18.苏州市2024年初中学业水平考试试卷-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－７０　－ 一、选择题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分） １．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．－３ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ２．下列图案中，是轴对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３．苏州市统计局公布，２０２３年苏州市全年实现地区生产总 值约为 ２．４７万亿元，被誉为“最强地级市”。数据 “２４７００００００００００”用科学记数法可表示为 （　　） Ａ．２．４７×１０１０ Ｂ．２４７×１０１０ Ｃ．２．４７×１０１２ Ｄ．２４７×１０１２ ４．若ａ＞ｂ－１，则下列结论一定正确的是 （　　） Ａ．ａ＋１＜ｂ Ｂ．ａ－１＜ｂ Ｃ．ａ＞ｂ Ｄ．ａ＋１＞ｂ ５．如图，ＡＢ∥ＣＤ，若∠１＝６５°，∠２＝１２０°，则∠３的度数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．５５° Ｃ．６０° Ｄ．６５° 第５题图 　 第６题图 ６．某公司拟推出由７个盲盒组成的套装产品，现有１０个盲 盒可供选择，统计这１０个盲盒的质量如图所示。序号为 １到５号的盲盒已选定，这５个盲盒质量的中位数恰好 为１００，６号盲盒从甲、乙、丙中选择１个，７号盲盒从丁、 戊中选择１个，使选定７个盲盒质量的中位数仍为１００， 可以选择 （　　） Ａ．甲、丁 Ｂ．乙、戊 Ｃ．丙、丁 Ｄ．丙、戊 ７．如图，Ａ为反比例函数 ｙ＝－１ｘ（ｘ＜０）图象上的一点， 连接ＯＡ，过点 Ｏ作 ＯＡ的垂线与反比例函数 ｙ＝４ｘ （ｘ＞０）的图象交于点Ｂ，则ＡＯＢＯ的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． １ ４ Ｃ．槡３３ Ｄ． １ ３ 第７题图 　　　 第８题图 ８．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ 槡＝３，ＢＣ＝１，动点 Ｅ，Ｆ分别 从点 Ａ，Ｃ同时出发，以每秒 １个单位长度的速度沿 ＡＢ，ＣＤ向终点Ｂ，Ｄ运动，过点Ｅ，Ｆ作直线ｌ，过点Ａ作 直线ｌ的垂线，垂足为Ｇ，则ＡＧ的最大值为 （　　） 槡Ａ．３ Ｂ．槡 ３ ２ Ｃ．２ Ｄ．１ 二、填空题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分） ９．计算：ｘ３·ｘ２＝ 。 １０．若ａ＝ｂ＋２，则（ｂ－ａ）２＝ 。 １１．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落 在阴影部分的概率是 。 第１１题图 　　　 第１２题图 １２．如图，△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内接三角形，若∠ＯＢＣ＝２８°， 则∠Ａ＝ °。 １３．直线ｌ１：ｙ＝ｘ－１与ｘ轴交于点 Ａ，将直线 ｌ１绕点 Ａ逆 时针旋转１５°，得到直线ｌ２，则直线ｌ２对应的函数表达 式为 。 １４．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素。如图是一个花 瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对 应的弦构成一个正六边形，中心为点Ｏ， ) ＡＢ所在圆的圆心 Ｃ恰好是△ＡＢＯ的内心，若ＡＢ 槡＝２３，则花窗的周长（图 中实线部分的长度）＝ 。（结果保留π） 第１４题图 　　　 第１６题图 １５．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象过点Ａ（０，ｍ），Ｂ（１，－ｍ）， Ｃ（２，ｎ），Ｄ（３，－ｍ），其中 ｍ，ｎ为常数，则 ｍｎ的值 为 。 １６．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＢ＝５，ＣＡ＝１０，点 Ｄ， Ｅ分别在边 ＡＣ，ＡＢ上，ＡＥ 槡＝５ＡＤ，连接 ＤＥ，将△ＡＤＥ 沿ＤＥ翻折，得到△ＦＤＥ，连接 ＣＥ，ＣＦ。若△ＣＥＦ的面 积是△ＢＥＣ面积的２倍，则ＡＤ＝ 。 三、解答题（本大题共１１小题，共８２分） １７．（５分）计算：｜－４｜＋（－２）０ 槡－９。 １８．（５分）解方程组： ２ｘ＋ｙ＝７， ２ｘ－３ｙ＝３{ 。 １９．（６分）先化简，再求值：（ｘ＋１ｘ－２＋１）÷ ２ｘ２－ｘ ｘ２－４ ，其中 ｘ＝－３。　 ２０．（６分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，分别以点 Ｂ，Ｃ为圆 心，大于 １ ２ＢＣ长为半径画弧，两弧交于点 Ｄ，连接 ＢＤ， ＣＤ，ＡＤ，ＡＤ与ＢＣ交于点Ｅ。 （１）求证：△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ； （２）若ＢＤ＝２，∠ＢＤＣ＝１２０°，求ＢＣ的长。 ２１．（６分）一个不透明的盒子里装有４张书签，分别描绘 “春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同， 将４张书签充分搅匀。 　 　 　 （１）若从盒子中任意抽取１张书签，恰好抽到“夏”的概 率为 ； （２）若从盒子中任意抽取２张书签（先抽取１张书签， 且这张书签不放回，再抽取１张书签），求抽取的书签恰 好１张为“春”，１张为“秋”的概率。（请用画树状图或 列表等方法说明理由） ２２．（８分）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设 以下五个球类项目：Ａ（羽毛球），Ｂ（乒乓球），Ｃ（篮球）， Ｄ（排球），Ｅ（足球），要求每位学生必须参加，且只能选 择其中一个项目。为了了解学生对这五个项目的选择 情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行 问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析， 部分信息如下： 各项目选择人数条形统计图 图１ －６９－ １８苏州市２０２４年初中学业水平考试试卷 （时间：１２０分钟　总分：１３０分） 　－７２　－ 各项目选择人数扇形统计图 图２ 根据以上信息，解决下列问题： （１）将图１中的条形统计图补充完整（画图并标注相应 数据）； （２）图２中项目Ｅ对应的圆心角的度数为 °； （３）根据抽样调查结果，请估计本校七年级８００名学生 中选择项目Ｂ（乒乓球）的人数。 ２３．（８分）图１是某种可调节支撑架，ＢＣ是水平固定杆，竖 直固定杆 ＡＢ⊥ＢＣ，活动杆 ＡＤ可绕点 Ａ旋转，ＣＤ是液 压可伸缩支撑杆，已知 ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝２０ｃｍ，ＡＤ＝ ５０ｃｍ。 （１）如图２，当活动杆 ＡＤ处于水平状态时，求可伸缩支 撑杆ＣＤ的长度（结果保留根号）； （２）如图３，当活动杆ＡＤ绕点Ａ由水平状态按逆时针方 向旋转角度α，且ｔａｎα＝３４（α为锐角），求此时可伸缩 支撑杆ＣＤ的长度（结果保留根号）。 图１ 　 图２ 图３ ２４．（８分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， Ａ（－２，０），Ｃ（６，０），反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｘ＞０） 的图象与ＡＢ交于点Ｄ（ｍ，４），与ＢＣ交于点Ｅ。 （１）求ｍ，ｋ的值； （２）Ｐ是反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｘ＞０）图象上一动 点（点Ｐ在点 Ｄ，Ｅ之间运动，不与点 Ｄ，Ｅ重合），过 点Ｐ作ＰＭ∥ＡＢ，交ｙ轴于点Ｍ，过点Ｐ作ＰＮ∥ｘ轴， 交ＢＣ于点 Ｎ，连接 ＭＮ，求△ＰＭＮ面积的最大值，并 求出此时点Ｐ的坐标。 ２５．（１０分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ 槡＝４ ２，Ｄ是 ＡＢ的中 点，∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＤ，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝槡２４，⊙Ｏ是△ＡＣＤ的 外接圆。 （１）求ＢＣ的长； （２）求⊙Ｏ的半径。 ２６．（１０分）某条城际铁路线共有Ａ，Ｂ，Ｃ三个车站，每日上 午均有两班次列车从 Ａ站驶往 Ｃ站，其中 Ｄ１００１次列 车从Ａ站始发，经停Ｂ站后到达Ｃ站，Ｇ１００２次列车从 Ａ站始发，直达Ｃ站，两个车次的列车在行驶过程中保 持各自的行驶速度不变。某校数学学习小组对列车运 行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示。 列车运行时刻表 车次 Ａ站 Ｂ站 Ｃ站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 Ｄ１００１ ８：００ ９：３０ ９：５０ １０：５０ Ｇ１００２ ８：２５ 途经Ｂ站，不停车 １０：３０ 请根据表格中的信息，解答下列问题： （１）Ｄ１００１次列车从Ａ站到Ｂ站行驶了 分钟， 从Ｂ站到Ｃ站行驶了 分钟； （２）记Ｄ１００１次列车的行驶速度为ｖ１，离Ａ站的路程为 ｄ１；Ｇ１００２次列车的行驶速度为ｖ２，离Ａ站的路程为ｄ２。 ① ｖ１ ｖ２ ＝ ； ②从上午 ８：００开始计时，时长记为 ｔ分钟（如：上午 ９：１５，则ｔ＝７５），已知 ｖ１＝２４０千米／小时（可换算为 ４千米／分钟），在Ｇ１００２次列车的行驶过程中（２５≤ｔ≤ １５０），若｜ｄ１－ｄ２｜＝６０，求ｔ的值。 ２７．（１０分）如图１，二次函数 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象 Ｃ１与开 口向下的二次函数图象Ｃ２均过点Ａ（－１，０），Ｂ（３，０）。 （１）求图象Ｃ１对应的函数表达式； （２）若图象Ｃ２过点Ｃ（０，６），点Ｐ位于第一象限，且在图 象Ｃ２上，直线ｌ过点Ｐ且与ｘ轴平行，与图象Ｃ２的另一 个交点为 Ｑ（Ｑ在 Ｐ左侧），直线 ｌ与图象 Ｃ１的交点为 Ｍ，Ｎ（Ｎ在 Ｍ左侧）。当 ＰＱ＝ＭＰ＋ＱＮ时，求点 Ｐ的 坐标； （３）如图２，Ｄ，Ｅ分别是二次函数图象 Ｃ１，Ｃ２的顶点，连 接ＡＤ，过点Ａ作ＡＦ⊥ＡＤ，交图象Ｃ２于点Ｆ，连接ＥＦ，当 ＥＦ∥ＡＤ时，求图象Ｃ２对应的函数表达式。 图１ 　 图２ －７１－ ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝ ＡＰｓｉｎ４５° 槡＝２ＡＰ， ＡＰ＝ＣＰ＝ＢＰ＝ＤＰ＝１２ＢＤ＝ １ ２ＡＣ。 ∵ＢＣ∥ｘ轴， ∴直线ｙ＝ａｘ是第一、三象限的夹角平分线。 ∴ｙ＝ｘ。 图２ 当⊙Ｏ过点Ｂ时，如图２所 示，过点Ｄ作ＤＨ∥ｘ轴交ｙ 轴于点Ｈ。 ∵ＡＤ∥ｘ轴， ∴Ｈ，Ａ，Ｄ三点共线。 ∵以点 Ｏ为圆心，ＡＣ长为 半径作⊙Ｏ，ＯＰ 槡＝３２， ∴ＯＰ＝ＯＢ＋ＢＰ＝ＡＣ＋ＢＰ ＝２ＡＰ＋ＡＰ＝３ＡＰ 槡＝３２。 ∴ＡＰ 槡＝２。 ∴ＡＢ＝ＡＤ 槡＝２ＡＰ＝２，ＢＤ＝２ＡＰ 槡＝２２，ＯＢ＝ＡＣ＝２ＡＰ 槡＝２２。 ∵ＡＢ∥ｙ轴，∴△ＤＨＯ∽△ＤＡＢ。 ∴ＯＨＡＢ＝ ＤＨ ＡＤ＝ ＯＤ ＢＤ， ∴ＯＨ２＝ ＤＨ ２＝ 槡 槡２２＋２２ 槡２２ 。 ∴ＯＨ＝ＤＨ＝４。 ∴ＡＨ＝ＤＨ－ＡＤ＝４－２＝２。 ∴Ａ（２，４）。 ∴ｋ＝２×４＝８； 当⊙Ｏ过点Ａ时，根据Ａ，Ｃ关于直线ＯＤ对称，知⊙Ｏ 必过点Ｃ，如图３所示，连接ＯＡ，ＯＣ，过点Ｄ作ＤＨ∥ｘ 轴交ｙ轴于点Ｈ。 图３ ∵ＯＡ＝ＯＣ＝ＡＣ，∴△ＡＯＣ是等边三角形。 ∴∠ＡＯＣ＝６０°。 ∵ＯＰ⊥ＡＣ， ∴∠ＡＯＰ＝１２×６０°＝３０°。 ∴ＡＰ＝ｔａｎ３０°×ＯＰ＝槡３３ 槡 槡×３２＝６＝ＤＰ。 ∴ＡＣ＝ＢＤ＝２ＡＰ 槡＝２６，ＡＢ＝ＡＤ 槡＝２ＡＰ 槡＝２３， ＯＤ＝ＯＰ＋ＤＰ 槡 槡＝３２＋６。 ∵ＡＢ∥ｙ轴，∴△ＤＨＯ∽△ＤＡＢ。 ∴ＯＨＡＢ＝ ＤＨ ＡＤ＝ ＯＤ ＢＤ。 ∴ＯＨ 槡２３ ＝ＤＨ 槡２３ ＝ 槡 槡３２＋６ 槡２６ 。 ∴ＯＨ＝ＤＨ 槡＝３＋３。 ∴ＡＨ＝ＤＨ－ＡＤ 槡 槡 槡＝３＋３－２３＝３－３。 ∴Ａ（ 槡３－３， 槡３＋３）。 ∴ｋ＝（ 槡３－３）×（ 槡３＋３）＝６。 ∴当⊙Ｏ与△ＡＢＣ的边有交点时，ｋ的取值范围是 ６≤ｋ≤８。 １８苏州市２０２４年初中学业水平考试试卷 １．Ｂ　【解析】∵｜－３｜＝３，｜１｜＝１，｜２｜＝２，｜３｜＝３， 而３＜２＜１，∴１与原点距离最近。故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】选项Ｂ，Ｃ，Ｄ中的图形都不能找到这样的一 条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，所以不是轴对称图形；选项Ａ中的图形能找到这 样的一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，所以是轴对称图形。故选Ａ。 ３．Ｃ　【解析】２４７００００００００００＝２．４７×１０１２。故选Ｃ。 ４．Ｄ　【解析】不等式两边加１，得ａ＋１＞ｂ，故选项Ａ不符合 题意，选项Ｄ符合题意；根据ａ＞ｂ－１，得不到ａ－１＜ｂ， ａ＞ｂ，故选项Ｂ，Ｃ不符合题意。故选Ｄ。 ５．Ｂ　【解析】∵ＡＢ∥ＣＤ，∠１＝６５°，∴∠ＡＣＤ＝∠１＝６５°。 ∵∠２＝∠ＡＣＤ＋∠３＝１２０°，∴∠３＝５５°。故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】∵要推出由７个盲盒组成的套装产品， ∴中位数应该是质量由小到大排列的第４个盲盒。 ∵序号为１到５号的盲盒已选定，这５个盲盒质量的中 位数恰好为１００，６号盲盒从甲、乙、丙中选择１个，７号 盲盒从丁、戊中选择１个，使选定７个盲盒质量的中位 数仍为１００，∴选定的６号盲盒和７号盲盒的质量应该 一个超过１００，另一个低于１００。∴选定的可以是甲， 戊；乙，丁；丙，丁。故选Ｃ。 ７．Ａ　【解析】如图，作 ＡＧ⊥ｘ轴，垂足为 Ｇ，ＢＨ⊥ｘ轴，垂 足为Ｈ。 ∵点Ａ在函数ｙ＝－１ｘ图象上，点Ｂ在反比例函数 ｙ＝４ｘ图象上，∴Ｓ△ＡＧＯ＝ １ ２，Ｓ△ＢＯＨ＝２。 ∵∠ＡＯＢ＝９０°，∴∠ＡＯＧ＝∠ＨＢＯ，∠ＡＧＯ＝∠ＯＨＢ。 ∴△ＡＧＯ∽△ＯＨＢ。∴ Ｓ△ＡＧＯ Ｓ△ＯＨＢ ＝ ＡＯ( )ＯＢ ２ ＝ １ ２ ２。 ∴ＡＯＢＯ＝ １ ２。故选Ａ。 ８．Ｄ　【解析】如图，连接ＡＣ交ＥＦ于点Ｏ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝９０°。 ∵ＡＢ 槡＝３，ＢＣ＝１，∴ＡＣ＝ ＡＢ ２＋ＢＣ槡 ２ 槡＝ ３＋１＝２。 ∵动点Ｅ，Ｆ分别从点 Ａ，Ｃ同时出发，以每秒１个单位 长度的速度沿ＡＢ，ＣＤ向终点Ｂ，Ｄ运动， ∴ＣＦ＝ＡＥ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＢ。 又∵∠ＣＯＦ＝∠ＡＯＥ， ∴△ＣＯＦ≌△ＡＯＥ（ＡＡＳ）。∴ＯＡ＝ＯＣ＝１。 ∵ＡＧ⊥ＥＦ，∴点Ｇ在以ＡＯ为直径的圆上运动。 ∴ＡＧ为直径时，ＡＧ有最大值为１。故选Ｄ                                                                  。 —６５— ９．ｘ５　【解析】ｘ３·ｘ２＝ｘ３＋２＝ｘ５。 １０．４　【解析】∵ａ＝ｂ＋２，∴ｂ－ａ＝－２。 ∴（ｂ－ａ）２＝（－２）２＝４。 １１．３８　【解析】根据题意可知，正八边形转盘被分成八 个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为３个面 积相等的三角形， 所以指针落在阴影部分的概率为 ３ ８。 １２．６２　【解析】如图，连接ＯＣ。 ∵ＯＢ＝ＯＣ，∠ＯＢＣ＝２８°， ∴∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝２８°。 ∴∠ＢＯＣ＝１８０°－∠ＯＣＢ－∠ＯＢＣ＝１２４°。 ∴∠Ａ＝１２∠ＢＯＣ＝６２°。 １３．ｙ 槡＝３ｘ 槡－３　【解析】如图所示。 将ｘ＝０代入ｙ＝ｘ－１，得ｙ＝－１， ∴点Ｂ的坐标为（０，－１）。 将ｙ＝０代入ｙ＝ｘ－１，得ｘ＝１， ∴点Ａ的坐标为（１，０）。 ∴ＯＡ＝ＯＢ＝１。∴∠ＯＢＡ＝∠ＯＡＢ＝４５°。 由旋转可知，∠ＢＡＣ＝１５°， ∴∠ＯＡＣ＝４５°＋１５°＝６０°。 在Ｒｔ△ＡＯＣ中，ｔａｎ∠ＯＡＣ＝ＯＣＯＡ， ∴ＯＣ 槡＝３。∴点Ｃ的坐标为（０， 槡－３）。 设直线ｌ２的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 则 ｋ＋ｂ＝０， ｂ 槡＝－３{ ，解得 ｋ 槡＝３，ｂ 槡＝－３{ 。 ∴直线ｌ２的函数表达式为ｙ 槡＝３ｘ 槡－３。 １４．８π　【解析】如图，过点Ｃ作ＣＭ⊥ＡＢ于点Ｍ， 则ＡＭ＝ＢＭ＝１２ＡＢ 槡＝３。 ∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为 点Ｏ， ∴∠ＡＯＢ＝３６０°６ ＝６０°。 ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴△ＡＯＢ是正三角形。 ∵点Ｏ是△ＡＯＢ的内心， ∴∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝１２×６０°＝３０°， ∠ＡＣＢ＝２∠ＡＯＢ＝１２０°。 在Ｒｔ△ＡＣＭ中，ＡＭ 槡＝３，∠ＣＡＭ＝３０°， ∴ＡＣ＝ ＡＭｃｏｓ３０°＝２。 ∴ ) ＡＢ的长为１２０π×２１８０ ＝ ４ ３π。 ∴花窗的周长为 ４３π×６＝８π。 １５．－３５　【解析】将点 Ａ（０，ｍ），Ｂ（１，－ｍ），Ｄ（３，－ｍ） 代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 ｃ＝ｍ， ａ＋ｂ＋ｃ＝－ｍ， ９ａ＋３ｂ＋ｃ＝－ｍ{ ， ∴ ａ＝２３ｍ， ｂ＝－８３ｍ， ｃ＝ｍ { 。 ∴ｙ＝２３ｍｘ ２－８３ｍｘ＋ｍ。 把点Ｃ（２，ｎ）代入ｙ＝２３ｍｘ ２－８３ｍｘ＋ｍ， 得ｎ＝２３ｍ×２ ２－８３ｍ×２＋ｍ，∴ｎ＝－ ５ ３ｍ。 ∴ｍｎ＝ ｍ －５３ｍ ＝－３５。 １６．１０３　【解析】如图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＣ于点Ｈ，设ＥＦ与 ＡＣ相交于点Ｍ， 则∠ＡＨＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°。 ∵ＡＥ 槡＝５ＡＤ，∴设ＡＤ＝ｘ，ＡＥ 槡＝５ｘ。 ∵△ＡＤＥ沿ＤＥ翻折，得到△ＦＤＥ， ∴ＤＦ＝ＡＤ＝ｘ，∠ＡＤＥ＝∠ＦＤＥ。 又∵∠Ａ＝∠Ａ，∴△ＡＨＥ∽△ＡＣＢ。 ∴ＥＨＢＣ＝ ＡＨ ＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ。 ∵ＣＢ＝５，ＣＡ＝１０，ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ １０２＋５槡 ２ 槡＝５５， ∴ＥＨ５＝ ＡＨ １０＝ 槡５ｘ 槡５５ 。 ∴ＥＨ＝ｘ，ＡＨ＝ ＡＥ２－ＥＨ槡 ２＝２ｘ。 ∴ＤＨ＝ＡＨ－ＡＤ＝ｘ＝ＥＨ。 ∴Ｒｔ△ＥＨＤ是等腰直角三角形。 ∴∠ＨＤＥ＝∠ＨＥＤ＝４５°。 ∴∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＦ＝１３５°。 ∴∠ＦＤＭ＝１３５°－４５°＝９０°。 在△ＦＤＭ和△ＥＨＭ中， ∠ＤＭＦ＝∠ＨＭＥ， ∠ＦＤＭ＝∠ＥＨＭ， ＤＦ＝ＥＨ{ ， ∴△ＦＤＭ≌△ＥＨＭ（ＡＡＳ                                                                  ）。 —７５— ∴ＤＭ＝ＭＨ＝１２ｘ，ＣＭ＝ＡＣ－ＡＤ－ＤＭ＝１０－ ３ ２ｘ。 ∴Ｓ△ＣＥＦ＝Ｓ△ＣＭＥ＋Ｓ△ＣＭＦ＝ １ ２ＣＭ·ＥＨ＋ １ ２ＣＭ·ＤＦ＝ １ ２ １０－ ３ ２( )ｘ·ｘ×２＝ １０－３２( )ｘ·ｘ， Ｓ△ＢＥＣ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＥＣ＝ １ ２×１０×５－ １ ２×１０·ｘ＝ ２５－５ｘ。 ∵△ＣＥＦ的面积是△ＢＥＣ的面积的２倍， ∴ １０－３２( )ｘ·ｘ＝２（２５－５ｘ）。 整理，得３ｘ２－４０ｘ＋１００＝０。 解得ｘ１＝ １０ ３，ｘ２＝１０（舍去），即ＡＤ＝ １０ ３。 １７．解：原式＝４＋１－３＝２。 １８．解：２ｘ＋ｙ＝７，①２ｘ－３ｙ＝３，{ ② ①－②，得４ｙ＝４，解得ｙ＝１。 将ｙ＝１代入①，得２ｘ＋１＝７，解得ｘ＝３。 所以方程组的解为 ｘ＝３， ｙ＝１{ 。 １９．解：原式＝ｘ＋１＋ｘ－２ｘ－２ · （ｘ＋２）（ｘ－２） ｘ（２ｘ－１） ＝２ｘ－１ｘ－２· （ｘ＋２）（ｘ－２） ｘ（２ｘ－１） ＝ ｘ＋２ ｘ。 当ｘ＝－３时，原式＝－３＋２－３ ＝ １ ３。 ２０．（１）证明：由作图知，ＢＤ＝ＣＤ。 在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中， ＡＢ＝ＡＣ， ＢＤ＝ＣＤ， ＡＤ＝ＡＤ{ ， ∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ（ＳＳＳ）。 （２）解：∵△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ，∠ＢＤＣ＝１２０°， ∴∠ＢＤＡ＝∠ＣＤＡ＝１２∠ＢＤＣ＝ １ ２×１２０°＝６０°。 又∵ＢＤ＝ＣＤ， ∴ＤＡ⊥ＢＣ，ＢＥ＝ＣＥ。 ∵ＢＤ＝２， ∴ＢＥ＝ＢＤ·ｓｉｎ∠ＢＤＡ＝２×槡３２ 槡＝３。 ∴ＢＣ＝２ＢＥ 槡＝２３。 ２１．解：（１）盒子中有４张书签，“夏”的书签有１张，则恰 好抽到“夏”的概率为 １ ４。故答案为 １ ４。 （２）画树状图如下： 共有１２种等可能的结果，其中抽取的书签恰好１张 为“春”，１张为“秋”的结果有２种， 所以抽取的书签恰好１张为“春”，１张为“秋”的概率 为 ２ １２＝ １ ６。 ２２．解：（１）此次调查的总人数为９÷１５％＝６０， Ｄ项目的人数为６０－６－１８－９－１２＝１５， 补全条形统计图如下： （２）题图２中项目Ｅ对应的圆心角的度数为 ３６０°×１２６０＝７２°。 故答案为７２。 （３）８００×１８６０＝２４０（名）。 答：估计本校七年级８００名学生中选择项目 Ｂ（乒乓 球）的人数为２４０。 ２３．解：（１）如图１，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ，垂足为Ｅ。 图１ 由题意，得ＡＢ＝ＣＥ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝ＡＥ＝２０ｃｍ， ∵ＡＤ＝５０ｃｍ，∴ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝５０－２０＝３０（ｃｍ）。 在Ｒｔ△ＣＥＤ中， ＣＤ＝ ＣＥ２＋ＤＥ槡 ２＝ １０２＋３０槡 ２ 槡＝１０１０（ｃｍ）， ∴可伸缩支撑杆ＣＤ的长度为 槡１０ １０ｃｍ。 （２）如图２，过点 Ｄ作 ＤＦ⊥ＢＣ，交 ＢＣ的延长线于点 Ｆ，交ＡＤ′于点Ｇ。 图２ 由题意，得ＡＢ＝ＦＧ＝１０ｃｍ，ＡＧ＝ＢＦ，∠ＡＧＤ＝９０°， 在Ｒｔ△ＡＤＧ中，ｔａｎα＝ＤＧＡＧ＝ ３ ４， ∴设ＤＧ＝３ｘｃｍ，则ＡＧ＝４ｘｃｍ。 ∴ＡＤ＝ ＡＧ２＋ＤＧ槡 ２＝ （４ｘ）２＋（３ｘ）槡 ２＝５ｘ（ｃｍ）。 ∵ＡＤ＝５０ｃｍ，∴５ｘ＝５０，解得ｘ＝１０。 ∴ＡＧ＝４０ｃｍ，ＤＧ＝３０ｃｍ。 ∴ＤＦ＝ＤＧ＋ＦＧ＝３０＋１０＝４０（ｃｍ）。 ∵ＢＦ＝ＡＧ＝４０ｃｍ，ＢＣ＝２０ｃｍ， ∴ＣＦ＝ＢＦ－ＢＣ＝４０－２０＝２０（ｃｍ）。 在 Ｒｔ△ＣＦＤ中，ＣＤ＝ ＣＦ２＋ＤＦ槡 ２ ＝ ２０２＋４０槡 ２ ＝ 槡２０５（ｃｍ）， ∴此时可伸缩支撑杆ＣＤ的长度为 槡２０５ｃｍ。 ２４．解：（１）∵Ａ（－２，０），Ｃ（６，０），∴ＡＣ＝８。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ＢＣ＝８。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴Ｂ（６，８）。 设直线ＡＢ的函数表达式为 ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ≠０）， 将点Ａ（－２，０），Ｂ（６，８）代入 ｙ＝ａｘ＋ｂ， 得 －２ａ＋ｂ＝０， ６ａ＋ｂ＝８{ ， 解得 ａ＝１，ｂ＝２{ 。 ∴直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝ｘ＋２。 ∴将点Ｄ（ｍ，４）代入ｙ＝ｘ＋２，得ｍ＝２。∴Ｄ（２，４                                                                 ）。 —８５— 将Ｄ（２，４）代入反比例函数表达式ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｘ＞０）， 得４＝ｋ２，解得ｋ＝８。 （２）如图，延长ＮＰ交ｙ轴于点Ｑ，交ＡＢ于点Ｌ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＢＣＡ＝９０°，∴∠ＢＡＣ＝４５°。 ∵ＰＮ∥ｘ轴，∴∠ＢＬＮ＝∠ＢＡＣ＝４５°，∠ＮＱＭ＝９０°。 ∵ＡＢ∥ＭＰ， ∴∠ＭＰＬ＝∠ＢＬＰ＝４５°，∠ＱＭＰ＝∠ＱＰＭ＝４５°。 ∴ＱＭ＝ＱＰ。 设点Ｐ的坐标为（ｔ，８ｔ），则 ＰＱ＝ｔ，ＰＮ＝６－ｔ，ＭＱ＝ ＰＱ＝ｔ。 ∴Ｓ△ＰＭＮ＝ １ ２ＰＮ·ＭＱ＝ １ ２（６－ｔ）·ｔ ＝－１２（ｔ－３） ２＋９２。　 ∴当ｔ＝３时，Ｓ△ＰＭＮ有最大值 ９ ２，此时Ｐ３，( )８３ 。 ２５．解：（１）∵∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｂ， ∴△ＢＡＣ∽△ＢＣＤ。∴ＢＣＢＤ＝ ＢＡ ＢＣ。 ∵ＡＢ 槡＝４２，Ｄ是ＡＢ的中点， ∴ＢＤ＝ＡＤ 槡＝２２。∴ＢＣ ２＝１６。∴ＢＣ＝４。 （２）如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ于点 Ｅ，连接 ＣＯ，并延长 交⊙Ｏ于点Ｆ，连接ＡＦ。 ∵在Ｒｔ△ＡＥＤ中，ｃｏｓ∠ＣＤＡ＝ＤＥＡＤ＝ 槡２ ４，ＡＤ 槡＝２２， ∴ＤＥ＝１。∴ＡＥ＝ ＡＤ２－ＤＥ槡 ２ 槡＝７。 ∵△ＢＡＣ∽△ＢＣＤ，∴ＡＣＣＤ＝ ＡＢ ＢＣ 槡＝２。 设ＣＤ＝ｘ，则ＡＣ 槡＝２ｘ，ＣＥ＝ｘ－１。 ∵在Ｒｔ△ＡＣＥ中，ＡＣ２＝ＣＥ２＋ＡＥ２， ∴（槡２ｘ） ２＝（ｘ－１）２＋（槡７） ２，即ｘ２＋２ｘ－８＝０， 解得ｘ１＝２，ｘ２＝－４（舍去）。∴ＣＤ＝２，ＡＣ 槡＝２２。 ∵∠ＡＦＣ与∠ＡＤＣ都是 ) ＡＣ所对的圆周角， ∴∠ＡＦＣ＝∠ＡＤＣ。 ∵ＣＦ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＣＡＦ＝９０°。 ∴ｓｉｎ∠ＡＦＣ＝ＡＣＣＦ＝ｓｉｎ∠ＣＤＡ＝ ＡＥ ＡＤ＝ 槡１４ ４ 。 ∴ＣＦ＝槡８７７，即⊙Ｏ的半径为 槡４７ ７。 ２６．解：（１）由题意，得 Ｄ１００１次列车从 Ａ站到 Ｂ站行驶 了９０分钟，从Ｂ站到Ｃ站行驶了６０分钟。故答案为 ９０；６０。 （２）①根据题意，得Ｄ１００１次列车从 Ａ站到 Ｃ站共需 ９０＋６０＝１５０（分钟），Ｇ１００２次列车从 Ａ站到 Ｃ站共 需３５＋６０＋３０＝１２５（分钟）， ∴１５０ｖ１＝１２５ｖ２。∴ ｖ１ ｖ２ ＝５６。故答案为 ５ ６。 ②∵ｖ１＝４千米／分钟， ｖ１ ｖ２ ＝５６， ∴ｖ２＝４．８千米／分钟。 ∵４×９０＝３６０（千米）， ∴Ａ站与Ｂ站之间的路程为３６０千米。 ∵３６０÷４．８＝７５（分钟）， ∴当ｔ＝１００时，Ｇ１００２次列车经过Ｂ站。 由题意可知，当９０≤ｔ≤１１０时，Ｄ１００１次列车在 Ｂ站 停车， ∴Ｇ１００２次列车经过 Ｂ站时，Ｄ１００１次列车正在 Ｂ站 停车。 当２５≤ｔ＜９０时，ｄ１＞ｄ２， ∴｜ｄ１－ｄ２｜＝ｄ１－ｄ２。 ∴４ｔ－４．８（ｔ－２５）＝６０， 解得ｔ＝７５； 当９０≤ｔ≤１００时，ｄ１≥ｄ２， ∴｜ｄ１－ｄ２｜＝ｄ１－ｄ２。 ∴３６０－４．８（ｔ－２５）＝６０， 解得ｔ＝８７．５，不合题意，舍去； 当１００＜ｔ≤１１０时，ｄ１＜ｄ２， ∴｜ｄ１－ｄ２｜＝ｄ２－ｄ１。 ∴４．８（ｔ－２５）－３６０＝６０， 解得ｔ＝１１２．５，不合题意，舍去； 当１１０＜ｔ≤１５０时，ｄ１＜ｄ２， ∴｜ｄ１－ｄ２｜＝ｄ２－ｄ１。 ∴４．８（ｔ－２５）－［３６０＋４（ｔ－１１０）］＝６０， 解得ｔ＝１２５。 综上所述，当ｔ＝７５或１２５时，｜ｄ１－ｄ２｜＝６０。 ２７．解：（１）将Ａ（－１，０），Ｂ（３，０）代入ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 １－ｂ＋ｃ＝０， ９＋３ｂ＋ｃ＝０{ ，解得 ｂ＝－２，ｃ＝－３{ 。 ∴图象Ｃ１对应的函数表达式为ｙ＝ｘ ２－２ｘ－３。 （２）设Ｃ２对应的函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ＋１）（ｘ－３）（ａ＜０）， 将点Ｃ（０，６）代入，得ａ＝－２。 ∴Ｃ２对应的函数表达式为 ｙ＝－２（ｘ＋１）（ｘ－３），其 对称轴为直线ｘ＝１。 又∵图象Ｃ１的对称轴也为直线ｘ＝１， 如图１，作直线ｘ＝１，交直线ｌ于点Ｈ。 图１ 由二次函数的对称性，得ＱＨ＝ＰＨ，ＰＭ＝ＮＱ。 又∵ＰＱ＝ＭＰ＋ＱＮ，∴ＰＨ＝ＰＭ。 设ＰＨ＝ｔ（０＜ｔ＜２），则点Ｐ的横坐标为ｔ＋１，点Ｍ的 横坐标为２ｔ＋１。 将ｘ＝ｔ＋１代入ｙ＝－２（ｘ＋１）（ｘ－３）， 得ｙＰ＝－２（ｔ＋２）（ｔ－２）， 将ｘ＝２ｔ＋１代入ｙ＝（ｘ＋１）（ｘ－３                                                                  ）， —９５— 得 ｙＭ＝（２ｔ＋２）（２ｔ－２）。 ∵ｙＰ＝ｙＭ，∴－２（ｔ＋２）（ｔ－２）＝（２ｔ＋２）（２ｔ－２）， 即６ｔ２＝１２，解得 ｔ１ 槡＝２，ｔ２ 槡＝－２（舍去）。 ∴点Ｐ的坐标为（槡２＋１，４）。 （３）如图２，连接ＤＥ，交ｘ轴于点Ｇ，过点Ｆ作ＦＩ⊥ＥＤ 于点Ｉ，过点Ｆ作ＦＪ⊥ｘ轴于点Ｊ。 图２ ∵ＦＩ⊥ＥＤ，ＦＪ⊥ｘ轴，∴四边形ＩＧＪＦ是矩形。 ∴ＩＦ＝ＧＪ，ＩＧ＝ＦＪ。 设Ｃ２对应的函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ＋１）（ｘ－３）（ａ＜０）。 ∵点Ｄ，Ｅ分别为二次函数图象Ｃ１，Ｃ２的顶点， ∴Ｄ（１，－４），Ｅ（１，－４ａ）。 ∴ＤＧ＝４，ＡＧ＝２，ＥＧ＝－４ａ。 在Ｒｔ△ＡＧＤ中，ｔａｎ∠ＡＤＧ＝ＡＧＤＧ＝ ２ ４＝ １ ２， ∵ＡＦ⊥ＡＤ，∴∠ＦＡＢ＋∠ＤＡＢ＝９０°。 又∵∠ＤＡＧ＋∠ＡＤＧ＝９０°，∴∠ＡＤＧ＝∠ＦＡＢ。 ∴ｔａｎ∠ＦＡＢ＝ｔａｎ∠ＡＤＧ＝ＦＪＡＪ＝ １ ２。 设ＧＪ＝ｍ（０＜ｍ＜２），则ＡＪ＝２＋ｍ， ∴ＦＪ＝２＋ｍ２ ，Ｆ ｍ＋１， ２＋ｍ( )２ 。 ∵ＥＦ∥ＡＤ，∴∠ＦＥＩ＝∠ＡＤＧ。 ∴ｔａｎ∠ＦＥＩ＝ｔａｎ∠ＡＤＧ＝ＦＩＥＩ＝ １ ２。∴ＥＩ＝２ｍ。 ∵ＥＧ＝ＥＩ＋ＩＧ，∴２ｍ＋２＋ｍ２ ＝－４ａ。 ∴ａ＝－２＋５ｍ８ 。① ∵点Ｆ在Ｃ２上， ∴ａ（ｍ＋１＋１）（ｍ＋１－３）＝ｍ＋２２ ， 即ａ（ｍ＋２）（ｍ－２）＝ｍ＋２２ 。 又∵ｍ＋２≠０，∴ａ（ｍ－２）＝１２。② 由①②可得－２＋５ｍ８ （ｍ－２）＝ １ ２。 解得ｍ１＝０（舍去），ｍ２＝ ８ ５，∴ａ＝－ ５ ４。 ∴图象Ｃ２对应的函数表达式为 ｙ＝－５４（ｘ＋１）（ｘ－３）＝－ ５ ４ｘ ２＋５２ｘ＋ １５ ４。 １９浙江２０２４中考数学试卷 １．Ｃ　【解析】∵３℃＞０℃＞－１℃＞－２℃， ∴所给的四个城市中某天中午１２时气温最低的城市 是太原。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】从正面看，共有三列，从左到右小正方形的 个数分别为２，２，１。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】２０１３７００００＝２．０１３７×１０８。故选Ｄ。 ４．Ｄ　【解析】Ａ．ｘ３＋ｘ２不能合并同类项，故本选项不符 合题意；Ｂ．ｘ３·ｘ２＝ｘ５，故本选项不符合题意；Ｃ．（ｘ３）２ ＝ｘ６，故本选项不符合题意；Ｄ．ｘ６÷ｘ２＝ｘ４，故本选项符 合题意。故选Ｄ。 ５．Ｂ　【解析】某班有５位学生参加志愿服务次数为７，７， ８，１０，１３，从小到大排列排在中间的数为８，所以这５位 学生志愿服务次数的中位数为８。故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】∵△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′是位似图形，位似中心 为点Ｏ，点Ａ（－３，１）的对应点为Ａ′（－６，２）， ∴△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为１∶２。 ∵点Ｂ的坐标为（－２，４）， ∴点Ｂ的对应点Ｂ′的坐标为（－２×２，４×２），即（－４，８）。 故选Ａ。 ７．Ａ　【解析】２ｘ－１≥１，①３（２－ｘ）＞－６。{ ② 解不等式①，得ｘ≥１。 解不等式②，得ｘ＜４。 ∴原不等式组的解集为１≤ｘ＜４。 ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示。 故选Ａ。 ８．Ｃ　【解析】∵Ｒｔ△ＤＡＨ≌Ｒｔ△ＡＢＥ， ∴ＤＨ＝ＡＥ＝４，ＡＨ＝ＢＥ＝３。 ∴ＥＨ＝ＡＥ－ＡＨ＝４－３＝１。 ∵四边形ＥＦＧＨ是正方形，∴∠ＤＨＥ＝９０°。 ∴ＤＥ＝ ＤＨ２＋ＥＨ槡 ２＝ ４２＋１槡 ２ 槡＝ １７。 故选Ｃ。 ９．Ａ　【解析】∵反比例函数ｙ＝４ｘ中，ｋ＝４＞０， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每 一象限内ｙ随ｘ的增大而减小。 当ｔ＜－４时，ｔ＋４＜０。 ∵ｔ＜ｔ＋４，∴ｙ２＜ｙ１＜０。故Ａ正确； 当－４＜ｔ＜０时，点Ｐ（ｔ，ｙ１）在第三象限，点Ｑ（ｔ＋４，ｙ２） 在第一象限， ∴ｙ１＜０，ｙ２＞０。∴ｙ１＜０＜ｙ２。故Ｂ，Ｃ错误； 当ｔ＞０时，ｔ＋４＞０， ∴Ｐ（ｔ，ｙ１），Ｑ（ｔ＋４，ｙ２）在第一象限。 ∵ｔ＜ｔ＋４，∴ｙ１＞ｙ２＞０。故Ｄ错误。 故选Ａ。 １０．Ｃ　【解析】如图，过点Ｄ作 ＤＨ⊥ＢＣ，交 ＢＣ延长线于 点Ｈ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ。 ∵ＡＥ⊥ＢＣ，ＤＨ⊥ＢＣ，∴ＡＥ＝ＤＨ。 ∴Ｒｔ△ＤＣＨ≌Ｒｔ△ＡＢＥ（ＨＬ）。∴ＣＨ＝ＢＥ＝ｘ。 ∵ＢＣ＝ｙ， ∴ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝ｙ－ｘ，ＢＨ＝ＢＣ＋ＣＨ＝ｙ＋ｘ。 ∵ＡＥ２＝ＡＣ２－ＥＣ２，ＤＨ２＝ＢＤ２－ＢＨ２， ∴２２－（ｙ－ｘ）２＝（槡２３） ２ －（ｙ＋ｘ）２。∴ｘｙ＝２。 故选Ｃ。 １１．ａ（ａ－７）　【解析】ａ２－７ａ＝ａ（ａ－７）。 １２．３　【解析】两边都乘以（ｘ－１），得２＝ｘ－１，解得ｘ＝３。 经检验，ｘ＝３是原方程的解                                                                  。 —０６—