15.上海市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－５８　－ 一、选择题（每题４分，共２４分） １．如果ｘ＞ｙ，那么下列正确的是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．ｘ＋５≤ｙ＋５ Ｂ．ｘ－５＜ｙ－５ Ｃ．５ｘ＞５ｙ Ｄ．－５ｘ＞－５ｙ ２．函数ｆ（ｘ）＝２－ｘｘ－３的定义域是 （　　） Ａ．ｘ＝２ Ｂ．ｘ≠２ Ｃ．ｘ＝３ Ｄ．ｘ≠３ ３．以下一元二次方程有两个相等实数根的是 （　　） Ａ．ｘ２－６ｘ＝０ Ｂ．ｘ２－９＝０ Ｃ．ｘ２－６ｘ＋６＝０ Ｄ．ｘ２－６ｘ＋９＝０ ４．科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，它们开花时间的 平均数及方差如下表，其中开花时间最短的并且最平稳 的是 （　　） 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 ２．３ ２．３ ２．８ ３．１ 方差 １．０５ ０．７８ １．０５ ０．７８ Ａ．甲种类 Ｂ．乙种类 Ｃ．丙种类 Ｄ．丁种类 ５．四边形ＡＢＣＤ是矩形，过点Ａ，Ｃ作对角线ＢＤ的垂线，过 点Ｂ，Ｄ作对角线ＡＣ的垂线。如果四条垂线拼成一个四 边形，那么这个四边形一定是 （　　） Ａ．菱形 Ｂ．矩形 Ｃ．直角梯形 Ｄ．等腰梯形 ６．在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，ＡＢ＝５，点Ｐ在△ＡＢＣ内，分别 以点Ａ，Ｂ，Ｐ为圆心画圆，圆Ａ半径为１，圆Ｂ半径为２，圆Ｐ 半径为３，圆Ａ与圆Ｐ内切，圆Ｐ与圆Ｂ的关系是 （　　） Ａ．内含 Ｂ．相交 Ｃ．外切 Ｄ．相离 二、填空题（每题４分，共４８分） ７．计算：（４ｘ２）３＝ 。 ８．计算：（ａ＋ｂ）（ｂ－ａ）＝ 。 ９．已知 ２ｘ槡 －１＝１，则ｘ＝ 。 １０．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容 量约为２×１０５ＧＢ，一张普通唱片的容量约为２５ＧＢ， 则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍。（用科 学记数法表示） １１．若正比例函数ｙ＝ｋｘ的图象经过点（７，－１３），则 ｙ的 值随ｘ的增大而 。（选填“增大”或“减小”） １２．在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝６６°，则∠ＢＡＣ＝ 　°。 １３．某种商品的销售额ｙ（万元）与广告投入ｘ（万元）成一 次函数关系，当投入１０万元时，销售额为１０００万元， 当投入９０万元时，销售额为５０００万元，则投入８０万 元时，销售额为 万元。 １４．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都 相同。随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是 ３ ５，则袋子中至少有 个绿球。 １５．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是对角线 ＡＣ上一 点，设 →ＡＣ＝ａ，→ＢＥ＝ｂ。若 ＡＥ＝２ＣＥ，则 →ＤＣ＝ （结果用含ａ，ｂ的式子表示）。 １６．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和 ＡＲ增强 三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷１０００张，其中 ７００人没有讲解需求，剩余３００人中需求情况如图所 示（一人可以选择多种）。那么在总共２万人的参观 中，需要ＡＲ增强讲解的人数约为 。 １７．在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ是锐角，将边ＣＤ沿直线ｌ 翻折至边 ＡＢ所在直线，Ｃ，Ｄ两点的对应点分别为 Ｃ′， Ｄ′，若ＡＣ′∶ＡＢ∶ＢＣ＝１∶３∶７，则ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ 　。 １８．对于一个二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｍ）２＋ｋ中存在一点Ｐ（ｘ′，ｙ′）， 使得ｘ′－ｍ＝ｙ′－ｋ≠０，则称２｜ｘ′－ｍ｜为该抛物线的 “开口大小”，那么抛物线 ｙ＝－１２ｘ ２＋１３ｘ＋３“开口大 小”为 。 三、简答题（共７８分） １９．（１０分）计算： 槡｜１－３｜＋２４ １ ２ ＋ １ 槡２＋３ －（ 槡１－３） ０。 ２０．（１０分）解方程组： ｘ２－３ｘｙ－４ｙ２＝０，① ｘ＋２ｙ＝６。{ ② ２１．（１０分）在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，反比例函数 ｙ＝ｋｘ （ｋ为常数且ｋ≠０）上有一点Ａ（－３，ｍ），且与直线 ｙ＝－２ｘ＋４交于另一点Ｂ（ｎ，６）。 （１）求ｋ与ｍ的值； （２）过点Ａ作直线ｌ∥ｘ轴与直线ｙ＝－２ｘ＋４交于点Ｃ， 求ｓｉｎ∠ＯＣＡ的值。 －５７－ １５上海市２０２４年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１５０分） 　－６０　－ ２２．（１０分）同学用两副三角板拼出了如图的平行四边 形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互 不重叠）。 （１）若直角三角形斜边上的高都为ｈ，求： ①两个直角三角形的直角边（结果用ｈ表示）； ②小平行四边形的底、高和面积（结果用ｈ表示）； （２）请画出同学拼出的另一种符合题意的图， 要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边。 ２３．（１２分）如图所示，在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是边 ＣＤ上一 点，且ＡＥ⊥ＢＤ。 （１）求证：ＡＤ２＝ＤＥ·ＤＣ； （２）Ｆ是线段 ＡＥ延长线上一点，且满足 ＥＦ＝ＣＦ＝ １ ２ＢＤ，求证：ＣＥ＝ＡＤ。 ２４．（１２分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线ｙ＝１３ｘ ２ 后得到的新抛物线经过Ａ（０，－５３）和Ｂ（５，０）。 （１）求平移后新抛物线的表达式； （２）直线ｘ＝ｍ（ｍ＞０）与新抛物线交于点 Ｐ，与原抛物 线交于点Ｑ。 ①如果ＰＱ小于３，求ｍ的取值范围； ②记点 Ｐ在原抛物线上的对应点为 Ｐ′，如果四边形 Ｐ′ＢＰＱ有一组对边平行，求点Ｐ的坐标。 ２５．（１４分）在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，点 Ｅ在边 ＡＢ上，且 ＡＥ＝１３ＡＢ。 （１）如图１所示，点 Ｆ在边 ＣＤ上，且 ＤＦ＝１３ＣＤ，连接 ＥＦ，求证：ＥＦ∥ＢＣ； （２）已知ＡＤ＝ＡＥ＝１。 ①如图２所示，连接ＤＥ，如果△ＡＤＥ外接圆的圆心恰好 落在∠Ｂ的平分线上，求△ＡＤＥ的外接圆的半径长； ②如图３所示，点 Ｍ在边 ＢＣ上，连接 ＥＭ，ＤＭ，ＥＣ，ＤＭ 与ＥＣ交于点Ｎ。如果∠ＤＭＣ＝∠ＣＥＭ，ＢＣ＝４，且 ＣＤ２ ＝ＤＭ·ＤＮ，求边ＣＤ的长。 图１ 　 图２ 图３ －５９－ 大，ＭＮ 槡＝３ＭＯ″槡＝３，如图５。 图５ 如图６，连接Ｏ″Ｐ，ＯＰ。 图６ ∵ＯＰ≤ＯＯ″＋Ｏ″Ｐ， ∴当 ＭＮ最大，ＭＮ 槡＝ ３时，此时△ＭＮＰ是等边三 角形。 由上述过程知，ＭＮ＝２ＭＱ 槡＝３ＭＯ″， ∴ＭＯ″＝Ｏ″Ｐ＝槡 槡 ３ ３ ＝１。∴ＯＰ的最大值为２。 设Ｐ（ｔ，槡３ｔ槡－３）， 则ＯＰ２＝（ｔ－０）２＋（槡３ｔ槡－３） ２＝４ｔ２－６ｔ＋３＝４， 解得ｔ＝ 槡３± １３４ 。 如图７，记直线ｙ 槡＝３ｘ 槡－３与⊙Ｏ交于点 Ｔ，Ｓ，与 ｙ轴 交于点Ｋ，过点Ｓ作ＳＬ⊥ｘ轴。 图７ 当ｘ＝０时，ｙ 槡＝－３；当ｙ＝０时，槡３ｘ槡－３＝０，解得ｘ＝１。 ∴与ｘ轴交于点Ｔ（１，０）。∴ｔａｎ∠ＯＴＫ＝ＯＫＯＴ 槡＝３。 ∵ＯＴ＝ＯＳ， ∴△ＯＴＳ是等边三角形。∴∠ＴＯＳ＝６０°。 ∴ＯＬ＝１２，ＬＳ＝ 槡３ ２。∴Ｓ １ ２，－ 槡３( )２ 。 ∴ｔ的取值范围是 槡３－ １３４ ≤ｔ＜ １ ２或１＜ｔ≤ 槡３＋ １３ ４ 。 １５上海市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】两边同时加上５，得 ｘ＋５＞ｙ＋５，故 Ａ不符 合题意；两边同时减去５，得ｘ－５＞ｙ－５，故Ｂ不符合题 意；两边同时乘５，得５ｘ＞５ｙ，故 Ｃ符合题意；两边同时 乘－５，得－５ｘ＜－５ｙ，故Ｄ不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】由题意，得ｘ－３≠０，解得ｘ≠３。故选Ｄ。 ３．Ｄ　【解析】∵ｘ２－６ｘ＝０的根为ｘ＝０或ｘ＝６， ∴ｘ２－６ｘ＝０有两个不等实数根。故Ａ不符合题意； ∵ｘ２－９＝０的根为ｘ＝３或ｘ＝－３， ∴ｘ２－９＝０有两个不等实数根。故Ｂ不符合题意； 由ｘ２－６ｘ＋６＝０知，Δ＝３６－２４＝１２＞０， ∴ｘ２－６ｘ＋６＝０有两个不等实数根。故 Ｃ不符合 题意； 由ｘ２－６ｘ＋９＝０知，Δ＝３６－３６＝０， ∴ｘ２－６ｘ＋９＝０有两个相等实数根。故Ｄ符合题意。 故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】由平均数可知，甲种类和乙种类开花时间 最短， ∵甲的方差大于乙的方差， ∴开花时间最短的并且最平稳的是乙种类。 故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】如图， ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＣ＝ＢＤ，Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＡＤＣ＝Ｓ△ＢＡＤ。 ∵ＡＥ⊥ＢＤ，ＢＦ⊥ＡＣ，ＣＧ⊥ＢＤ，ＤＨ⊥ＡＣ， ∴ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ。 ∴四条垂线一定可以拼成一个菱形。故选Ａ。 ６．Ｂ　【解析】∵圆Ａ半径为１，圆Ｐ半径为３，圆Ａ与圆Ｐ 内切， ∴圆Ａ含在圆Ｐ内，即ＰＡ＝３－１＝２。 ∴点Ｐ在以点Ａ为圆心，２为半径的圆与△ＡＢＣ边相交 形成的弧上运动，如图所示。 ∴当到点Ｐ′位置时，圆Ｐ与圆Ｂ圆心距离ＰＢ最大，最 大为 １２＋４槡 ２ 槡＝ １７。 槡∵ １７＜３＋２＝５，∴圆Ｐ与圆Ｂ相交。故选Ｂ。 ７．６４ｘ６　【解析】（４ｘ２）３＝６４ｘ６。 ８．ｂ２－ａ２　【解析】（ａ＋ｂ）（ｂ－ａ） ＝（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ） ＝ｂ２－ａ２。 ９．１　【解析】∵ ２ｘ槡 －１＝１， ∴２ｘ－１＝１。∴ｘ＝１。 １０．８×１０３　【解析】２×１０５＝２０００００， ２０００００÷２５＝８０００＝８×１０３， 即蓝光唱片的容量是普通唱片的８×１０３倍。 １１．减小　【解析】∵正比例函数 ｙ＝ｋｘ的图象经过点 （７，－１３），                                                                  　 —５４— ∴－１３＝７ｋ。解得ｋ＝－１３７。 ∵ｋ＝－１３７＜０，∴ｙ的值随ｘ的增大而减小。 １２．５７　【解析】如图， ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＢ＝ＢＣ。 ∴∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ。 ∵∠ＡＢＣ＝６６°， ∴∠ＢＡＣ＝１２（１８０°－６６°）＝５７°。 １３．４５００　【解析】设ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 ∵当投入１０万元时销售额为１０００万元，当投入９０ 万元时销售额为５０００万元， ∴ １０ｋ＋ｂ＝１０００，９０ｋ＋ｂ＝５０００{ ，解得 ｋ＝５０，ｂ＝５００{ 。 ∴ｙ＝５０ｘ＋５００。 当ｘ＝８０时，ｙ＝５０×８０＋５００＝４５００。 １４．３　【解析】设袋子中有 ｘ个白球，ｙ个绿球，由题可知 ｙ ｘ＋ｙ＝ ３ ５，整理可得３ｘ＝２ｙ。 ∵ｘ，ｙ均为正整数，∴ｙ最小取３。 ∴袋子中至少有３个绿球。 １５．２３ａ－ｂ　【解析】∵ →ＡＣ＝ａ，ＡＥ＝２ＣＥ， ∴→ＡＥ＝２３ →ＡＣ＝２３ａ。 又∵→ＢＥ＝ｂ， ∴→ＡＢ＝→ＥＢ－→ＥＡ＝－ｂ＋２３ａ＝ ２ ３ａ－ｂ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴→ＤＣ＝→ＡＢ＝２３ａ－ｂ。 １６．２０００　【解析】２００００×３００１０００× １００ ３００＝２０００（人）。 １７．２７或 ４ ７　【解析】如图１，当点Ｃ′在ＡＢ之间时， 图１ 根据ＡＣ′∶ＡＢ∶ＢＣ＝１∶３∶７，不妨设 ＡＣ′＝１，ＡＢ＝３， ＢＣ＝７， 由翻折的性质知，∠ＦＣＤ＝∠ＦＣ′Ｄ′。 ∵ＣＤ沿直线ｌ翻折至ＡＢ所在直线， ∴∠ＢＣ′Ｆ＋∠ＦＣ′Ｄ′＝∠ＦＣＤ＋∠ＦＢＡ。 ∴∠ＢＣ′Ｆ＝∠ＦＢＡ。 ∴ＣＦ＝ＢＦ＝Ｃ′Ｆ＝７２。 过点Ｆ作ＡＢ的垂线交于点Ｅ。 ∴ＢＥ＝１２ＢＣ′＝１。 ∴ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ＢＥＢＦ＝ １ ７ ２ ＝２７。 如图２，当点Ｃ′在ＢＡ的延长线上时， 图２ 根据ＡＣ′∶ＡＢ∶ＢＣ＝１∶３∶７，不妨设 ＡＣ′＝１，ＡＢ＝３， ＢＣ＝７， 同理可得ＣＦ＝ＢＦ＝Ｃ′Ｆ＝７２。 过点Ｆ作ＡＢ的垂线交于点Ｅ。 ∴ＢＥ＝１２ＢＣ′＝２。 ∴ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ＢＥＢＦ＝ ２ ７ ２ ＝４７。 １８．４　【解析】∵抛物线 ｙ＝－１２ｘ ２＋１３ｘ＋３＝－ １ ２ ｘ－( )１３ ２ ＋５５１８， ∴ｘ′－１３＝－ １ ２ ｘ′－( )１３ ２ ＋５５１８－ ５５ １８， 解得ｘ′－１３＝－２。 ∴抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋１３ｘ＋３“开口大小”为 ２｜ｘ′－１３｜＝２×｜－２｜＝４。 １９．解：原式 槡 槡＝３－１＋２６＋ 槡 ２－３ （ 槡２＋３）（ 槡２－３） －１ 槡 槡 槡＝３－１＋２６＋２－３－１ 槡＝２６。 ２０．解：ｘ ２－３ｘｙ－４ｙ２＝０，① ｘ＋２ｙ＝６，{ ② 由①，得（ｘ－４ｙ）（ｘ＋ｙ）＝０。 ∴ｘ－４ｙ＝０或ｘ＋ｙ＝０。∴ｘ＝４ｙ或ｘ＝－ｙ。 把ｘ＝４ｙ代入②，得４ｙ＋２ｙ＝６， 解得ｙ＝１，即ｘ＝４×１＝４。 把ｘ＝－ｙ代入②，得－ｙ＋２ｙ＝６， 解得ｙ＝６，即ｘ＝－６。 所以方程组的解为 ｘ１＝４， ｙ１＝１{ ， ｘ２＝－６， ｙ２＝６{ 。 ２１．解：（１）∵点Ｂ（ｎ，６）在直线ｙ＝－２ｘ＋４上， ∴－２ｎ＋４＝６，解得ｎ＝－１。∴Ｂ（－１，６）。 ∵Ｂ（－１，６）在反比例函数图象上， ∴ｋ＝－６。∴反比例函数解析式为ｙ＝－６ｘ。 ∵点Ａ（－３，ｍ）在反比例函数图象上， ∴ｍ＝－６－３＝２。∴ｍ＝２。 （２）如图， 在函数ｙ＝－２ｘ＋４中， 当ｙ＝２时，ｘ＝１， ∴Ｃ（１，２）。∴ＯＣ 槡＝５。 ∴ｓｉｎ∠ＯＣＡ＝２ 槡５ ＝ 槡２５５                                                                  。 —６４— ２２．解：（１）①如图 １，△ＡＢＣ是等腰直角三角板，∠ＡＣＢ ＝９０°， 则ＡＣ＝ＢＣ＝ ｈｓｉｎ４５° 槡＝２ｈ； 图１ 　　 图２ 如图２，△ＤＥＦ是含３０°角的直角三角板， ∠ＤＥＦ＝９０°，∠Ｆ＝３０°，∠Ｄ＝６０°， 则ＥＦ＝２ｈ，ＤＥ＝ ｈｓｉｎ６０°＝ 槡２３ ３ｈ。 综上，等腰直角三角板直角边为槡２ｈ，含３０°的直角三 角板直角边为２ｈ和 槡２３３ｈ。 ②如图３，∠ＭＮＧ＝∠ＮＧＨ＝∠ＧＨＭ＝∠ＨＭＮ＝９０°， ∴四边形ＭＮＧＨ是矩形。 由图可得，ＭＮ 槡＝２ｈ－ 槡 ２３ ３ｈ＝ 槡 槡３２－２３ ３ ｈ， ＭＨ＝２ｈ 槡－２ｈ＝（ 槡２－２）ｈ， ∴Ｓ矩形ＭＮＧＨ＝ＭＮ·ＭＨ＝ 槡 槡 ３２－２３ ３ ｈ×（ 槡２－ ２）ｈ＝ 槡 槡 槡６２－６－４３＋２６ ３ ｈ ２。 故小平行四边形的底为（ 槡２－２）ｈ，高为 槡 槡 ３２－２３ ３ ｈ， 面积为 槡 槡 槡 ６２－６－４３＋２６ ３ ｈ ２。 图３ 　　 图４ （２）如图４所示，即为所求作。 ２３．证明：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＢＡＤ＝９０°，∠ＡＤＥ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ。 ∴∠ＡＢＤ＋∠ＡＤＢ＝９０°。 ∵ＡＥ⊥ＢＤ，∴∠ＤＡＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＤＡＥ。 ∵∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ＝９０°，∴△ＡＤＥ∽△ＢＡＤ。 ∴ＡＤＢＡ＝ ＤＥ ＡＤ。∴ＡＤ ２＝ＤＥ·ＢＡ。 ∵ＡＢ＝ＤＣ，∴ＡＤ２＝ＤＥ·ＤＣ。 （２）如图，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＡＤＥ＝９０°。 ∴∠ＤＡＥ＋∠ＡＥＤ＝９０°。 ∵ＡＥ⊥ＢＤ， ∴∠ＤＡＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°。 ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＤ。 ∵∠ＦＥＣ＝∠ＡＥＤ，∴∠ＡＤＯ＝∠ＦＥＣ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＡ＝ＯＤ＝１２ＢＤ， ∵ＥＦ＝ＣＦ＝１２ＢＤ， ∴ＯＡ＝ＯＤ＝ＥＦ＝ＣＦ。 ∴∠ＡＤＯ＝∠ＯＡＤ，∠ＦＥＣ＝∠ＦＣＥ。 ∵∠ＡＤＯ＝∠ＦＥＣ， ∴∠ＡＤＯ＝∠ＯＡＤ＝∠ＦＥＣ＝∠ＦＣＥ。 在△ＯＤＡ和△ＦＥＣ中， ∠ＯＤＡ＝∠ＦＥＣ， ∠ＯＡＤ＝∠ＦＣＥ， ＯＤ＝ＦＥ{ ， ∴△ＯＤＡ≌△ＦＥＣ（ＡＡＳ）。∴ＣＥ＝ＡＤ。 ２４．解：（１）设平移抛物线ｙ＝１３ｘ ２后得到的新抛物线为 ｙ＝１３ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ， 把Ａ（０，－５３）和Ｂ（５，０）代入，得 ｃ＝－５３， ２５ ３＋５ｂ＋ｃ＝０ { ， 解得 ｂ＝－４３， ｃ＝－５３ { 。 所以新抛物线的表达式为ｙ＝１３ｘ ２－４３ｘ－ ５ ３。 （２）①如图１， 图１ 设Ｑ ｘ，１３ｘ( )２ ，则Ｐ ｘ，１３ｘ２－４３ｘ－( )５３ 。 ∴ＰＱ＝１３ｘ ２－１３ｘ ２＋４３ｘ＋ ５ ３＝ ４ ３ｘ＋ ５ ３。 ∵ＰＱ＜３，∴ ４３ｘ＋ ５ ３＜３。∴ｘ＜１。 ∵ｘ＝ｍ（ｍ＞０），∴０＜ｍ＜１。 ②∵ｙ＝１３ｘ ２－４３ｘ－ ５ ３＝ １ ３（ｘ－２） ２－３， ∴平移方式为向右平移２个单位长度，向下平移３个 单位长度。 由题意，可得点Ｐ在点Ｂ的右边，如图２， 图                                                                  ２ —７４— 当ＢＰ′∥ＰＱ时，ＢＰ′⊥ｘ轴。 ∴ｘＰ′＝ｘＢ＝５。∴Ｐ′５， ２５( )３ 。 由平移的性质，可得Ｐ５＋２，２５３( )－３，即Ｐ７，１６( )３ ； 如图３，当Ｐ′Ｑ∥ＢＰ时， 图３ 则∠Ｐ′ＱＴ＝∠ＢＰＴ，过点Ｐ′作Ｐ′Ｓ⊥ＱＰ于点Ｓ， ∴∠Ｐ′ＳＱ＝∠ＢＴＰ＝９０°。 ∴△Ｐ′ＳＱ∽△ＢＴＰ。∴ＱＳＰ′Ｓ＝ ＰＴ ＢＴ。 设Ｐ′ｘ，１３ｘ( )２ ，则Ｐ ｘ＋２，１３ｘ２( )－３，Ｓｘ＋２，１３ｘ( )２ ， Ｑ ｘ＋２，１３（ｘ＋２）[ ]２ 。 ∴ １ ３（ｘ＋２） ２－１３ｘ ２ ２ ＝ １ ３ｘ ２－３ ｘ＋２－５， 解得ｘ＝１或３（不符合题意舍去）。 综上，Ｐ７，１６( )３ 。 ２５．（１）证明：如图１，连接 ＤＥ并延长交 ＣＢ的延长线于 点Ｇ。 图１ ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴ＡＥＢＥ＝ ＤＥ ＥＧ。 ∵ＡＥ＝１３ＡＢ，ＤＦ＝ １ ３ＣＤ， ∴ＡＥＢＥ＝ １ ２， ＤＦ ＦＣ＝ １ ２。∴ ＤＥ ＥＧ＝ ＤＦ ＦＣ。 ∴ＥＦ∥ＢＣ。 （２）①如图２，记点Ｏ是△ＡＤＥ外接圆圆心，过点Ｏ作 ＯＦ⊥ＡＥ于点Ｆ，连接ＯＡ，ＯＤ，ＯＥ。 图２ ∵点Ｏ是△ＡＤＥ外接圆的圆心， ∴ＯＡ＝ＯＥ＝ＯＤ。∴ＡＦ＝ＥＦ＝１２ＡＥ＝ １ ２。 ∵ＡＥ＝１３ＡＢ，∴ＡＢ＝３ＡＥ＝３。 ∵ＡＥ＝ＡＤ，ＯＥ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＡ， ∴△ＡＯＥ≌△ＡＯＤ（ＳＳＳ）。∴∠ＥＡＯ＝∠ＤＡＯ。 ∵ＢＯ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＯ＝∠ＣＢＯ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＢ＋∠ＡＢＣ＝１８０°。 ∴２∠ＥＡＯ＋２∠ＡＢＯ＝１８０°，即∠ＥＡＯ＋∠ＡＢＯ＝９０°。 ∴∠ＡＯＢ＝９０°。 ∵ＯＦ⊥ＡＥ，∴∠ＡＦＯ＝∠ＡＯＢ＝９０°。 ∵∠ＦＡＯ＝∠ＯＡＢ，∴△ＦＡＯ∽△ＯＡＢ。 ∴ＡＯＡＢ＝ ＡＦ ＡＯ，即ＡＯ ２＝ＡＦ·ＡＢ＝３２。 ∴ＯＡ＝槡６２。∴△ＡＤＥ外接圆半径为 槡６ ２。 ②如图３，延长ＢＡ，ＣＤ交于点 Ｐ，过点 Ｅ作 ＥＱ⊥ＢＣ， 垂足为Ｑ。 图３ ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＰＡＤ∽△ＰＢＣ。∴ＰＡＰＢ＝ ＡＤ ＢＣ＝ １ ４。 由①知，ＡＢ＝３，∴ ＰＡＰＡ＋３＝ １ ４。∴ＰＡ＝１。 ∵ＣＤ２＝ＤＭ·ＤＮ，∴ＣＤＤＭ＝ ＤＮ ＣＤ。 ∵∠ＣＤＮ＝∠ＭＤＣ，∴△ＤＣＮ∽△ＤＭＣ。 ∴∠ＤＣＮ＝∠ＣＭＤ。 ∵∠ＤＭＣ＝∠ＣＥＭ，∴∠ＣＥＭ＝∠ＤＣＮ。 ∴ＥＭ∥ＣＤ。∴ＢＥＥＰ＝ ＢＭ ＭＣ。 由ＡＢ＝３，ＡＥ＝１，得ＢＥ＝２。 ∴ＢＥＥＰ＝１＝ ＢＭ ＭＣ。∴ＢＭ＝ＭＣ＝２。 ∴△ＢＥＭ∽△ＢＰＣ。∴ＢＭＢＣ＝ ＭＥ ＰＣ＝ １ ２。 设ＭＥ＝２ａ，则ＰＣ＝４ａ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴ＰＤＰＣ＝ ＰＡ ＰＢ＝ １ ４。 ∴ＰＤ＝ａ，ＤＣ＝３ａ。 ∵ＥＭ∥ＣＤ，∴△ＥＮＭ∽△ＣＮＤ。 ∴ＥＮＣＮ＝ ＥＭ ＤＣ＝ ２ ３。 设ＥＮ＝２ｂ，则ＣＮ＝３ｂ。 ∵∠ＤＭＣ＝∠ＣＥＭ，∠ＥＣＭ＝∠ＭＣＮ， ∴△ＣＮＭ∽△ＣＭＥ。 ∴ＣＮＣＭ＝ ＣＭ ＣＥ，即ＣＭ ２＝ＣＮ·ＣＥ。 ∴４＝３ｂ·５ｂ，解得ｂ＝ 槡２ １５１５ 。 ∴ＣＥ＝ 槡２ １５３ 。 由勾股定理，得ＢＥ２－ＢＱ２＝ＣＥ２－ＣＱ２， 即４－ＢＱ２＝ 槡２ １５( )３ ２ －（４－ＢＱ）２，解得ＢＱ＝５３。 ∴ＥＱ２＝ＢＥ２－ＢＱ２＝１１９。 ∵ＱＭ＝ＢＭ－ＢＱ＝２－５３＝ １ ３                                                                  ， —８４— ∴在Ｒｔ△ＥＱＭ中，由勾股定理， 得ＥＭ＝ ＥＱ２＋ＱＭ槡 ２＝ 槡２３３。 ∵ＥＭＤＣ＝ ２ ３，∴ＣＤ 槡＝３。 １６重庆市２０２４年初中学业水平暨高中招生考试（Ａ卷） １．Ａ　【解析】∵－２＜－１２＜０＜３， ∴最小的数是－２。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ不是轴对称图形，不符合题意；Ｂ不是轴 对称图形，不符合题意；Ｃ是轴对称图形，符合题意；Ｄ 不是轴对称图形，不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｃ　【解析】∵点（－３，２）在反比例函数 ｙ＝ｋｘ的图象 上，∴ｋ＝－３×２＝－６。故选Ｃ。 ４．Ｂ　【解析】如图，标注∠３。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠３＝∠１＝６５°。 ∴∠２＝１８０°－∠３＝１１５°。故选Ｂ。 ５．Ｄ　【解析】∵两个相似三角形的相似比为１∶３， ∴这两个相似三角形的面积比为１２∶３２＝１∶９。 故选Ｄ。 ６．Ｂ　【解析】第１种化合物的分子结构模型中氢原子的 个数为４＝１×２＋２； 第２种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为６＝２ ×２＋２； 第３种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为８＝３ ×２＋２； …… 所以第ｎ种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为 （２ｎ＋２）。 当ｎ＝１０时，２ｎ＋２＝２２。 所以第１０种化合物的分子结构模型中氢原子的个数 为２２。故选Ｂ。 ７．Ｂ　【解析】ｍ 槡 槡 槡 槡 槡 槡＝ ２７－３＝３３－３＝２３＝ １２。 槡 槡 槡∵ ９＜ １２＜ １６， 槡∴３＜ １２＜４， 即实数ｍ的范围是３＜ｍ＜４。故选Ｂ。 ８．Ｄ　【解析】如图，连接ＡＣ。 ∵两弧有且仅有一个公共点，ＡＤ＝４， ∴ＡＣ＝２ＡＤ＝８。 ∴在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＣＤ＝ ＡＣ２－ＡＤ槡 ２＝ ８２－４槡 ２ 槡＝４３。 ∴Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ＡＤ·ＣＤ 槡＝１６３。 ∵两个扇形均为 １４圆，而且它们的半径相等， ∴两个扇形为 １２圆，面积之和为Ｓ两个扇形 ＝ π ２ＡＤ ２＝８π。 ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ两个扇形 槡＝１６３－８π。故选Ｄ。 ９．Ａ　【解析】如图，过点Ｆ作ＦＨ⊥ＤＣ交ＤＣ的延长线于 点Ｈ， 则∠ＣＨＦ＝９０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠Ｄ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤ。 ∵ＡＥ绕点Ｅ逆时针旋转９０°，得到ＦＥ， ∴ＡＥ＝ＦＥ，∠ＡＥＦ＝９０°。 ∵∠ＤＡＥ＋∠ＡＥＤ＝９０°，∠ＨＥＦ＋∠ＡＥＤ＝９０°， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＨＥＦ。 在△ＡＤＥ和△ＥＨＦ中， ∠Ｄ＝∠ＣＨＦ， ∠ＤＡＥ＝∠ＨＥＦ， ＡＥ＝ＥＦ{ ， ∴△ＡＤＥ≌△ＥＨＦ（ＡＡＳ）。∴ＡＤ＝ＥＨ，ＤＥ＝ＨＦ。 ∴ＥＨ＝ＣＤ。∴ＤＥ＝ＣＨ＝ＨＦ。 ∴∠ＨＣＦ＝４５°。 ∴∠Ｇ＝４５°。 设ＣＨ＝ＨＦ＝ＤＥ＝ｘ，正方形边长为ｙ， 则ＣＥ＝ｙ－ｘ，ＣＦ 槡＝２ｘ，ＣＧ 槡＝２ｙ。 ∴ＦＧ＝ＣＧ－ＣＦ 槡＝２ｙ 槡－２ｘ。 ∴ＦＧＣＥ 槡＝２。故选Ａ。 １０．Ｄ　【解析】∵ｎ，ａｎ－１，…，ａ０为自然数，ａｎ为正整数，且 ｎ＋ａｎ＋ａｎ－１＋…＋ａ１＋ａ０＝５， ∴０≤ｎ≤４。 当ｎ＝４时，４＋ａ４＋ａ３＋ａ２＋ａ１＋ａ０＝５， ∴ａ４＝１，ａ３＝ａ２＝ａ１＝ａ０＝０。 满足条件的整式有ｘ４； 当ｎ＝３时，３＋ａ３＋ａ２＋ａ１＋ａ０＝５， ∴（ａ３，ａ２，ａ１，ａ０）＝（２，０，０，０），（１，１，０，０）， （１，０，１，０），（１，０，０，１）， 满足条件的整式有２ｘ３，ｘ３＋ｘ２，ｘ３＋ｘ，ｘ３＋１； 当ｎ＝２时，２＋ａ２＋ａ１＋ａ０＝５， ∴（ａ２，ａ１，ａ０）＝（３，０，０），（２，１，０），（２，０，１），（１，２，０）， （１，０，２），（１，１，１）， 满足条件的整式有３ｘ２，２ｘ２＋ｘ，２ｘ２＋１，ｘ２＋２ｘ，ｘ２＋２， ｘ２＋ｘ＋１； 当ｎ＝１时，１＋ａ１＋ａ０＝５， ∴（ａ１，ａ０）＝（４，０），（３，１），（１，３），（２，２）， 满足条件的整式有４ｘ，３ｘ＋１，ｘ＋３，２ｘ＋２； 当ｎ＝０时，０＋ａ０＝５，满足条件的整式有５。 ∴满足条件的单项式有 ｘ４，２ｘ３，３ｘ２，４ｘ，５，故①符合 题意； 不存在任何一个ｎ，使得满足条件的整式 Ｍ有且只有 ３个，故②符合题意； 满足条件的整式Ｍ共有１＋４＋６＋４＋１＝１６个，故③ 符合题意。 故选Ｄ。 １１．３　【解析】原式＝１＋２＝３。 １２．９　【解析】∵３６０°４０°＝９，∴这个多边形的边数为９。 １３．１９　【解析】画树状图如下                                                                  ： —９４—