16.重庆市2024年初中学业水平置高中招生考试(A卷)-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－６２　－ 一、选择题（本大题１０个小题，每小题４分，共４０分） １．下列四个数中，最小的数是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．－２ Ｂ．０ Ｃ．３ Ｄ．－１２ ２．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３．已知点（－３，２）在反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象上，则ｋ的值 为 （　　） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－６ Ｄ．６ ４．如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠１＝６５°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．１０５° Ｂ．１１５° Ｃ．１２５° Ｄ．１３５° ５．若两个相似三角形的相似比为１∶３，则这两个相似三角 形的面积比为 （　　） Ａ．１∶３ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶６ Ｄ．１∶９ ６．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这 类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表 碳原子，白球代表氢原子。第１种如图１有４个氢原子， 第２种如图２有６个氢原子，第３种如图３有８个氢原 子……按此规律，第１０种化合物的分子结构模型中氢原 子的个数为 （　　） 图１ 　 图２ 　 图３ 　 图４ Ａ．２０ Ｂ．２２ Ｃ．２４ Ｄ．２６ ７．已知ｍ 槡 槡＝ ２７－３，则实数ｍ的范围是 （　　） Ａ．２＜ｍ＜３ Ｂ．３＜ｍ＜４ Ｃ．４＜ｍ＜５ Ｄ．５＜ｍ＜６ ８．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，分别以点Ａ和Ｃ为圆心，ＡＤ长为 半径画弧，两弧有且仅有一个公共点。若ＡＤ＝４，则图中 阴影部分的面积为 （　　） Ａ．３２－８π 槡Ｂ．１６３－４π Ｃ．３２－４π 槡Ｄ．１６３－８π ９．如图，在正方形 ＡＢＣＤ的边 ＣＤ上有一点 Ｅ，连接 ＡＥ， 把ＡＥ绕点 Ｅ逆时针旋转９０°，得到 ＦＥ，连接 ＣＦ并延 长与ＡＢ的延长线交于点Ｇ，则ＦＧＣＥ的值为 （　　） 槡Ａ．２ 槡Ｂ．３ Ｃ．槡３２２ Ｄ．槡３３２ １０．已知整式 Ｍ：ａｎｘ ｎ＋ａｎ－１ｘ ｎ－１＋… ＋ａ１ｘ＋ａ０，其中 ｎ， ａｎ－１，…，ａ０为自然数，ａｎ为正整数，且 ｎ＋ａｎ＋ａｎ－１＋ …＋ａ１＋ａ０＝５。下列说法： ①满足条件的整式Ｍ中有５个单项式； ②不存在任何一个ｎ，使得满足条件的整式 Ｍ有且仅 有３个； ③满足条件的整式Ｍ共有１６个。 其中正确的个数为 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 二、填空题（本大题８个小题，每小题４分，共３２分） １１．计算：（π－３）０＋（１２） －１＝ 。 １２．如果一个多边形的每一个外角都为４０°，那么这个多 边形的边数为 。 １３．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源。甲、乙 两人相约来到重庆旅游，两人分别从 Ａ，Ｂ，Ｃ三个景 点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景 点Ｂ的概率是 。 １４．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增。该 公司２０２１年缴税 ４０万元，２０２３年缴税 ４８．４万元。 该公司这两年缴税的年平均增长率为 。 １５．如图，在△ＡＢＣ中，延长 ＡＣ至点 Ｄ，使 ＣＤ＝ＡＣ，过点 Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ，且ＤＥ＝ＣＤ，连接ＡＥ交ＢＣ于点Ｆ。若 ∠ＣＡＢ＝∠ＣＦＡ，ＣＦ＝１，则ＢＦ＝ 。 １６．若关于ｘ的不等式组 ４ｘ－１ ３ ＜ｘ＋１， ２（ｘ＋１）≥－ｘ＋{ ａ至少有２个整数 解，且关于ｙ的分式方程ａ－１ｙ－１＝２－ ３ １－ｙ的解为非负整 数，则所有满足条件的整数ａ的值之和为 。 １７．如图，以 ＡＢ为直径的⊙Ｏ与 ＡＣ 相切于点 Ａ，以 ＡＣ为边作平行四 边形 ＡＣＤＥ，点 Ｄ，Ｅ均在⊙Ｏ上， ＤＥ与 ＡＢ交于点 Ｆ，连接 ＣＥ，与 ⊙Ｏ交于点Ｇ，连接 ＤＧ。若 ＡＢ＝ １０，ＤＥ＝８，则ＡＦ＝ ，ＤＧ＝ 。 １８．我们规定：若一个正整数 Ａ能写成 ｍ２－ｎ，其中 ｍ与 ｎ 都是两位数，且ｍ与ｎ的十位数字相同，个位数字之和 为８，则称Ａ为“方减数”，并把 Ａ分解成 ｍ２－ｎ的过 程，称为“方减分解”。例如：因为６０２＝２５２－２３，２５与 ２３的十位数字相同，个位数字５与３的和为８，所以６０２ 是“方减数”，６０２分解成６０２＝２５２－２３的过程就是“方 减分解”。按照这个规定，最小的 “方减数”是 。把一个“方减数”Ａ进行“方减分解”，即 Ａ ＝ｍ２－ｎ，将 ｍ放在 ｎ的左边组成一个新的四位数 Ｂ， 若Ｂ除以１９余数为１，且２ｍ＋ｎ＝ｋ２（ｋ为整数），则满 足条件的正整数Ａ为 。 三、解答题（本大题８个小题，共７８分） １９．（８分）计算：（１）ｘ（ｘ－２ｙ）＋（ｘ＋ｙ）２； （２）（１＋１ａ）÷ ａ２－１ ａ２＋ａ 。 ２０．（１０分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了 安全知识竞赛。现从七、八年级的学生中各随机抽取 ２０名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、 分析。所有学生的成绩均高于６０分（成绩得分用 ｘ表 示，共分成四组：Ａ．６０＜ｘ≤７０；Ｂ．７０＜ｘ≤８０；Ｃ．８０＜ｘ ≤９０；Ｄ．９０＜ｘ≤１００），下面给出了部分信息： 七年级２０名学生的竞赛成绩为６６，６７，６８，６８，７５，８３， ８４，８６，８６，８６，８６，８７，８７，８９，９５，９５，９６，９８，９８，１００。 八年级２０名学生的竞赛成绩在 Ｃ组的数据为８１，８２， ８４，８７，８８，８９。 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 ８５ ８５ 中位数 ８６ ｂ 众数 ａ ７９ 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （１）上述图表中ａ＝ ，ｂ＝ ，ｍ＝ ； （２）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个 年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写 出一条理由即可）； （３）该校七年级有４００名学生、八年级有５００名学生参 加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次 安全知识竞赛成绩优秀（ｘ＞９０）的学生人数为多少？ ２１．（１０分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组 进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线 的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和 这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证 明三角形全等得到此结论。根据他们的想法与思路，完 成以下作图和填空： （１）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｏ是对角线 ＡＣ的中点。用 尺规过点Ｏ作ＡＣ的垂线，分别交 ＡＢ，ＣＤ于点 Ｅ，Ｆ，连 接ＡＦ，ＣＥ（不写作法，保留作图痕迹）； （２）已知：矩形 ＡＢＣＤ，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＣＤ上，ＥＦ经 过对角线 ＡＣ的中点 Ｏ，且 ＥＦ⊥ＡＣ。求证：四边形 ＡＥＣＦ是菱形。 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＢ∥ＣＤ。 ∴① 　，∠ＦＣＯ＝∠ＥＡＯ。 ∵Ｏ是ＡＣ的中点， ∴② 　。 ∴△ＣＦＯ≌△ＡＥＯ（ＡＡＳ）。 ∴③ 　。 又∵ＯＡ＝ＯＣ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形。 ∵ＥＦ⊥ＡＣ，∴四边形ＡＥＣＦ是菱形。 进一步思考，如果四边形ＡＢＣＤ是平行四边形呢？请你 模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ 　。 －６１－ １６重庆市２０２４年初中学业水平暨高中招生考试（Ａ卷） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） 　－６４　－ ２２．（１０分）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一 笔资金对现有甲、乙两类共３０条生产线的设备进行更 新换代。 （１）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相 应的补贴政策。根据相关政策，更新１条甲类生产线的 设备可获得３万元的补贴，更新１条乙类生产线的设备 可获得２万元的补贴。这样更新完这３０条生产线的设 备，该企业可获得７０万元的补贴。该企业甲、乙两类生 产线各有多少条？ （２）经测算，更新１条甲类生产线的设备比更新１条乙 类生产线的设备需多投入５万元，用２００万元更新甲类 生产线的设备数量和用１８０万元更新乙类生产线的设 备数量相同，那么该企业在获得７０万元的补贴后，还需 投入多少资金更新生产线的设备？ ２３．（１０分）如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，Ｐ是 ＡＢ上 一点，ＡＰ＝ｘ，过点Ｐ作ＰＱ∥ＢＣ交ＡＣ于点Ｑ。点Ｐ，Ｑ 的距离为ｙ１，△ＡＢＣ的周长与△ＡＰＱ的周长之比为ｙ２。 （１）请直接写出ｙ１，ｙ２分别关于ｘ的函数表达式，并注明 自变量ｘ的取值范围； （２）在给定的平面直角坐标系中，画出函数 ｙ１，ｙ２的图 象，并分别写出函数ｙ１，ｙ２的一条性质； （３）结合函数图象，请直接写出 ｙ１＞ｙ２时 ｘ的取值范围 （近似值保留小数点后一位，误差不超过０．２）。 图１ 　 图２ ２４．（１０分）如图，甲、乙两艘货轮同时从 Ａ港出发，分别 向Ｂ，Ｄ两港运送物资，最后到达 Ａ港正东方向的 Ｃ 港装运新的物资。甲货轮沿 Ａ港的东南方向航行４０ 海里后到达Ｂ港，再沿北偏东６０°方向航行一定距离 到达Ｃ港。乙货轮沿Ａ港的北偏东６０°方向航行一定 距离到达 Ｄ港，再沿南偏东３０°方向航行一定距离到 达Ｃ港。（参考数据：槡２≈１．４１，槡３≈１．７３，槡６≈２．４５） （１）求Ａ，Ｃ两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （２）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 Ｂ，Ｄ两港的 时间相同），哪艘货轮先到达Ｃ港？请通过计算说明。 ２５．（１０分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋４经过点（－１，６），与ｙ轴交于点Ｃ，与ｘ轴交于Ａ，Ｂ 两点（点Ａ在点Ｂ的左侧），连接ＡＣ，ＢＣ，ｔａｎ∠ＣＢＡ＝４。 （１）求抛物线的表达式； （２）Ｐ是射线ＣＡ上方抛物线上的一动点，过点Ｐ作ＰＥ ⊥ｘ轴，垂足为 Ｅ，交 ＡＣ于点 Ｄ。Ｍ是线段 ＤＥ上一动 点，ＭＮ⊥ｙ轴，垂足为 Ｎ，Ｆ是线段 ＢＣ的中点，连接 ＡＭ，ＮＦ。当线段ＰＤ长度取得最大值时，求 ＡＭ＋ＭＮ＋ ＮＦ的最小值； （３）将该抛物线沿射线 ＣＡ方向平移，使得新抛物线经 过（２）中线段 ＰＤ长度取得最大值时的点 Ｄ，且与直线 ＡＣ相交于另一点 Ｋ。Ｑ是新抛物线上的一个动点，当 ∠ＱＤＫ＝∠ＡＣＢ时，直接写出所有符合条件的点 Ｑ的 坐标。 　 备用图 ２６．（１０分）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是边 ＢＣ上一点（点 Ｄ 不与端点重合）。点 Ｄ关于直线 ＡＢ的对称点为 Ｅ，连 接ＡＤ，ＤＥ。在直线ＡＤ上取一点Ｆ，使∠ＥＦＤ＝∠ＢＡＣ， 直线ＥＦ与直线ＡＣ交于点Ｇ。 （１）如图 １，若∠ＢＡＣ＝６０°，ＢＤ＜ＣＤ，∠ＢＡＤ＝α，求 ∠ＡＧＥ的度数（用含α的代数式表示）； （２）如图１，若∠ＢＡＣ＝６０°，ＢＤ＜ＣＤ，用等式表示线段 ＣＧ与ＤＥ之间的数量关系，并证明； （３）如图２，若∠ＢＡＣ＝９０°，点 Ｄ从点 Ｂ移动到点 Ｃ的 过程中，连接ＡＥ，当△ＡＥＧ是等腰三角形时，请直接写 出此时 ＣＧ ＡＧ的值。 图１ 　 图２ 备用图 －６３－ ∴在Ｒｔ△ＥＱＭ中，由勾股定理， 得ＥＭ＝ ＥＱ２＋ＱＭ槡 ２＝ 槡２３３。 ∵ＥＭＤＣ＝ ２ ３，∴ＣＤ 槡＝３。 １６重庆市２０２４年初中学业水平暨高中招生考试（Ａ卷） １．Ａ　【解析】∵－２＜－１２＜０＜３， ∴最小的数是－２。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ不是轴对称图形，不符合题意；Ｂ不是轴 对称图形，不符合题意；Ｃ是轴对称图形，符合题意；Ｄ 不是轴对称图形，不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｃ　【解析】∵点（－３，２）在反比例函数 ｙ＝ｋｘ的图象 上，∴ｋ＝－３×２＝－６。故选Ｃ。 ４．Ｂ　【解析】如图，标注∠３。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠３＝∠１＝６５°。 ∴∠２＝１８０°－∠３＝１１５°。故选Ｂ。 ５．Ｄ　【解析】∵两个相似三角形的相似比为１∶３， ∴这两个相似三角形的面积比为１２∶３２＝１∶９。 故选Ｄ。 ６．Ｂ　【解析】第１种化合物的分子结构模型中氢原子的 个数为４＝１×２＋２； 第２种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为６＝２ ×２＋２； 第３种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为８＝３ ×２＋２； …… 所以第ｎ种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为 （２ｎ＋２）。 当ｎ＝１０时，２ｎ＋２＝２２。 所以第１０种化合物的分子结构模型中氢原子的个数 为２２。故选Ｂ。 ７．Ｂ　【解析】ｍ 槡 槡 槡 槡 槡 槡＝ ２７－３＝３３－３＝２３＝ １２。 槡 槡 槡∵ ９＜ １２＜ １６， 槡∴３＜ １２＜４， 即实数ｍ的范围是３＜ｍ＜４。故选Ｂ。 ８．Ｄ　【解析】如图，连接ＡＣ。 ∵两弧有且仅有一个公共点，ＡＤ＝４， ∴ＡＣ＝２ＡＤ＝８。 ∴在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＣＤ＝ ＡＣ２－ＡＤ槡 ２＝ ８２－４槡 ２ 槡＝４３。 ∴Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ＡＤ·ＣＤ 槡＝１６３。 ∵两个扇形均为 １４圆，而且它们的半径相等， ∴两个扇形为 １２圆，面积之和为Ｓ两个扇形 ＝ π ２ＡＤ ２＝８π。 ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ两个扇形 槡＝１６３－８π。故选Ｄ。 ９．Ａ　【解析】如图，过点Ｆ作ＦＨ⊥ＤＣ交ＤＣ的延长线于 点Ｈ， 则∠ＣＨＦ＝９０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠Ｄ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤ。 ∵ＡＥ绕点Ｅ逆时针旋转９０°，得到ＦＥ， ∴ＡＥ＝ＦＥ，∠ＡＥＦ＝９０°。 ∵∠ＤＡＥ＋∠ＡＥＤ＝９０°，∠ＨＥＦ＋∠ＡＥＤ＝９０°， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＨＥＦ。 在△ＡＤＥ和△ＥＨＦ中， ∠Ｄ＝∠ＣＨＦ， ∠ＤＡＥ＝∠ＨＥＦ， ＡＥ＝ＥＦ{ ， ∴△ＡＤＥ≌△ＥＨＦ（ＡＡＳ）。∴ＡＤ＝ＥＨ，ＤＥ＝ＨＦ。 ∴ＥＨ＝ＣＤ。∴ＤＥ＝ＣＨ＝ＨＦ。 ∴∠ＨＣＦ＝４５°。 ∴∠Ｇ＝４５°。 设ＣＨ＝ＨＦ＝ＤＥ＝ｘ，正方形边长为ｙ， 则ＣＥ＝ｙ－ｘ，ＣＦ 槡＝２ｘ，ＣＧ 槡＝２ｙ。 ∴ＦＧ＝ＣＧ－ＣＦ 槡＝２ｙ 槡－２ｘ。 ∴ＦＧＣＥ 槡＝２。故选Ａ。 １０．Ｄ　【解析】∵ｎ，ａｎ－１，…，ａ０为自然数，ａｎ为正整数，且 ｎ＋ａｎ＋ａｎ－１＋…＋ａ１＋ａ０＝５， ∴０≤ｎ≤４。 当ｎ＝４时，４＋ａ４＋ａ３＋ａ２＋ａ１＋ａ０＝５， ∴ａ４＝１，ａ３＝ａ２＝ａ１＝ａ０＝０。 满足条件的整式有ｘ４； 当ｎ＝３时，３＋ａ３＋ａ２＋ａ１＋ａ０＝５， ∴（ａ３，ａ２，ａ１，ａ０）＝（２，０，０，０），（１，１，０，０）， （１，０，１，０），（１，０，０，１）， 满足条件的整式有２ｘ３，ｘ３＋ｘ２，ｘ３＋ｘ，ｘ３＋１； 当ｎ＝２时，２＋ａ２＋ａ１＋ａ０＝５， ∴（ａ２，ａ１，ａ０）＝（３，０，０），（２，１，０），（２，０，１），（１，２，０）， （１，０，２），（１，１，１）， 满足条件的整式有３ｘ２，２ｘ２＋ｘ，２ｘ２＋１，ｘ２＋２ｘ，ｘ２＋２， ｘ２＋ｘ＋１； 当ｎ＝１时，１＋ａ１＋ａ０＝５， ∴（ａ１，ａ０）＝（４，０），（３，１），（１，３），（２，２）， 满足条件的整式有４ｘ，３ｘ＋１，ｘ＋３，２ｘ＋２； 当ｎ＝０时，０＋ａ０＝５，满足条件的整式有５。 ∴满足条件的单项式有 ｘ４，２ｘ３，３ｘ２，４ｘ，５，故①符合 题意； 不存在任何一个ｎ，使得满足条件的整式 Ｍ有且只有 ３个，故②符合题意； 满足条件的整式Ｍ共有１＋４＋６＋４＋１＝１６个，故③ 符合题意。 故选Ｄ。 １１．３　【解析】原式＝１＋２＝３。 １２．９　【解析】∵３６０°４０°＝９，∴这个多边形的边数为９。 １３．１９　【解析】画树状图如下                                                                  ： —９４— 共有９种等可能的结果，其中甲、乙两人同时选择景 点Ｂ的结果有１种， 所以甲、乙两人同时选择景点Ｂ的概率是 １９。 １４．１０％　【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率 为ｘ， 根据题意，得４０（１＋ｘ）２＝４８．４， 解得ｘ１＝０．１＝１０％，ｘ２＝－２．１（不符合题意，舍去）。 所以该公司这两年缴税的年平均增长率为１０％。 １５．３　【解析】∵ＣＤ＝ＡＣ，ＤＥ∥ＢＣ，∴ＡＦ＝ＥＦ。 ∴ＣＦ是△ＡＤＥ的中位线。∴ＤＥ＝２ＣＦ＝２。 ∵ＤＥ＝ＣＤ，∴ＡＣ＝２ＣＦ＝２。 ∵∠ＣＦＡ＝∠ＣＡＢ，∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＡ， ∴△ＣＡＦ∽△ＣＢＡ。 ∴ＡＣ∶ＢＣ＝ＣＦ∶ＡＣ，即２∶ＢＣ＝１∶２。 ∴ＢＣ＝４。∴ＢＦ＝ＢＣ－ＣＦ＝３。 １６．１６　【解析】 ４ｘ－１ ３ ＜ｘ＋１，① ２（ｘ＋１）≥－ｘ＋ａ，{ ② 解不等式①，得ｘ＜４。 解不等式②，得ｘ≥ａ－２３ 。 ∴该不等式组的解集为ａ－２３ ≤ｘ＜４。 ∵该不等式组至少有２个整数解， ∴ａ－２３ ≤２，解得ａ≤８。 解分式方程 ａ－１ ｙ－１＝２－ ３ １－ｙ，得ｙ＝ ａ－２ ２ 。 ∵解为非负整数，∴ａ－２２ ≥０，即ａ≥２且ａ为偶数。 由题意，得当ａ＝８时，ｙ＝８－２２ ＝３； 当ａ＝６时，ｙ＝６－２２ ＝２； 当ａ＝４时，ｙ＝４－２２ ＝１（不合题意，舍去）； 当ａ＝２时，ｙ＝２－２２ ＝０。 ∴所有满足条件的整数ａ的值为８，６，２。 ∵８＋６＋２＝１６， ∴所有满足条件的整数ａ的值之和为１６。 １７．８　 槡２０ １３１３ 　【解析】如图，连接ＯＥ，ＯＤ，ＯＧ，过点Ｏ作 ＯＨ⊥ＤＧ于点Ｈ，ＣＥ交ＡＦ于点Ｐ。 ∵以ＡＢ为直径的⊙Ｏ与ＡＣ相切于点Ａ， ∴ＡＢ⊥ＡＣ。 ∵四边形ＡＣＤＥ是平行四边形， ∴ＡＣ∥ＤＥ。∴ＡＢ⊥ＤＥ。∴ＤＦ＝ＥＦ＝１２ＤＥ＝４。 ∵ＡＢ＝１０，∴ＯＡ＝ＯＥ＝５。 在Ｒｔ△ＯＥＦ中，ＯＦ＝ ＯＥ２－ＥＦ槡 ２＝ ５２－４槡 ２＝３， ∴ＡＦ＝ＯＡ＋ＯＦ＝５＋３＝８。 ∵ＤＥ∥ＡＣ， ∴ＦＰＰＡ＝ ＥＦ ＡＣ＝ １ ２，∠ＤＥＧ＝∠ＰＣＡ。 ∴ＰＡ＝２３×８＝ １６ ３。 在Ｒｔ△ＡＣＰ中，ＰＣ＝ ８２＋ １６( )３槡 ２ ＝ 槡８ １３３ 。 ∵∠ＤＯＧ＝２∠ＤＥＧ，∠ＤＯＧ＝２∠ＤＯＨ， ∴∠ＤＥＧ＝∠ＤＯＨ。∴∠ＤＯＨ＝∠ＰＣＡ。 ∴Ｒｔ△ＤＯＨ∽Ｒｔ△ＰＣＡ。 ∴ＤＨ∶ＡＰ＝ＯＤ∶ＰＣ，即ＤＨ∶１６３＝５∶ 槡８ １３ ３ 。 ∴ＤＨ＝ 槡１０ １３１３ 。 ∵ＯＨ⊥ＤＧ，∴ＤＧ＝２ＤＨ＝ 槡２０ １３１３ 。 １８．８２　４５６４　【解析】①设ｍ＝１０ａ＋ｂ，则ｎ＝１０ａ＋８－ｂ （１≤ａ≤９，０≤ｂ≤８，且ａ，ｂ为整数）。 由题意，得ｍ２－ｎ＝（１０ａ＋ｂ）２－（１０ａ＋８－ｂ）。 ∵１≤ａ≤９，∴要使“方减数”最小，需ａ＝１。 ∴ｍ＝１０＋ｂ，ｎ＝１８－ｂ。 ∴ｍ２－ｎ＝（１０＋ｂ）２－（１８－ｂ）＝１００＋２０ｂ＋ｂ２－ １８＋ｂ＝８２＋ｂ２＋２１ｂ。 当ｂ＝０时，ｍ２－ｎ最小为８２。 ②设ｍ＝１０ａ＋ｂ，则ｎ＝１０ａ＋８－ｂ（１≤ａ≤９，０≤ｂ≤ ８，且ａｂ为整数）。 ∴Ｂ＝１０００ａ＋１００ｂ＋１０ａ＋８－ｂ＝１０１０ａ＋９９ｂ＋８。 ∵Ｂ除以１９余数为１， ∴１０１０ａ＋９９ｂ＋７能被１９整除。 ∴Ｂ－１１９ ＝５３ａ＋５ｂ＋ ３ａ＋４ｂ＋７ １９ 为整数。 又∵２ｍ＋ｎ＝ｋ２（ｋ为整数）， ∴２（１０ａ＋ｂ）＋１０ａ＋８－ｂ＝３０ａ＋ｂ＋８是完全平 方数。 ∵１≤ａ≤９，０≤ｂ≤８， ∴３０ａ＋ｂ＋８最小为４９，最大为２５６，即７≤ｋ≤１６。 设３ａ＋４ｂ＋７＝１９ｔ，ｔ为正整数，则１≤ｔ≤３。 当ｔ＝１时，３ａ＋４ｂ＝１２，则 ｂ＝３－３４ａ，３０ａ＋ｂ＋８＝ ３０ａ＋３－３４ａ＋８是完全平方数， 又∵１≤ａ≤９，０≤ｂ≤８，∴此时无整数解； 当ｔ＝２时，３ａ＋４ｂ＝３１，则 ｂ＝３１－３ａ４ ，３０ａ＋ｂ＋８＝ ３０ａ＋３１－３ａ４ ＋８是完全平方数， 又∵１≤ａ≤９，０≤ｂ≤８，∴此时无整数解； 当ｔ＝３时，３ａ＋４ｂ＝５０，则 ｂ＝５０－３ａ４ ，３０ａ＋ｂ＋８＝ ３０ａ＋５０－３ａ４ ＋８是完全平方数， 若ａ＝６，ｂ＝８，则３ａ＋４ｂ＋７＝５７＝１９×３，３０×６＋８＋ ８＝１９６＝１４２。 ∴ｔ＝３，ｋ＝１４。 此时ｍ＝１０ａ＋８＝６８，ｎ＝１０ａ＋８－ｂ＝６０。 ∴Ａ＝６８２－６０＝４５６４                                                                  。 —０５— １９．解：（１）原式＝ｘ２－２ｘｙ＋ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＝２ｘ２＋ｙ２。 （２）原式＝ａ＋１ａ ÷ （ａ＋１）（ａ－１） ａ（ａ＋１） ＝ａ＋１ａ· ａ（ａ＋１） （ａ＋１）（ａ－１） ＝ａ＋１ａ－１。 ２０．解：（１）在七年级２０名学生的竞赛成绩中８６出现的 次数最多，故众数ａ＝８６； 把八年级２０名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在 中间的两个数分别为８７，８８， 故中位数ｂ＝８７＋８８２ ＝８７．５； ｍ％＝１－１０％－２０％－６２０＝４０％，即ｍ＝４０。 故答案为８６；８７．５；４０。 （２）八年级学生安全知识竞赛成绩较好。理由如下： 因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数 高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩 较好（答案不唯一）。 （３）４００×６２０＋５００×４０％＝１２０＋２００＝３２０（人）。 答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩 优秀（ｘ＞９０）的学生人数为３２０。 ２１．解：（１）如图即为所求作。 （２）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ∥ＣＤ。 ∴①∠ＣＦＯ＝∠ＡＥＯ，∠ＦＣＯ＝∠ＥＡＯ。 ∵Ｏ是ＡＣ的中点， ∴②ＯＣ＝ＯＡ。 ∴△ＣＦＯ≌△ＡＥＯ（ＡＡＳ）。 ∴③ＯＦ＝ＯＥ。 又∵ＯＡ＝ＯＣ， ∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形。 ∵ＥＦ⊥ＡＣ， ∴四边形ＡＥＣＦ是菱形。 猜想的结论：④四边形ＡＥＣＦ是菱形。 故答案为∠ＣＦＯ＝∠ＡＥＯ；ＯＣ＝ＯＡ；ＯＦ＝ＯＥ；四边形 ＡＥＣＦ是菱形。 ２２．解：（１）设该企业有ｘ条甲类生产线，ｙ条乙类生产线， 根据题意，得 ｘ＋ｙ＝３０， ３ｘ＋２ｙ＝７０{ ，解得 ｘ＝１０，ｙ＝２０{ 。 答：该企业有１０条甲类生产线，２０条乙类生产线。 （２）设更新１条乙类生产线的设备需投入 ｍ万元，则 更新１条甲类生产线的设备需投入（ｍ＋５）万元。 根据题意，得 ２００ ｍ＋５＝ １８０ ｍ， 解得ｍ＝４５。 经检验，ｍ＝４５是所列方程的解，且符合题意。 ∴１０（ｍ＋５）＋２０ｍ－７０＝１０×（４５＋５）＋２０×４５－７０＝ １３３０。　 答：还需投入１３３０万元资金更新生产线的设备。 ２３．解：（１）∵ＰＱ∥ＢＣ， ∴△ＡＰＱ∽△ＡＢＣ。 ∴ＡＰＡＢ＝ ＰＱ ＢＣ， Ｃ△ＡＢＣ Ｃ△ＡＰＱ ＝ＡＢＡＰ。 ∴ ｘ６＝ ｙ１ ８，ｙ２＝ ６ ｘ。∴ｙ１＝ ４ ３ｘ。 ∵Ｐ是ＡＢ上一点， ∴ｙ１＝ ４ ３ｘ（０＜ｘ＜６），ｙ２＝ ６ ｘ（０＜ｘ＜６）。 （２）函数ｙ１，ｙ２的图象如图所示。 ｙ１＝ ４ ３ｘ的图象性质： 在０＜ｘ＜６中，ｙ随ｘ的增大而增大； ｙ２＝ ６ ｘ的图象性质： 在０＜ｘ＜６中，ｙ随ｘ的增大而减小。 （３）∵ｙ１＞ｙ２， ∴ ４３ｘ＞ ６ ｘ。∴ｘ ２＞９２。 ∴ｘ＜－ 槡３２２（舍去），ｘ＞ 槡３２ ２。 ∴２．１＜ｘ＜６。 ２４．解：（１）如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ，垂足为Ｅ。 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠ＢＡＥ＝９０°－４５°＝４５°， ＡＢ＝４０海里， ∴ＡＥ＝ＡＢ·ｃｏｓ４５°＝４０×槡２２ 槡＝２０２（海里）， ＢＥ＝ＡＢ·ｓｉｎ４５°＝４０×槡２２ 槡＝２０２（海里）。 在Ｒｔ△ＢＣＥ中，∠ＣＢＥ＝６０°， ∴ＣＥ＝ＢＥ·ｔａｎ６０° 槡 槡 槡＝２０２×３＝２０６（海里）。 ∴ＡＣ＝ＡＥ＋ＣＥ 槡 槡＝２０２＋２０６≈７７．２（海里）。 ∴Ａ，Ｃ两港之间的距离约为７７．２海里。 （２）甲货轮先到达Ｃ港。 理由：如图，标注Ｆ，Ｇ。 由题意，得∠ＣＤＦ＝３０°，ＤＦ∥ＡＧ， ∴∠ＧＡＤ＝∠ＡＤＦ＝６０°。 ∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＦ＋∠ＣＤＦ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∠ＣＡＤ＝９０°－∠ＧＡＤ＝３０°， ∴ＣＤ＝１２ＡＣ＝（ 槡 槡１０２＋１０６）海里， ＡＤ 槡＝３ＣＤ＝（ 槡 槡１０６＋３０２）海里。 在Ｒｔ△ＢＣＥ中，∠ＣＢＥ＝６０°，ＢＥ 槡＝２０２海里                                                                  ， —１５— ∴ＢＣ＝ ＢＥｃｏｓ６０°＝ 槡２０２ １ ２ 槡＝４０２（海里）。 ∴甲货轮航行的路程 ＝ＡＢ＋ＢＣ 槡＝４０＋４０ ２≈９６．４ （海里）， 乙货轮航行的路程＝ＡＤ＋ＣＤ 槡 槡 槡＝１０６＋３０２＋１０２＋ 槡 槡 槡１０６＝２０６＋４０２≈１０５．４（海里）。 ∵９６．４海里＜１０５．４海里， ∴甲货轮先到达Ｃ港。 ２５．解：（１）由抛物线的表达式知，ＯＣ＝４。 ∵ｔａｎ∠ＣＢＡ＝４，∴ＯＢ＝１，即点Ｂ（１，０）。 由题意，得 ａ－ｂ＋４＝６， ａ＋ｂ＋４＝０{ ，解得 ａ＝－１，ｂ＝－３{ 。 ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２－３ｘ＋４。 （２）由抛物线的表达式知，点 Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为 （－４，０），（１，０），（０，４），则点Ｆ １２，( )２。 由点Ａ，Ｃ的坐标，得直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｘ＋４。 设点Ｐ（ｘ，－ｘ２－３ｘ＋４），则点Ｄ（ｘ，ｘ＋４）。 ∴ＰＤ＝－ｘ２－３ｘ＋４－ｘ－４＝－ｘ２－４ｘ。 当ｘ＝－２时，ＰＤ取得最大值， ∴点Ｅ（－２，０），Ｄ（－２，２），则ＭＮ＝２。 如图１，将点Ａ向右平移２个单位长度得到点Ａ′（－２，０）， 连接Ａ′Ｎ，Ａ′，Ｎ，Ｆ三点共线。 图１ ∵ＡＡ′＝ＭＮ＝２，ＡＡ′∥ＭＮ， ∴四边形ＭＮＡ′Ａ是平行四边形。∴ＡＭ＝Ａ′Ｎ。 此时ＡＭ＋ＭＮ＋ＮＦ＝Ａ′Ｎ＋ＭＮ＋ＮＦ＝２＋Ａ′Ｆ＝２＋ （２＋１２） ２＋２槡 ２＝２＋槡４１２ 最小。 （３）将该抛物线沿射线 ＣＡ方向平移，当向左平移 ｍ 个单位长度时，则向下平移了ｍ个单位长度， ∴新抛物线的表达式为ｙ＝－（ｘ＋ｍ）２－３（ｘ＋ｍ）＋４－ｍ。 将点Ｄ（－２，２）的坐标代入上式，得２＝－（－２＋ｍ）２－ ３（－２＋ｍ）＋４－ｍ，解得ｍ＝２。 ∴新抛物线的表达式为ｙ＝－（ｘ＋ｍ）２－３（ｘ＋ｍ）＋４ －ｍ＝－ｘ２－７ｘ－８。 由点Ｂ，Ｃ的坐标，得直线ＢＣ的表达式为ｙ＝－４ｘ＋４。 如图２，当点Ｑ在ＡＣ下方时， 图２ ∵∠ＱＤＫ＝∠ＡＣＢ，∴ＤＱ∥ＢＣ。 ∴直线ＤＱ和ＢＣ表达式中的ｋ值相同。 ∵ＤＱ过点Ｄ（－２，２）， ∴直线ＤＱ的表达式为ｙ＝－４（ｘ＋２）＋２。 联立上式和新抛物线的表达式， 得－４（ｘ＋２）＋２＝－ｘ２－７ｘ－８。 解得ｘ＝－２（舍去）或－１，即点Ｑ（－１，－２）； 当点Ｑ（Ｑ′）在ＡＣ上方时， ∵∠ＱＤＫ＝∠ＡＣＢ， ∴设ＤＱ表达式为ｙ＝－１４ｘ＋ｂ。 代入Ｄ（－２，２），得ｂ＝３２。 ∴ＤＱ表达式为ｙ＝－１４ｘ＋ ３ ２。 联立上式和新抛物线的表达式， 得－１４ｘ＋ ３ ２＝－ｘ ２－７ｘ－８， 解得ｘ＝－２（舍去）或－１９４，即点Ｑ － １９ ４， ４３( )１６。 综上，点Ｑ的坐标为（－１，－２）或 －１９４， ４３( )１６。 ２６．解：（１）如图１，标注∠１。 图１ ∵∠ＥＦＤ＝∠ＢＡＣ，∠ＢＡＣ＝６０°，∴∠ＥＦＤ＝６０°。 ∵∠ＥＦＤ＝∠１＋∠ＢＡＤ＝∠１＋α，∴∠１＝６０°－α。 ∵∠ＡＧＥ＋∠１＋∠ＢＡＣ＝１８０°， ∴∠ＡＧＥ＝１８０°－６０°－∠１＝１２０°－∠１。 ∴∠ＡＧＥ＝１２０°－（６０°－α）＝６０°＋α。 （２）ＣＧ＝ 槡２３３ＤＥ。 证明：如图 ２，在 ＣＧ上截取 ＣＭ＝ＢＤ，连接 ＢＭ，ＢＥ， ＡＥ，ＢＭ交ＡＤ于点Ｈ。 图２ ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝６０°，∴△ＢＣＡ是等边三角形。 ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝６０°，ＢＣ＝ＡＢ。 ∴△ＡＢＤ≌△ＢＣＭ（ＳＡＳ）。∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＭ。 ∵∠ＡＨＭ＝∠ＡＢＨ＋∠ＢＡＤ， ∴∠ＡＨＭ＝∠ＡＢＨ＋∠ＣＢＭ＝６０°。 ∵∠ＥＦＤ＝∠ＢＡＣ＝６０°， ∴∠ＡＨＭ＝∠ＥＦＤ。∴ＥＧ∥ＢＭ。 ∵点Ｄ关于直线ＡＢ的对称点为Ｅ， ∴ＡＥ＝ＡＤ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ＝６０°。 ∴∠ＥＢＣ＝１２０°。∴∠ＥＢＣ＋∠Ｃ＝１８０°。 ∴ＥＢ∥ＡＣ。∴四边形ＥＢＭＧ是平行四边形。 ∴ＢＥ＝ＧＭ。∴ＢＥ＝ＧＭ＝ＢＤ＝ＣＭ。 ∴ＣＧ＝２ＢＤ，记 ＡＢ与 ＤＥ的交点为 Ｎ，则由轴对称可 知，ＤＥ⊥ＡＢ，ＮＥ＝ＮＤ                                                                  。 —２５— 在Ｒｔ△ＤＮＢ中，ＤＮ＝ＢＤ·ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝槡３２ＢＤ， ∴ＤＥ＝２ＤＮ 槡＝３ＢＤ。 ∴ＣＧＤＥ＝ ２ＢＤ 槡３ＢＤ ＝ 槡２３３。∴ＣＧ＝ 槡２３ ３ＤＥ。 （３）如图３，连接ＢＥ，设ＡＢ与ＤＥ的交点为点Ｎ。 图３ ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＥＦＤ＝∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ＝４５°。 由轴对称知，∠ＥＡＢ＝∠ＤＡＢ＝α，∠ＥＢＡ＝∠ＤＢＡ＝ ４５°，ＤＥ⊥ＡＢ，ＥＮ＝ＤＮ。 如图３，当点Ｇ在边ＡＣ上时，由于∠ＥＡＧ＞９０°， ∴当△ＡＥＧ是等腰三角形时，只能是ＡＥ＝ＡＧ。 ∵∠ＢＡＣ＝∠ＡＦＧ＝９０°， ∴∠ＡＧＥ＝α。∴∠ＡＥＧ＝α。∴∠ＥＡＤ＝２α。 ∵ＡＥ＝ＡＧ，ＥＧ⊥ＡＤ，∴∠ＦＡＧ＝∠ＥＡＤ＝２α。 在△ＡＥＧ中，α＋２α＋２α＋α＝１８０°，解得α＝３０°。 ∴∠ＥＡＤ＝６０°。 ∵ＡＥ＝ＡＤ，∴△ＡＥＤ是等边三角形。∴ＡＥ＝ＤＥ。 设ＡＦ＝ｘ。 ∵∠ＥＡＤ＝６０°， ∴ＡＧ＝ＡＥ＝ＥＤ＝ ＡＦｃｏｓ６０°＝２ｘ。∴ＤＮ＝ｘ。 在Ｒｔ△ＤＡＮ中，ＡＮ＝ ＤＮｔａｎ∠ＤＡＢ 槡 ＝３ＤＮ 槡＝３ｘ， ∵ＤＥ⊥ＡＢ，∠ＡＢＣ＝４５°，∴ＢＮ＝ ＤＮｔａｎ４５°＝ＤＮ＝ｘ。 ∴ＡＣ＝ＡＢ＝ＡＮ＋ＤＮ 槡＝３ｘ＋ｘ。 ∴ＣＧ＝ＡＣ－ＡＧ 槡＝３ｘ＋ｘ－２ｘ＝（槡３－１）ｘ。 ∴ＣＧＡＧ＝ 槡３－１ ２ 。 如图４，连接ＢＥ，当点Ｇ在 ＣＡ的延长线上时，只能是 ＥＧ＝ＡＧ。 图４ ∵∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＥ＝α，∴∠ＤＡＣ＝∠ＧＡＦ＝９０°－α。 ∴∠ＥＡＦ＝１８０°－２α。 ∴∠ＧＡＥ＝∠ＥＡＦ－∠ＧＡＦ＝９０°－α。 ∵ＥＧ＝ＡＧ，∴∠ＧＡＥ＝∠ＧＥＡ＝９０°－α。 ∵∠ＥＦＤ＝∠ＢＡＣ＝９０°， ∴在Ｒｔ△ＡＦＥ中，９０°－α＋１８０°－２α＝９０°， 解得α＝６０°。∴∠ＤＡＣ＝９０°－６０°＝３０°＝∠ＧＡＦ。 设ＧＦ＝ｙ，则ＡＧ＝ＥＧ＝２ｙ，ＡＦ 槡＝３ｙ。 在Ｒｔ△ＥＦＡ中，ＥＦ＝２ｙ＋ｙ＝３ｙ， 由勾股定理，得ＡＥ 槡＝２３ｙ。 在Ｒｔ△ＥＡＮ中，ＡＮ＝ＡＥ·ｃｏｓ６０° 槡＝３ｙ， ＥＮ＝ＤＮ＝ＢＮ＝ＡＥ·ｓｉｎ６０°＝３ｙ， ∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＮ＋ＡＮ＝３ｙ 槡＋３ｙ。 ∴ＣＧ＝ＡＧ＋ＡＣ＝（ 槡５＋３）ｙ。∴ ＣＧ ＡＧ＝ 槡３＋５ ２ 。 综上所述， ＣＧ ＡＧ＝ 槡３＋５ ２ 或 槡３－１ ２ 。 １７２０２４年广东省初中学业水平考试 １．Ａ　【解析】－５＋３＝－（５－３）＝－２。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ不是中心对称图形，是轴对称图形，故不 符合题意；Ｂ是中心对称图形，不是轴对称图形，故不 符合题意；Ｃ既是中心对称图形，又是轴对称图形，符 合题意；Ｄ不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符 合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】３８４０００用科学记数法表示为３．８４×１０５。 故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】由题意，知 ＡＣ∥ＤＥ，∴∠ＡＣＥ＝∠Ｅ＝６０°。 故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．ａ２·ａ５＝ａ７，原式计算错误，不符合题意； Ｂ．ａ８÷ａ２＝ａ６，原式计算错误，不符合题意； Ｃ．－２ａ＋５ａ＝３ａ，原式计算错误，不符合题意； Ｄ．（ａ２）５＝ａ１０，原式计算正确，符合题意。故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】选中“巴蜀文化”的概率是 １４。故选Ａ。 ７．Ｂ　【解析】∵完全相同的４个正方形面积之和为１００， ∴一个正方形的面积为１００÷４＝２５。 ∴正方形的边长为槡２５＝５。故选Ｂ。 ８．Ａ　【解析】∵二次函数ｙ＝ｘ２的图象的对称轴为ｙ轴， 开口向上， ∴当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大。 ∵点（０，ｙ１），（１，ｙ２），（２，ｙ３）都在二次函数 ｙ＝ｘ ２的图 象上，且０＜１＜２， ∴ｙ３＞ｙ２＞ｙ１。故选Ａ。 ９．Ｄ　【解析】去分母，得２ｘ＝３（ｘ－３）。 去括号，得２ｘ＝３ｘ－９。 移项、合并同类项，得－ｘ＝－９。解得ｘ＝９。 经检验，ｘ＝９是原分式方程的解。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】∵不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集为ｘ＜２， ∴当ｘ＜２时，ｙ＜０。观察各个选项，只有选项 Ｂ符合 题意。故选Ｂ。 １１．５　【解析】∵５是这组数据中出现次数最多的数据， ∴这组数据的众数是５。 １２．ｘ≥３　【解析】由数轴可知，两个不等式的解集分别为 ｘ≥３，ｘ＞２，∴不等式组的解集为ｘ≥３。 １３．１　【解析】∵ｘ２＋２ｘ＋ｃ＝０有两个相等的实数根， ∴Δ＝ｂ２－４ａｃ＝４－４ｃ＝０。∴ｃ＝１。 １４．１　【解析】 ａａ－３－ ３ ａ－３＝ ａ－３ ａ－３＝１。 １５．１０　【解析】如图，连接ＡＦ，ＢＤ。 ∵菱形 ＡＢＣＤ的面积为 ２４，点 Ｅ 是ＡＢ的中点，△ＢＥＦ的面积为４， ∴Ｓ△ＡＤＥ ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ × １ ２ Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝６，Ｓ△ＡＢＦ＝２Ｓ△ＢＥＦ＝８。 设菱形ＡＢＣＤ中边ＢＣ上的高为ｈ， 则 Ｓ△ＡＢＦ Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＢＦ·ｈ ＢＣ·ｈ，即 ８ ２４＝ １ ２ＢＦ ＢＣ。 ∴ＢＦＢＣ＝ ２ ３。∴ ＢＦ ＣＦ＝２                                                                  。 —３５—