确； 抛物线对称轴为． 当时，随增大而减小， 当时，随增大而减小， 故正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为 抛物线与轴没有交点， 故错误； 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 4．（2021秋•岳麓区校级期末）抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，那么抛物线与轴的另一个交点坐标为　　 A． B． C． D．， 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性解答即可． 【解答】解：与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故选：． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键． 5．（2023春•长沙期末）已知二次函数，其与轴有 　两　个交点． 【答案】两． 【分析】先令，然后计算△的值，即可判断该函数与轴的交点个数． 【解答】解：二次函数， 当时，， △， 该函数与轴有两个交点， 故答案为：两． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答． 6．（2023春•雨花区校级期末）（1）已知，，均为实数，且，求关于的方程的根． （2）已知二次函数的图象经过，，三点，求该二次函数的解析式． 【分析】（1）利用非负数的性质得到，，，再求出、、，从而确定一元二次方程，然后利用公式法解方程； （2）设交点式，然后把代入求出即可． 【解答】解：（1）， ，，， ，，， 关于的方程化为， △， ， ，； （2）设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 即． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了非负数的性质． 图象法确定一元二次方程的根 1．（2022秋•望城区期末）已知二次函数为常数）的图象上一点为，则关于的一元二次方程的两实数根是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出点的对称点，即可得出关于的一元二次方程的实数根． 【解答】解：， 对称轴为直线， 点关于直线的对称点为， 关于的一元二次方程的两实数根是，， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，把关于的一元二次方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标是解题关键． 2．（2023春•雨花区校级期末）四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线；乙同学发现当时，；丙同学发现函数的最小值为；丁同学发现是一元二次方程的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】 【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成立． 【解答】解：当甲同学的结论正确， 即当函数的对称轴是直线时，， 即； 当乙同学的结论正确， 即当时，时，， 可得； 当丙同学的结论正确， 即当函数的最小值为时，， 可得； 当丁同学的结论正确， 即当时，一元二次方程的一个根时，， 可得； 根据和不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的， 假设丁同学的结论错误，联立和， 得，，不满足， 故假设不成立； 假设乙同学的结论错误，联立和， 得，，此时满足， 故假设成立； 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键． 3．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】求二次函数与一次函数的交点坐标时，联立方程求解，求出的坐标既在二次函数上也在一次函数上，当时，求出来的就是交点的横坐标． 【解答】解：当时，即二次函数与一次函数的交点坐标的横坐标的值， 即和3， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数与一次函数的交点坐标问题，明白当时，求出来的就是交点的横坐标是关键． 4．（2022春•开福区校级期末）将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若直线与这个图象恰好有3个公共点，则的值为 　或　． 【答案】或． 【分析】分类讨论直线与抛物线相切，直线经过抛物线与轴交点，结合图象求解． 【解答】解：当直线与抛物线相切时满足题意， 令，整理得， △， 解得， 令， 解得，， 抛物线与轴交点坐标为，， 当直线经过时符合题意． 将代入得， 解得， 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． 5．（2022秋•望城区期末）已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）方程是否有实数根？如有，请求出它的实数根． （3）当时，求的取值范围（直接写出结果）． 【答案】（1）； （2）有，，； （3）． 【分析】（1）把代入，再解方程可得答案； （2）先利用根的判别式判断方程有根，再由，再利用因式分解的方法解方程即可； （3）先画的简易图象，再利用函数图象可得答案． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过点， ， 解得：． （2）， ， 则△， 方程有实数根， 由， 则， 解得：，． （3）由（1）得：， 对称轴为直线， ，即顶点坐标为， 由（2）得：函数与轴的交点坐标为：，； 如图， 当时，的取值范围为． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，利用待定系数法求解抛物线的解析式，一元二次方程的解法，正确利用二次函数的图象确定函数值小于0时，自变量的取值范围，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． 二次函数与不等式 1．（2023秋•雨花区期末）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围是　　． 【分析】若二次函数的图象与轴没有交点，则一元二次方程的判别式小于0，从而求得的取值范围． 【解答】解：二次函数的图象与轴没有交点， 令时，的判别式△， 即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，注：当抛物线与轴有两个交点时，一元二次方程有两个不等的实数根即△；当抛物线与轴有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根即△； 当抛物线与轴无交点时，一元二次方程无实数根即△． 2．（2022春•长沙期末）若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 　　． 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，可知判别式△，列出不等式并解之即可求出的取值范围． 【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点， △， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键． 3.（2022春•开福区校级期末）已知抛物线与轴最多有一个交点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴在轴左侧； ②关于的方程无实数根； ③； ④的最小值为3． 其中，正确结论的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】从抛物线与轴最多一个交点及，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在轴左侧，并得到，从而得到①②为正确；由及时都大于或等于零可以得到③④正确． 【解答】解： ， 所以①正确； 抛物线与轴最多有一个交点， ， 关于的方程中，△， 所以②正确； 及抛物线与轴最多有一个交点， 取任何值时， 当时，； 所以③正确； 当时， 所以④正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确的符号决定了抛物线开口方向；、的符号决定对称轴的位置；抛物线与轴的交点个数，决定了的符号． 4．（2021秋•长沙县期末）已知二次函数． （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）试画出该函数的草图，并说明二次函数的图象是由的图象先向 　左　平移 　　个单位，再向 　　平移 　　个单位得到； （3）结合图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）图象见解析；左，1；下，1； （3）全体实数． 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解顶点坐标； （2）由题意画出图象，根据抛物线的平移规律可得出答案； （3）通过观察抛物线在轴下方的取值范围求解． 【解答】解：（1）， 该函数图象的顶点坐标为； （2）画出该函数的草图如下： 二次函数的图象是由的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到； 故答案为：左，1；下，1； （3）观察图象可知：当时，自变量的取值范围为全体实数． 【点评】本题考查二次函数的性质，抛物线的平移，二次函数与轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 5．（2024·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 6．（2024·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 7．（2024·安徽阜阳·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并用描点法画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 y … (2)观察图象，直接写出当时，y的取值范围为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了函数图象的知识，熟练掌握描点法绘制函数图象是解题关键． （1）完成表格，用描点法画出函数图象即可； （2）结合函数图象，即可获得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 表格如下， …… 0 1 2 3 …… …… 0 3 4 3 0 …… 根据列表，画出这个二次函数的图象如下图： （2）由函数图象可知，当时，的取值范围为． 故答案为：． 根据图表获取二次函数性质问题 1．（2023春•芙蓉区校级期末）表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： 0 1 3 6 下列各选项中，正确的是　　 A．这个函数的最小值为 B．这个函数的图象开口向下 C．这个函数的图象与轴无交点 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】 【分析】根据抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点可得抛物线开口向上，进而求解． 【解答】解：抛物线经过点，， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过点， 当时，随增大而减小， 抛物线开口向上， 时，随增大而增大， 当时，随增大而增大， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 2．（2022春•长沙期末）二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： 0 1 2 2 2 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，． 其中正确的结论是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】 【分析】根据待定系数法得到二次函数为：，根据题意代入时，得到，解不等式求得，进一步求得，，即可判断①；由表格数据可知，，即可得出，由，即可得出，即可判断②；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴负半轴交点横坐标在和0之间，即可判断③；由，根据图象上点的坐标特征求得即可判断④． 【解答】解：将，代入得：， 解得， 二次函数为：， 当时，对应的函数值， ， ， ，即， ，，， ，故①不正确； 时，时， ，， ， ， ，故②正确； 抛物线过，， 抛物线对称轴为， 又当时，对应的函数值， 根据对称性：当时，对应的函数值， 而时， 抛物线与轴负半轴交点横坐标在和0之间， 关于的方程的负实数根在和0之间，故③正确； 和在该二次函数的图象上， ，， 若，则， 即， ， ， 解得，故④正确， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式． 二次函数与一次函数综合 1．（2022秋•雨花区期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过、两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求抛物线与轴的另一交点及其顶点的坐标． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）利用一次函数解析式确定、的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）将（1）中抛物线解析式转化为顶点式，即可得到抛物线顶点坐标和抛物线的对称轴，由抛物线的对称性质求得点的坐标即可． 【解答】解：（1）当时，，则； 当时，， 解得， 则． 把，代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （2）由知，． 点与点关于直线对称， ． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，解题过程中注意配方法的应用． 2．（2023春•雨花区校级期末）如图，抛物线交轴正半轴于点，直线经过抛物线的顶点．已知该抛物线的对称轴为直线，交轴于点． （1）求点的坐标及，的值； （2）是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接，．设点的横坐标为，的面积为，当为多少时，． 【分析】（1）通过直线确定点的坐标，然后利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列关于、的方程组，再解方程组得到、的值； （2）设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出即可得到满足条件的的值． 【解答】解：（1）将代入得 ， 根据题意得，解得； （2）抛物线解析式为， 设， ， ， 解得，， 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧， 的值为． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 求x轴与抛物线的截线长 1．（2021秋•开福区校级期末）已知抛物线与轴交于、两点，若点的坐标为，则线段的长为 　 　． 【分析】将点的坐标代入抛物线解析式可求得，再令，可求得点的坐标，即可求得答案． 【解答】解：把代入，得：， 解得：， ， 令，得， ， ， 解得：，， ，， ， 故答案为：8． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法，二次函数图象与轴的交点等，利用二次函数与一元二次方程的关系求点的坐标是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定：抛物线与轴的两个交点以及顶点构成的三角形称为“顶点三角形”，若顶点三角形为等边三角形，则称该抛物线为“正抛物线”（如图3），若顶点三角形为等腰直角三角形，则称该抛物线为“正直抛物线”（如图2）． (1)如图1，已知，是线段的中点，，，求证：以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； (2)若点与点在“正直抛物线”上，求该“正直抛物线”的解析式； (3)已知：与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为，将抛物线图象中在直线上方的图象沿直线向下翻折，当直线与翻折后的图象有个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明是等边三角形即可； （2）确定该抛物线的对称轴为，设抛物线与轴的另一个交点为点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点，根据“正直抛物线”的定义得为等腰直角三角形且，然后分两种情况求解：当时，当时； （3）如图，设抛物线与轴的两个交点为点、，顶点为，对称轴与轴交于点，根据“正抛物线”的定义确定该抛物线的解析式为，继而推出抛物线的解析式为，联立，解得：或，得到，代入直线得，若直线与抛物线只有一个交点，联立，求解后可得结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； （2）解：∵点与点在“正直抛物线”上， ∴抛物线的对称为：， ∴， ∵，得：， ∴抛物线经过原点， 设抛物线与轴的另一个交点为点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点， ∵抛物线是“正直抛物线”， ∴顶点三角形为等腰直角三角形，且， 当时，如图， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵对称轴与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴该“正直抛物线”的解析式为； 当时，如图， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵对称轴与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴该“正直抛物线”的解析式为； 综上所述，该“正直抛物线”的解析式为或； （3）如图，设抛物线与轴的两个交点为点、，顶点为，对称轴与轴交于点， ∴， ∵抛物线是“正抛物线”， ∴为等边三角形，，设边长为， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴，，， ， ∴，即， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该抛物线的解析式为， 设点为抛物线上任意一点， ∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为：， ∴抛物线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 当直线过点时， 得：， 解得：， 若直线与抛物线只有一个交点， 联立：， 整理得：， ∴， 解得：或， ∴当时，直线与翻折后的图像有个交点． 【点睛】本题是抛物线的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法确定函数解析式，关于原点对称的函数的解析式，直线与抛物线的交点，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系等知识点．掌握“正抛物线”、“正直抛物线”的定义及数形结合思想的运用是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握二次函数和一次函数图象及性质，二次函数、一次函数与方程的关系，是解题的关键． （1）写出，把代入，得到，根据即得； （2）求出，设，则，得到，当时，， ，得到，，即得； （3）设，得到， ，当时，，根据，得到；当时，，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵点在函数y的图象上， ∴， 即， ∵， ∴； （2）中，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 当时，， ∴，， ∴； ， ∴，， ∴， ∴； （3）设， 由（2）知，， ， 当时，， ∵E，F不同于点A， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 动点与最值问题 1．（2023秋•长沙期末）如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连接．则线段的最大值是　　 A．3 B． C． D．5 【答案】 【分析】解方程得，利用抛物线的性质得到点为的中点，再根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，圆心点的坐标为，接着计算出，的半径为2，延长交于，此时的最大值为7，连接，利用三角形的中位线性质得到，从而得到的最大值． 【解答】解：解方程得，，则， 抛物线的对称轴与轴交于点， 点为的中点， ， 点在以为直径的圆上，圆心点的坐标为， ，的半径为2， 延长交于，此时最大，最大值为， 连接， 是线段的中点， 为为中位线， ， 的最大值为． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理． 2．（24-25九年级上·天津·期中）如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 【答案】(1)， (2) (3)最大值为， 此时点 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标； （2）将，，代入，利用待定系数法即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用勾股定理可得，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； （2）将，，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （3）设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 则， 由，得， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数，勾股定理，用二次函数关系表示是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． (1)求k，b的值； (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交AB于点E，，垂足为点F，当时，求点F的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点M，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)或4 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，将代入解方程组即可； （2）过点作轴于点G，过点E作于点H，由（1）得一次函数解析式为：，设，则，则，得到，可得或，得到为等腰直角三角形，在中，由勾股定理得，而，则在中，由勾股定理得，故当时，此时，；当 时，此时，； （3）当时，则，设直线解析式为：，可求直线解析式为：，与直线联立得：，求得，那么；当时，则，同理可求，综上所述：的面积为或4． 【详解】（1）解：当，， 解得：或， ∴， 当， ∴， 将代入 得：， 解得：； （2）解：过点作轴于点G，过点E作于点H， 由（1）得一次函数解析式为：， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， ∵， ∴，而， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，由勾股定理得， 又轴， ∴， ∴在中，由勾股定理得 ∴当时，此时， ∴； 当 时，此时 ∴， 综上所述：或； （3）解：当时，则， 设直线解析式为：， 代入得：， 解得： ∴直线解析式为：， 与直线联立得：， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，同理可求， 综上所述：的面积为或4． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，抛物线与y轴交于点C，交x轴于A、B两点（A在B的左边），点E为抛物线第一象限上一动点． (1)直接写出A，B两点坐标； (2)连接，过点E作轴交于点F． ①当时，求点E的坐标； ②连接，，得到，求的面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令，解方程即可求解； （2）①先求得直线的函数表达式和点C坐标，进而得到直线的函数表达式，然后和二次函数表达式联立方程组求解即可； ②设，则，，根据坐标与图形得到 【详解】（1）解：令，由得，， ∴，； （2）解：如图， ①设直线的函数表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，，则， ∵ ∴设直线的函数表达式为， 将代入，得， ∴直线的函数表达式为， 联立方程组，解得或， 故点E的坐标为； ②设，则，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，S有最大值，最大值为． 新定义问题 1．（2023春•雨花区校级期末）新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，2， （1）二次函数的“图象数”为 　，，　． （2）若“图象数”是，，的二次函数的图象与轴只有一个交点，求的值． 【分析】（1）利用“图象数”的定义求解； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到△，从而解的方程即可． 【解答】解：（1）二次函数的“图象数”为，，； 故答案为，，； （2）二次函数的解析式为， 根据题意得△， 解得，． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 2．（2022春•长沙期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长． （1）求抛物线的雅礼弦长； （2）求抛物线的雅礼弦长的取值范围； （3）设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值． 【答案】（1）4；（2）；（3），或，． 【分析】（1）通过理解题意令，解出两个解进而求得该抛物线的雅礼弦长． （2）令，用含的式子表示，通过的范围得出该抛物线雅礼弦长的取值范围． （3）令，得出，，通过逻辑运算结合题意，即可求解，的值． 【解答】解：（1）， ， ，， 雅礼弦长； （2），，，， ， △，， ， ， 当时，最小值为， 当时，最大值小于， ； （3）由题意，令， ，， 则， 同理， ， ， 要不论为何值，恒成立， 即：恒成立， 由题意得：，△， 解得：， ，为正整数，且， 则，或，． 【点评】本题考查了二次函数与代数中新定义的问题，关键在于正确理解题意并类比运用解决问题． 3．（2024·北京东城·期中）设、是任意两个实数，定义符号的含义为：当时，；当时，．例如：． 参照上面的材料，解答下列问题： (1) ． (2)若，求的取值范围． (3)①写出函数与的图像的交点坐标 ． ②根据函数和的图像写出当 时，的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；②1，1 【分析】（1）根据表示a，b中的较小者，即可求出结论； （2）根据得出关于x的一元一次不等式，解之即可得到答案； （3）①联立两函数解析式，解方程组即可求得答案；②画出图像，根据x的范围分三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）解：∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． （3）解：①联立函数与得到， ， 解得或， ∴函数与的图像的交点坐标是； 故答案为： ②图像如图所示， 观察函数图像可知，当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，当时，的最大值为1， 故答案为：1，1． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的图像和性质、一元一次不等式的解法，读懂题意，弄清的含义是解题的关键． 41．（2024·江苏苏州·期中）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图像的“2倍点”．例如，点是函数的图像的“2倍点”． (1)一次函数的图像的“2倍点”的坐标是________，二次函数的图像的“2倍点”的坐标是________； (2)若关于x的二次函数（c为常数）的图像在上存在两个“2倍点”，求c的取值范围； (3)设关于x的函数的图像上有且只有一个“2倍点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图像上有两个“2倍点”分别为点B，点C（点B在点C的左侧），且，求m，n的值． 【答案】(1)，或 (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图像与系数的关系． （1）分别令，然后求得方程的解即可； （2）令，可得时抛物线与直线有两个交点； （3）令，根据判别式等于0可得的值，从而可得点坐标，令可得点，的横坐标，根据即可得出的值． 【详解】（1）解：，解得：， ∴一次函数的图像的“2倍点”的坐标是， ，解得：或， ∴二次函数的图像的“2倍点”的坐标是或， 故答案为：；或； （2）解：∵若关于x的二次函数（c为常数）的图像在上存在两个“2倍点”， ∴令，则有两不等根， ∴， 解得：， ∴时抛物线与直线有两个交点， ∴c的取值范围为； （3）解：令，则， 关于的函数的图象上有且只有一个“2倍点”， ， ． 将代入得， 解得， ， 令， 解得或， ∵， ∴， ∵点B在点C的左侧， 点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得， 综上，，． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$