12.山东省威海市2024年初中学业考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－４６　－ 一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分。在每 小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。每小题选对 得３分，选错、不选或多选，均不得分） １．一批食品，标准质量为每袋４５４ｇ。现随机抽取４个样品 进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克 数用负数表示。那么，最接近标准质量的是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．＋７ Ｂ．－５ Ｃ．－３ Ｄ．１０ ２．据央视网２０２３年１０月１１日消息，中国科学技术大学中 国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计 算机工程技术研究中心合作，成功构建了２５５个光子的 量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的 技术水平和量子计算优越性的世界纪录。“九章三号” 处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一 百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的 样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的 时间。将“百万分之一”用科学记数法表示为 （　　） Ａ．１×１０－５ Ｂ．１×１０－６ Ｃ．１×１０－７ Ｄ．１×１０－８ ３．下列各数中，最小的数是 （　　） ( )Ａ．－２ Ｂ．－ －２ Ｃ．－１２ 槡Ｄ．－２ ４．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ｘ５＋ｘ５＝ｘ１０ Ｂ．ｍ÷ｎ２·１ｎ＝ ｍ ｎ Ｃ．ａ６÷ａ２＝ａ４ Ｄ． －ａ( )２ ３＝－ａ５ ５．下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的。其中 主视图、左视图和俯视图完全相同的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ６．如图，在扇形 ＡＯＢ中，∠ＡＯＢ＝９０°，点 Ｃ是 ＡＯ的中点． 过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＯ交 ) ＡＢ于点Ｅ，过点Ｅ作ＥＤ⊥ＯＢ，垂足 为点 Ｄ。在扇形内随机选取一点 Ｐ，则点 Ｐ落在阴影部 分的概率是 （　　） Ａ．１４ Ｂ．１３ Ｃ．１２ Ｄ．２３ ７．定义新运算： ①在平面直角坐标系中，ａ，{ }ｂ表示动点从原点出发， 沿着ｘ轴正方向（ａ≥０）或负方向（ａ＜０）平移 ａ个单 位长度，再沿着 ｙ轴正方向（ｂ≥０）或负方向（ｂ＜０）平 移 ｂ个单位长度。例如，动点从原点出发，沿着 ｘ轴 负方向平移２个单位长度，再沿着 ｙ轴正方向平移１ 个单位长度，记作 －２，{ }１。 ②加法运算法则：ａ，{ }ｂ＋ ｃ，{ }ｄ ＝ ａ＋ｃ，ｂ＋{ }ｄ，其中 ａ，ｂ，ｃ，ｄ为实数。 若 ３，{ }５ ＋ ｍ，{ }ｎ＝ －１，{ }２，则下列结论正确的是 （　　） Ａ．ｍ＝２，ｎ＝７ Ｂ．ｍ＝－４，ｎ＝－３ Ｃ．ｍ＝４，ｎ＝３ Ｄ．ｍ＝－４，ｎ＝３ ８．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样 一道题目：以绳测井。若将绳三折测之，绳多四尺；若将 绳四折测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？题目大意 是：用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份， 一份绳长比井深多４尺；如果将绳子折成四等份，一份 绳长比井深多１尺。绳长、井深各是多少尺？若设绳长 ｘ尺，井深ｙ尺，则符合题意的方程组是 （　　） Ａ． ３ｘ－ｙ＝４， ４ｘ－ｙ{ ＝１ Ｂ．３ｘ＋４＝ｙ，４ｘ＋１＝{ ｙ Ｃ． ｘ ３－ｙ＝４， ｘ ４－ｙ { ＝１ Ｄ． ｘ ３＋４＝ｙ， ｘ ４＋１＝ { ｙ ９．如图，在ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，点 Ｅ在 ＢＣ上，点Ｆ在ＣＤ上，连接 ＡＥ，ＡＦ，ＥＦ，ＥＦ交 ＡＣ于点 Ｇ。下列结论错误的是 （　　） Ａ．若ＣＥＣＦ＝ ＡＤ ＡＢ，则ＥＦ∥ＢＤ Ｂ．若ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，ＡＥ＝ＡＦ，则ＥＦ∥ＢＤ Ｃ．若ＥＦ∥ＢＤ，ＣＥ＝ＣＦ，则∠ＥＡＣ＝∠ＦＡＣ Ｄ．若ＡＢ＝ＡＤ，ＡＥ＝ＡＦ，则ＥＦ∥ＢＤ １０．同一条公路连接 Ａ，Ｂ，Ｃ三地，Ｂ地在 Ａ，Ｃ两地之间。 甲、乙两车分别从Ａ地、Ｂ地同时出发前往 Ｃ地。甲车 速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶。 如图表示甲、乙两车之间的距离 ｙ（ｋｍ）与时间 ｘ（ｈ）的 函数关系。下列结论正确的是 （　　） Ａ．甲车行驶８３ｈ与乙车相遇 Ｂ．Ａ，Ｃ两地相距２２０ｋｍ Ｃ．甲车的速度为７０ｋｍ／ｈ Ｄ．乙车中途休息３６分钟 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分。只要 求填出最后结果） １１．计算：槡 槡１２－８·槡６＝　　　　。 １２．因式分解：ｘ( )＋２ ｘ( )＋４ ＋１＝　　　　。 １３．如图，在正六边形 ＡＢＣＤＥＦ中，ＡＨ∥ＦＧ，ＢＩ⊥ＡＨ，垂足 为点Ｉ．若∠ＥＦＧ＝２０°，则∠ＡＢＩ＝　　　　。 第１３题图 第１５题图 第１６题图 １４．计算：４ｘ－２＋ ｘ２ ２－ｘ＝　　　　。 １５．如图，在平面直角坐标系中，直线 ｙ１＝ａｘ＋ｂ与双曲线 ｙ２＝ ｋ ｘ交于点Ａ －１，( )ｍ，Ｂ２，( )－１，则满足ｙ１≤ｙ２的ｘ 的取值范围是　　　　　　　　。 １６．将一张矩形纸片（四边形 ＡＢＣＤ）按如图所示的方式对 折，使点Ｃ落在ＡＢ上的点Ｃ′处，折痕为 ＭＮ，点 Ｄ落在 点Ｄ′处，Ｃ′Ｄ′交 ＡＤ于点 Ｅ。若 ＢＭ＝３，ＢＣ′＝４，ＡＣ′＝ ３，则ＤＮ＝　　　　。 三、解答题（本大题共８小题，共７２分） １７．（６分）某公司为节能环保，安装了一批 Ａ型节能灯，一 年用电１６０００千瓦·时。后购进一批相同数量的Ｂ型 节能灯，一年用电９６００千瓦·时。一盏Ａ型节能灯每 年的用电量比一盏Ｂ型节能灯每年用电量的２倍少３２ 千瓦·时。求一盏Ａ型节能灯每年的用电量。 １８．（８分）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每 日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定６个及以 上为合格。体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查 了２０名男生２至６月份的测试成绩。其中，２月份测试 成绩如表１，６月份测试成绩如图１（尚不完整）。整理 本学期测试数据得到表２和图２（尚不完整）。 ２月份测试成绩统计表 个数 ０ １ ３ ６ ８ １０ 人数 ４ ８ ４ １ ２ １ 表１ 本学期测试成绩统计表 平均数 众数 中位数 合格率 ２月 ２．６ ａ １ ２０％ ３月 ３．１ ３ ４ ２５％ ４月 ４ ４ ５ ３５％ ５月 ４．５５ ５ ５ ４０％ ６月 ｂ ８ ７ ｃ 表２ 请根据图表中的信息，解答下列问题： （１）将图１和图２中的统计图补充完整，并直接写出ａ， ｂ，ｃ的值； （２）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果； （３）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按 ４００人计算，以随机抽查的２０名男生训练成绩为样本， 估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男 生人数。 －４５－ １２威海市２０２４年初中学业考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） 　－４８　－ １９．（８分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问 题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地 平面的倾斜角。测量报告如下表（尚不完整）。 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示 意图 说明：ＡＣ是一根笔直的竹竿。点Ｄ是竹竿 上一点。线段ＤＥ的长度是点Ｄ到地面的 距离。∠α是要测量的倾斜角。 测量数据 … … （１）设ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＡＣ＝ｃ，ＣＥ＝ｄ，ＤＥ＝ｅ，ＣＤ＝ｆ，ＢＥ ＝ｇ，ＡＤ＝ｈ，请根据表中的测量示意图，从以上线段中 选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填 写在“测量数据”一栏； （２）根据（１）中选择的数据，写出求∠α的一种三角函 数值的推导过程； （３）假设 ｓｉｎα≈０．８６，ｃｏｓα≈０．５２，ｔａｎα≈１．６６，根据 （２）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数，你选择 的按键顺序为　　　　。 ２０．（９分）感悟　如图１，在△ＡＢＥ中，点 Ｃ，Ｄ在边 ＢＥ上， ＡＢ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＤＥ。求证：∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ。 应用　（１）如图２，用直尺和圆规在直线 ＢＣ上取点 Ｄ，点Ｅ（点Ｄ在点 Ｅ的左侧），使得∠ＥＡＤ＝∠ＢＡＣ， 且ＤＥ＝ＢＣ（不写作法，保留作图痕迹）； （２）如图３，用直尺和圆规在直线 ＡＣ上取一点 Ｄ，在 直线ＢＣ上取一点 Ｅ，使得∠ＣＤＥ＝∠ＢＡＣ，且 ＤＥ＝ ＡＢ（不写作法，保留作图痕迹）。 ２１．（９分）定义　我们把数轴上表示数 ａ的点与原点的 距离叫做数ａ的绝对值。数轴上表示数 ａ，ｂ的点 Ａ， Ｂ之间的距离 ＡＢ＝ａ－ｂａ≥( )ｂ。特别的，当 ａ≥０ 时，表示数 ａ的点与原点的距离等于 ａ－０。当ａ＜０ 时，表示数ａ的点与原点的距离等于０－ａ。 应用　如图，在数轴上，动点 Ａ从表示 －３的点出发， 以１个单位长度／秒的速度沿着数轴的正方向运动。 同时，动点Ｂ从表示１２的点出发，以２个单位长度／ 秒的速度沿着数轴的负方向运动。 （１）经过多长时间，点Ａ，Ｂ之间的距离等于３个单位 长度？ （２）求点Ａ，Ｂ到原点的距离之和的最小值。 ２２．（１０分）如图，已知 ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ 上，且ＢＣ＝ＣＤ。点 Ｅ是线段 ＡＢ延长线上一点，连接 ＥＣ并延长交射线 ＡＤ于点 Ｆ。∠ＦＥＧ的平分线 ＥＨ交 射线ＡＣ于点Ｈ，∠Ｈ＝４５°。 （１）求证：ＥＦ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＢＥ＝２，ＣＥ＝４，求ＡＦ的长。 ２３．（１０分）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，∠ＡＢＣ＝ ６０°，Ｅ为对角线ＡＣ上一动点，以ＤＥ为一边作∠ＤＥＦ＝ ６０°，ＥＦ交射线 ＢＣ于点 Ｆ，连接 ＢＥ，ＤＦ。点 Ｅ从点 Ｃ 出发，沿ＣＡ方向以每秒２ｃｍ的速度运动至点 Ａ处停 止。设△ＢＥＦ的面积为ｙｃｍ２，点Ｅ的运动时间为ｘ秒。 （１）求证：ＢＥ＝ＥＦ； （２）求 ｙ与 ｘ的函数表达式，并写出自变量 ｘ的取值 范围； （３）求ｘ为何值时，线段ＤＦ的长度最短。 　　　　 ２４．（１２分）已知抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃｂ( )＜０与 ｘ轴交点的 坐标分别为 ｘ１，( )０，ｘ２，( )０，且ｘ１＜ｘ２。 （１）若抛物线ｙ１＝ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＋１ｂ( )＜０与ｘ轴交点的坐 标分别为 ｘ３，( )０，ｘ４，( )０，且 ｘ３＜ｘ４。试判断下列每组 数据的大小（填写“＜”“＝”或“＞”）： ①ｘ１＋ｘ２　　　　ｘ３＋ｘ４；②ｘ１－ｘ３　　　　ｘ２－ｘ４； ③ｘ２＋ｘ３　　　　ｘ１＋ｘ４。 （２）若ｘ１＝１，２＜ｘ２＜３，求ｂ的取值范围； （３）当０≤ｘ≤１时，ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃｂ( )＜０最大值与最小 值的差为 ９ １６，求ｂ的值。 －４７－ 如图４， 当ｔ＜－１时，由上可知， Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△ＡＥＦ 没有最大值。 综上所述，当０＜ｔ＜２时， Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△( )ＡＥＦ 最大 ＝１３。 １２威海市２０２４年初中学业考试 １．Ｃ　【解析】∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的 克数用负数表示， －３ ＜ －５ ＜ ＋７ ＜ １０， ∴最接近标准质量的是－３。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】百万分之一＝ １１００００００＝１×１０ －６。 故选Ｂ。 ３．Ａ　【解析】－（－２）＝２。 槡∵－２＜－２＜－ １ ２＜－（－２）， ∴最小的数是－２。故选Ａ。 ４．Ｃ　【解析】Ａ．ｘ５＋ｘ５＝２ｘ５，运算错误，该选项不符合题 意；Ｂ．ｍ÷ｎ２· １ｎ＝ｍ· １ ｎ２ · １ ｎ＝ ｍ ｎ３ ，运算错误，该选 项不符合题意；Ｃ．ａ６÷ａ２＝ａ６－２＝ａ４，运算正确，该选项 符合题意；Ｄ．（－ａ２）３＝－ａ６，运算错误，该选项不符合 题意。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．主视图为 ，左视图为 ，主视 图与左视图不同，故该选项不符合题意； Ｂ．主视图为 ，左视图为 ，主视图与左 视图不同，故该选项不符合题意； Ｃ．主视图为 ，左视图为 ，主视图与左 视图不同，故该选项不符合题意； Ｄ．主视图为 ，左视图和俯视图为 ，主 视图、左视图和俯视图完全相同，故该选项符合题意。 故选Ｄ。 ６．Ｂ　【解析】∵∠ＡＯＢ＝９０°，ＣＥ⊥ＡＯ，ＥＤ⊥ＯＢ， ∴四边形ＯＣＥＤ是矩形。 ∴Ｓ△ＯＣＥ＝Ｓ△ＯＤＥ，ＯＣ＝ＤＥ。 ∴Ｓ阴影部分 ＝Ｓ△ＯＤＥ＋Ｓ阴影ＢＤＥ＝Ｓ扇形ＢＯＥ。 ∵Ｃ是ＡＯ的中点， ∴ＯＣ＝１２ＯＡ＝ １ ２ＯＥ＝ＤＥ。 ∴ｓｉｎ∠ＥＯＤ＝ＤＥＯＥ＝ １ ２。∴∠ＥＯＤ＝３０°。 ∴Ｓ阴影部分 ＝Ｓ扇形ＢＯＥ＝ ３０π×ＡＯ２ ３６０ ＝ π×ＡＯ２ １２ 。 ∵Ｓ扇形ＡＯＢ＝ ９０π×ＡＯ２ ３６０ ＝ π×ＡＯ２ ４ ， ∴点Ｐ落在阴影部分的概率是 Ｓ阴影部分 Ｓ扇形ＡＯＢ ＝ π×ＡＯ２ １２ π×ＡＯ２ ４ ＝１３。 故选Ｂ。 ７．Ｂ　【解析】∵｛ａ，ｂ｝＋｛ｃ，ｄ｝＝｛ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ｝， ｛３，５｝＋｛ｍ，ｎ｝＝｛－１，２｝， ∴３＋ｍ＝－１，５＋ｎ＝２。 解得ｍ＝－４，ｎ＝－３。故选Ｂ。 ８．Ｃ　【解析】依题意，得 ｘ ３－ｙ＝４， ｘ ４－ｙ＝１ { 。故选Ｃ。 ９．Ｄ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ。 若 ＣＥ ＣＦ＝ ＡＤ ＡＢ，则 ＣＥ ＣＦ＝ ＣＢ ＣＤ。 又∵∠ＥＣＦ＝∠ＢＣＤ，∴△ＣＥＦ∽△ＣＢＤ。 ∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＢＤ。 ∴ＥＦ∥ＢＤ。故Ａ选项正确； 若ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，ＡＥ＝ＡＦ， 则ＣＡ是∠ＢＣＤ的平分线。 ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ。∴ＡＤ＝ＣＤ。 ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。∴ＡＣ⊥ＢＤ。 在Ｒｔ△ＡＣＥ与Ｒｔ△ＡＣＦ中， ＡＥ＝ＡＦ， ＡＣ＝ＡＣ{ ， ∴Ｒｔ△ＡＣＥ≌Ｒｔ△ＡＣＦ（ＨＬ）。 ∴ＣＥ＝ＣＦ。 又∵ＡＥ＝ＡＦ， ∴ＡＣ是ＥＦ的垂直平分线，ＡＣ⊥ＥＦ。 ∴ＥＦ∥ＢＤ。故Ｂ选项正确； ∵ＣＥ＝ＣＦ，∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ。 ∵ＥＦ∥ＢＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＥＦ，∠ＣＤＢ＝∠ＣＦＥ。 ∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ。∴ＣＢ＝ＣＤ。 ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。 ∴ＡＣ⊥ＢＤ。 又∵ＥＦ∥ＢＤ，∴ＡＣ⊥ＥＦ。 ∵ＣＥ＝ＣＦ，∴ＡＣ垂直平分ＥＦ。∴ＡＥ＝ＡＦ。 易证Ｒｔ△ＡＥＧ≌Ｒｔ△ＡＦＧ， ∴∠ＥＡＣ＝∠ＦＡＣ。故Ｃ选项正确； 若ＡＢ＝ＡＤ，则四边形ＡＢＣＤ是菱形。 只有当ＡＥ＝ＡＦ，且ＣＥ＝ＣＦ时，可得ＡＣ垂直平分ＥＦ。 ∵ＡＣ⊥ＢＤ，∴ＥＦ∥ＢＤ。故Ｄ选项不正确。 故选Ｄ。 １０．Ａ　【解析】根据函数图象可得 Ａ，Ｂ两地之间的距离 为２０ｋｍ，甲车行驶了４小时，两车同时到达Ｃ地。 在１－２小时内，两车同向运动， 在第２小时，即点Ｄ时，乙车休息， 点Ｅ的意义是两车相遇，点Ｆ的意义是乙车休息后再 出发， ∴乙车休息了１小时。故Ｄ选项不正确                                                                  ； —５３— 在ＤＥ和ＥＦ段时，乙车不动， 则甲车的速度的 ４０＋２０ １ ＝６０（ｋｍ／ｈ）。 故Ｃ选项不正确； Ａ，Ｃ两地相距４×６０＝２４０（ｋｍ）。故Ｂ选项不正确； ２＋４０６０＝ ８ ３，即甲车行驶 ８ ３ｈ与乙车相遇。 故Ａ选项正确。 故选Ａ。 １１． 槡－２３　【解析】槡 槡１２－８·槡 槡 槡 槡６＝２３－４３＝－２３。 １２．（ｘ＋３）２　【解析】（ｘ＋２）（ｘ＋４）＋１＝ｘ２＋４ｘ＋２ｘ＋ ８＋１＝ｘ２＋６ｘ＋９＝（ｘ＋３）２。 １３．５０°　【解析】∵正六边形的内角和为（６－２）×１８０°＝ ７２０°，每个内角为７２０°÷６＝１２０°， ∴∠ＥＦＡ＝∠ＦＡＢ＝１２０°。 ∵∠ＥＦＧ＝２０°， ∴∠ＧＦＡ＝１２０°－２０°＝１００°。 ∵ＡＨ∥ＦＧ， ∴∠ＦＡＨ＋∠ＧＦＡ＝１８０°。 ∴∠ＦＡＨ＝１８０°－∠ＧＦＡ＝１８０°－１００°＝８０°。 ∴∠ＨＡＢ＝∠ＦＡＢ－∠ＦＡＨ＝１２０°－８０°＝４０°。 ∵ＢＩ⊥ＡＨ， ∴∠ＢＩＡ＝９０°。 ∴∠ＡＢＩ＝９０°－４０°＝５０°。 １４．－ｘ－２　【解析】４ｘ－２＋ ｘ２ ２－ｘ＝ ４ ｘ－２－ ｘ２ ｘ－２＝ ４－ｘ２ ｘ－２＝ （２＋ｘ）（２－ｘ） ｘ－２ ＝－ｘ－２。 １５．－１≤ｘ＜０或ｘ≥２　【解析】由图象可得，当 －１≤ｘ＜ ０或ｘ≥２时，ｙ１≤ｙ２。 １６．３２　【解析】在Ｒｔ△Ｃ′ＢＭ中， Ｃ′Ｍ＝ Ｃ′Ｂ２＋ＢＭ槡 ２＝ ４２＋３槡 ２＝５， 由折叠可得Ｃ′Ｍ＝ＣＭ＝５， ∠Ｄ′Ｃ′Ｍ＝∠Ｄ′＝∠Ｄ＝∠Ｃ＝９０°。 又∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°。 ∴∠ＢＣ′Ｍ＋∠ＡＣ′Ｅ＝∠ＡＥＣ′＋∠ＡＣ′Ｅ＝９０°。 ∴∠ＢＣ′Ｍ＝∠ＡＥＣ′。 又∵ＢＭ＝ＡＣ′＝３， ∴△ＢＣ′Ｍ≌△ＡＥＣ′（ＡＡＳ）。 ∴ＢＣ′＝ＡＥ＝４，ＭＣ′＝Ｃ′Ｅ＝５。 ∴ＡＢ＝ＣＤ＝Ｃ′Ｄ′＝３＋４＝７，ＢＣ＝ＡＤ＝ＢＭ＋ＣＭ＝３ ＋５＝８。 ∴ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝８－４＝４，Ｄ′Ｅ＝Ｃ′Ｄ′－Ｃ′Ｅ＝７－５＝２。 设Ｄ′Ｎ＝ＤＮ＝ａ，则ＥＮ＝４－ａ。 在Ｒｔ△Ｄ′ＥＮ中，ＥＮ２＝Ｄ′Ｅ２＋Ｄ′Ｎ２， 即（４－ａ）２＝２２＋ａ２。 解得ａ＝３２，即ＤＮ＝ ３ ２。 １７．解：设一盏Ｂ型节能灯每年的用电量为ｘ千瓦·时， 则一盏Ａ型节能灯每年的用电量为（２ｘ－３２）千瓦·时。 由题意，得 １６０００ ２ｘ－３２＝ ９６００ ｘ 。 解得ｘ＝９６。 经检验，ｘ＝９６是原分式方程的解，且符合题意。 ∴２ｘ－３２＝２×９６－３２＝１６０。 答：一盏Ａ型节能灯每年的用电量为１６０千瓦·时。 １８．解：（１）６月份测试成绩中，引体向上３个的人数为２０ －４－１－６－４＝５，补全图１如下： ｃ＝１＋６＋４２０ ×１００％＝５５％，补全图２如下： 根据表１，得ａ＝１， 根据图１，得ｂ＝１２０（４×１＋５×３＋１×６＋６×８＋４× １０）＝５．６５。 （２）本次引体向上训练活动的效果明显， 从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加， 从中位数看，引体向上的个数呈上升趋势， 从众数看，引体向上的个数越来越大。（答案不唯一， 合理即可） （３）４００×５５％＝２２０（人）。 答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水 平的男生人数为２２０。 １９．解：（１）ａ，ｃ，ｅ，ｆ （２）如图，过点Ａ作ＡＭ⊥ＣＢ于点Ｍ，则∠ＡＭＢ＝９０°。 ∵ＤＥ⊥ＣＢ，∴ＤＥ∥ＡＭ。 ∴△ＣＤＥ∽△ＣＡＭ。∴ＤＥＡＭ＝ ＣＤ ＣＡ， 即 ｅ ＡＭ＝ ｆ ｃ。∴ＡＭ＝ ｅｃ ｆ。∴ｓｉｎα＝ ＡＭ ＡＢ＝ ｅｃ ｆ ａ＝ ｅｃ ａｆ。 （３）∵ｓｉｎα＝ｅｃａｆ，且ｓｉｎα＝０．８６， ∴按键顺序为 。 故答案为①。 ２０．感悟 证明：∵ＡＢ＝ＡＥ，∴∠Ｂ＝∠Ｅ。 在△ＡＢＣ和△ＡＥＤ中， ＡＢ＝ＡＥ， ∠Ｂ＝∠Ｅ， ＢＣ＝ＥＤ{ ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ。 应用 解：（１）以点Ａ为圆心，以ＡＢ的长为半径作弧，交直线 ＢＣ于一点，该点即为点Ｅ，以点 Ａ为圆心，以 ＡＣ                                                                  的长 —６３— 为半径作弧，交直线 ＢＣ于一点，该点即为点 Ｄ，连接 ＡＤ，ＡＥ，如图１所示。 （２）以点Ｃ为圆心，以 ＡＣ的长为半径作弧，交 ＡＣ的 延长线于一点，该点即为点 Ｄ，以点 Ｃ为圆心，以 ＢＣ 的长为半径作弧，交直线 ＢＣ于一点，该点即为点 Ｅ， 连接ＤＥ，如图２所示。 根据作图可得ＡＣ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＣＥ。 又∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，∴△ＡＣＢ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＣＤＥ＝∠ＢＡＣ，ＤＥ＝ＡＢ。 ２１．解：（１）设经过 ｘ秒，则点 Ａ表示的数为 －３＋ｘ，点 Ｂ 表示的数为１２－２ｘ。 根据题意，得 １２－２ｘ－（－３＋ｘ） ＝３。 解得ｘ＝４或６， 即经过４秒或６秒，点Ａ，Ｂ之间的距离等于３个单位 长度。 （２）由（１），知点Ａ，Ｂ到原点的距离之和为 －３＋ｘ＋ １２－２ｘ。 当ｘ＜３时， －３＋ｘ＋ １２－２ｘ＝３－ｘ＋１２－２ｘ＝ １５－３ｘ。 ∵ｘ＜３，∴１５－３ｘ＞６， 即 －３＋ｘ＋ １２－２ｘ＞６； 当３≤ｘ≤６时， －３＋ｘ＋ １２－２ｘ＝ｘ－３＋１２－２ｘ ＝９－ｘ。 ∵３≤ｘ≤６，∴３≤９－ｘ≤６， 即３≤ －３＋ｘ＋ １２－２ｘ≤６； 当ｘ＞６时， －３＋ｘ＋ １２－２ｘ＝ｘ－３＋２ｘ－１２＝ ３ｘ－１５。 ∵ｘ＞６，∴３ｘ－１５＞３， 即 －３＋ｘ＋ １２－２ｘ＞３。 综上， －３＋ｘ＋ １２－２ｘ≥３， ∴点Ａ，Ｂ到原点的距离之和的最小值为３。 ２２．（１）证明：如图，连接ＯＣ， 则∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ。 ∵ＢＣ＝ＣＤ，∴ ) ＢＣ＝ ) ＣＤ。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ＝１２∠ＤＡＢ。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＯＣＡ。 ∴ＯＣ∥ＡＤ。∴∠ＯＣＥ＝∠Ｆ。 ∵ＥＨ平分∠ＦＥＧ， ∴∠ＦＥＧ＝２∠ＨＥＧ。 ∴∠Ｆ＝∠ＦＥＧ－∠ＦＡＥ＝２∠ＨＥＧ－２∠ＣＡＢ ＝２（∠ＨＥＧ－∠ＣＡＢ）＝２∠Ｈ＝２×４５°＝９０°。 ∴∠ＯＣＥ＝∠Ｆ＝９０°。 又∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径， ∴ＥＦ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：设⊙Ｏ的半径为ｒ，则ＯＥ＝ＯＢ＋ＢＥ＝ｒ＋２。 ∵∠ＯＣＥ＝９０°， ∴ＯＣ２＋ＣＥ２＝ＯＥ２，即ｒ２＋４２＝（ｒ＋２）２。 解得ｒ＝３。 ∴ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ＝２ｒ＋２＝８，ＯＥ＝５。 又∵ＯＣ∥ＡＤ，∴△ＥＣＯ∽△ＥＦＡ。 ∴ＯＥＡＥ＝ ＯＣ ＡＦ，即 ５ ８＝ ３ ＡＦ。解得ＡＦ＝ ２４ ５。 ２３．（１）证明：如图１，设ＣＤ与ＥＦ相交于点Ｍ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＢＣ＝ＤＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＥ，ＡＢ∥ＣＤ。 ∵∠ＡＢＣ＝６０°，∴∠ＤＣＦ＝６０°。 在△ＢＣＥ和△ＤＣＥ中， ＢＣ＝ＤＣ， ∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＥ， ＣＥ＝ＣＥ{ ， ∴△ＢＣＥ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＤＥ，ＢＥ＝ＤＥ。 ∵∠ＤＭＦ＝∠ＤＥＦ＋∠ＣＤＥ＝∠ＤＣＦ＋∠ＣＦＥ， ∠ＤＥＦ＝∠ＤＣＦ＝６０°， ∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＦＥ。 ∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＦＥ。∴ＢＥ＝ＥＦ。 （２）解：如图２，过点Ｅ作ＥＮ⊥ＢＣ于点Ｎ， 则∠ＥＮＣ＝９０°。 ∵ＢＥ＝ＥＦ，∴ＢＦ＝２ＢＮ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴ＢＣ＝ＡＢ＝１０ｃｍ，∠ＡＣＢ＝１２∠ＢＣＤ＝６０°， 即∠ＥＣＮ＝６０°。 ∵ＣＥ＝２ｘｃｍ， ∴ＥＮ＝ＣＥ·ｓｉｎ６０°＝２ｘ·槡３２ 槡＝３ｘｃｍ，ＣＮ＝ＣＥ·ｃｏｓ ６０°＝２ｘ· １２＝ｘｃｍ。 ∴ＢＮ＝ＢＣ－ＣＮ＝（１０－ｘ）ｃｍ。 ∴ＢＦ＝２（１０－ｘ）ｃｍ。 ∴ｙ＝１２ＢＦ·ＥＮ＝ １ ２×２（１０－ｘ） 槡×３ｘ 槡＝－３ｘ ２ 槡＋１０３ｘ。 ∵０＜２ｘ≤１０， ∴０＜ｘ≤５。 ∴ｙ 槡＝－３ｘ ２ 槡＋１０３ｘ（０＜ｘ≤５                                                                  ）。 —７３— （３）解：∵ＢＥ＝ＤＥ，ＢＥ＝ＥＦ，∴ＤＥ＝ＥＦ。 ∵∠ＤＥＦ＝６０°，∴△ＤＥＦ是等边三角形。 ∴ＤＥ＝ＤＦ＝ＥＦ。∴ＢＥ＝ＤＦ。 ∴线段ＤＦ的长度最短，即线段ＢＥ的长度最短。 ∴当ＢＥ⊥ＡＣ时，ＢＥ最短，如图３。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＢ＝ＢＣ。 ∵∠ＡＢＣ＝６０°，∴△ＡＢＣ是等边三角形。 ∴ＢＣ＝ＡＢ＝ＡＣ＝１０ｃｍ。 ∵ＢＥ⊥ＡＣ，∴ＣＥ＝１２ＡＣ＝５ｃｍ，即２ｘ＝５。∴ｘ＝ ５ ２。 ∴当ｘ＝５２时，线段ＤＦ的长度最短。 ２４．解：（１）∵ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂ＜０）与ｘ轴交点的坐标分别 为（ｘ１，０），（ｘ２，０），且ｘ１＜ｘ２， ∴ｘ１＋ｘ２＝－ｂ，且抛物线开口向上。 ∵ｙ１＝ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＋１（ｂ＜０）与ｘ轴交点的坐标分别为 （ｘ３，０），（ｘ４，０），且ｘ３＜ｘ４， 即ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂ＜０）向上平移１个单位长度， ∴ｘ１＜ｘ３＜ｘ４＜ｘ２，且ｘ３＋ｘ４＝－ｂ。 ∴ｘ１＋ｘ２＝ｘ３＋ｘ４。 ∵ｘ２－ｘ１＞ｘ４－ｘ３， ∴ｘ１－ｘ３＜ｘ２－ｘ４，ｘ２＋ｘ３＞ｘ１＋ｘ４。 故答案为＝；＜；＞。 （２）∵ｘ１＝１，２＜ｘ２＜３， ∴３＜ｘ２＋ｘ１＜４。 ∴３＜－ｂ＜４。 ∴－４＜ｂ＜－３。 （３）抛物线的顶点坐标为 －ｂ２， ４ｃ－ｂ２( )４ ， 对称轴为直线ｘ＝－ｂ２＞０。 当ｘ＝０时，ｙ＝ｃ， 当ｘ＝１时，ｙ＝１＋ｂ＋ｃ。 ①当在ｘ＝０取得最大值，在ｘ＝１取得最小值时， －ｂ２≥１，即ｂ≤－２， 有ｃ－（１＋ｂ＋ｃ）＝９１６， 解得ｂ＝－２５１６（舍去）； ②当在ｘ＝０取得最大值，在顶点取得最小值时， ０＜－ｂ２＜１，即－２＜ｂ＜０， 有ｃ－４ｃ－ｂ ２ ４ ＝ ９ １６，解得ｂ＝ ３ ２（舍去）或ｂ＝－ ３ ２； ③当在ｘ＝１取得最大值，在顶点取得最小值时， ０＜－ｂ２＜１，即－２＜ｂ＜０， 有１＋ｂ＋ｃ－４ｃ－ｂ ２ ４ ＝ ９ １６，解得ｂ＝－ ７ ２（舍去）或ｂ＝ －１２。 综上所述，ｂ的值为－３２或－ １ ２。 １３日照市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】－１３，０，１．７３２都是有理数，槡５是无理数。 故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】１５４９３００００＝１．５４９３×１０８。故选Ｂ。 ３．Ｂ　【解析】∵∠２＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＭ＋∠１， ∴∠ＣＯＭ＝∠２－∠１＝１２０°－４０°＝８０°。故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】移动前的主视图为 ，左视图为 ，俯视图为 ，移动 后 的 主 视 图 为 ，左视图为 ，俯视图为 ，所以 它的主视图会发生变化。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．（２ａ２）３＝８ａ６，该选项错误，不符合题意； Ｂ．ａ３与ａ２不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合 题意； Ｃ．ａ３·ａ４＝ａ７，该选项错误，不符合题意； Ｄ．ａ４÷ａ３＝ａ，该选项正确，符合题意。故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】由统计图可知，该班４０名同学一周参加体 育锻炼时间的众数是９，中位数是（９＋９）÷２＝９。 故选Ａ。 ７．Ａ　【解析】由题意，得 ｘ－ｙ＝５， ｙ－１２ｘ＝５{ 。故选Ａ。 ８．Ｂ　【解析】∵实数 ｘ１，ｘ２（ｘ１≠ｘ２）是关于 ｘ的方程 ｋｘ ２ ＋２ｋｘ＋１＝０的两个根， ∴ｘ１＋ｘ２＝－２，ｘ１ｘ２＝ １ ｋ。 ∵ １ｘ１ ＋１ｘ２ ＝２，∴ ｘ１＋ｘ２ ｘ１ｘ２ ＝２。 ∴－２ｋ＝２。解得ｋ＝－１。故选Ｂ。 ９．Ｂ　【解析】如图，延长ＢＡ交ＭＮ于点Ｃ。 由题意，得ＢＣ⊥ＭＮ，ＢＣ＝１１９ｍ，ＭＮ＝７４ｍ。 在Ｒｔ△ＣＮＢ中，∠ＣＮＢ＝４５°， ∴ＣＮ＝ ＢＣｔａｎ４５°＝１１９ｍ。 ∴ＣＭ＝ＭＮ＋ＣＮ＝１９３ｍ。 在Ｒｔ△ＡＭＣ中，∠ＡＭＣ＝２２°， ∴ＡＣ＝ＣＭ·ｔａｎ２２°≈１９３×０．４＝７７．２（ｍ）， ∴ＡＢ＝ＢＣ－ＡＣ＝１１９－７７．２≈４２（ｍ）。故选Ｂ。 １０．Ａ　【解析】如图，设ＯＦ交ＡＤ于点Ｍ，连接ＯＤ，将ＯＤ 绕点Ｏ顺时针旋转６０°得到ＯＤ′。 易证△ＭＤＯ≌△ＮＤ′Ｏ， ∴Ｓ四边形ＭＤＮＯ＝Ｓ△ＤＯＤ′。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，点Ｏ是对角线ＡＣ的中点， ∴ＯＤ⊥ＯＡ，∠ＡＤＯ＝∠ＣＤＯ＝１２∠ＡＤＣ＝ １ ２∠Ｂ                                                                  ＝ —８３—