专题02 实际问题与一元二次方程（7基础题型+1提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题02 实际问题与一元二次方程 组合与传播问题 1．（2024春•长沙期末）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意得：每人要赠送张贺卡，有个人，然后根据题意可列出方程：． 【解答】解：根据题意得：每人要赠送张贺卡，有个人， 全班共送：， 故选：． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送张贺卡，有个人是解决问题的关键． 2．（2022秋•望城区期末）新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】根据“1人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后64人患上新冠肺炎”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024春•雨花区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　9个　小分支． 【答案】9个． 【分析】等量关系为：主干支干数目支干数目支干数目，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设每个支干长出个小分支，则， 解得：，（舍去）， 每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键． 增长率问题 4．（2024春•开福区校级期末）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率），把相关数值代入即可． 【解答】解：根据题意，可列方程：， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 5．（2023秋•岳麓区校级期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用第三个月进馆人次第一个月进馆人次进馆人次的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2023春•开福区校级期末）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设平均增长率为，根据2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元，即可列出一元二次方程． 【解答】解：设平均增长率为， 根据题意得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解决本题的关键． 7．（2023春•长沙期末）银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低为，设平均每次降息的百分率为，则满足方程　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至． 【解答】解：经过一次降息，是， 经过两次降息，是， 则有方程． 故选：． 【点评】考查了列一元二次方程解应用题的问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言． 8．（2021秋•雨花区校级期末）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设平均每月增长率为，根据等量关系“一月份生产零件的个数平均每月增长的百分率）三月份生产零件的个数”，列出方程即可求解． 【解答】解：设平均每月增长的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 故选：． 【点评】此题为运用方程解决实际问题的应用题型，同学们应加强训练，培养解题能力． 9．（2024春•长沙期末）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．（2）该市在2024年最多可以改造12个老旧小区． 【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，列出方程，解答即可； （2）设该市在2024年可以改造个老旧小区，列出不等式，解答即可． 【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意得：， 解得： 6，（不符合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． （2）设该市在2024年可以改造个老旧小区， 依题意得：， 解得：， 的最大值为12． 答：该市在2024年最多可以改造12个老旧小区． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 10．（2023秋•浏阳市期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快件总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 【分析】（1）设该公司投递快件总件数的月平均增长率为，根据该公司今年三月份与五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据6月份的快件总件数月份的快递总件数增长率），可求出6月份的快件总件数，利用6月份可完成投递快件总件数每人每月可投递快件件数人数可求出6月份可完成投递快件总件数，二者比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该公司投递快件总件数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为． （2）6月份快递总件数为：（万件）， （万件）， ， 该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 11．（2023春•岳麓区校级期末）今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一．4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比左右．长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次． （1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“”，错的打“” ①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比左右 　　； ②今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次 　　； （2）另据一报道：长沙2021年五一假期，共接待游客约200万大次，在2023年五一假期，共接待游客约288万人次．若2021年至2023年的年平均增长率保持相同，求出长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率． 【答案】（1）①；②； （2）． 【分析】（1）①利用4月29日当天长沙五一商圈本地游客占比月29日当天长沙五一商圈外地游客占比，即可得出结论； ②利用长沙文和友五一期间平均每天接待客人次数文和友5天接待客人次数，即可得出结论； ③设2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率为，利用长沙2023年五一假期接待游客人次数长沙2021年五一假期接待游客人次数年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率），列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）①， 月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比左右，说法①不正确． 故答案为：； ②（万人次）， 长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次，说法②正确， 故答案为：； （2）设2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的年平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2023春•长沙期末）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）； （2）18个． 【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用2023年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在2024年可以改造个老旧小区，根据2024年改造老旧小区所需资金不多于2024年投入资金金额，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． （2）设该市在2024年可以改造个老旧小区， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 的最大值为18． 答：该市在2024年最多可以改造18个老旧小区． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 13．（2023春•雨花区校级期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台． （1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？ 【分析】（1）根据2020年某款新能源车销售量为20万辆，到2022年销售量为45万辆，若年增长率不变，可得关于的一元二次方程； （2）利用（1）中所求，进而利用2023年出口量年出口量增长率），即可得出答案． 【解答】解：（1）设年平均增长率为， 根据题意可列方程：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是； （2）由（1）得，（万， 答：预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万辆． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2023春•雨花区期末）据统计，目前某市基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到17.34万座． （1）计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？ （2）求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率． 【答案】（1）6万座； （2）． 【分析】（1）根据“到2021年底，全省基站数是目前的4倍“，即可求得结果； （2）设2021年底到2023年底，全省基站数量的年平均增长率为，可得到2023年底基站数量为万座，再根据2023年底基站数量将达到17.34万座，列方程得：，根据不能为负数，即可求得结果． 【解答】解：（1）（万座）． 所以计划到2021年底，全省基站的数量是6万座； （2）设2021年底到2023年底，全省基站数量的年平均增长率为． 则到2022年底基站数量为万座； 到2023年底基站数量为万座，即万座， 根据2023年底基站数量将达到17.34万座，列方程， 得：， ， ． 或， 解得：，， 由题意可知，不能为负数，故取． 所以2021年底到2023年底，全省基站数量的年平均增长率为． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题关键． 15．（2022秋•长沙期末）某县生态果园2019年冬桃产量为80吨，2021年冬桃产量为115.2吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同． （1）求该生态果园冬桃产量的年平均增长率． （2）若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估2022年该生态果园冬桃产量． 【答案】（1）该果园冬桃产量的年平均增长率为； （2）预计该果园2018年冬桃产量为138.24吨． 【分析】（1）根据2021年的产量年的产量年平均增长率），把相关数值代入即可； （2）由（1）中的平均增长率，即可求出2022年冬桃产量的吨数． 【解答】解：（1）设该果园冬桃产量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得：，． ，不符合题意，舍去． 答：该果园冬桃产量的年平均增长率为； （2）由题可知（吨， 答：预计该果园2022年冬桃产量为138.24吨． 【点评】考查根据实际问题列一元二次方程，找准等量关系：2021年的产量年的产量年平均增长率）是解决问题的关键． 16．（2022秋•浏阳市期末）某口罩生产厂生产的口罩2022年10月份平均日产量为40000个，10月底因新冠肺炎疫情加重，市场对口罩需求量增加，为满足市场需求，工厂决定从11月份起扩大产能，12月份平均日产量达到48400个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2023年元月份平均日产量为多少？ 【答案】（1）口罩日产量的月平均增长率为； （2）预计2024年元月份平均日产量为53240个． 【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为，则11月份平均日产量为个，12月份平均日产量为个，根据12月份平均日产量达到48400个，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）根据2023年元月份平均日产量年12月份平均日产量增长率），列式计算即可． 【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为，则11月份平均日产量为个，12月份平均日产量为个， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：口罩日产量的月平均增长率为； （2）（个， 答：预计2023年元月份平均日产量为53240个． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2021秋•长沙期末）因国家对新能源的支持以及各种利好因素的影响，某新能源企业的利润逐年提高，据统计，该企业2018年的利润为3亿元，2020年的利润为4.32亿元． （1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率； （2）若保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2021年的利润能否超过5亿元？ 【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）根据题意列出算式，比较即可． 【解答】解：（1）设该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为． 根据题意得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为． （2）如果仍保持相同的年平均增长率， 那么该企业的2021年的利润为． 答：该企业2021年的利润能超过5亿元． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 18．（2021秋•长沙县期末）2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，中国创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．在脱贫过程中，某贫困户2018年家庭年人均纯收入3200元，通过政府的产业扶植，大力发展花木栽培，到2020年家庭年人均纯收入5000元，顺利实现脱贫． （1）求该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，预计2021年底，该户居民的家庭年人均纯收入能否达到6000元，并说明理由． 【答案】（1）； （2）2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6000元． 【分析】（1）设该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，利用该户居民2020年家庭年人均纯收入该户居民2018年家庭年人均纯收入家庭年人均纯收入的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用该户居民2021年家庭年人均纯收入该户居民2020年家庭年人均纯收入家庭年人均纯收入的年平均增长率），可预计出2021年底该户居民的家庭年人均纯收入，将其与6000元比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为． （2）2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6000元，理由如下： （元， ， 年底，该户居民年人均纯收入能达到6000元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 19．（2022春•长沙期末）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【分析】（1）设增长率为，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解； （2）用增长率），计算即可求解． 【解答】解：（1）设增长率为，根据题意，得 ， 解得（舍去），． 答：增长率为． （2）（万人）． 答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 几何图形与围墙问题 20．（2024春•雨花区校级期末）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求的值．根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设每条道路的宽为米，则草坪的部分可以看成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为840平方米，即可得出关于的一元二次方程． 【解答】解：设每条道路的宽为米，则草坪的部分可以看成长为米、宽为米的矩形， 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（2022春•岳麓区校级期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，设篱笆长为米． （1）　　米．（用含的代数式表示） （2）若矩形鸡舍面积为150平方米，求篱笆的长． （3）矩形鸡舍面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 【答案】（1）； （2）10米； （3）矩形鸡舍面积不可能达到210平方米． 【分析】（1）设篱笆长为米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形鸡舍面积为150平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形鸡舍面积为210平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍面积不可能达到210平方米． 【解答】解：（1）设篱笆长为米， 篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门， （米． 故答案为：． （2）依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：篱笆的长为10米． （3）不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， △， 方程没有实数根， 矩形鸡舍面积不可能达到210平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△时，方程无实数根”． 22．（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长． （1）鸡场的面积能达到吗？如果能，求出与墙平行的边的长； （2）鸡场的面积能达到吗？为什么？ 【答案】（1）鸡场的面积能达到，此时与墙平行的边的长是； （2）鸡场的面积不能达到，理由见解答． 【分析】（1）设与墙平行的边的长是，则与墙垂直的边的长是，根据鸡场的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合墙长，即可得出结论； （2）鸡场的面积不能达到，设与墙平行的边的长是，则与墙垂直的边的长是，根据鸡场的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出该方程没有实数根，即鸡场的面积不能达到． 【解答】解：（1）设与墙平行的边的长是，则与墙垂直的边的长是， 依题意得：， 整理得：， 解得：， ， 鸡场的面积能达到，此时与墙平行的边的长是． （2）鸡场的面积不能达到，理由如下： 设与墙平行的边的长是，则与墙垂直的边的长是， 依题意得：， 整理得：． △， 该方程没有实数根， 即鸡场的面积不能达到． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△时，方程无实数根”． 销售问题 23．（2024春•岳麓区校级期末）某种品牌运动服的每件零售价为560元，经过两次降价，降为315元，若每次平均降价率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用经过两次降价后该品牌运动服每件的零售价该品牌运动服每件的原零售价每次平均降价率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（2023春•长沙期末）某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为80元，”可得方程． 【解答】解：由题意得：， 故选：． 【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 25．（2024春•长沙期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促销，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价4元，当天可获利多少元？ （2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2100元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】每件商品应降价20元． 【分析】（1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论； （2）设每件商品应降价元，根据要使商场日盈利达到2100元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，（元； 答：某天该商品每件降价4元，当天可获利1748元； （2）设每件商品应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件商品应降价20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（2024春•雨花区期末）新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同． （1）求旅游收入的年增长率； （2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？ 【答案】（1）； （2）2592万元． 【分析】（1）设旅游收入的年增长率为，利用2020年旅游收入金额年旅游收入金额年增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出旅游收入的年增长率； （2）利用预计2021年旅游收入金额年旅游收入金额年增长率），即可预计出2021年旅游收入金额． 【解答】解：（1）设旅游收入的年增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：旅游收入的年增长率为． （2）（万元）． 答：预计2021年旅游收入达到2592万元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．（2023春•岳麓区校级期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了618年中大促，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）当天可获利1692元； （2）每件商品应降价25元． 【分析】（1）利用当天销售该商品获得的利润每件的销售利润每天的销售量，即可求出当天可获利1692元； （2）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用销售该商品获得的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出． 【解答】（1）解： （元． 答：当天可获利1692元． （2）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又为了尽快减少库存， ． 答：每件商品应降价25元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 28．（2022秋•芙蓉区校级期末）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据总利润每袋口罩的销售利润月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为． （2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．（2022秋•望城区期末）五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元． （1）求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？ （2）根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？ 【答案】（1）采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元； （2）采摘草莓每公斤应降价6元． 【分析】（1）设采摘1公斤草莓的费用是元，采摘1公斤枇杷的费用是元，根据“采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采摘草莓每公斤应降价元，则采摘1公斤草莓的费用是元，平均每天采摘草莓公斤，根据天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设采摘1公斤草莓的费用是元，采摘1公斤枇杷的费用是元， 根据题意得：， 解得：． 答：采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元． （2）设采摘草莓每公斤应降价元，则采摘1公斤草莓的费用是元，平均每天采摘草莓公斤， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：采摘草莓每公斤应降价6元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 30．（2022春•雨花区校级期末）新泰特产专卖店销售樱桃，其进价为每千克30元，按每千克50元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃想要平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克樱桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【分析】（1）设每千克樱桃应降价元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【解答】解：（1）设每千克樱桃应降价元， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：、， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； （2）由（1）知每千克樱桃应降价4元或6元， 因为要尽可能让利于顾客，赢得市场， 每千克樱桃应降价6元，此时售价为44元， 所以出售时的折扣为折． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 数字问题 31．（2023春•雨花区期末）已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长． 【分析】设最短的边长为，则另外两边长分别为，，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设最短的边长为，则另外两边长分别为，， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， ，． 答：直角三角形的三边长分别为3，4，5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 生产与工程问题 32．（2021秋•开福区校级期末）随着全球疫情的扩散、疫苗需求仍存在较大缺口．某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗．开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同． （1）求每天增长的百分率． （2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒天、若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒天．现该厂要保证每天生产疫苗105000盒．在增加产能的同时又要节省投人的条件下（生产线越多，投入越大）．应该增加几条生产线？ 【答案】（1）每天增长的百分率为； （2）应该增加9条生产线． 【分析】（1）设每天增长的百分率为，利用第三天生产口罩的数量第一天生产口罩的数量每天增长的百分率），进而得出答案； （2）设增加条生产线，则每条生产线的产量为盒天，利用生产线条数每条生产线产能总生产数，即可得出关于的一元二次方程，求出答案． 【解答】解：（1）设每天增长的百分率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为； （2）设增加条生产线，则每条生产线的产量为盒天， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要节省投入， ． 答：应该增加9条生产线． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 33．（2022春•开福区校级期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可； （2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数． 【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意舍去）． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为； （2）今年6月份的快递投递任务是（万件）． 平均每人每月最多可投递0.6万件， 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：， 该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务 需要增加业务员（人． 答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 古典问题 34．（2023春•雨花区期末）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为尺，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：设绳索长为尺，可列方程为， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 日期：24/11/25 19:05:43；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 动态几何问题 1．（2023·湖南长沙·期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】（）根据题意列出关系式即可； （）列出方程，然后求解即可； （）的面积等于的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有实数根； 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）∵， ∴当的面积是面积的时，， 整理得：， 解得：； （3）解：不存在，理由： 由（）得， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 则不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 2．（2024·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 3．（2024·陕西·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    【答案】2秒和4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及勾股定理；设秒后线段恰好平分的面积，分别求出,，得到，再通过勾股定理计算出，计算出，线段恰好平分的面积建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒后线段恰好平分的面积， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，，，符合题意， 当时，，，,不符合题意，舍去， 当点到达点后，点继续运动，如下图所示，   ， ∴， 解得秒， 故当和时，线段恰好平分的面积． 4．（2024·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为． (1)运动几秒时，点P，Q相距？ (2)的面积能等于吗？为什么？ 【答案】(1)运动秒或秒时，点P，Q相距 (2)的面积不能等于．理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用： （1）设运动时间为，则，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据三角形面积公式建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，则． ∵在中，，， ∴，即：． 解得：，． ∴运动秒或秒时，点P，Q相距． （2）解：的面积不能等于．理由如下： 当的面积等于时，则， ∴，即：． ∵． ∴方程无实数解． ∴的面积不能等于． 5．（2023·四川成都·期末）如图①，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线，交轴于点，点位于点右侧的轴上，且，点在轴正半轴上，且，直线交于点．      (1)点的横坐标为______，当点在原点左侧时，______；（均用含的代数式表示） (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)如图②，点是点关于直线的对称点，连接，，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)1或或； (3)8 【分析】（1）利用点在轴上，其纵坐标为零，可表示出A点横坐标．先分别表示出A，两点的坐标，再用可得出的长度． （2）用分别表示出点A，，的坐标，再根据点在原点左侧和右侧两种情况以及等腰三角形进行分类讨论． （3）根据点和点关于直线对称，且四边形是平行四边形，可得出四边形是菱形，进而解决问题． 【详解】（1）将代入得，． 即点的横坐标为：所以． 同理可得，所以． 又点在A点右侧，且，所以． 所以． 故BE． 故答案为：；． （2）由（1）知：，． 当点在原点左侧时， 因为，且， 所以，即 当时，点就在垂直平分线上，显然不成立． 当时，则点需在点的上方，故，得，故此情况不存在． 当时，即． 又在中，且． 所以． 解得舍去，． 当点在原点右侧时， ，则． 故E 当时，点就在垂直平分线上，显然不成立． 当时，则点需在点的上方，故，得． 又在中，，且． 所以． 解得，舍去． 当时，即． 又在中，． ． 所以． 解得． 综上所述的值为：或或． （3）因为点和点关于直线对称，所以． 又四边形是平行四边形，所以四边形是菱形． 所以，则． 又，， 所以． 又，， 所以即平分． 又，，则点在轴上． 又由对称性可知， 所以则． 且． 在中， ， 解得舍去，． 所以的值为． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，同时考查了菱形的性质与判断、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是数形结合思想的运用． 6．（2023·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：    (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)当x为何值时，的面积为； (3)当x为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)当时，是等腰三角形 (2)x为1或5时，的面积为 (3)x为或时，是等腰三角形 【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可； （2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据题意得：， ∴， 当为等腰三角形时，， ∴， 解得：， 即当时，是等腰三角形； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当x为1或5时，的面积为； （3）解：根据题意，分两种情况： ①当时，如图1所示：    在和中，由勾股定理得：，， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴； ②当时，如图2所示：    在和中，，， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴． 综上所述，当x为或时，是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实际问题与一元二次方程 组合与传播问题 1．（2024春•长沙期末）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•望城区期末）新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024春•雨花区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　 　小分支． 增长率问题 4．（2024春•开福区校级期末）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•岳麓区校级期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是　　 A． B． C． D． 6．（2023春•开福区校级期末）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 7．（2023春•长沙期末）银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低为，设平均每次降息的百分率为，则满足方程　　 A． B． C． D． 8．（2021秋•雨花区校级期末）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为　　 A． B． C． D． 9．（2024春•长沙期末）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 10．（2023秋•浏阳市期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快件总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 11．（2023春•岳麓区校级期末）今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一．4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比左右．长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次． （1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“”，错的打“” ①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比左右 　 　； ②今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次 　 　； （2）另据一报道：长沙2021年五一假期，共接待游客约200万大次，在2023年五一假期，共接待游客约288万人次．若2021年至2023年的年平均增长率保持相同，求出长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率． 12．（2023春•长沙期末）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 13．（2023春•雨花区校级期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台． （1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？ 14．（2023春•雨花区期末）据统计，目前某市基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到17.34万座． （1）计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？ （2）求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率． 15．（2022秋•长沙期末）某县生态果园2019年冬桃产量为80吨，2021年冬桃产量为115.2吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同． （1）求该生态果园冬桃产量的年平均增长率． （2）若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估2022年该生态果园冬桃产量． 16．（2022秋•浏阳市期末）某口罩生产厂生产的口罩2022年10月份平均日产量为40000个，10月底因新冠肺炎疫情加重，市场对口罩需求量增加，为满足市场需求，工厂决定从11月份起扩大产能，12月份平均日产量达到48400个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2023年元月份平均日产量为多少？ 17．（2021秋•长沙期末）因国家对新能源的支持以及各种利好因素的影响，某新能源企业的利润逐年提高，据统计，该企业2018年的利润为3亿元，2020年的利润为4.32亿元． （1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率； （2）若保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2021年的利润能否超过5亿元？ 18．（2021秋•长沙县期末）2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，中国创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．在脱贫过程中，某贫困户2018年家庭年人均纯收入3200元，通过政府的产业扶植，大力发展花木栽培，到2020年家庭年人均纯收入5000元，顺利实现脱贫． （1）求该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，预计2021年底，该户居民的家庭年人均纯收入能否达到6000元，并说明理由． 19．（2022春•长沙期末）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 几何图形与围墙问题 20．（2024春•雨花区校级期末）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求的值．根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 21．（2022春•岳麓区校级期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，设篱笆长为米． （1）　 　米．（用含的代数式表示） （2）若矩形鸡舍面积为150平方米，求篱笆的长． （3）矩形鸡舍面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 22．（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长． （1）鸡场的面积能达到吗？如果能，求出与墙平行的边的长； （2）鸡场的面积能达到吗？为什么？ 销售问题 23．（2024春•岳麓区校级期末）某种品牌运动服的每件零售价为560元，经过两次降价，降为315元，若每次平均降价率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 24．（2023春•长沙期末）某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 25．（2024春•长沙期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促销，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价4元，当天可获利多少元？ （2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2100元，则每件商品应降价多少元？ 26．（2024春•雨花区期末）新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同． （1）求旅游收入的年增长率； （2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？ 27．（2023春•岳麓区校级期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了618年中大促，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？ 28．（2022秋•芙蓉区校级期末）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 29．（2022秋•望城区期末）五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元． （1）求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？ （2）根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？ 30．（2022春•雨花区校级期末）新泰特产专卖店销售樱桃，其进价为每千克30元，按每千克50元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃想要平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克樱桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 数字问题 31． （2023春•雨花区期末）已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长． 生产与工程问题 32．（2021秋•开福区校级期末）随着全球疫情的扩散、疫苗需求仍存在较大缺口．某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗．开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同． （1）求每天增长的百分率． （2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒天、若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒天．现该厂要保证每天生产疫苗105000盒．在增加产能的同时又要节省投人的条件下（生产线越多，投入越大）．应该增加几条生产线？ 33．（2022春•开福区校级期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 古典问题 34．（2023春•雨花区期末）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为尺，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 日期：24/11/25 19:05:43；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 动态几何问题 1．（2023·湖南长沙·期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    2．（2024·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 3．（2024·陕西·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    4．（2024·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为． (1)运动几秒时，点P，Q相距？ (2)的面积能等于吗？为什么？ 5．（2023·四川成都·期末）如图①，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线，交轴于点，点位于点右侧的轴上，且，点在轴正半轴上，且，直线交于点．      (1)点的横坐标为______，当点在原点左侧时，______；（均用含的代数式表示） (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)如图②，点是点关于直线的对称点，连接，，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案） 6．（2023·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：    (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)当x为何值时，的面积为； (3)当x为何值时，为等腰三角形． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$