10.山东省滨州市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－３８　－ 第Ⅰ卷（选择题　共２４分） 一、选择题：本大题共８个小题，每小题３分，满分２４分。 每小题只有一个选项符合题目要求。 １．－１２的绝对值是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．１２ Ｄ．－ １ ２ ２．如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋 线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”。其中不是轴对称 图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４．下列运算正确的是 （　　） Ａ．（ｎ３）３＝ｎ６ Ｂ．（－２ａ）２＝－４ａ２ Ｃ．ｘ８÷ｘ２＝ｘ４ Ｄ．ｍ２·ｍ＝ｍ３ ５．若点Ｐ（１－２ａ，ａ）在第二象限，则ａ的取值范围是 （　　） Ａ．ａ＞１２ Ｂ．ａ＜ １ ２ Ｃ．０＜ａ＜１２ Ｄ．０≤ａ＜ １ ２ ６．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的１５名运动 员的成绩如下表所示。 成绩／ｍ １．５０ １．６０ １．６５ １．７０ １．７５ １．８０ 人数 ２ ３ ２ ３ ４ １ 某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是１．６５；②这些运动员成绩 的中位数是１．７０；③这些运动员成绩的众数是１．７５。 上述结论正确的是 （　　） Ａ．②③ Ｂ．①③ Ｃ．①② Ｄ．①②③ ７．点Ｍ（ｘ１，ｙ１）和点Ｎ（ｘ２，ｙ２）在反比例函数 ｙ＝ ｋ２－２ｋ＋３ ｘ （ｋ为常数）的图象上，若ｘ１＜０＜ｘ２，则ｙ１，ｙ２，０的大小关 系为 （　　） Ａ．ｙ１＜ｙ２＜０ Ｂ．ｙ１＞ｙ２＞０ Ｃ．ｙ１＜０＜ｙ２ Ｄ．ｙ１＞０＞ｙ２ ８．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国 伟大的数学家，中国古典数学理论的奠 基者之一，被誉为“世界古代数学泰 斗”。刘徽在注释《九章算术》时十分 重视一题多解，其中最典型的是勾股容 方和勾股容圆公式的推导，他给出了内 切圆直径的多种表达形式。如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ的长分别为ｃ，ａ，ｂ，则可以用含ｃ，ａ， ｂ的式子表示出△ＡＢＣ的内切圆直径ｄ，下列表达式错 误的是 （　　） Ａ．ｄ＝ａ＋ｂ－ｃ Ｂ．ｄ＝ ２ａｂａ＋ｂ＋ｃ Ｃ．ｄ＝ ２（ｃ－ａ）（ｃ－ｂ槡 ） Ｄ．ｄ＝｜（ａ－ｂ）（ｃ－ｂ）｜ 第Ⅱ卷（非选择题　共９６分） 二、填空题：本大题共８个小题，每小题３分，满分２４分。 ９．若函数ｙ＝ １ｘ－１的解析式在实数范围内有意义，则自变 量ｘ的取值范围是　　　　。 １０．写出一个比槡３大且比槡１０小的整数：　　　　。 １１．将抛物线 ｙ＝－ｘ２先向右平移１个单位长度，再向上 平移２个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 　　　　。　 １２．一副三角板如图１摆放，把三角板ＡＯＢ绕公共顶点Ｏ 顺时针旋转至图 ２，即 ＡＢ∥ ＯＤ时，∠１的大小为 　　　　°。　 １３．如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＡＢ，ＡＣ上。添加一 个条件使△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ，则这个条件可以是　　　　。 （写出一种情况即可） 第１３题图 　　 第１４题图 １４．如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，若四边形 ＯＡＢＣ是菱 形，则∠Ｄ＝　　　　°。 １５．如图，四边形ＡＯＢＣ四个顶点的坐标分别为Ａ（－１，３）， Ｏ（０，０），Ｂ（３，－１），Ｃ（５，４），在该平面内找一点 Ｐ，使 它到四个顶点的距离之和 ＰＡ＋ＰＯ＋ＰＢ＋ＰＣ最小，则 点Ｐ的坐标为　　　　。 第１５题图 　　　　 第１６题图 １６．如图，在边长为 １的正方形网格中，点 Ａ，Ｂ均在格 点上。 （１）ＡＢ的长为　　　　； （２）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 以ＡＢ为边的矩形ＡＢＣＤ，使其面积为２６３，并简要说明点 Ｃ，Ｄ的位置是如何找到的（不用证明）： 　 　。 三、解答题：本大题共８个小题，满分７２分。解答时请写出 必要的演推过程。 １７．（７分）计算：２－１＋（－２）× －( )１２ －槡 ９ ４。 １８．（７分）解方程：（１）２ｘ－１３ ＝ ｘ＋１ ２ ；　　（２）ｘ ２－４ｘ＝０。 １９．（７分）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一， 他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数 学中留下了不凡的足迹。设ａ，ｂ，ｃ为两两不同的数，称 Ｐｎ＝ ａｎ （ａ－ｂ）（ａ－ｃ）＋ ｂｎ （ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ ｃｎ （ｃ－ａ）（ｃ－ｂ） （ｎ＝０，１，２，３）为欧拉分式。 （１）写出Ｐ０对应的表达式； （２）化简Ｐ１对应的表达式。 ２０．（９分）某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分 别是Ａ：床铺整理，Ｂ：衣物清洗，Ｃ：手工制作，Ｄ：简单烹 饪，Ｅ：绿植栽培。课程开设一段时间后，李老师采用抽 样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动 实践课程”为主题的问卷调查。根据调查所收集的数 据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图。 　　 根据图中信息，请回答下列问题： （１）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作” 对应的扇形圆心角度数； （２）若该校共有１８００名学生，请你估计全校最喜欢“绿 植栽培”的学生人数； （３）小兰同学从Ｂ，Ｃ，Ｄ三门课程中随机选择一门参加 劳动实践，小亮同学从 Ｃ，Ｄ，Ｅ三门课程中随机选择一 门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率。 －３７－ １０滨州市二二四年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） 　－４０　－ ２１．（１０分）【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性 质时发现： ①如图，在△ＡＢＣ中，若 ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ，则有∠Ｂ ＝∠Ｃ； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步 推得ＡＢ＝ＡＣ，即知 ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＣ＋ＣＤ。若把①中的 ＢＤ＝ＣＤ替换为 ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＣ＋ＣＤ，还能推出∠Ｂ＝ ∠Ｃ吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究， 发现确实能推出∠Ｂ＝∠Ｃ，并分别提供了不同的证明 方法。        小军 证明：分别延长ＤＢ，ＤＣ至Ｅ，Ｆ两点， 使得……        小民 证明：∵ＡＤ⊥ＢＣ， ∴△ＡＤＢ与△ＡＤＣ均是直角三角形。 根据勾股定理，得…… 【问题解决】 （１）完成①的证明； （２）把②中小军、小民的证明过程补充完整。 　　 ２２．（１０分）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院 每天运营成本为２０００元，该影院每天售出的电影票 数量ｙ（单位：张）与售价 ｘ（单位：元／张）之间满足一 次函数关系（３０≤ｘ≤８０，且ｘ是整数），部分数据如下 表所示。 电影票售价ｘ（元／张） ４０ ５０ 售出电影票数量ｙ（张） １６４ １２４ （１）请求出ｙ与ｘ之间的函数关系式； （２）设该影院每天的利润（利润 ＝票房收入 －运营成 本）为ｗ（单位：元），求ｗ与ｘ之间的函数关系式； （３）该影院将电影票售价 ｘ定为多少时，每天获利最 大？最大利润为多少？ ２３．（１０分）（１）如图１，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在三边 ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上，且满足ＤＦ∥ＡＣ，ＤＥ∥ＡＢ。 ①求证：四边形ＡＦＤＥ是平行四边形； ②若ＡＢＡＣ＝ ＢＤ ＣＤ，求证：四边形ＡＦＤＥ是菱形； （２）把一块三角形余料ＭＮＨ（如图２所示）加工成菱形 零件，使它的一个顶点与△ＭＮＨ的顶点 Ｍ重合，另外 三个顶点分别在三边 ＭＮ，ＮＨ，ＭＨ上，请在图２上作出 这个菱形。（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 　　 ２４．（１２分）【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材８５页“拓广探索”第 １４题              ： １４．如图，在锐角△ＡＢＣ中，探究 ａ ｓｉｎＡ， ｂ ｓｉｎＢ， ｃ ｓｉｎＣ之间的关系． （提示：分别作 ＡＢ和 ＢＣ边上 的高。）　 【得出结论】 ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ。 【基础应用】 在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝７５°，∠Ｃ＝４５°，ＢＣ＝２，利用以上结 论求ＡＢ的长。 【推广证明】 进一步研究发现， ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ不仅在锐角三角 形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ＝２Ｒ（Ｒ为△ＡＢＣ外接圆的半径）。 请利用图１证明： ａｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ＝２Ｒ。 【拓展应用】 如图２，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，ＣＤ＝４，∠Ｂ ＝∠Ｃ＝９０°。 求过Ａ，Ｂ，Ｄ三点的圆的半径。 －３９－ ∵ＢＥ＝ＢＤ， ∴ＡＧ＝ＢＤ。 在△ＡＧＢ和△ＢＤＣ中， ∵ＡＧ＝ＢＤ，∠ＧＡＢ＝∠ＤＢＣ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴△ＡＧＢ≌△ＢＤＣ（ＳＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＢＧ。 ∵ＢＧ＝２ＢＦ， ∴ＣＤ＝２ＢＦ。 ２５．解：（１）将点Ｄ（１，－１）代入ｙ＝ａｘ２＋４３ｘ－４， 得－１＝ａ＋４３－４，解得ａ＝ ５ ３。 ∴抛物线Ｃ１的表达式为ｙ＝ ５ ３ｘ ２＋４３ｘ－４。 （２）由题意，得Ｃ２：ｙ＝ ５ ３（ｘ－１） ２＋４３（ｘ－１）－４＋３ ＝５３ ｘ－( )３５ ２ －１９１５。 当ｘ＝１时，ｙ＝５３ １－( )３５ ２ －１９１５＝－１， 故点Ｄ在抛物线Ｃ２上。 （３）在ｙ＝５３ｘ ２＋４３ｘ－４中， 令ｙ＝０，得 ５３ｘ ２＋４３ｘ－４＝０， 解得ｘ１＝－２，ｘ２＝ ６ ５。 ∴Ｂ（－２，０），Ａ ６５，( )０。 ①当∠ＢＤＰ是直角时，如图１，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＢＤ且 ＤＥ＝ＢＤ，过点Ｄ作ＧＨ∥ｘ轴，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＧＨ于点 Ｇ，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＧＨ于点Ｈ，连接ＢＥ，则△ＢＤＥ是等 腰直角三角形。 ∵∠ＢＤＧ＋∠ＥＤＨ＝９０°，∠ＥＤＨ＋∠ＤＥＨ＝９０°， ∴∠ＢＤＧ＝∠ＤＥＨ。 ∵∠Ｇ＝∠Ｈ＝９０°， ∴△ＤＧＢ≌△ＥＨＤ（ＡＡＳ）。 ∴ＤＨ＝ＢＧ＝１，ＥＨ＝ＤＧ＝１＋２＝３。 ∴点Ｅ（２，２）。 当ｘ＝２时，ｙ＝５３ ２－( )３５ ２ －１９１５＝２， 即点Ｅ在抛物线Ｃ２上， ∴点Ｐ即为点Ｅ，坐标为（２，２）； 　 ②当∠ＤＢＰ是直角时，如图２， 同理可得△ＢＧＥ≌△ＤＨＢ（ＡＡＳ）。 ∴ＤＨ＝３＝ＢＧ，ＢＨ＝１＝ＥＧ。 ∴点Ｅ（－１，３）。 当ｘ＝－１时，ｙ＝５３ －１－( )３５ ２ －１９１５＝３， 即点Ｅ在抛物线Ｃ２上， ∴点Ｐ即为点Ｅ，坐标为（－１，３）； ③当∠ＢＰＤ是直角时，如图３， 图３设点Ｅ（ｘ，ｙ）。 同理可得△ＥＨＢ≌△ＤＧＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＥＨ＝ｘ＋２＝ＤＧ＝ｙ＋１且ＢＨ＝ｙ＝ＥＧ＝１－ｘ。 解得ｘ＝０且ｙ＝１。 ∴点Ｅ（０，１）。 当ｘ＝０时，ｙ＝５３ ０－( )３５ ２ －１９１５≠１， 即点Ｅ不在抛物线Ｃ２上。 综上，点Ｐ的坐标为（２，２）或（－１，３）。 １０滨州市二二四年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】 －１２ ＝ １ ２。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】∵题中三棱柱的表面由２个三角形，１个正 方形，２个矩形构成， ∴其主视图可能是三角形或正方形或矩形，不可能是 圆。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ，Ｃ，Ｄ选项中的图形都能找到这样的一条 直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，所以是轴对称图形；Ｂ选项中的图形不能找到 这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选Ｂ。 ４．Ｄ　【解析】Ａ．（ｎ３）３＝ｎ９≠ｎ６，本选项不符合题意； Ｂ．（－２ａ）２＝４ａ２≠－４ａ２，本选项不符合题意； Ｃ．ｘ８÷ｘ２＝ｘ６≠ｘ４，本选项不符合题意； Ｄ．ｍ２·ｍ＝ｍ３，本选项符合题意。故选Ｄ。 ５．Ａ　【解析】∵点Ｐ（１－２ａ，ａ）在第二象限， ∴ １－２ａ＜０，ａ＞０{ 。 解得ａ＞１２。故选Ａ。 ６．Ａ　【解析】①这些运动员成绩的平均数是 １１５×（２× １．５０＋３×１．６０＋２×１．６５＋３×１．７０＋４×１．７５＋１× １．８０）＝５３，原说法不正确； ②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列后第８个 数，为１．７０，原说法正确； ③这些运动员成绩出现最多的是１．７５，则众数是１．７５， 原说法正确。故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】∵ｋ２－２ｋ＋３＝（ｋ－１）２＋２＞０， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限。 ∴当ｘ＞０时，ｙ＞０；当ｘ＜０时，ｙ＜０。 ∵ｘ１＜０＜ｘ２， ∴ｙ１＜０＜ｙ２。故选Ｃ。 ８．Ｄ　【解析】如图，设 Ｅ，Ｆ，Ｄ为切点，连接 ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ， ＯＦ，ＯＡ，ＯＢ， 则ＯＥ⊥ＡＣ，ＯＤ⊥ＢＣ，ＯＦ⊥ＡＢ，ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＦ＝ｄ２                                                                  。 —８２— 由切线长定理，得ＡＥ＝ＡＦ，ＣＥ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＢＦ。 ∵∠ＡＣＢ＝∠ＯＥＣ＝∠ＯＤＣ＝９０°，ＣＥ＝ＣＤ， ∴四边形ＯＤＣＥ是正方形。 ∴ＣＥ＝ＣＤ＝ＯＤ＝ｄ２。 ∴ＡＥ＝ｂ－ｄ２，ＢＤ＝ａ－ ｄ ２。 ∴ＢＦ＝ａ－ｄ２。 ∴ＡＦ＝ｃ－ ａ－ｄ( )２ ＝ｃ－ａ＋ｄ２。 ∵ＡＥ＝ＡＦ， ∴ｂ－ｄ２＝ｃ－ａ＋ ｄ ２。 ∴ｄ＝ａ＋ｂ－ｃ。故Ａ正确，不符合题意； ∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＯＣ＋Ｓ△ＡＯＣ＋Ｓ△ＡＯＢ， ∴ １２ａｂ＝ １ ２ａ× ｄ ２＋ １ ２ｂ× ｄ ２＋ １ ２ｃ× ｄ ２。 ∴２ａｂ＝ａｄ＋ｂｄ＋ｃｄ。 ∴ｄ＝ ２ａｂａ＋ｂ＋ｃ。故Ｂ正确，不符合题意； ∵ｄ＝ａ＋ｂ－ｃ， ∴ｄ２＝（ａ＋ｂ－ｃ）２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂ－２ａｃ－２ｂｃ。 ∵ａ２＋ｂ２＝ｃ２， ∴ｄ２＝２ｃ２＋２ａｂ－２ａｃ－２ｂｃ ＝２ｃ（ｃ－ａ）－２ｂ（ｃ－ａ） ＝２（ｃ－ａ）（ｃ－ｂ）。 ∵ｄ＞０， ∴ｄ＝ ２（ｃ－ａ）（ｃ－ｂ槡 ）。故Ｃ正确，不符合题意； 令ａ＝３，ｂ＝４，ｃ＝５， 得ｄ＝ａ＋ｂ－ｃ＝３＋４－５＝２。 而｜（ａ－ｂ）（ｃ－ｂ）｜＝｜（３－４）×（５－４）｜＝１， ∴ｄ≠｜（ａ－ｂ）（ｃ－ｂ）｜。故Ｄ错误，符合题意。 故选Ｄ。 ９．ｘ≠１　【解析】∵函数 ｙ＝ １ｘ－１的解析式在实数范围内 有意义， ∴ｘ－１≠０。解得ｘ≠１。 １０．２或３（答案不唯一，２或３任选一个即可） 【解析】 槡∵１＜３＜２， 槡３＜ １０＜４， 槡 槡∴ ３＜２＜３＜ １０。 ∴比槡３大且比槡１０小的整数为２或３。 １１．（１，２）　【解析】由抛物线ｙ＝－ｘ２先向右平移１个单 位长度，再向上平移２个单位长度，可得平移后的抛 物线为ｙ＝－（ｘ－１）２＋２， ∴顶点坐标为（１，２）。 １２．７５　【解析】∵ＡＢ∥ＯＤ， ∴∠ＢＯＤ＝∠Ｂ＝４５°。 ∴∠１＝∠ＢＯＤ＋∠Ｄ＝４５°＋３０°＝７５°。 １３．∠ＡＤＥ＝∠Ｃ或∠ＡＥＤ＝∠Ｂ或ＡＤＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ（答案不唯一， 任选一种即可） 【解析】∵∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＢ， ∴当∠ＡＤＥ＝∠Ｃ时，△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ。 当∠ＡＥＤ＝∠Ｂ时，△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ。 当 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ时，△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ。 １４．６０　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ， ∴∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°。 ∵四边形ＯＡＢＣ是菱形， ∴∠ＡＯＣ＝∠Ｂ。 由圆周角定理，得∠Ｄ＝１２∠ＡＯＣ， ∴∠Ｂ＝２∠Ｄ。 ∴∠Ｄ＋２∠Ｄ＝１８０°。 解得∠Ｄ＝６０°。 １５．１０９，( )８９ 　【解析】如图，连接ＡＢ，ＯＣ相交于点Ｐ。 根据“两点之间线段最短”，知此时ＰＡ＋ＰＯ＋ＰＢ＋ＰＣ 最小。 设直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 将Ａ（－１，３），Ｂ（３，－１）代入，得 －ｋ＋ｂ＝３，３ｋ＋ｂ＝－１{ ， 解得 ｋ＝－１， ｂ＝２{ 。 ∴直线ＡＢ的解析式为ｙ＝－ｘ＋２。 设直线ＯＣ的解析式为ｙ＝ｍｘ。 将Ｃ（５，４）代入，得４＝５ｍ， 解得ｍ＝４５。 ∴直线ＯＣ的解析式为ｙ＝４５ｘ。 联立，得 ４ ５ｘ＝－ｘ＋２， 解得ｘ＝１０９，则ｙ＝ ４ ５× １０ ９＝ ８ ９。 ∴点Ｐ的坐标为 １０９，( )８９ 。 １６．（１）槡１３ （２）取点 Ｅ，Ｆ，得到正方形 ＡＢＥＦ，ＡＦ交格线于点 Ｄ， ＢＥ交格线于点Ｃ，连接ＣＤ，得到矩形ＡＢＣＤ，即为所求 【解析】（１）ＡＢ＝ ２２＋３槡 ２ 槡＝ １３。 （２）如图，取点Ｅ，Ｆ，则 ＡＦ＝ＡＢ＝ ２２＋３槡 ２ 槡＝ １３，得 到正方形ＡＢＥＦ，ＡＦ交格线于点Ｄ，ＢＥ交格线于点Ｃ， 连接ＣＤ，得到矩形ＡＢＣＤ。 ∵ＤＧ∥ＦＨ， ∴△ＡＤＧ∽△ＡＦＨ， ∴ＡＤＡＦ＝ ＡＧ ＡＨ＝ ２ ３， ∴ＡＤ＝２３ＡＦ＝ 槡２ １３ ３ ， ∴矩形ＡＢＣＤ的面积为 槡２ １３３ 槡× １３＝ ２６ ３。 １７．解：原式＝１２＋１－ ３ ２＝０。 １８．解：（１）去分母，得２（２ｘ－１）＝３（ｘ＋１                                                                  ）。 —９２— 去括号，得４ｘ－２＝３ｘ＋３。 移项、合并同类项，得ｘ＝５。 （２）分解因式，得ｘ（ｘ－４）＝０。 ∴ｘ＝０或ｘ－４＝０。 解得ｘ１＝０，ｘ２＝４。 １９．解：（１）当ｎ＝０时， Ｐ０＝ ａ０ （ａ－ｂ）（ａ－ｃ）＋ ｂ０ （ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ ｃ０ （ｃ－ａ）（ｃ－ｂ） ＝ １ （ａ－ｂ）（ａ－ｃ）＋ １ （ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ １ （ｃ－ａ）（ｃ－ｂ）。 （２）当ｎ＝１时， Ｐ１＝ ａ （ａ－ｂ）（ａ－ｃ）＋ ｂ （ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ ｃ （ｃ－ａ）（ｃ－ｂ） ＝ ａ （ａ－ｂ）（ａ－ｃ）－ ｂ （ｂ－ｃ）（ａ－ｂ）＋ ｃ （ａ－ｃ）（ｂ－ｃ） ＝ａ（ｂ－ｃ）－ｂ（ａ－ｃ）＋ｃ（ａ－ｂ） （ａ－ｂ）（ａ－ｃ）（ｂ－ｃ） ＝ａｂ－ａｃ－ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ－ｂｃ （ａ－ｂ）（ａ－ｃ）（ｂ－ｃ） ＝０。 ２０．解：（１）参与调查的总人数为３０÷３０％＝１００， “Ｄ”的人数为１００×２５％＝２５， “Ａ”的人数为１００－１０－２０－２５－３０＝１５， 补全条形统计图如下： “手工制作”对应的扇形圆心角度数为 ２０ １００×３６０° ＝７２°。 （２）１８００×３０％＝５４０（人）， 因此估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为５４０。 （３）画树状图如下： 由图可知，共有９种等可能的结果，其中两位同学选 择相同课程的结果有２种， 因此两位同学选择相同课程的概率为 ２ ９。 ２１．解：（１）∵ＡＤ⊥ＢＣ， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＤＢ与Ｒｔ△ＡＤＣ中， ＡＤ＝ＡＤ， ∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°， ＢＤ＝ＣＤ{ ， ∴Ｒｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＡＤＣ（ＳＡＳ）。 ∴∠Ｂ＝∠Ｃ。 （２）小军： 证明：分别延长 ＤＢ，ＤＣ至 Ｅ，Ｆ两点，使得 ＢＥ＝ＡＢ， ＣＦ＝ＡＣ，连接ＡＥ，ＡＦ如图所示。 ∵ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＣ＋ＣＤ， ∴ＢＥ＋ＢＤ＝ＣＦ＋ＣＤ，即ＤＥ＝ＤＦ。 ∵ＡＤ⊥ＢＣ， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＤＥ与Ｒｔ△ＡＤＦ中， ＡＤ＝ＡＤ， ∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＦ＝９０°， ＤＥ＝ＤＦ{ ， ∴Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＤＦ（ＳＡＳ）。 ∴∠Ｅ＝∠Ｆ。 ∵ＢＥ＝ＡＢ，ＣＦ＝ＡＣ， ∴∠Ｅ＝∠ＥＡＢ＝∠Ｆ＝∠ＦＡＣ。 ∵∠Ｅ＋∠ＥＡＢ＝∠ＡＢＣ，∠Ｆ＋∠ＦＡＣ＝∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ。 小民： 证明：∵ＡＤ⊥ＢＣ， ∴△ＡＤＢ与△ＡＤＣ均是直角三角形。 根据勾股定理，得 ＡＤ＝ ＡＢ２－ＢＤ槡 ２＝ （ＡＢ＋ＢＤ）（ＡＢ－ＢＤ槡 ）， ＡＤ＝ ＡＣ２－ＣＤ槡 ２＝ （ＡＣ＋ＣＤ）（ＡＣ－ＣＤ槡 ）。 ∵ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＣ＋ＣＤ，① ∴ＡＢ－ＢＤ＝ＡＣ－ＣＤ，② ①＋②，得ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ。 ２２．解：（１）设ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 则 １６４＝４０ｋ＋ｂ， １２４＝５０ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝－４，ｂ＝３２４{ ， ∴ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝－４ｘ＋３２４（３０≤ｘ≤ ８０，且ｘ是整数）。 （２）由题意，得ｗ＝ｘｙ－２０００＝ｘ（－４ｘ＋３２４）－２０００ ＝－４ｘ２＋３２４ｘ－２０００， 即ｗ与 ｘ之间的函数关系式为 ｗ＝－４ｘ２＋３２４ｘ－ ２０００（３０≤ｘ≤８０，且ｘ是整数）。 （３）ｗ＝－４ｘ２＋３２４ｘ－２０００＝－４ ｘ－８１( )２ ２ ＋４５６１ （３０≤ｘ≤８０，且ｘ是整数）。 ∵－４＜０，ｘ是整数，且 ３０≤ｘ≤８０， ∴当ｘ＝４０或４１时，ｗ取得最大值，最大值为４５６０。 ∴售价ｘ定为４０元／张或４１元／张时，每天获利最大， 最大利润为４５６０元。 ２３．（１）证明：①∵ＤＦ∥ＡＣ，ＤＥ∥ＡＢ， ∴四边形ＡＦＤＥ是平行四边形。 ②∵ＤＦ∥ＡＣ，∴ＤＦＡＣ＝ ＢＤ ＢＣ， 即ＤＦ·ＢＣ＝ＡＣ·ＢＤ。 ∵ＤＥ∥ＡＢ，∴ＤＥＡＢ＝ ＣＤ ＢＣ， 即ＤＥ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ。 又∵ＡＢＡＣ＝ ＢＤ ＣＤ， ∴ＡＢ·ＣＤ＝ＡＣ·ＢＤ。∴ＤＦ·ＢＣ＝ＤＥ·ＢＣ。 ∴ＤＦ＝ＤＥ。 由①知，四边形ＡＦＤＥ是平行四边形， ∴四边形ＡＦＤＥ是菱形。 （２）解：如图，菱形ＭＤＰＥ即为所求                                                                  。 —０３— 【解析】先作∠ＮＭＨ的平分线交 ＮＨ于点 Ｐ，再作 ＭＰ 的垂直平分线交 ＭＮ于点 Ｄ，交 ＭＨ于点 Ｅ，菱形 ＭＤＰＥ即为所求。 ∵ＭＰ平分∠ＮＭＨ，∴∠ＤＭＰ＝∠ＥＭＰ。 ∵ＤＥ是ＭＰ的垂直平分线，∴ＤＭ＝ＤＰ，ＥＭ＝ＥＰ。 ∴∠ＤＭＰ＝∠ＤＰＭ，∠ＥＭＰ＝∠ＥＰＭ。 ∴∠ＤＰＭ＝∠ＥＭＰ，∠ＥＰＭ＝∠ＤＭＰ。 ∴ＤＰ∥ＥＭ，ＥＰ∥ＤＭ。 ∴四边形ＭＤＰＥ是平行四边形。 ∵ＤＭ＝ＤＰ， ∴平行四边形ＭＤＰＥ是菱形。 ２４．解：【基础应用】∵在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝７５°，∠Ｃ＝４５°， ∴∠Ａ＝１８０°－７５°－４５°＝６０°。 由题意，得 ＡＢ ｓｉｎＣ＝ ＢＣ ｓｉｎＡ， ∴ＡＢ 槡２ ２ ＝２ 槡３ ２ 。 解得ＡＢ＝ 槡２６３。 【推广证明】如图１，作直径ＣＱ，连接ＡＱ。 图１ ∵ＣＱ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＱＡＣ＝９０°。 ∵ ) ＡＣ＝ ) ＡＣ， ∴∠Ｂ＝∠Ｑ。 ∴ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＱ。 ∵ｓｉｎＱ＝ＡＣＣＱ＝ ｂ ２Ｒ， ∴２Ｒ＝ ｂｓｉｎＱ＝ ｂ ｓｉｎＢ。 同理可得２Ｒ＝ ａｓｉｎＡ，２Ｒ＝ ｃ ｓｉｎＣ。 ∴ ａｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ＝２Ｒ。 【拓展应用】如图２，连接ＢＤ，作ＡＥ⊥ＣＤ于点Ｅ。 图２ ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝９０°， ∴四边形ＡＢＣＥ是矩形。 ∵ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，ＣＤ＝４， ∴ＡＥ＝ＢＣ＝３，ＣＥ＝ＡＢ＝２，ＢＤ＝ ３２＋４槡 ２＝５。 ∴ＤＥ＝ＣＤ－ＣＥ＝４－２＝２。 ∴ＡＤ＝ ＡＥ２＋ＤＥ槡 ２＝ ３２＋２槡 ２ 槡＝ １３。 ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝９０°， ∴ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ。 ∴ｓｉｎ∠ＡＢＤ＝ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ＢＣＢＤ＝ ３ ５。 ∵ ＡＤｓｉｎ∠ＡＢＤ ＝２Ｒ，即槡１３３ ５ ＝２Ｒ， ∴Ｒ＝ 槡５ １３６ 。 １１东营市二二四年初中学业水平考试 １．Ａ　【解析】｜－３｜＝３。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ．ｘ２·ｘ３＝ｘ５，计算不正确，不符合题意； Ｂ．（ｘ－１）２＝ｘ２－２ｘ＋１，计算不正确，不符合题意； Ｃ．（ｘｙ２）２＝ｘ２ｙ４，计算正确，符合题意； Ｄ． －( )１２ －２ ＝４，计算不正确，不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】如图，∵ａ∥ｂ，∴∠３＝∠ＡＣＢ＝９０°。 ∴∠２＝１８０°－∠１－∠３＝６０°。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最 底层共３个正方体，右边一列最底层共１个正方体，由 此可得只有Ｃ符合题意。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】ｘ２－２ｘ－２０２３＝０，移项，得ｘ２－２ｘ＝２０２３。 配方，得ｘ２－２ｘ＋１＝２０２３＋１，即（ｘ－１）２＝２０２４。 ∴ａ＝－１，ｂ＝２０２４。∴ａｂ＝（－１）２０２４＝１。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ，∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤ。 Ａ．∵Ｏ为矩形ＡＢＣＤ两条对角线的交点，∴ＯＢ＝ＯＤ。 在△ＢＯＦ和△ＤＯＥ中， ∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤ， ∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ， ＯＢ＝ＯＤ{ ， ∴△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ（ＡＡＳ）．故此选项不符合题意； Ｂ．在△ＢＯＦ和△ＤＯＥ中， ∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ， ∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤ， ＯＦ＝ＯＥ{ ， ∴△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ（ＡＡＳ）．故此选项不符合题意； Ｃ．∵ＡＥ＝ＣＦ，∴ＢＣ－ＣＦ＝ＡＤ－ＡＥ，即ＢＦ＝ＤＥ。 在△ＢＯＦ和△ＤＯＥ中， ∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤ， ＢＦ＝ＤＥ， ∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ{ ， ∴△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ（ＡＳＡ）．故此选项不符合题意； Ｄ．∵ＥＦ⊥ＢＤ，∴∠ＢＯＦ＝∠ＤＯＥ＝９０°。 ∵两三角形中缺少对应边相等， ∴不能判定△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ。故此选项符合题意。 故选Ｄ。 ７．Ａ　【解析】从①ＡＣ＝ＢＤ，②ＡＣ⊥ＢＤ，③ＡＢ＝ＢＣ，这三 个条件中任意选取两个，共有①②，①③，②③３种等可 能的情况，由正方形的判定方法，可得①②，①③这２ 种情况能判定平行四边形是正方形。∴能使ＡＢＣＤ 是正方形的概率为 ２ ３。故选Ａ。 ８．Ｃ　【解析】∵Ｓ扇形ＡＯＣ＝ １２０·π·２０２ ３６０ ＝ ４００ ３π（ｃｍ ２                                                                  ）， —１３—