11.山东省东营市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

【解析】先作∠ＮＭＨ的平分线交 ＮＨ于点 Ｐ，再作 ＭＰ 的垂直平分线交 ＭＮ于点 Ｄ，交 ＭＨ于点 Ｅ，菱形 ＭＤＰＥ即为所求。 ∵ＭＰ平分∠ＮＭＨ，∴∠ＤＭＰ＝∠ＥＭＰ。 ∵ＤＥ是ＭＰ的垂直平分线，∴ＤＭ＝ＤＰ，ＥＭ＝ＥＰ。 ∴∠ＤＭＰ＝∠ＤＰＭ，∠ＥＭＰ＝∠ＥＰＭ。 ∴∠ＤＰＭ＝∠ＥＭＰ，∠ＥＰＭ＝∠ＤＭＰ。 ∴ＤＰ∥ＥＭ，ＥＰ∥ＤＭ。 ∴四边形ＭＤＰＥ是平行四边形。 ∵ＤＭ＝ＤＰ， ∴平行四边形ＭＤＰＥ是菱形。 ２４．解：【基础应用】∵在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝７５°，∠Ｃ＝４５°， ∴∠Ａ＝１８０°－７５°－４５°＝６０°。 由题意，得 ＡＢ ｓｉｎＣ＝ ＢＣ ｓｉｎＡ， ∴ＡＢ 槡２ ２ ＝２ 槡３ ２ 。 解得ＡＢ＝ 槡２６３。 【推广证明】如图１，作直径ＣＱ，连接ＡＱ。 图１ ∵ＣＱ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＱＡＣ＝９０°。 ∵ ) ＡＣ＝ ) ＡＣ， ∴∠Ｂ＝∠Ｑ。 ∴ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＱ。 ∵ｓｉｎＱ＝ＡＣＣＱ＝ ｂ ２Ｒ， ∴２Ｒ＝ ｂｓｉｎＱ＝ ｂ ｓｉｎＢ。 同理可得２Ｒ＝ ａｓｉｎＡ，２Ｒ＝ ｃ ｓｉｎＣ。 ∴ ａｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ＝２Ｒ。 【拓展应用】如图２，连接ＢＤ，作ＡＥ⊥ＣＤ于点Ｅ。 图２ ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝９０°， ∴四边形ＡＢＣＥ是矩形。 ∵ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，ＣＤ＝４， ∴ＡＥ＝ＢＣ＝３，ＣＥ＝ＡＢ＝２，ＢＤ＝ ３２＋４槡 ２＝５。 ∴ＤＥ＝ＣＤ－ＣＥ＝４－２＝２。 ∴ＡＤ＝ ＡＥ２＋ＤＥ槡 ２＝ ３２＋２槡 ２ 槡＝ １３。 ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝９０°， ∴ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ。 ∴ｓｉｎ∠ＡＢＤ＝ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ＢＣＢＤ＝ ３ ５。 ∵ ＡＤｓｉｎ∠ＡＢＤ ＝２Ｒ，即槡１３３ ５ ＝２Ｒ， ∴Ｒ＝ 槡５ １３６ 。 １１东营市二二四年初中学业水平考试 １．Ａ　【解析】｜－３｜＝３。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ．ｘ２·ｘ３＝ｘ５，计算不正确，不符合题意； Ｂ．（ｘ－１）２＝ｘ２－２ｘ＋１，计算不正确，不符合题意； Ｃ．（ｘｙ２）２＝ｘ２ｙ４，计算正确，符合题意； Ｄ． －( )１２ －２ ＝４，计算不正确，不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】如图，∵ａ∥ｂ，∴∠３＝∠ＡＣＢ＝９０°。 ∴∠２＝１８０°－∠１－∠３＝６０°。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最 底层共３个正方体，右边一列最底层共１个正方体，由 此可得只有Ｃ符合题意。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】ｘ２－２ｘ－２０２３＝０，移项，得ｘ２－２ｘ＝２０２３。 配方，得ｘ２－２ｘ＋１＝２０２３＋１，即（ｘ－１）２＝２０２４。 ∴ａ＝－１，ｂ＝２０２４。∴ａｂ＝（－１）２０２４＝１。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ，∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤ。 Ａ．∵Ｏ为矩形ＡＢＣＤ两条对角线的交点，∴ＯＢ＝ＯＤ。 在△ＢＯＦ和△ＤＯＥ中， ∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤ， ∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ， ＯＢ＝ＯＤ{ ， ∴△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ（ＡＡＳ）．故此选项不符合题意； Ｂ．在△ＢＯＦ和△ＤＯＥ中， ∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ， ∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤ， ＯＦ＝ＯＥ{ ， ∴△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ（ＡＡＳ）．故此选项不符合题意； Ｃ．∵ＡＥ＝ＣＦ，∴ＢＣ－ＣＦ＝ＡＤ－ＡＥ，即ＢＦ＝ＤＥ。 在△ＢＯＦ和△ＤＯＥ中， ∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤ， ＢＦ＝ＤＥ， ∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ{ ， ∴△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ（ＡＳＡ）．故此选项不符合题意； Ｄ．∵ＥＦ⊥ＢＤ，∴∠ＢＯＦ＝∠ＤＯＥ＝９０°。 ∵两三角形中缺少对应边相等， ∴不能判定△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ。故此选项符合题意。 故选Ｄ。 ７．Ａ　【解析】从①ＡＣ＝ＢＤ，②ＡＣ⊥ＢＤ，③ＡＢ＝ＢＣ，这三 个条件中任意选取两个，共有①②，①③，②③３种等可 能的情况，由正方形的判定方法，可得①②，①③这２ 种情况能判定平行四边形是正方形。∴能使ＡＢＣＤ 是正方形的概率为 ２ ３。故选Ａ。 ８．Ｃ　【解析】∵Ｓ扇形ＡＯＣ＝ １２０·π·２０２ ３６０ ＝ ４００ ３π（ｃｍ ２                                                                  ）， —１３— Ｓ扇形ＢＯＤ＝ １２０·π·５２ ３６０ ＝ ２５ ３π（ｃｍ ２）， ∴山水画所在纸面的面积为Ｓ扇形ＡＯＣ－Ｓ扇形ＢＯＤ＝ ４００ ３π－ ２５ ３π＝１２５π（ｃｍ ２）。故选Ｃ。 ９．Ｄ　【解析】∵抛物线开口向下，∴ａ＜０。 ∵抛物线与ｙ轴交于正半轴，∴ｃ＞０。 ∵抛物线与ｘ轴的交点为（－３，０）和（１，０）， ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１。 ∴－ｂ２ａ＝－１。∴ｂ＝２ａ＜０。 ∴ａｂｃ＞０。故选项Ａ错误； ∵ｂ＝２ａ，∴２ａ－ｂ＝０。故选项Ｂ错误； ∵ａ＜０，ｃ＞０，∴３ａ－ｃ＜０。故选项Ｃ错误； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１，且开口向下， ∴当ｘ＝－１时，函数值最大为ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ。 当ｘ＝ｍ时，ｙ＝ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ， ∴ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ≤ａ－ｂ＋ｃ。 ∴ａｍ２＋ｂｍ≤ａ－ｂ。故选项Ｄ正确。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝９０°，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ ＝４５°，ＡＣ与ＢＤ互相垂直且平分， 设正方形ＡＢＣＤ的边长为ａ， 则ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ 槡＝２ａ。 ∴ＢＨ＝ＢＤ 槡＝２ａ。∴ＡＨ＝（槡２＋１）ａ。 ∴ｔａｎ∠Ｈ＝ＡＤＡＨ＝ ａ （槡２＋１）ａ 槡＝２－１。故②不正确； ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠Ｈ＝∠ＣＤＦ，∠ＤＣＦ＝∠ＨＢＦ。 ∴△ＤＣＦ∽△ＨＢＦ。 ∴ＣＦＢＦ＝ ＣＤ ＢＨ＝ ａ 槡２ａ ＝槡２２。故①不正确； ∵ＢＨ＝ＢＤ，∴∠Ｈ＝∠ＢＤＨ。 ∵∠Ｈ＋∠ＢＤＨ＝∠ＡＢＤ＝４５°， ∴∠Ｈ＝∠ＢＤＨ＝２２．５°。 又∵ＡＣ与ＢＤ互相垂直且平分， ∴ＤＥ＝ＢＥ。 ∴∠ＤＢＥ＝∠ＢＤＥ＝２２．５°。 ∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＢＤ－∠ＤＢＥ＝２２．５°。 ∴∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ。 ∴ＢＥ平分∠ＣＢＤ。故③正确； 由上可知，∠ＤＢＥ＝∠Ｈ＝２２．５°， ∴△ＢＤＥ∽△ＨＤＢ。 ∴ＢＤＤＨ＝ ＤＥ ＢＤ，即ＢＤ ２＝ＤＥ·ＤＨ。 又∵ＢＤ 槡＝２ＡＢ，∴２ＡＢ ２＝ＤＥ·ＤＨ。故④正确。 综上，正确的有③④，共２个。故选Ｂ。 １１．９．５７２×１０１０　【解析】９５７．２亿 ＝９５７２０００００００＝ ９．５７２×１０１０。 １２．２ａ（ａ＋２）（ａ－２）　【解析】２ａ３－８ａ＝２ａ（ａ２－４）＝ ２ａ（ａ＋２）（ａ－２）。 １３．１　【解析】由统计表可知每天阅读１小时的人数最 多，为１８人，所以学生每天的平均阅读时间的众数是 １小时。 １４．１５　【解析】设ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 由题意，得 １２．５＝ｂ， １３．５＝２ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝０．５，ｂ＝１２．５{ ， 故ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝０．５ｘ＋１２．５。 当ｘ＝５时，ｙ＝０．５×５＋１２．５＝１５， 即所挂物体的质量为５ｋｇ时，弹簧的长度为１５ｃｍ。 １５．３０　【解析】∵将△ＤＥＦ沿 ＦＥ方向平移 ３ｃｍ得 到△ＡＢＣ， ∴ＡＤ＝ＢＥ＝３ｃｍ，ＤＥ＝ＡＢ。 ∵△ＤＥＦ的周长为２４ｃｍ， ∴ＤＥ＋ＥＦ＋ＤＦ＝２４ｃｍ，即ＡＢ＋ＥＦ＋ＤＦ＝２４ｃｍ， ∴四边形ＡＢＦＤ的周长为 ＡＢ＋ＢＦ＋ＤＦ＋ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＥ＋ＥＦ＋ＤＦ＋ＡＤ＝ （ＡＢ＋ＥＦ＋ＤＦ）＋ＢＥ＋ＡＤ＝２４＋３＋３＝３０（ｃｍ）。 １６．２８ｘ－ ２４．５ １＋( )１４ ｘ ＝３　【解析】由该市去年居民用水价 格为ｘ元／米３，可知今年居民用水价格为 １＋( )１４ ｘ 元／米３。根据题意，得２８ｘ－ ２４．５ １＋( )１４ ｘ ＝３。 １７．槡２２　【解析】如图，ＡＢ是正八边形的一条边，点 Ｏ是 正八边形的中心，过点Ａ作ＡＭ⊥ＯＢ。 在正八边形中，∠ＡＯＢ＝３６０°÷８＝４５°，∴ＡＭ＝ＯＭ。 ∵ＯＡ＝１，ＡＭ２＋ＯＭ２＝ＯＡ２，∴ＡＭ＝槡２２。 ∴Ｓ△ＯＡＢ＝ １ ２ＯＢ·ＡＭ＝ 槡２ ４。 ∴正八边形的面积为８×槡２４ 槡＝２２。 槡∴２２＝１ ２×π。∴π 槡＝２２。∴π的估计值为 槡２２。 １８．２１０１２　【解析】如图，作Ｂ１Ｈ⊥ｘ轴于点Ｈ。 ∵点Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，Ｂ４，Ｂ５，…，均在直线ｙ＝ｘ上， ∴ＯＨ＝Ｂ１Ｈ。 ∴∠Ｂ１ＯＨ＝４５°。 ∵Ａ１（槡２，０），ＯＡ１＝ＯＢ１， ∴ＯＢ１＝ＯＡ１ 槡＝２。 ∵Ｂ１Ａ２⊥ｌ，∠Ｂ１ＯＨ＝４５°， ∴ＯＢ１＝Ｂ１Ａ２ 槡＝２。 ∴ＯＡ２ 槡＝２ＯＢ１ 槡＝２ＯＡ１＝２。∴Ａ２（２，０）。 同理，ＯＡ２＝ＯＢ２＝Ｂ２Ａ３＝２， ∴ＯＡ３ 槡＝２ＯＡ２ 槡＝２２＝（槡２） ３ 。 同理，ＯＡ４＝（槡２） ４ ，ＯＡ５＝（槡２） ５ ， …… ∴ＯＡ２０２４＝（槡２） ２０２４ ＝２１０１２， 即点Ａ２０２４的横坐标为２ １０１２。 １９．解：（１）原式 槡 槡＝２３－１＋２－３－２×槡 ３ ２ 槡 槡 槡＝２３－１＋２－３－３ ＝１                                                                  。 —２３— （２）原式＝（ａ－２） ２ ａ－１ ÷ ａ２－４ ａ－１ ＝（ａ－２） ２ ａ－１ × ａ－１ （ａ＋２）（ａ－２） ＝ａ－２ａ＋２。 ２０．解：（１）（６＋７）÷２６％＝５０（名）， ∴本次调查中，共调查了５０名学生。 故答案为５０。 ５０×８％＝４（名），４－２＝２（名）， ∴Ｅ档有２名男生，２名女生。 补全条形统计图如下： （２）５＋３＋７＋６＋２＝２３（名）， 即本次共调查了２３名男生。 ∴调查的全部男生劳动时间的中位数位于第１２名。 ∵５＋３＝８，５＋３＋７＝１５，∴第１２名位于Ｃ档。 ∵调查的男生劳动时间在 Ｃ档的数据为２，２．２，２．４， ２．５，２．７，２．８，２．９， ∴调查的全部男生劳动时间的中位数为２．５小时。 故答案为２．５。 （３）Ｅ档中有２名男生和２名女生，用 Ａ，Ｂ表示２名 男生，用Ｃ，Ｄ表示两名女生，列表如下： Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） （Ａ，Ｄ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｃ） （Ｂ，Ｄ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｄ） Ｄ （Ｄ，Ａ） （Ｄ，Ｂ） （Ｄ，Ｃ） 共有１２种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都 是女生的结果有２种， ∴Ｐ（所选两名女生恰好都是女生）＝２１２＝ １ ６。 ２１．（１）证明：如图，连接ＯＣ，则ＯＡ＝ＯＣ。 ∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ。 ∵Ｃ是 ) ＢＥ的中点，∴ ) ＢＣ＝ ) ＣＥ。 ∴∠ＯＡＣ＝∠ＤＡＣ，∴∠ＯＣＡ＝∠ＤＡＣ。 ∴ＯＣ∥ＡＤ。 ∵ＡＥ⊥ＣＤ，∴∠ＯＣＦ＝∠Ｄ＝９０°。∴ＯＣ⊥ＤＦ。 ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径．∴ＣＤ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°。 ∵∠ＡＢＣ＝６０°，∴∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＡＢＣ＝３０°。 ∴∠ＤＡＣ＝３０°。 ∵ＣＤ 槡＝３，∴ＡＤ＝ ＣＤ ｔａｎ３０° 槡＝３ＣＤ＝３。 ∵∠Ｆ＝９０°－（∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＣ）＝３０°， ∴ＡＦ＝２ＡＤ＝６。 ２２．解：（１）将Ｂ（１，３）代入ｙ＝ｋｘ，得３＝ ｋ １， ∴ｋ＝３。∴反比例函数的表达式为ｙ＝３ｘ。 将Ａ（－３，ａ）代入ｙ＝３ｘ，得ａ＝ ３ －３＝－１， ∴点Ａ的坐标为（－３，－１）。 将点Ａ和点Ｂ的坐标代入ｙ＝ｍｘ＋ｎ， 得 －３ｍ＋ｎ＝－１， ｍ＋ｎ＝３{ ， 解得 ｍ＝１， ｎ＝２{ ， ∴一次函数的表达式为ｙ＝ｘ＋２。 （２）根据函数图象，可知不等式 ｍｘ＋ｎ＞ｋｘ的解集为 －３＜ｘ＜０或ｘ＞１。 （３）将ｘ＝０代入ｙ＝ｘ＋２，得ｙ＝２， ∴点Ｄ的坐标为（０，２）。 ∴Ｓ△ＯＢＤ＝ １ ２×２×１＝１。 ∴Ｓ△ＯＣＰ＝４Ｓ△ＯＢＤ＝４。 将ｙ＝０代入ｙ＝ｘ＋２，得ｘ＝－２， ∴点Ｃ的坐标为（－２，０）。 ∴Ｓ△ＯＣＰ＝ １ ２×２× ｙＰ ＝４。解得 ｙＰ ＝４。 ∵点Ｐ在第三象限，∴ｙＰ＝－４。 将ｙＰ＝－４代入ｙ＝ ３ ｘ，得ｘＰ＝－ ３ ４， ∴点Ｐ的坐标为 －３４，( )－４。 ２３．解：（１）设购买Ａ型新能源公交车每辆需ｘ万元，购买 Ｂ型新能源公交车每辆需ｙ万元， 由题意，得 ３ｘ＋ｙ＝２６０， ２ｘ＋３ｙ＝３６０{ 。 解得 ｘ＝６０， ｙ＝８０{ 。 答：购买Ａ型新能源公交车每辆需６０万元，购买Ｂ型 新能源公交车每辆需８０万元。 （２）设购买Ａ型新能源公交车 ａ辆，则购买 Ｂ型新能 源公交车（１０－ａ）辆，该线路的年均载客总量为 ｗ万 人次。 由题意，得６０ａ＋８０（１０－ａ）≤６５０。解得ａ≥７．５。 ∵ａ≤１０，∴７．５≤ａ≤１０。 ∵ａ是整数，∴ａ＝８，９，１０。 ｗ＝７０ａ＋１００（１０－ａ）＝－３０ａ＋１０００。 ∵－３０＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小。 ∴当 ａ＝８时，ｗ最大，最大值 ＝－３０×８＋１０００ ＝７６０， 此时１０－ａ＝１０－８＝２。 ∴购买方案为购买Ａ型新能源公交车８辆，Ｂ型新能 源公交车２辆，此时该线路的年均载客总量最大，为 ７６０万人次。 ２４．解：（１）如图１，延长ＤＡ交ＢＥ于点Ｈ。 ∵将 △ＣＡＢ绕点 Ｃ按逆时针方向旋转 ９０°得 到△ＣＤＥ                                                                  ， —３３— ∴ＣＤ＝ＡＣ＝１，ＣＥ＝ＢＣ＝３，∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ＝９０°。 ∴根据勾股定理，得 ＡＤ＝ １２＋１槡 ２ 槡＝２，ＢＥ＝ ３ ２＋３槡 ２ 槡＝３２。 ∴ＢＥ＝３ＡＤ。 ∵ＣＤ＝ＡＣ，ＣＥ＝ＢＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＤＡＣ＝１２×（１８０°－９０°）＝４５°， ∠ＣＢＥ＝∠ＣＥＢ＝１２×（１８０°－９０°）＝４５°。 ∴∠ＢＨＤ＝１８０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＢＥ＝１８０°－４５°－４５° ＝９０°。 ∴ＡＤ⊥ＢＥ。 故答案为ＢＥ＝３ＡＤ，ＡＤ⊥ＢＥ。 （２）一致。理由如下： 如图２，延长ＤＡ交ＢＥ于点Ｈ。 ∵将△ＣＡＢ绕点Ｃ旋转得到△ＣＤＥ， ∴ＣＤ＝ＡＣ＝１，ＣＥ＝ＢＣ＝３，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°。 ∴ＡＣＢＣ＝ ＣＤ ＣＥ＝ １ ３。 ∴△ＡＣＤ∽△ＢＣＥ。 ∴ＡＤＢＥ＝ ＡＣ ＢＣ＝ １ ３，∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ。 ∴ＢＥ＝３ＡＤ。 又∵∠ＥＮＨ＝∠ＣＮＤ，∠ＨＥＮ＋∠ＥＮＨ＋∠ＥＨＮ＝ １８０°，∠ＣＮＤ＋∠ＣＤＮ＋∠ＤＣＮ＝１８０°， ∴∠ＥＨＮ＝∠ＤＣＮ＝９０°。 ∴ＡＤ⊥ＢＥ。 （３）如图３，过点Ｃ作ＣＮ⊥ＡＢ于点Ｎ。 根据旋转可知ＡＣ＝ＣＤ， ∴ＡＮ＝ＤＮ＝１２ＡＤ。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１，ＢＣ＝３， 根据勾股定理，得ＡＢ＝ １２＋３槡 ２ 槡＝ １０。 ∵∠ＡＮＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝∠Ａ， ∴△ＡＣＮ∽△ＡＢＣ。 ∴ＡＮＡＣ＝ ＡＣ ＡＢ，即 ＡＮ １＝ １ 槡１０ 。 解得ＡＮ＝槡１０１０。∴ＡＤ＝２ＡＮ＝ 槡１０ ５ 。 由（３）知，ＢＥ＝３ＡＤ＝ 槡３ １０５ 。 ２５．解：（１）∵抛物线与ｘ轴交于Ａ（－１，０），Ｂ（２，０）两点， ∴ １－ｂ＋ｃ＝０，４＋２ｂ＋ｃ＝０{ 。解得 ｂ＝－１，ｃ＝－２{ 。 ∴抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２－ｘ－２。 （２）在抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ－２中，令ｘ＝０，得ｙ＝－２， ∴Ｃ（０，－２）。 设直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｍ。 将Ｂ（２，０），Ｃ（０，－２）代入， 得 ２ｋ＋ｍ＝０， ｍ＝－２{ ， 解得 ｋ＝１，ｍ＝－２{ 。 ∴直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｘ－２。 ∵过点Ｄ作ｙ轴的平行线交ＢＣ于点Ｅ， ∴设Ｄ（ｔ，ｔ２－ｔ－２），Ｅ（ｔ，ｔ－２）。 ∴ｌ＝ＤＥ＝ｔ－２－（ｔ２－ｔ－２）＝－ｔ２＋２ｔ。 ∵点Ｄ在直线ＢＣ下方的抛物线上， ∴０＜ｔ＜２。 （３）如图１， 当０＜ｔ＜２时，作ＡＧ∥ＤＥ，交ＢＣ于点Ｇ， ∴△ＤＥＦ∽△ＡＧＦ。 ∴ＤＦＡＦ＝ ＤＥ ＡＧ。 把ｘ＝－１代入ｙ＝ｘ－２，得ｙ＝－３， ∴Ｇ（－１，－３）。 ∴ＡＧ＝３。∴ＤＦＡＦ＝ －ｔ２＋２ｔ ３ ＝－ １ ３（ｔ－１） ２＋１３。 ∴当ｔ＝１时，ＤＦ( )ＡＦ 最大 ＝１３。 ∵ＤＦＡＦ＝ Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△ＡＥＦ ，∴ Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△( )ＡＥＦ 最大 ＝１３； 如图２， 当ｔ＞２时，此时ＤＥ＝ｔ２－ｔ－２－（ｔ－２）＝ｔ２－２ｔ， ∴ＤＦＡＦ＝ ＤＥ ＡＧ＝ ｔ２－２ｔ ３ ＝ （ｔ－１）２－１ ３ 。 ∵当ｔ＞１时，ｔ２－２ｔ随着ｔ的增大而增大， ∴当ｔ＞２时，ＤＦＡＦ没有最大值。 ∴ Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△ＡＥＦ 没有最大值； 如图３， 当－１＜ｔ＜０时，ＤＦＡＦ＝ ＤＥ ＡＧ＝ ｔ２－２ｔ ３ ＝ （ｔ－１）２－１ ３ 。 ∵当－１＜ｔ＜０时，ｔ２－２ｔ随着ｔ的增大而减小， ∴ＤＦＡＦ没有最大值。 ∴ Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△ＡＥＦ 没有最大值                                                                  ； —４３— 如图４， 当ｔ＜－１时，由上可知， Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△ＡＥＦ 没有最大值。 综上所述，当０＜ｔ＜２时， Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△( )ＡＥＦ 最大 ＝１３。 １２威海市２０２４年初中学业考试 １．Ｃ　【解析】∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的 克数用负数表示， －３ ＜ －５ ＜ ＋７ ＜ １０， ∴最接近标准质量的是－３。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】百万分之一＝ １１００００００＝１×１０ －６。 故选Ｂ。 ３．Ａ　【解析】－（－２）＝２。 槡∵－２＜－２＜－ １ ２＜－（－２）， ∴最小的数是－２。故选Ａ。 ４．Ｃ　【解析】Ａ．ｘ５＋ｘ５＝２ｘ５，运算错误，该选项不符合题 意；Ｂ．ｍ÷ｎ２· １ｎ＝ｍ· １ ｎ２ · １ ｎ＝ ｍ ｎ３ ，运算错误，该选 项不符合题意；Ｃ．ａ６÷ａ２＝ａ６－２＝ａ４，运算正确，该选项 符合题意；Ｄ．（－ａ２）３＝－ａ６，运算错误，该选项不符合 题意。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．主视图为 ，左视图为 ，主视 图与左视图不同，故该选项不符合题意； Ｂ．主视图为 ，左视图为 ，主视图与左 视图不同，故该选项不符合题意； Ｃ．主视图为 ，左视图为 ，主视图与左 视图不同，故该选项不符合题意； Ｄ．主视图为 ，左视图和俯视图为 ，主 视图、左视图和俯视图完全相同，故该选项符合题意。 故选Ｄ。 ６．Ｂ　【解析】∵∠ＡＯＢ＝９０°，ＣＥ⊥ＡＯ，ＥＤ⊥ＯＢ， ∴四边形ＯＣＥＤ是矩形。 ∴Ｓ△ＯＣＥ＝Ｓ△ＯＤＥ，ＯＣ＝ＤＥ。 ∴Ｓ阴影部分 ＝Ｓ△ＯＤＥ＋Ｓ阴影ＢＤＥ＝Ｓ扇形ＢＯＥ。 ∵Ｃ是ＡＯ的中点， ∴ＯＣ＝１２ＯＡ＝ １ ２ＯＥ＝ＤＥ。 ∴ｓｉｎ∠ＥＯＤ＝ＤＥＯＥ＝ １ ２。∴∠ＥＯＤ＝３０°。 ∴Ｓ阴影部分 ＝Ｓ扇形ＢＯＥ＝ ３０π×ＡＯ２ ３６０ ＝ π×ＡＯ２ １２ 。 ∵Ｓ扇形ＡＯＢ＝ ９０π×ＡＯ２ ３６０ ＝ π×ＡＯ２ ４ ， ∴点Ｐ落在阴影部分的概率是 Ｓ阴影部分 Ｓ扇形ＡＯＢ ＝ π×ＡＯ２ １２ π×ＡＯ２ ４ ＝１３。 故选Ｂ。 ７．Ｂ　【解析】∵｛ａ，ｂ｝＋｛ｃ，ｄ｝＝｛ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ｝， ｛３，５｝＋｛ｍ，ｎ｝＝｛－１，２｝， ∴３＋ｍ＝－１，５＋ｎ＝２。 解得ｍ＝－４，ｎ＝－３。故选Ｂ。 ８．Ｃ　【解析】依题意，得 ｘ ３－ｙ＝４， ｘ ４－ｙ＝１ { 。故选Ｃ。 ９．Ｄ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ。 若 ＣＥ ＣＦ＝ ＡＤ ＡＢ，则 ＣＥ ＣＦ＝ ＣＢ ＣＤ。 又∵∠ＥＣＦ＝∠ＢＣＤ，∴△ＣＥＦ∽△ＣＢＤ。 ∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＢＤ。 ∴ＥＦ∥ＢＤ。故Ａ选项正确； 若ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，ＡＥ＝ＡＦ， 则ＣＡ是∠ＢＣＤ的平分线。 ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ。∴ＡＤ＝ＣＤ。 ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。∴ＡＣ⊥ＢＤ。 在Ｒｔ△ＡＣＥ与Ｒｔ△ＡＣＦ中， ＡＥ＝ＡＦ， ＡＣ＝ＡＣ{ ， ∴Ｒｔ△ＡＣＥ≌Ｒｔ△ＡＣＦ（ＨＬ）。 ∴ＣＥ＝ＣＦ。 又∵ＡＥ＝ＡＦ， ∴ＡＣ是ＥＦ的垂直平分线，ＡＣ⊥ＥＦ。 ∴ＥＦ∥ＢＤ。故Ｂ选项正确； ∵ＣＥ＝ＣＦ，∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ。 ∵ＥＦ∥ＢＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＥＦ，∠ＣＤＢ＝∠ＣＦＥ。 ∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ。∴ＣＢ＝ＣＤ。 ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。 ∴ＡＣ⊥ＢＤ。 又∵ＥＦ∥ＢＤ，∴ＡＣ⊥ＥＦ。 ∵ＣＥ＝ＣＦ，∴ＡＣ垂直平分ＥＦ。∴ＡＥ＝ＡＦ。 易证Ｒｔ△ＡＥＧ≌Ｒｔ△ＡＦＧ， ∴∠ＥＡＣ＝∠ＦＡＣ。故Ｃ选项正确； 若ＡＢ＝ＡＤ，则四边形ＡＢＣＤ是菱形。 只有当ＡＥ＝ＡＦ，且ＣＥ＝ＣＦ时，可得ＡＣ垂直平分ＥＦ。 ∵ＡＣ⊥ＢＤ，∴ＥＦ∥ＢＤ。故Ｄ选项不正确。 故选Ｄ。 １０．Ａ　【解析】根据函数图象可得 Ａ，Ｂ两地之间的距离 为２０ｋｍ，甲车行驶了４小时，两车同时到达Ｃ地。 在１－２小时内，两车同向运动， 在第２小时，即点Ｄ时，乙车休息， 点Ｅ的意义是两车相遇，点Ｆ的意义是乙车休息后再 出发， ∴乙车休息了１小时。故Ｄ选项不正确                                                                  ； —５３— 　－４２　－ 一、选择题：本大题共１０小题，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选 对得３分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。 １．－３的绝对值是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 槡Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．±３ Ｄ．３ ２．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ｘ２·ｘ３＝ｘ６ Ｂ．（ｘ－１）２＝ｘ２－１ Ｃ．（ｘｙ２）２＝ｘ２ｙ４ Ｄ． －( )１２ －２ ＝－４ ３．已知，直线ａ∥ｂ，把一块含有３０°角的直角三角板如图放 置，∠１＝３０°，三角板的斜边所在直线交 ｂ于点 Ａ，则∠２ ＝ （　　） Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° 第３题图 　　　　　 第４题图 ４．某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为 正面）的俯视图与其相同的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ５．用配方法解一元二次方程 ｘ２－２ｘ－２０２３＝０时，将它转 化为（ｘ＋ａ）２＝ｂ的形式，则ａｂ的值为 （　　） Ａ．－２０２４ Ｂ．２０２４ Ｃ．－１ Ｄ．１ ６．如图，四边形ＡＢＣＤ是矩形，直线 ＥＦ分别交 ＡＤ，ＢＣ，ＢＤ 于点Ｅ，Ｆ，Ｏ，下列条件中，不能证明△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ的 是 （　　） Ａ．Ｏ为矩形ＡＢＣＤ两条对角线的交点 Ｂ．ＯＥ＝ＯＦ Ｃ．ＡＥ＝ＣＦ Ｄ．ＥＦ⊥ＢＤ 第６题图 　　　　　 第７题图 ７．如图，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，从①ＡＣ＝ＢＤ，②ＡＣ⊥ ＢＤ，③ＡＢ＝ＢＣ，这三个条件中任意选取两个，能使 ＡＢＣＤ是正方形的概率为 （　　） Ａ．２３ Ｂ． １ ２ Ｃ． １ ３ Ｄ． ５ ６ ８．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的 根和魂。东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成 果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇。如图， ＯＡ＝２０ｃｍ，ＯＢ＝５ｃｍ，纸扇完全打开后，外侧两竹条 （竹条宽度忽略不计）的夹角∠ＡＯＣ＝１２０°。现需在扇 面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 （　　）ｃｍ２ （　　） Ａ．２５３π Ｂ．７５π Ｃ．１２５π Ｄ．１５０π 第８题图 　　 第９题图 ９．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则下列结 论正确的是 （　　） Ａ．ａｂｃ＜０ Ｂ．ａ－ｂ＝０ Ｃ．３ａ－ｃ＝０ Ｄ．ａｍ２＋ｂｍ≤ａ－ｂ（ｍ为任意实数） １０．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，Ｈ是ＡＢ 延长线上的一点，且 ＢＨ＝ＢＤ，连接 ＤＨ，分别交 ＡＣ， ＢＣ于点Ｅ，Ｆ，连接ＢＥ，则下列结论： ①ＣＦＢＦ＝ 槡３ ２；②ｔａｎ∠Ｈ 槡＝３－１； ③ＢＥ平分∠ＣＢＤ；④２ＡＢ２＝ＤＥ·ＤＨ。 其中正确结论有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 二、填空题：本大题共 ８小题，其中 １１－１４题每小题 ３ 分，１５－１８题每小题４分，共２８分。只要求填写最后 结果。 １１．从２０２４年一季度ＧＤＰ增速看，东营市增速位居山东 １６市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到 ９５７．２ 亿元，同比增长７．１％，９５７．２亿用科学记数法表示为 　　　　　　　。 １２．因式分解：２ａ３－８ａ＝　　　　　　　　。 １３．４月 ２３日是世界读书日，东营市组织开展“书香东 营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间， 随机调查了七年级５０名学生每天的平均阅读时间， 统计结果如下表所示。在本次调查中，学生每天的平 均阅读时间的众数是　　　　小时。 时间（小时） ０．５ １ １．５ ２ ２．５ 人数 １０ １８ １２ ６ ４ １４．在弹性限度内，弹簧的长度 ｙ（ｃｍ）是所挂物体质量 ｘ（ｋｇ）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长１２．５ｃｍ， 当所挂物体的质量为２ｋｇ时，弹簧长１３．５ｃｍ。当所挂 物体的质量为５ｋｇ时，弹簧的长度为　　　　ｃｍ。 １５．如图，将△ＤＥＦ沿 ＦＥ方向平移 ３ｃｍ得到△ＡＢＣ，若 △ＤＥＦ的周长为 ２４ｃｍ，则四边形 ＡＢＦＤ的周长为 　　　　ｃｍ。 １６．水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明 城市，某市经论证从今年１月１日起调整居民用水价 格，每立方米水费上涨原价的 １ ４。小丽家去年５月份的 水费为２８元，而今年５月份的水费则为２４．５元。已知 小丽家今年５月份的用水量比去年５月份的用水量少 ３米３。设该市去年居民用水价格为ｘ元／米３，则可列分 式方程为　　　　　　　　。 １７．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名 的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法 来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以 至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。“割圆术” 孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 π的 近似值为３．１４１６。如图，⊙Ｏ的半径为１，运用“割圆 术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙Ｏ的面积，可得 π的估计值为 槡３３２。若用圆内接正八边形近似估计⊙Ｏ 的面积，可得π的估计值为　　　　。 第１７题图 　　　　　 第１８题图 １８．如图，在平面直角坐标系中，已知直线ｌ的表达式为ｙ＝ ｘ，点Ａ１的坐标为（槡２，０），以 Ｏ为圆心，ＯＡ１为半径画 弧，交直线ｌ于点Ｂ１，过点Ｂ１作直线ｌ的垂线交 ｘ轴于 点Ａ２；以Ｏ为圆心，ＯＡ２为半径画弧，交直线 ｌ于点 Ｂ２， 过点Ｂ２作直线 ｌ的垂线交 ｘ轴于点 Ａ３；以 Ｏ为圆心， ＯＡ３为半径画弧，交直线ｌ于点 Ｂ３，过点 Ｂ３作直线 ｌ的 垂线交ｘ轴于点 Ａ４；……按照这样的规律进行下去，点 Ａ２０２４的横坐标为　　　　。 三、解答题：本大题共７小题，共６２分。解答要写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤。 １９．（８分）（１）计算：槡１２－（π－３．１４） ０ 槡＋｜２－ ３｜－ ２ｓｉｎ６０°； （２）计算：ａ ２－４ａ＋４ ａ－１ ÷ ａ＋１－ ３ ａ( )－１。 ２０．（８分）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试 行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我 快乐，我光荣”活动。为了解学生周末在家劳动情况， 学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位： 小时），并进行整理和分析（劳动时间ｘ分成五档：Ａ档： ０≤ｘ＜１；Ｂ档：１≤ｘ＜２；Ｃ档：２≤ｘ＜３；Ｄ档：３≤ｘ＜４； Ｅ档：４≤ｘ）。调查的八年级男生、女生劳动时间的不完 整统计图如下： 　 根据以上信息，回答下列问题： （１）本次调查中，共调查了　　　　名学生，补全条形 统计图； （２）调查的男生劳动时间在 Ｃ档的数据为２，２．２，２．４， ２．５，２．７，２．８，２．９，则调查的全部男生劳动时间的中位 数为　　　　小时； （３）学校为了提高学生的劳动意识，现从 Ｅ档中选两名 学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求 所选两名学生恰好都是女生的概率。 －４１－ １１东营市二二四年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） 　－４４　－ ２１．（８分）如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｅ 在⊙Ｏ上，Ｃ是 ) ＢＥ的中点，ＡＥ⊥ＣＤ，垂足为 Ｄ，ＤＣ的延 长线交ＡＢ的延长线于点Ｆ。 （１）求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＣＤ 槡＝３，∠ＡＢＣ＝６０°，求线段ＡＦ的长。 ２２．（８分）如图，一次函数 ｙ＝ｍｘ＋ｎ的图象与反比例函数 ｙ＝ｋｘ的图象交于点Ａ（－３，ａ），Ｂ（１，３），且一次函数与 ｘ轴，ｙ轴分别交于点Ｃ，Ｄ。 （１）求反比例函数和一次函数的表达式； （２）根据图象直接写出不等式ｍｘ＋ｎ＞ｋｘ的解集； （３）在第三象限的反比例函数图象上有一点 Ｐ，使得 Ｓ△ＯＣＰ＝４Ｓ△ＯＢＤ，求点Ｐ的坐标。 ２３．（８分）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计 划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交 车。新能源公交车有Ａ型和Ｂ型两种车型，若购买Ａ 型公交车３辆，Ｂ型公交车１辆，共需２６０万元；若购 买Ａ型公交车２辆，Ｂ型公交车３辆，共需３６０万元。 （１）求购买Ａ型和 Ｂ型新能源公交车每辆各需多少 万元？ （２）经调研，某条线路上的Ａ型和Ｂ型新能源公交车 每辆年均载客量分别为７０万人次和１００万人次。公 司准备购买１０辆Ａ型、Ｂ型两种新能源公交车，总费 用不超过６５０万元。为保障该线路的年均载客总量 最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最 大值。 ２４．（１０分）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１，ＢＣ＝３。 （１）问题发现 如图１，将△ＣＡＢ绕点 Ｃ按逆时针方向旋转 ９０°得到 △ＣＤＥ，连接ＡＤ，ＢＥ，线段ＡＤ与ＢＥ的数量关系是　　 　　　　，ＡＤ与ＢＥ的位置关系是　　　　　　； （２）类比探究 将△ＣＡＢ绕点 Ｃ按逆时针方向旋转任意角度得到 △ＣＤＥ，连接ＡＤ，ＢＥ，线段 ＡＤ与 ＢＥ的数量关系、位置 关系与（１）中结论是否一致？若ＡＤ交ＣＥ于点Ｎ，请结 合图２说明理由； （３）迁移应用 如图３，将△ＣＡＢ绕点 Ｃ旋转一定角度得到△ＣＤＥ，当 点Ｄ落到边ＡＢ上时，连接ＢＥ，求线段ＢＥ的长。 　 ２５．（１２分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 ｙ＝ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于 Ａ（－１，０），Ｂ（２，０）两点，与ｙ轴交 于点Ｃ，点Ｄ是抛物线上的一个动点。 （１）求抛物线的表达式； （２）当点Ｄ在直线 ＢＣ下方的抛物线上时，过点 Ｄ作 ｙ 轴的平行线交ＢＣ于点 Ｅ，设点 Ｄ的横坐标为 ｔ，ＤＥ的 长为ｌ，请写出 ｌ关于 ｔ的函数表达式，并写出自变量 ｔ 的取值范围； （３）连接ＡＤ，交ＢＣ于点Ｆ，求 Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△ＡＥＦ 的最大值。 －４３－