17.广东省2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

在Ｒｔ△ＤＮＢ中，ＤＮ＝ＢＤ·ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝槡３２ＢＤ， ∴ＤＥ＝２ＤＮ 槡＝３ＢＤ。 ∴ＣＧＤＥ＝ ２ＢＤ 槡３ＢＤ ＝ 槡２３３。∴ＣＧ＝ 槡２３ ３ＤＥ。 （３）如图３，连接ＢＥ，设ＡＢ与ＤＥ的交点为点Ｎ。 图３ ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＥＦＤ＝∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ＝４５°。 由轴对称知，∠ＥＡＢ＝∠ＤＡＢ＝α，∠ＥＢＡ＝∠ＤＢＡ＝ ４５°，ＤＥ⊥ＡＢ，ＥＮ＝ＤＮ。 如图３，当点Ｇ在边ＡＣ上时，由于∠ＥＡＧ＞９０°， ∴当△ＡＥＧ是等腰三角形时，只能是ＡＥ＝ＡＧ。 ∵∠ＢＡＣ＝∠ＡＦＧ＝９０°， ∴∠ＡＧＥ＝α。∴∠ＡＥＧ＝α。∴∠ＥＡＤ＝２α。 ∵ＡＥ＝ＡＧ，ＥＧ⊥ＡＤ，∴∠ＦＡＧ＝∠ＥＡＤ＝２α。 在△ＡＥＧ中，α＋２α＋２α＋α＝１８０°，解得α＝３０°。 ∴∠ＥＡＤ＝６０°。 ∵ＡＥ＝ＡＤ，∴△ＡＥＤ是等边三角形。∴ＡＥ＝ＤＥ。 设ＡＦ＝ｘ。 ∵∠ＥＡＤ＝６０°， ∴ＡＧ＝ＡＥ＝ＥＤ＝ ＡＦｃｏｓ６０°＝２ｘ。∴ＤＮ＝ｘ。 在Ｒｔ△ＤＡＮ中，ＡＮ＝ ＤＮｔａｎ∠ＤＡＢ 槡 ＝３ＤＮ 槡＝３ｘ， ∵ＤＥ⊥ＡＢ，∠ＡＢＣ＝４５°，∴ＢＮ＝ ＤＮｔａｎ４５°＝ＤＮ＝ｘ。 ∴ＡＣ＝ＡＢ＝ＡＮ＋ＤＮ 槡＝３ｘ＋ｘ。 ∴ＣＧ＝ＡＣ－ＡＧ 槡＝３ｘ＋ｘ－２ｘ＝（槡３－１）ｘ。 ∴ＣＧＡＧ＝ 槡３－１ ２ 。 如图４，连接ＢＥ，当点Ｇ在 ＣＡ的延长线上时，只能是 ＥＧ＝ＡＧ。 图４ ∵∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＥ＝α，∴∠ＤＡＣ＝∠ＧＡＦ＝９０°－α。 ∴∠ＥＡＦ＝１８０°－２α。 ∴∠ＧＡＥ＝∠ＥＡＦ－∠ＧＡＦ＝９０°－α。 ∵ＥＧ＝ＡＧ，∴∠ＧＡＥ＝∠ＧＥＡ＝９０°－α。 ∵∠ＥＦＤ＝∠ＢＡＣ＝９０°， ∴在Ｒｔ△ＡＦＥ中，９０°－α＋１８０°－２α＝９０°， 解得α＝６０°。∴∠ＤＡＣ＝９０°－６０°＝３０°＝∠ＧＡＦ。 设ＧＦ＝ｙ，则ＡＧ＝ＥＧ＝２ｙ，ＡＦ 槡＝３ｙ。 在Ｒｔ△ＥＦＡ中，ＥＦ＝２ｙ＋ｙ＝３ｙ， 由勾股定理，得ＡＥ 槡＝２３ｙ。 在Ｒｔ△ＥＡＮ中，ＡＮ＝ＡＥ·ｃｏｓ６０° 槡＝３ｙ， ＥＮ＝ＤＮ＝ＢＮ＝ＡＥ·ｓｉｎ６０°＝３ｙ， ∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＮ＋ＡＮ＝３ｙ 槡＋３ｙ。 ∴ＣＧ＝ＡＧ＋ＡＣ＝（ 槡５＋３）ｙ。∴ ＣＧ ＡＧ＝ 槡３＋５ ２ 。 综上所述， ＣＧ ＡＧ＝ 槡３＋５ ２ 或 槡３－１ ２ 。 １７２０２４年广东省初中学业水平考试 １．Ａ　【解析】－５＋３＝－（５－３）＝－２。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ不是中心对称图形，是轴对称图形，故不 符合题意；Ｂ是中心对称图形，不是轴对称图形，故不 符合题意；Ｃ既是中心对称图形，又是轴对称图形，符 合题意；Ｄ不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符 合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】３８４０００用科学记数法表示为３．８４×１０５。 故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】由题意，知 ＡＣ∥ＤＥ，∴∠ＡＣＥ＝∠Ｅ＝６０°。 故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．ａ２·ａ５＝ａ７，原式计算错误，不符合题意； Ｂ．ａ８÷ａ２＝ａ６，原式计算错误，不符合题意； Ｃ．－２ａ＋５ａ＝３ａ，原式计算错误，不符合题意； Ｄ．（ａ２）５＝ａ１０，原式计算正确，符合题意。故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】选中“巴蜀文化”的概率是 １４。故选Ａ。 ７．Ｂ　【解析】∵完全相同的４个正方形面积之和为１００， ∴一个正方形的面积为１００÷４＝２５。 ∴正方形的边长为槡２５＝５。故选Ｂ。 ８．Ａ　【解析】∵二次函数ｙ＝ｘ２的图象的对称轴为ｙ轴， 开口向上， ∴当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大。 ∵点（０，ｙ１），（１，ｙ２），（２，ｙ３）都在二次函数 ｙ＝ｘ ２的图 象上，且０＜１＜２， ∴ｙ３＞ｙ２＞ｙ１。故选Ａ。 ９．Ｄ　【解析】去分母，得２ｘ＝３（ｘ－３）。 去括号，得２ｘ＝３ｘ－９。 移项、合并同类项，得－ｘ＝－９。解得ｘ＝９。 经检验，ｘ＝９是原分式方程的解。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】∵不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集为ｘ＜２， ∴当ｘ＜２时，ｙ＜０。观察各个选项，只有选项 Ｂ符合 题意。故选Ｂ。 １１．５　【解析】∵５是这组数据中出现次数最多的数据， ∴这组数据的众数是５。 １２．ｘ≥３　【解析】由数轴可知，两个不等式的解集分别为 ｘ≥３，ｘ＞２，∴不等式组的解集为ｘ≥３。 １３．１　【解析】∵ｘ２＋２ｘ＋ｃ＝０有两个相等的实数根， ∴Δ＝ｂ２－４ａｃ＝４－４ｃ＝０。∴ｃ＝１。 １４．１　【解析】 ａａ－３－ ３ ａ－３＝ ａ－３ ａ－３＝１。 １５．１０　【解析】如图，连接ＡＦ，ＢＤ。 ∵菱形 ＡＢＣＤ的面积为 ２４，点 Ｅ 是ＡＢ的中点，△ＢＥＦ的面积为４， ∴Ｓ△ＡＤＥ ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ × １ ２ Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝６，Ｓ△ＡＢＦ＝２Ｓ△ＢＥＦ＝８。 设菱形ＡＢＣＤ中边ＢＣ上的高为ｈ， 则 Ｓ△ＡＢＦ Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＢＦ·ｈ ＢＣ·ｈ，即 ８ ２４＝ １ ２ＢＦ ＢＣ。 ∴ＢＦＢＣ＝ ２ ３。∴ ＢＦ ＣＦ＝２                                                                  。 —３５— ∴ Ｓ△ＡＢＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝ １ ２ＢＦ·ｈ １ ２ＣＦ·ｈ ＝ＢＦＣＦ＝２。∴Ｓ△ＣＤＦ＝４。 ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ菱形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＡＤＥ－Ｓ△ＢＥＦ－Ｓ△ＣＤＦ＝１０。 １６．解：２０× －１３ 槡＋４－３ －１ ＝１×１３＋２－ １ ３ ＝１３＋２－ １ ３ ＝２。 １７．（１）解：如图１，ＡＤ即为所求作。 图１ 　　 图２ （２）证明：如图 ２，⊙Ｄ即为所求作，作 ＤＥ⊥ＡＢ于 点Ｅ。 ∵ＡＤ是∠ＣＡＢ的平分线，∠Ｃ＝９０°，ＤＥ⊥ＡＢ， ∴ＤＥ＝ＤＣ。 ∴ＤＥ是⊙Ｄ的半径。 又∵ＤＥ⊥ＡＢ， ∴ＡＢ与⊙Ｄ相切。 １８．解：（１）∵四边形ＰＱＭＮ是矩形， ∴∠Ｑ＝∠Ｐ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＢＱ中，∵∠ＡＢＱ＝６０°，ＡＢ＝５．４ｍ， ∴ＡＱ＝ＡＢ·ｓｉｎ∠ＡＢＱ＝ 槡２７３１０（ｍ），∠ＱＡＢ＝３０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＥ＝９０°。 ∴∠ＣＢＥ＝３０°。 ∴ＢＣ＝ ＣＥｔａｎ∠ＣＢＥ ＝ 槡８３５（ｍ）。∴ＡＤ＝ 槡８３ ５ ｍ。 ∵∠ＰＡＤ＝１８０°－３０°－９０°＝６０°， ∴ＡＰ＝ＡＤ·ｃｏｓ∠ＰＡＤ＝ 槡４３５（ｍ）。 ∴ＰＱ＝ＡＰ＋ＡＱ＝ 槡７３２≈６．１（ｍ）。 （２）在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＢＥ＝ ＣＥｓｉｎ∠ＣＢＥ ＝３．２（ｍ）， 在Ｒｔ△ＡＢＱ中，ＢＱ＝ＡＢ·ｃｏｓ∠ＡＢＱ＝２．７（ｍ）。 ∵该充电站有２０个停车位， ∴ＱＭ＝ＢＱ＋２０ＢＥ＝６６．７（ｍ）。 ∵四边形ＰＱＭＮ是矩形， ∴ＰＮ＝ＱＭ＝６６．７ｍ。 １９．解：（１）Ａ景区得分为６×３０％＋８×１５％＋７×４０％＋ ９×１５％＝７．１５（分）， Ｂ景区得分为 ７×３０％ ＋７×１５％ ＋８×４０％ ＋７× １５％＝７．４（分）， Ｃ景区得分为 ８×３０％ ＋８×１５％ ＋６×４０％ ＋６× １５％＝６．９（分）。 ∵６．９＜７．１５＜７．４， ∴王先生会选择Ｂ景区去游玩。 （２）Ａ景区得分为６＋７＋８＋９４ ＝７．５（分）， Ｂ景区得分为７＋７＋８＋７４ ＝７．２５（分）， Ｃ景区得分为６＋６＋８＋８４ ＝７（分）。 ∵７＜７．２５＜７．５， ∴王先生会选择Ａ景区去游玩。 （３）按特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个 方面的占比分别为３０％，２０％，４０％，１０％，最合适的 景区是Ｂ景区。理由如下： Ａ景区得分为 ６×３０％ ＋８×２０％ ＋７×４０％ ＋９× １０％＝７．１（分）， Ｂ景区得分为 ７×３０％ ＋７×２０％ ＋８×４０％ ＋７× １０％＝７．４（分）， Ｃ景区得分为 ８×３０％ ＋８×２０％ ＋６×４０％ ＋６× １０％＝７（分）。 ∵７＜７．１＜７．４， ∴会选择Ｂ景区去游玩。（答案不唯一，合理即可） ２０．解：设每吨降价ｘ万元，每天的利润为 ｗ万元，销售收 入为ｚ。 由题意，得ｗ＝（５－ｘ－２）（１００＋５０ｘ） ＝－５０ｘ２＋５０ｘ＋３００＝－５０ｘ－( )１２ ２ ＋３１２．５。 ∵－５０＜０， ∴当ｘ＝１２时，ｗ有最大值，最大值为３１２．５。 ∴５－１２＝４．５（万元）。 由题意，得ｚ＝（５－ｘ）（１００＋５０ｘ） ＝－５０ｘ２＋１５０ｘ＋５００＝－５０ｘ－( )３２ ２ ＋６１２．５。 ∵－５０＜０， ∴当ｘ＝３２时，ｚ有最大值，最大值为６１２．５。 ∴５－３２＝３．５（万元）。 答：当定价为每吨４．５万元时，每天的利润最大，最大 值为３１２．５万元；当定价为每吨３．５万元时，每天的销 售收入最大，最大值为６１２．５万元。 ２１．解：（１）滤纸能紧贴此漏斗内壁。 说明：设圆锥展开图的扇形圆心角为ｎ°， 根据题意，得 ｎπ·７ １８０ ＝７π。解得ｎ＝１８０°。 ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁。 （２）设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为 ｒｃｍ，高为 ｈｃｍ， 根据题意，得２πｒ＝１８０π×５１８０ 。解得ｒ＝ ５ ２。 ∴ｈ＝ ５２－( )５２槡 ２ ＝ 槡５３２。 ∴滤纸围成圆锥形的体积为 １３πｒ ２ｈ＝１３π×( )５２ ２ × 槡５３ ２ ＝ 槡１２５３ ２４ π（ｃｍ ３）。 ２２．（１）证明：∵ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线， ∴ＤＥ＝１２ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ＝ １ ２ＡＢ。 又∵△ＡＤＣ绕点 Ｄ按逆时针方向旋转得到△Ａ′ＤＣ′， 点Ｅ的对应点Ｅ′与点Ａ重合， ∴ＤＥ＝ＡＤ。 ∴ＡＢ＝ＢＣ。 （２）证明：由题意可知 ＣＤ＝Ｃ′Ｄ，ＡＤ＝Ａ′Ｄ，∠ＣＤＣ′ ＝∠ＡＤＡ′                                                                  。 —４５— 图１ 如图１，作ＤＧ⊥ＣＣ′于点 Ｇ，则∠ＤＧＣ′＝９０°，ＣＧ＝Ｃ′Ｇ ＝１２ＣＣ′，∠ＣＤＧ＝∠Ｃ′ＤＧ＝ １ ２∠ＣＤＣ′。 ∵ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线， ∴ＢＤ＝ＡＤ＝Ａ′Ｄ。∴∠Ａ′ＢＤ＝∠ＢＡ′Ｄ。 ∵∠Ａ′ＤＡ＝∠Ａ′ＢＤ＋∠ＢＡ′Ｄ， ∴∠ＢＡ′Ｄ＝１２∠Ａ′ＤＡ。∴∠ＢＡ′Ｄ＝∠Ｃ′ＤＧ。 又∵ＢＤ＝Ａ′Ｄ，ＤＦ是△Ａ′ＢＤ的中线， ∴ＤＦ⊥Ａ′Ｂ。∴∠Ａ′ＦＤ＝∠ＤＧＣ′＝９０°。 ∴△Ａ′ＦＤ∽△ＤＧＣ′。∴ＤＦＣ′Ｇ＝ Ａ′Ｄ Ｃ′Ｄ。 ∴ ＤＦ１ ２ＣＣ′ ＝ＢＤＣＤ。 ∴２ＤＦ·ＣＤ＝ＢＤ·ＣＣ′。 （３）解：四边形ＡＤＥＣ内存在点Ｇ，使得∠ＡＧＤ＋∠ＣＧＥ ＝１８０°。 证明：∵ＤＥ⊥ＢＣ，∴∠ＤＥＢ＝９０°。 在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＤＥ＝ＢＥ·ｔａｎＢ＝３×４３＝４， ∴ＢＤ＝ ＢＥ２＋ＤＥ槡 ２＝ ３２＋４槡 ２＝５。 如图２，过点Ｃ作ＣＭ⊥ＡＢ于点Ｍ， 图２ ∴∠ＣＭＢ＝∠ＤＥＢ＝９０°。 ∵∠Ｂ＝∠Ｂ， ∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＭ。 ∴ＢＤＢＣ＝ ＢＥ ＢＭ， 即 ５ ３＋３２３ ＝３ＢＭ。 ∴ＢＭ＝４１５。 ∴ＤＭ＝ＢＭ－ＢＤ＝４１５－５＝ １６ ５。 ∵ＡＤ＝３２５，∴ＤＭ＝ １ ２ＡＤ。 ∴点Ｍ是ＡＤ的中点。∴ＣＭ是ＡＤ的垂直平分线。 过点Ｄ作ＤＰ∥ＢＣ，交ＣＭ于点Ｐ，连接ＡＰ，ＥＰ， ∴ＡＰ＝ＤＰ。∴根据三线合一，得∠ＤＰＭ＝∠ＡＰＭ。 ∵ＤＰ∥ＢＣ，∴∠ＭＤＰ＝∠Ｂ。 ∵∠ＰＭＤ＝∠ＤＥＢ，∴△ＰＤＭ∽△ＤＢＥ。 ∴ＤＰＢＤ＝ ＤＭ ＢＥ，即 ＰＤ ５＝ １６ ５ ３。∴ＤＰ＝ １６ ３。 过点Ｐ作ＰＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，则四边形ＤＥＮＰ是矩形。 ∴ＥＮ＝ＤＰ＝１６３，ＰＮ＝ＤＥ＝４。 ∵ＣＥ＝３２３，∴ＥＮ＝ １ ２ＣＥ。 ∴点Ｎ是ＣＥ的中点。∴ＰＮ是ＣＥ的垂直平分线。 ∴ＰＥ＝ＰＣ。∴∠ＥＰＮ＝∠ＣＰＮ＝１２∠ＥＰＣ。 ∵△ＰＤＭ∽△ＤＢＥ，∴ＤＭＰＭ＝ ＢＥ ＤＥ＝ ３ ４。 又∵ＰＮＥＮ＝ ４ １６ ３ ＝３４， ∴ＰＮＥＮ＝ ＤＭ ＰＭ。 又∵∠ＰＮＥ＝∠ＤＭＰ＝９０°，∴△ＰＥＮ∽△ＤＰＭ。 ∴∠ＥＰＮ＝∠ＰＤＭ。 ∵∠ＭＰＤ＋∠ＰＤＭ＝１８０°－∠ＰＭＤ＝９０°， ∴∠ＭＰＤ＋∠ＥＰＮ＝９０°， 即 １ ２∠ＡＰＤ＋ １ ２∠ＥＰＣ＝９０°。 ∴∠ＡＰＤ＋∠ＥＰＣ＝１８０°。 ∴当点Ｇ与点Ｐ重合时，满足∠ＡＧＤ＋∠ＣＧＥ＝１８０°。 ２３．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＤ∥ｘ轴， ∴ＡＤ∥ＢＣ∥ｘ轴，ＡＢ∥ＣＤ∥ｙ轴。 设Ｂ（ｍ，ｍａ），则Ａｍ，ｋ( )ｍ 。 ∴点Ｄ的纵坐标为 ｋｍ。 将ｙ＝ｋｍ代入ｙ＝ａｘ，得 ｋ ｍ＝ａｘ，解得ｘ＝ ｋ ａｍ。 ∴Ｄ ｋａｍ， ｋ( )ｍ 。∴Ｃ ｋａｍ，( )ａｍ。 将ｘ＝ｋａｍ代入ｙ＝ ｋ ｘ，得ｙ＝ａｍ， ∴函数ｙ＝ｋｘ的图象必经过点Ｃ。 （２）解：∵点Ｂ（１，２）在直线ｙ＝ａｘ上。∴ａ＝２。 ∴ｙ＝２ｘ。 ∵Ｂ（１，２），∴点Ａ的横坐标为１，点Ｃ的纵坐标为２。 ∵函数ｙ＝ｋｘ的图象经过点Ａ，Ｃ，∴Ａ（１，ｋ），Ｃ ｋ ２，( )２。 ∴ＢＣ＝ｋ２－１，Ｄ ｋ ２，( )ｋ。∴ＣＤ＝ｋ－２。 ∵把矩形ＡＢＣＤ沿ＢＤ折叠，点Ｃ的对应点为Ｅ， ∴ＢＥ＝ＢＣ＝ｋ２－１，ＤＥ＝ＤＣ＝ｋ－２，∠ＢＥＤ＝∠ＢＣＤ＝９０°。 ∴ＤＥＢＥ＝ ｋ－２ ｋ ２－１ ＝２。 如图１，过点Ｄ作ＤＨ⊥ｙ轴，过点Ｂ作ＢＦ⊥ｙ轴。 ∵ＡＤ∥ｘ轴，∴Ｈ，Ａ，Ｄ三点共线。 ∵∠ＤＥＢ＝∠ＥＦＢ＝９０°， ∴∠ＨＥＤ＋∠ＢＥＦ＝９０°，∠ＢＥＦ＋∠ＥＢＦ＝９０°。 图１ ∴∠ＨＥＤ＝∠ＥＢＦ。 ∵∠ＤＨＥ＝∠ＥＦＢ＝９０°， ∴△ＤＨＥ∽△ＥＦＢ。 ∴ＤＨＥＦ＝ ＥＨ ＢＦ＝ ＤＥ ＢＥ＝２。 ∵ＢＦ＝１，ＤＨ＝ｋ２， ∴ＥＨ＝２，ＥＦ＝ｋ４。∴ＦＨ＝２＋ ｋ ４。 由图，知ＦＨ＝ＣＤ，∴２＋ｋ４＝ｋ－２。∴ｋ＝ １６ ３。 （３）解：∵把矩形 ＡＢＣＤ沿 ＢＤ折叠，点 Ｃ的对应点为 Ｅ，当点Ｅ，Ａ重合时，ＡＣ⊥ＢＤ， ∴四边形ＡＢＣＤ是正方形，∠ＡＢＰ＝∠ＤＢＣ＝４５°                                                                  。 —５５— ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝ ＡＰｓｉｎ４５° 槡＝２ＡＰ， ＡＰ＝ＣＰ＝ＢＰ＝ＤＰ＝１２ＢＤ＝ １ ２ＡＣ。 ∵ＢＣ∥ｘ轴， ∴直线ｙ＝ａｘ是第一、三象限的夹角平分线。 ∴ｙ＝ｘ。 图２ 当⊙Ｏ过点Ｂ时，如图２所 示，过点Ｄ作ＤＨ∥ｘ轴交ｙ 轴于点Ｈ。 ∵ＡＤ∥ｘ轴， ∴Ｈ，Ａ，Ｄ三点共线。 ∵以点 Ｏ为圆心，ＡＣ长为 半径作⊙Ｏ，ＯＰ 槡＝３２， ∴ＯＰ＝ＯＢ＋ＢＰ＝ＡＣ＋ＢＰ ＝２ＡＰ＋ＡＰ＝３ＡＰ 槡＝３２。 ∴ＡＰ 槡＝２。 ∴ＡＢ＝ＡＤ 槡＝２ＡＰ＝２，ＢＤ＝２ＡＰ 槡＝２２，ＯＢ＝ＡＣ＝２ＡＰ 槡＝２２。 ∵ＡＢ∥ｙ轴，∴△ＤＨＯ∽△ＤＡＢ。 ∴ＯＨＡＢ＝ ＤＨ ＡＤ＝ ＯＤ ＢＤ， ∴ＯＨ２＝ ＤＨ ２＝ 槡 槡２２＋２２ 槡２２ 。 ∴ＯＨ＝ＤＨ＝４。 ∴ＡＨ＝ＤＨ－ＡＤ＝４－２＝２。 ∴Ａ（２，４）。 ∴ｋ＝２×４＝８； 当⊙Ｏ过点Ａ时，根据Ａ，Ｃ关于直线ＯＤ对称，知⊙Ｏ 必过点Ｃ，如图３所示，连接ＯＡ，ＯＣ，过点Ｄ作ＤＨ∥ｘ 轴交ｙ轴于点Ｈ。 图３ ∵ＯＡ＝ＯＣ＝ＡＣ，∴△ＡＯＣ是等边三角形。 ∴∠ＡＯＣ＝６０°。 ∵ＯＰ⊥ＡＣ， ∴∠ＡＯＰ＝１２×６０°＝３０°。 ∴ＡＰ＝ｔａｎ３０°×ＯＰ＝槡３３ 槡 槡×３２＝６＝ＤＰ。 ∴ＡＣ＝ＢＤ＝２ＡＰ 槡＝２６，ＡＢ＝ＡＤ 槡＝２ＡＰ 槡＝２３， ＯＤ＝ＯＰ＋ＤＰ 槡 槡＝３２＋６。 ∵ＡＢ∥ｙ轴，∴△ＤＨＯ∽△ＤＡＢ。 ∴ＯＨＡＢ＝ ＤＨ ＡＤ＝ ＯＤ ＢＤ。 ∴ＯＨ 槡２３ ＝ＤＨ 槡２３ ＝ 槡 槡３２＋６ 槡２６ 。 ∴ＯＨ＝ＤＨ 槡＝３＋３。 ∴ＡＨ＝ＤＨ－ＡＤ 槡 槡 槡＝３＋３－２３＝３－３。 ∴Ａ（ 槡３－３， 槡３＋３）。 ∴ｋ＝（ 槡３－３）×（ 槡３＋３）＝６。 ∴当⊙Ｏ与△ＡＢＣ的边有交点时，ｋ的取值范围是 ６≤ｋ≤８。 １８苏州市２０２４年初中学业水平考试试卷 １．Ｂ　【解析】∵｜－３｜＝３，｜１｜＝１，｜２｜＝２，｜３｜＝３， 而３＜２＜１，∴１与原点距离最近。故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】选项Ｂ，Ｃ，Ｄ中的图形都不能找到这样的一 条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，所以不是轴对称图形；选项Ａ中的图形能找到这 样的一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，所以是轴对称图形。故选Ａ。 ３．Ｃ　【解析】２４７００００００００００＝２．４７×１０１２。故选Ｃ。 ４．Ｄ　【解析】不等式两边加１，得ａ＋１＞ｂ，故选项Ａ不符合 题意，选项Ｄ符合题意；根据ａ＞ｂ－１，得不到ａ－１＜ｂ， ａ＞ｂ，故选项Ｂ，Ｃ不符合题意。故选Ｄ。 ５．Ｂ　【解析】∵ＡＢ∥ＣＤ，∠１＝６５°，∴∠ＡＣＤ＝∠１＝６５°。 ∵∠２＝∠ＡＣＤ＋∠３＝１２０°，∴∠３＝５５°。故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】∵要推出由７个盲盒组成的套装产品， ∴中位数应该是质量由小到大排列的第４个盲盒。 ∵序号为１到５号的盲盒已选定，这５个盲盒质量的中 位数恰好为１００，６号盲盒从甲、乙、丙中选择１个，７号 盲盒从丁、戊中选择１个，使选定７个盲盒质量的中位 数仍为１００，∴选定的６号盲盒和７号盲盒的质量应该 一个超过１００，另一个低于１００。∴选定的可以是甲， 戊；乙，丁；丙，丁。故选Ｃ。 ７．Ａ　【解析】如图，作 ＡＧ⊥ｘ轴，垂足为 Ｇ，ＢＨ⊥ｘ轴，垂 足为Ｈ。 ∵点Ａ在函数ｙ＝－１ｘ图象上，点Ｂ在反比例函数 ｙ＝４ｘ图象上，∴Ｓ△ＡＧＯ＝ １ ２，Ｓ△ＢＯＨ＝２。 ∵∠ＡＯＢ＝９０°，∴∠ＡＯＧ＝∠ＨＢＯ，∠ＡＧＯ＝∠ＯＨＢ。 ∴△ＡＧＯ∽△ＯＨＢ。∴ Ｓ△ＡＧＯ Ｓ△ＯＨＢ ＝ ＡＯ( )ＯＢ ２ ＝ １ ２ ２。 ∴ＡＯＢＯ＝ １ ２。故选Ａ。 ８．Ｄ　【解析】如图，连接ＡＣ交ＥＦ于点Ｏ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝９０°。 ∵ＡＢ 槡＝３，ＢＣ＝１，∴ＡＣ＝ ＡＢ ２＋ＢＣ槡 ２ 槡＝ ３＋１＝２。 ∵动点Ｅ，Ｆ分别从点 Ａ，Ｃ同时出发，以每秒１个单位 长度的速度沿ＡＢ，ＣＤ向终点Ｂ，Ｄ运动， ∴ＣＦ＝ＡＥ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＢ。 又∵∠ＣＯＦ＝∠ＡＯＥ， ∴△ＣＯＦ≌△ＡＯＥ（ＡＡＳ）。∴ＯＡ＝ＯＣ＝１。 ∵ＡＧ⊥ＥＦ，∴点Ｇ在以ＡＯ为直径的圆上运动。 ∴ＡＧ为直径时，ＡＧ有最大值为１。故选Ｄ                                                                  。 —６５— 　－６６　－ 一、选择题：本大题共１０小题，每小题３分，共３０分。在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 １．计算－５＋３的结果为 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．－２ Ｂ．－８ Ｃ．２ Ｄ．８ ２．下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的 是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．２０２４年６月６日，嫦娥六号在距离地球约３８４０００千米 外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接。数据 ３８４０００用科学记数法表示为 （　　） Ａ．３．８４×１０４ Ｂ．３．８４×１０５ Ｃ．３．８４×１０６ Ｄ．３８．４×１０５ ４．如图，一把直尺、两个含 ３０°的三角尺拼接在一起，则 ∠ＡＣＥ的度数为 （　　） Ａ．１２０° Ｂ．９０° Ｃ．６０° Ｄ．３０° ５．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ａ２·ａ５＝ａ１０ Ｂ．ａ８÷ａ２＝ａ４ Ｃ．－２ａ＋５ａ＝７ａ Ｄ．（ａ２）５＝ａ１０ ６．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴 蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化。若从上述四种 区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴 蜀文化”的概率是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ３ ４ ７．完全相同的４个正方形面积之和为１００，则正方形的边 长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．５ Ｃ．１０ Ｄ．２０ ８．若点（０，ｙ１），（１，ｙ２），（２，ｙ３）都在二次函数ｙ＝ｘ ２的图象 上，则 （　　） Ａ．ｙ３＞ｙ２＞ｙ１ Ｂ．ｙ２＞ｙ１＞ｙ３ Ｃ．ｙ１＞ｙ３＞ｙ２ Ｄ．ｙ３＞ｙ１＞ｙ２ ９．方程 ２ｘ－３＝ ３ ｘ的解为 （　　） Ａ．ｘ＝－３ Ｂ．ｘ＝－９ Ｃ．ｘ＝３ Ｄ．ｘ＝９ １０．已知不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集为ｘ＜２，则一次函数ｙ＝ ｋｘ＋ｂ的图象大致是 （　　） Ａ 　　 Ｂ Ｃ 　　 Ｄ 二、填空题：本大题共５小题，每小题３分，共１５分。 １１．数据５，２，５，４，３的众数是　　　　。 １２．关于ｘ的不等式组中，两个不等式的解集如图所示， 则这个不等式组的解集为　　　　。 第１２题图 　　 第１５题图 １３．若关于ｘ的一元二次方程 ｘ２＋２ｘ＋ｃ＝０有两个相等 的实数根，则ｃ＝　　　。 １４．计算：ａａ－３－ ３ ａ－３＝　　　。 １５．如图，菱形ＡＢＣＤ的面积为２４，点 Ｅ是 ＡＢ的中点，点 Ｆ是 ＢＣ上的动点。若△ＢＥＦ的面积为４，则图中阴 影部分的面积为　　　　。 三、解答题（一）：本大题共３小题，每小题７分，共２１分。 １６．计算：２０× －１３ 槡＋４－３ －１。 １７．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°。 （１）实践与操作：用尺规作图法作∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ 于点Ｄ；（保留作图痕迹，不要求写作法） （２）应用与证明：在（１）的条件下，以点Ｄ为圆心，ＤＣ长 为半径作⊙Ｄ。求证：ＡＢ与⊙Ｄ相切。 １８．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型 作出了巨大贡献。为满足新能源汽车的充电需求，某小 区增设了充电站，如图是矩形 ＰＱＭＮ充电站的平面示 意图，矩形 ＡＢＣＤ是其中一个停车位。经测量，∠ＡＢＱ ＝６０°，ＡＢ＝５．４ｍ，ＣＥ＝１．６ｍ，ＧＨ⊥ＣＤ，ＧＨ是另一个 车位的宽，所有车位的长、宽相同，按图示并列划定。 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到０．１ｍ，参考 数据：槡３≈１．７３） （１）求ＰＱ的长； （２）该充电站有２０个停车位，求ＰＮ的长。 四、解答题（二）：本大题共３小题，每小题９分，共２７分。 １９．端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了 选择一个最合适的景区，王先生对 Ａ，Ｂ，Ｃ三个景区进 行了调查与评估。他依据特色美食、自然风光、乡村民 宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（１０分制）。 三个景区的得分如下表所示。 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 Ａ ６ ８ ７ ９ Ｂ ７ ７ ８ ７ Ｃ ８ ８ ６ ６ （１）如果王先生认为四项所占百分比如图所示，通过计 算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？ （２）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王 先生将会选择哪个景区去游玩？ （３）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设 计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由。 －６５－ １７广东省２０２４年初中学业水平考试 （时间：９０分钟　总分：１２０分） 　－６８　－ ２０．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”， ２０２３年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果 远销欧美。某果商以每吨２万元的价格收购早熟荔枝， 销往国外。若按每吨５万元出售，平均每天可售出１００ 吨。市场调查反映：如果每吨降价１万元，每天销售量 相应增加 ５０吨。该果商如何定价才能使每天的“利 润”或“销售收入”最大？并求出其最大值。（题中 “元”为人民币） ２１．综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图１所示。 ①一张直径为１０ｃｍ的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为 ７ｃｍ的圆锥形过滤 漏斗。 图１ 【实践操作】 步骤１：取一张滤纸； 步骤２：按如图２所示步骤折叠好滤纸； 步骤３：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤４：将围成圆锥形的滤纸放入如图１所示漏斗中。 图２ 【实践探索】 （１）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？ 用你所学的数学知识说明； （２）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体 积。（结果保留π） 五、解答题（三）：本大题共２小题，第２２题１３分，第２３题 １４分，共２７分。 ２２．【知识技能】 （１）如图１，在△ＡＢＣ中，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线。连接 ＣＤ，将△ＡＤＣ绕点Ｄ按逆时针方向旋转，得到△Ａ′ＤＣ′。 当点Ｅ的对应点Ｅ′与点Ａ重合时，求证：ＡＢ＝ＢＣ； 【数学理解】 （２）如图２，在△ＡＢＣ中（ＡＢ＜ＢＣ），ＤＥ是△ＡＢＣ的中位 线。连接ＣＤ，将△ＡＤＣ绕点 Ｄ按逆时针方向旋转，得 到△Ａ′ＤＣ′，连接 Ａ′Ｂ，ＣＣ′，作△Ａ′ＢＤ的中线 ＤＦ。求 证：２ＤＦ·ＣＤ＝ＢＤ·ＣＣ′； 【拓展探索】 （３）如图３，在△ＡＢＣ中，ｔａｎＢ＝４３，点Ｄ在ＡＢ上，ＡＤ＝ ３２ ５。过点Ｄ作ＤＥ⊥ＢＣ，垂足为 Ｅ，ＢＥ＝３，ＣＥ＝ ３２ ３。在 四边形 ＡＤＥＣ内是否存在点 Ｇ，使得∠ＡＧＤ＋∠ＣＧＥ＝ １８０°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。 图１ 　　 图２ 图３ ２３．【问题背景】 如图１，在平面直角坐标系中，点 Ｂ，Ｄ是直线 ｙ＝ａｘ（ａ ＞０）上第一象限内的两个动点（ＯＤ＞ＯＢ），以线段 ＢＤ 为对角线作矩形 ＡＢＣＤ，ＡＤ∥ｘ轴。反比例函数 ｙ＝ｋｘ 的图象经过点Ａ。 【构建联系】 （１）求证：函数ｙ＝ｋｘ的图象必经过点Ｃ； （２）如图２，把矩形ＡＢＣＤ沿 ＢＤ折叠，点 Ｃ的对应点为 Ｅ。当点Ｅ落在ｙ轴上，且点 Ｂ的坐标为（１，２）时，求 ｋ 的值； 【深入探究】 （３）如图３，把矩形ＡＢＣＤ沿 ＢＤ折叠，点 Ｃ的对应点为 Ｅ。当点Ｅ，Ａ重合时，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｐ。以点Ｏ为 圆心，ＡＣ长为半径作⊙Ｏ。若 ＯＰ 槡＝３ ２，当⊙Ｏ与 △ＡＢＣ的边有交点时，求ｋ的取值范围。 －６７－