9.山东省泰安市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

②存在点Ｐ，使 ＳＰＣＥ ＳＣＢＥ ＝３８。 当点Ｐ在点Ａ右侧时，如图１，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ， 过点Ｐ作ＰＧ⊥ＡＣ于点Ｇ。 图１ ∵Ａ（－３，０），Ｃ（０，－３），Ｂ（１，０）， ∴ＯＡ＝ＯＣ＝３，ＯＢ＝１。 ∴ＡＢ＝ＯＡ＋ＯＢ＝４，ＡＣ 槡＝３２。 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＯＣ＝ １ ２ＢＦ·ＡＣ， ∴ＢＦ＝ＡＢ·ＯＣＡＣ 槡＝２２。 ∵△ＰＣＥ和△ＢＣＥ都是以ＣＥ为底的三角形， ∴ Ｓ△ＰＣＥ Ｓ△ＢＣＥ ＝ＰＧＢＦ＝ ３ ８。 ∴过点Ｐ作 ＰＨ∥ＡＣ交 ｙ轴于点 Ｈ，过点 Ｃ作ＣＫ⊥ ＰＨ，则ＣＫ＝ＰＧ＝ 槡３２４。 ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＯＣＡ＝４５°。∴∠ＣＨＫ＝４５°。 ∴ＣＨ 槡＝２ＣＫ＝ ３ ２。∴ＯＨ＝ ９ ２。 ∴点Ｈ (坐标 ０，－ )９２ 。 直线ＰＨ的解析式为ｙ＝－ｘ－９２。 联 立 直 线 ＰＨ 与 二 次 函 数 的 解 析 式，可 得 ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３， ｙ＝－ｘ－９２{ 。 解得 ｘ１＝槡 ３－３ ２ ， ｙ１＝ 槡 －６－３ ２ { ，ｘ２＝ 槡－３－３ ２ ， ｙ２＝ 槡 －６＋３ ２ { 。 ∴点Ｐ (的坐标为 槡３－３２ ， 槡－６－３)２ ( 或 槡－３－３ ２ ， 槡－６＋３)２ 。 当点Ｐ在点 Ａ左侧时，过点 Ｐ作 ＰＨ∥ＡＣ交 ｙ轴于 点Ｈ。 图２ 同第一种情况的方法可得， (Ｈ ０，－ )３２ 。 ∴直线ＰＨ的解析式为ｙ＝－ｘ－３２。 联立 直 线 ＰＨ 和 为 二 次 函 数 的 解 析 式， 得 ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３， ｙ＝－ｘ－３２{ ， 解得 ｘ１＝ 槡 －３＋ １５ ２ ｙ１＝－槡 １５{ ２ （舍）， ｘ２＝ 槡 －３－ １５ ２ ， ｙ２＝槡 １５ ２ { 。 ∴点Ｐ (的坐标为 槡－３－ １５２ ，槡１５)２ 。 综上，点Ｐ的横坐标为槡３－３２ 或 槡－３－３ ２ 或 槡－３－ １５ ２ 。 ９泰安市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】－５６的相反数是 ５ ６。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ．２ｘ２ｙ与３ｘｙ２不是同类项，不能合并同类 项，故不选项符合题意； Ｂ．４ｘ８ｙ２÷２ｘ２ｙ２＝２ｘ６，故选项不符合题意； Ｃ．（ｘ－ｙ）（－ｘ－ｙ）＝－（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）＝－（ｘ２－ｙ２） ＝ｙ２－ｘ２，故选项不符合题意； Ｄ．（ｘ２ｙ３）２＝ｘ４ｙ６，故选项符合题意。 故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】第一、二、三个图形是中心对称图形，第四个 图形不是中心对称图形，所以符合题意的有３个。 故选Ｃ。 ４．Ｄ　【解析】８６０万＝８６０００００＝８．６×１０６。故选Ｄ。 ５．Ｂ　【解析】∵ｌ∥ｍ，∴∠ＥＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１８０°， 即∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝１８０°。 ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°。 又∵∠ＡＢＥ＝２１°，∴２１°＋６０°＋６０°＋∠ＡＣＤ＝１８０°。 ∴∠ＡＣＤ＝３９°。故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】∵ＢＡ平分∠ＣＢＤ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∠ＡＯＤ＝５０°， ∴∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＤ＝１２∠ＡＯＤ＝２５°。 ∴∠ＡＢＣ＝２５°。 ∴∠Ａ＝１８０°－∠Ｃ－∠ＡＢＣ＝１８０°－９０°－２５°＝６５°。 故选Ａ。 ７．Ｂ　【解析】∵关于 ｘ的一元二次方程２ｘ２－３ｘ＋ｋ＝０ 有实数根， ∴Δ＝（－３）２－４×２ｋ≥０。解得ｋ≤ ９８。故选Ｂ。 ８．Ｄ　【解析】根据 ｘ＋ｙ＝１０００， １１ ９ｘ＋ ４ ７ｙ{ ＝９９９可得甜果九个用十一 文钱，苦果七个用四文钱。 故选Ｄ。 ９．Ｄ　【解析】由作图可知，ＭＮ垂直平分线段ＡＣ， ∴ＡＥ＝ＣＥ，∴∠ＥＡＣ＝∠Ｃ。 由作图可知，ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ。 ∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠Ｃ＝∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＥ＝３０°。 故①正确； ∴ＡＣ＝２ＡＢ，ＡＥ＝２ＢＥ。 ∵ＡＦ＝ＣＦ，∴ＡＢ＝ＡＦ。 ∴ＡＰ垂直平分线段ＢＦ。故②正确； ∵ＡＥ＝２ＢＥ，ＡＥ＝ＣＥ，∴ＣＥ＝２ＢＥ。故③正确； ∴Ｓ△ＢＥＦ＝ １ ３Ｓ△ＢＦＣ                                                                  。 —５２— ∵ＡＦ＝ＣＦ，∴Ｓ△ＢＦＣ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ。 ∴Ｓ△ＢＥＦ＝ １ ６Ｓ△ＡＢＣ。故④正确。 故选Ｄ。 １０．Ａ　【解析】如图，连接ＯＡ，Ｏ′Ａ，作 ＡＢ⊥ＯＯ′于点Ｂ。 ∵ＯＡ＝ＯＯ′＝Ｏ′Ａ＝２， ∴△ＡＯＯ′是等边三角形。 ∴∠ＡＯＯ′＝∠ＡＯ′Ｏ＝６０°，ＯＢ＝１２ＯＯ′＝１。 ∴ＡＢ＝ ２２－１槡 ２ 槡＝３。 ∴Ｓ弓形ＡＯ′＝Ｓ扇形ＡＯＯ′－Ｓ△ＡＯＯ′ ＝６０π×２ ２ ３６０ 槡－２×３× １ ２＝ ２π ３ 槡－３。 ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ弓形ＡＯ′＋Ｓ扇形ＡＯ′Ｏ ＝２π３ 槡－３＋ ６０π×２２ ３６０ ＝ ４π ３ 槡－３。 故选Ａ。 １１．Ｂ　【解析】∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝１， ∴－ｂ２ａ＝１。∴ｂ＝－２ａ。∴２ａ＋ｂ＝０。故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝１，与ｘ轴的一个交点在 ２和３之间， ∴抛物线与ｘ轴的另一个交点在－１和０之间。 ∴方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０一定有一个根在－１和０之间。 故②错误； ∵抛物线与直线ｙ＝３２有两个交点， ∴方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ－３２＝０一定有两个不相等的实数 根。故③正确； ∵抛物线与ｘ轴的另一个交点在－１和０之间， ∴ａ－ｂ＋ｃ＜０。 ∵图象与ｙ轴交点的纵坐标２，∴ｃ＝２。 ∴ａ－ｂ＋２＜０。 ∴ｂ－ａ＞２．故④错误。 综上，①③正确，∴正确的结论共２个。故选Ｂ。 １２．Ｃ　【解析】如图，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，作ＭＨ⊥ ＡＢ于点Ｈ，作 ＡＩ⊥ＭＧ交 ＭＧ 延长线于点Ｉ。 ∵∠ＥＭＦ＋∠ＥＧＦ＝１８０°， ∴Ｅ，Ｍ，Ｆ，Ｇ四点共圆。 ∴∠ＥＭＧ＝∠ＥＦＧ＝３０°。 ∵∠Ｂ＝６０°， ∴∠ＢＥＭ＝３０°＝∠ＥＭＧ。 ∴ＭＧ∥ＡＢ。 ∴∠ＨＭＩ＝１８０°－∠ＭＨＡ＝９０°， ∠ＨＡＩ＝１８０°－∠ＡＩＭ＝９０°。 ∴四边形ＭＨＡＩ是矩形。 ∴ＭＨ＝ＡＩ。 ∵ＢＥ＝８，∴ＥＭ＝ＢＥ· 槡ｃｏｓ３０°＝４３。 ∴ＭＨ＝１２ＥＭ 槡＝２３＝ＡＩ。 ∴ＡＧ≥ＡＩ 槡＝２３。 ∴ＡＧ的最小值为 槡２３。故选Ｃ。 １３．３　【解析】∵单项式－３ａｂ２中，ａ的指数是１，ｂ的指数 是２， ∴此单项式的次数是１＋２＝３。 １４．２９　【解析】将《西游记》《骆驼祥子》《水浒传》《朝花 夕拾》分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，列表如下： Ａ Ｂ Ｄ Ａ （Ａ，Ａ） （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｄ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｂ） （Ｂ，Ｄ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｄ） 共有９种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书 名相同的书的结果有２种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ２９。 １５．７４　【解析】如图，过点 Ｐ作 ＰＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，过点 Ｃ 作ＣＦ⊥ＰＥ于点Ｆ，则四边形ＢＣＦＥ是矩形。 ∴ＥＦ＝ＢＣ，ＣＦ＝ＢＥ。 由题知∠ＮＰＣ＝∠ＰＣＦ＝６３．６°，∠ＭＰＡ＝∠Ａ＝５０°， ＢＣ＝ＥＦ＝１２米，ＰＥ＝６０米， ∴ＰＦ＝ＰＥ－ＥＦ＝４８（米）。 在Ｒｔ△ＰＦＣ中， ｔａｎ６３．６°＝ＰＦＣＦ≈２， ∴ＣＦ＝２４米。∴ＢＥ＝２４米。 在Ｒｔ△ＡＰＥ中， ｔａｎ５０°＝ＰＥＡＥ≈ ６ ５， ∴ＡＥ＝５０米，∴ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝７４（米）。 １６．４５０　【解析】设垂直于墙的边长为 ｘ米，则平行于墙 的边长为（６０－２ｘ）米。 ∵墙长为４０米， ∴０＜６０－２ｘ≤４０。 ∴１０≤ｘ＜３０。 故菜园的面积＝ｘ（６０－２ｘ）＝－２ｘ２＋６０ｘ＝ －２（ｘ－１５）２＋４５０。 ∵－２＜０，１０≤ｘ＜３０， ∴当 ｘ＝１５时，可围成的菜园的面积最大，最大面积 为４５０平方米。 １７．槡５　【解析】∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°。 ∵ＡＨ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＢＡＦ＝９０°。 ∴∠ＤＡＦ＝∠ＡＢＤ＝９０°－∠ＤＡＢ。 ∵∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＢ＝９０°， ∴△ＤＡＦ∽△ＤＢＡ。∴ＤＦＡＤ＝ ＡＤ ＢＤ＝ｔａｎＢ＝ １ ２。 ∵ＤＦ＝１，∴ＡＤ＝２。∴ＡＦ 槡＝５。 ∵Ｄ是 ) ＡＣ的中点，∴ ) ＡＤ＝ ) ＣＤ。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＤＡＣ＝∠ＤＡＦ。 ∵∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＦ＝９０°， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＤ。 ∴ＡＥ＝ＡＦ 槡＝５。 １８．１２　【解析】由所给图形可知， 第１个“小屋子”中图形“○”的个数为１＝１，“ ”的 个数为４＝１×２＋２； 第２个“小屋子”中图形“○”的个数为３＝１＋２，“ ” 的个数为６＝２×２＋２； 第３个“小屋子”中图形“○”的个数为６＝１＋２＋３， “ ”的个数为８＝３×２＋２； 第４个“小屋子”中图形“○”的个数为１０＝１＋２＋３ ＋４，“ ”的个数为１０＝４×２＋２； …… 所以第ｎ个“小屋子”中图形“○”的个数为１＋２＋３ ＋…＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）２ ，“ ”的个数为２ｎ＋２                                                                  。 —６２— 根据题意，得 ｎ（ｎ＋１） ２ ＝３（２ｎ＋２）。 解得ｎ１＝－１，ｎ２＝１２。 ∵ｎ为正整数，∴ｎ＝１２，即第１２个“小屋子”中图形 “○”个数是图形“ ”个数的３倍。 １９．解：（１）２ｔａｎ６０°＋( )１２ －２ 槡－｜－ １２｜＋ （－３）槡 ２ 槡 槡＝２３＋４－２３＋３ ＝７。 （２） ｘ－２ｘ－１( )ｘ ÷ｘ ２－１ ｘ ＝ｘ ２－２ｘ＋１ ｘ · ｘ ｘ２－１ ＝（ｘ－１） ２ ｘ · ｘ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ｘ－１ｘ＋１。 ２０．解：（１）由题意，得ｍ＝（７５＋７６×３＋７９＋８０＋８１＋８３ ＋８６＋８８）÷１０＝８０。 把乙的１０个苹果的直径从小到大排列，排在中间的 两个数分别是７９，８０，故中位数ａ＝７９＋８０２ ＝７９．５。 甲的１０个苹果的直径中，８３出现的次数最多，故众数 ｂ＝８３。故答案为８０，７９．５，８３。 （２）甲的方差为 １１０×［（７６－８０） ２＋（７７－８０）２＋（７８ －８０）２＋（７９－８０）２＋２×（８０－８０）２＋（８１－８０）２＋３ ×（８３－８０）２］＝５．８， 乙的方差为 １ １０×［（７５－８０） ２＋３×（７６－８０）２＋（７９ －８０）２＋（８０－８０）２＋（８１－８０）２＋（８３－８０）２＋（８６ －８０）２＋（８８－８０）２］＝１８．４。 因为５．８＜１８．４， 所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐。 故答案为甲。 （３）２０００×３１０＝６００（个）。 答：大果约有６００个。 ２１．解：（１）把点Ａ（－２，ｍ），Ｂ（ｎ，－１）代入ｙ２＝－ ８ ｘ， 得－２ｍ＝－８，－ｎ＝－８，解得ｍ＝４，ｎ＝８。 ∴点Ａ的坐标为（－２，４），点Ｂ的坐标为（８，－１）。 把点Ａ（－２，４），Ｂ（８，－１）代入ｙ１＝ｋｘ＋ｂ， 得 －２ｋ＋ｂ＝４， ８ｋ＋ｂ＝－１{ ，解得 ｋ＝－ １ ２， ｂ＝３{ ， ∴直线ｙ１的表达式为ｙ１＝－ １ ２ｘ＋３。 （２）由图象可知，当ｙ１＞ｙ２时，ｘ＜－２或０＜ｘ＜８。 （３）在ｙ１＝－ １ ２ｘ＋３中，令ｘ＝０，得ｙ１＝３， ∴点Ｃ的坐标为（０，３）。 ∴点Ｄ的纵坐标为３。 把ｙ＝３代入ｙ２＝－ ８ ｘ，得ｘ＝－ ８ ３， ∴点Ｄ的坐标为 －８３，( )３。∴ＣＤ＝８３。 ∴Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２× ８ ３×（４－３）＝ ４ ３。 ２２．解：设甲组有ｘ名工人，则乙组有（３５－ｘ）名工人。 根据题意，得 ２７００ ３５－ｘ＝ ３０００ ｘ ×１．２。 解得ｘ＝２０。 经检验，ｘ＝２０是所列方程的解，且符合题意。 ∴３５－ｘ＝３５－２０＝１５。 答：甲组有２０名工人，乙组有１５名工人。 ２３．解：（１）ＥＦＢＧ＝ ＡＢ ＢＣ正确。理由如下： 作ＥＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，如图。 由折叠，知ＥＦ⊥ＢＧ，∴∠ＢＨＦ＝９０°。 ∴∠ＦＢＨ＋∠ＢＦＨ＝９０°。 ∵∠ＥＭＦ＝９０°， ∴∠ＭＥＦ＋∠ＢＦＨ＝９０°。 ∴∠ＦＢＨ＝∠ＭＥＦ。 又∵∠ＥＭＦ＝∠Ｃ＝９０°， ∴△ＥＭＦ∽△ＢＣＧ。∴ＥＦＢＧ＝ ＥＭ ＢＣ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＥＭ⊥ＢＣ， ∴四边形ＡＢＭＥ是矩形。 ∴ＡＢ＝ＥＭ。∴ＥＦＢＧ＝ ＡＢ ＢＣ。 （２）同学们的发现正确。理由如下： ∵ＣＤ∥ＦＧ，∴ＣＤＦＧ＝ ＢＤ ＢＧ，∠ＣＤＦ＝∠ＤＦＧ。 由折叠，知∠ＣＤＦ＝∠ＢＤＦ。∴∠ＤＦＧ＝∠ＢＤＦ。 ∴ＤＧ＝ＦＧ。∴ＣＤＤＧ＝ ＢＤ ＢＧ。 由平行四边形及折叠，知ＡＢ＝ＢＧ，ＡＢ＝ＣＤ， ∴ＢＧＤＧ＝ ＢＤ ＢＧ，∴ＢＧ ２＝ＢＤ·ＤＧ，即点 Ｇ恰好是 ＢＤ的一 个“黄金分割点”。 ２４．（１）证明：在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中， ∵ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ＝９０°，ＢＥ＝ＢＤ， ∴△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）。 ∴ＡＥ＝ＣＤ，∠ＦＡＢ＝∠ＢＣＤ。 ∵Ｆ是Ｒｔ△ＡＢＥ斜边ＡＥ的中点， ∴ＡＥ＝２ＢＦ。∴ＣＤ＝２ＢＦ。 ∵ＢＦ＝１２ＡＥ＝ＡＦ，∴∠ＦＡＢ＝∠ＦＢＡ。 ∴∠ＦＢＡ＝∠ＢＣＤ。 ∵∠ＦＢＡ＋∠ＦＢＣ＝９０°， ∴∠ＦＢＣ＋∠ＢＣＤ＝９０°。∴ＢＦ⊥ＣＤ。 （２）①解：ＢＦ⊥ＣＤ ②证明：如图，延长ＢＦ到点Ｇ，使ＦＧ＝ＢＦ，连接ＡＧ。 ∵ＡＦ＝ＥＦ，∠ＡＦＧ＝∠ＥＦＢ，ＦＧ＝ＦＢ， ∴△ＡＧＦ≌△ＥＢＦ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＦＡＧ＝∠ＦＥＢ，ＡＧ＝ＢＥ。 ∴ＡＧ∥ＢＥ。 ∴∠ＧＡＢ＋∠ＡＢＥ＝１８０°。 ∵∠ＡＢＣ＝∠ＥＢＤ＝９０°， ∴∠ＡＢＥ＋∠ＤＢＣ＝１８０°。 ∴∠ＧＡＢ＝∠ＤＢＣ                                                                  。 —７２— ∵ＢＥ＝ＢＤ， ∴ＡＧ＝ＢＤ。 在△ＡＧＢ和△ＢＤＣ中， ∵ＡＧ＝ＢＤ，∠ＧＡＢ＝∠ＤＢＣ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴△ＡＧＢ≌△ＢＤＣ（ＳＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＢＧ。 ∵ＢＧ＝２ＢＦ， ∴ＣＤ＝２ＢＦ。 ２５．解：（１）将点Ｄ（１，－１）代入ｙ＝ａｘ２＋４３ｘ－４， 得－１＝ａ＋４３－４，解得ａ＝ ５ ３。 ∴抛物线Ｃ１的表达式为ｙ＝ ５ ３ｘ ２＋４３ｘ－４。 （２）由题意，得Ｃ２：ｙ＝ ５ ３（ｘ－１） ２＋４３（ｘ－１）－４＋３ ＝５３ ｘ－( )３５ ２ －１９１５。 当ｘ＝１时，ｙ＝５３ １－( )３５ ２ －１９１５＝－１， 故点Ｄ在抛物线Ｃ２上。 （３）在ｙ＝５３ｘ ２＋４３ｘ－４中， 令ｙ＝０，得 ５３ｘ ２＋４３ｘ－４＝０， 解得ｘ１＝－２，ｘ２＝ ６ ５。 ∴Ｂ（－２，０），Ａ ６５，( )０。 ①当∠ＢＤＰ是直角时，如图１，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＢＤ且 ＤＥ＝ＢＤ，过点Ｄ作ＧＨ∥ｘ轴，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＧＨ于点 Ｇ，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＧＨ于点Ｈ，连接ＢＥ，则△ＢＤＥ是等 腰直角三角形。 ∵∠ＢＤＧ＋∠ＥＤＨ＝９０°，∠ＥＤＨ＋∠ＤＥＨ＝９０°， ∴∠ＢＤＧ＝∠ＤＥＨ。 ∵∠Ｇ＝∠Ｈ＝９０°， ∴△ＤＧＢ≌△ＥＨＤ（ＡＡＳ）。 ∴ＤＨ＝ＢＧ＝１，ＥＨ＝ＤＧ＝１＋２＝３。 ∴点Ｅ（２，２）。 当ｘ＝２时，ｙ＝５３ ２－( )３５ ２ －１９１５＝２， 即点Ｅ在抛物线Ｃ２上， ∴点Ｐ即为点Ｅ，坐标为（２，２）； 　 ②当∠ＤＢＰ是直角时，如图２， 同理可得△ＢＧＥ≌△ＤＨＢ（ＡＡＳ）。 ∴ＤＨ＝３＝ＢＧ，ＢＨ＝１＝ＥＧ。 ∴点Ｅ（－１，３）。 当ｘ＝－１时，ｙ＝５３ －１－( )３５ ２ －１９１５＝３， 即点Ｅ在抛物线Ｃ２上， ∴点Ｐ即为点Ｅ，坐标为（－１，３）； ③当∠ＢＰＤ是直角时，如图３， 图３设点Ｅ（ｘ，ｙ）。 同理可得△ＥＨＢ≌△ＤＧＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＥＨ＝ｘ＋２＝ＤＧ＝ｙ＋１且ＢＨ＝ｙ＝ＥＧ＝１－ｘ。 解得ｘ＝０且ｙ＝１。 ∴点Ｅ（０，１）。 当ｘ＝０时，ｙ＝５３ ０－( )３５ ２ －１９１５≠１， 即点Ｅ不在抛物线Ｃ２上。 综上，点Ｐ的坐标为（２，２）或（－１，３）。 １０滨州市二二四年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】 －１２ ＝ １ ２。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】∵题中三棱柱的表面由２个三角形，１个正 方形，２个矩形构成， ∴其主视图可能是三角形或正方形或矩形，不可能是 圆。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ，Ｃ，Ｄ选项中的图形都能找到这样的一条 直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，所以是轴对称图形；Ｂ选项中的图形不能找到 这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选Ｂ。 ４．Ｄ　【解析】Ａ．（ｎ３）３＝ｎ９≠ｎ６，本选项不符合题意； Ｂ．（－２ａ）２＝４ａ２≠－４ａ２，本选项不符合题意； Ｃ．ｘ８÷ｘ２＝ｘ６≠ｘ４，本选项不符合题意； Ｄ．ｍ２·ｍ＝ｍ３，本选项符合题意。故选Ｄ。 ５．Ａ　【解析】∵点Ｐ（１－２ａ，ａ）在第二象限， ∴ １－２ａ＜０，ａ＞０{ 。 解得ａ＞１２。故选Ａ。 ６．Ａ　【解析】①这些运动员成绩的平均数是 １１５×（２× １．５０＋３×１．６０＋２×１．６５＋３×１．７０＋４×１．７５＋１× １．８０）＝５３，原说法不正确； ②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列后第８个 数，为１．７０，原说法正确； ③这些运动员成绩出现最多的是１．７５，则众数是１．７５， 原说法正确。故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】∵ｋ２－２ｋ＋３＝（ｋ－１）２＋２＞０， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限。 ∴当ｘ＞０时，ｙ＞０；当ｘ＜０时，ｙ＜０。 ∵ｘ１＜０＜ｘ２， ∴ｙ１＜０＜ｙ２。故选Ｃ。 ８．Ｄ　【解析】如图，设 Ｅ，Ｆ，Ｄ为切点，连接 ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ， ＯＦ，ＯＡ，ＯＢ， 则ＯＥ⊥ＡＣ，ＯＤ⊥ＢＣ，ＯＦ⊥ＡＢ，ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＦ＝ｄ２                                                                  。 —８２— 　－３４　－ 第Ⅰ卷（选择题　共４８分） 一、选择题（本大题共１２小题，在每小题给出的四个选项 中，只有一个是正确的，请把正确选项选出来，每小题选对 得４分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） １．－５６的相反数是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．６５ Ｂ．－ ６ ５ Ｃ． ５ ６ Ｄ．－ ５ ６ ２．下列运算正确的是 （　　） Ａ．２ｘ２ｙ－３ｘｙ２＝－ｘ２ｙ Ｂ．４ｘ８ｙ２÷２ｘ２ｙ２＝２ｘ４ Ｃ．（ｘ－ｙ）（－ｘ－ｙ）＝ｘ２－ｙ２ Ｄ．（ｘ２ｙ３）２＝ｘ４ｙ６ ３．下面图形中，中心对称图形有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ４．据泰山景区２０２４年１月４日消息，２０２３年泰山景区累计 接待进山游客超８６０万人次，同比增长３０１．３６％，刷新 了历年游客量最高记录，数据８６０万用科学记数法表示 为 （　　） Ａ．８．６０×１０７ Ｂ．８６．０×１０５ Ｃ．０．８６０×１０７ Ｄ．８．６０×１０６ ５．如图，直线ｌ∥ ｍ，等边三角形ＡＢＣ的两个顶点Ｂ，Ｃ分别 落在直线ｌ，ｍ上，若∠ＡＢＥ＝２１°，则∠ＡＣＤ的度数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．３９° Ｃ．２９° Ｄ．２１° 第５题图 　　　　 第６题图 ６．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上两点，ＢＡ平分 ∠ＣＢＤ，若∠ＡＯＤ＝５０°，则∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．６５° Ｂ．５５° Ｃ．５０° Ｄ．７５° ７．关于ｘ的一元二次方程２ｘ２－３ｘ＋ｋ＝０有实数根，则实 数ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ＜９８ Ｂ．ｋ≤ ９ ８ Ｃ．ｋ≥ ９ ８ Ｄ．ｋ＜－ ９ ８ ８．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容 大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千 个，若……，……，试问甜果苦果各几个？若设买甜果ｘ 个，买苦果 ｙ个，可列出符合题意的二元一次方程组： ｘ＋ｙ＝１０００， １１ ９ｘ＋ ４ ７ｙ＝９９９ { 。根据已有信息，题中用“……，……” 表示的缺失的条件应为 （　　） Ａ．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 Ｂ．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 Ｃ．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 Ｄ．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 ９．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，分别以顶点Ａ，Ｃ为 圆心，大于 １ ２ＡＣ的长为半径画弧，两弧分别相交于点 Ｍ和点Ｎ，作直线ＭＮ分别与ＢＣ，ＡＣ交于点Ｅ和点Ｆ； 以点Ａ为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ＡＢ，ＡＣ于 点Ｈ和点Ｇ，再分别以点Ｈ，点Ｇ为圆心，大于１２ＧＨ的 长为半径画弧，两弧交于点 Ｐ，作射线 ＡＰ。若射线 ＡＰ 恰好经过点Ｅ，则下列四个结论：①∠Ｃ＝３０°；②ＡＰ垂 直平分线段ＢＦ；③ＣＥ＝２ＢＥ；④Ｓ△ＢＥＦ＝ １ ６Ｓ△ＡＢＣ。 其中，正确结论有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 第９题图 　　　 第１０题图 １０．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆Ｏ′的一个 直径端点与半圆 Ｏ的圆心重合，若半圆的半径为２， 则阴影部分的面积为 （　　） Ａ．４３π 槡－３ Ｂ． ４ ３π Ｃ．２３π 槡－３ Ｄ． ４ ３π－ 槡３ ４ １１．如图所示是二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的部分图象，该 函数图象的对称轴为直线ｘ＝１，图象与ｙ轴交点的纵 坐标为２，则下列结论：①２ａ＋ｂ＝０；②方程ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ＝０一定有一个根在 －２和 －１之间；③方程 ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ－３２＝０一定有两个不相等的实数根；④ｂ－ａ＜２。 其中，正确结论的个数有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 第１１题图 　　 第１２题图 １２．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，Ｅ是边ＡＢ上的点，ＡＥ ＝４，ＢＥ＝８，Ｆ是直线ＢＣ上的点，△ＥＧＦ是以点 Ｇ为直 角顶点，∠ＥＦＧ为３０°角的直角三角形，连接ＡＧ。当点Ｆ 在直线ＢＣ上运动时，线段ＡＧ的最小值为 （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．４３－２ Ｃ．２３ Ｄ．４ 第Ⅱ卷 （非选择题　共１０２分） 二、填空题（本大题共６小题，满分２４分。只要求填写最后 结果，每小题填对得４分） １３．单项式－３ａｂ２的次数是　　　　。 １４．某学校在４月２３日世界读书日举行“书香校园，全员阅 读”活动。小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备 从《西游记》《骆驼祥子》《水浒传》中随机选择一本，小颖准 备从《西游记》《骆驼祥子》《朝花夕拾》中随机选择一本，小 明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是　　　　　。 １５．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大 汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的望台上放飞一 只无人机。如图，无人机在河上方距水面高６０米的点Ｐ 处测得望台正对岸Ａ处的俯角为５０°，测得望台顶端 Ｃ处的俯角为６３．６°，已知望台ＢＣ高１２米（图中点Ａ， Ｂ，Ｃ，Ｐ在同一平面内），那么大汶河此河段的宽 ＡＢ 为　　　　　米。 参考数据：ｓｉｎ４０°≈３５，ｓｉｎ６３．６°( ≈ ９ １０，ｔａｎ５０°≈ ６ ５，ｔａｎ６３．６°≈ )２ 第１５题图 　 第１６题图 １６．如图，小明的父亲想用长为６０米的栅栏，再借助房屋的 外墙围成一个矩形的菜园。已知房屋外墙长４０米，则 可围成的菜园的最大面积为　　　　　平方米。 １７．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＨ是⊙Ｏ的 切线，Ｃ是⊙Ｏ上任意一点，Ｄ是 ) ＡＣ 的中点，连接 ＢＤ交 ＡＣ于点 Ｅ，延长 ＢＤ与 ＡＨ相交于点 Ｆ。若 ＤＦ＝１， ｔａｎＢ＝１２，则ＡＥ的长为　　　　　。 １８．如图所示，是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小 屋子”。 按照此规律继续摆下去，第　　　个“小屋子”中图形 “ ”个数是图形“ ”个数的３倍． 三、解答题（本大题共７小题，满分７８分。解答应写出必要 的文字说明、证明过程或推演步骤） １９．（１０分）（１）计算：２ｔａｎ６０°＋( )１２ －２ 槡－｜－ １２｜＋ （－３）槡 ２； （２）化简：ｘ－２ｘ－１( )ｘ ÷ｘ ２－１ ｘ 。 ２０．（１１分）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应 商供应的苹果中各随机抽取１０个，测得它们的直径（单 位：ｍｍ），并制作统计图如下： －３３－ ９ 泰安市２０２４年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１５０分） 　－３６　－ 根据以上信息，解答下列问题： （１） 统计量 供应商 平均数 中位数 众数 甲 ８０ ８０ ｂ 乙 ｍ ａ ７６ 则ｍ＝　　　　，ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　； （２）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判 断，　　　　供应商供应的苹果大小更为整齐；（填 “甲”或“乙”） （３）超市规定直径８２ｍｍ（含８２ｍｍ）以上的苹果为大 果，超市打算购进甲供应商的苹果２０００个，其中，大果 约有多少个？ ２１．（９分）直线ｙ１＝ｋｘ＋ｂ与反比例函数 ｙ２＝－ ８ ｘ的图象 相交于点Ａ（－２，ｍ），Ｂ（ｎ，－１），与ｙ轴交于点Ｃ。 （１）求直线ｙ１的表达式； （２）若ｙ１＞ｙ２，请直接写出满足条件的ｘ的取值范围； （３）过点Ｃ作 ｘ轴的平行线交反比例函数的图象于点 Ｄ，求△ＡＣＤ的面积。 ２２．（１０分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产 品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、 乙两个组共３５名工人．甲组每天加工３０００件农产 品，乙组每天加工２７００件农产品，已知乙组每人每天 平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农 产品数量的１．２倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ ２３．（１２分）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学 兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动。 【探究发现】 （１）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图１，把矩形 纸片ＡＢＣＤ翻折，使矩形顶点Ｂ的对应点Ｇ恰好落在 矩形的一边ＣＤ上，折痕为ＥＦ，将纸片展平，连接ＢＧ。 ＥＦ与ＢＧ相交于点 Ｈ。同学们发现图形中四条线段 成比例，即 ＥＦ ＢＧ＝ ＡＢ ＢＣ，请你判断同学们的发现是否正 确，并说明理由； 【拓展延伸】 （２）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研 究，如图２，ＢＤ是平行四边形纸片 ＡＢＣＤ的一条对角 线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 Ａ的对应 点Ｇ，点 Ｃ的对应点 Ｈ都落在对角线 ＢＤ上，折痕分 别是ＢＥ和ＤＦ。将纸片展平，连接ＥＧ，ＦＨ，ＦＧ。同学 们探究后发现，若ＦＧ∥ ＣＤ，那么点 Ｇ恰好是对角线 ＢＤ的一个“黄金分割点”，即ＢＧ２＝ＢＤ·ＤＧ。请你判 断同学们的发现是否正确，并说明理由。 ２４．（１３分）如图１，在等腰 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ ＢＣ，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＢ，ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ，连接ＡＥ，ＣＤ，取 ＡＥ中点Ｆ，连接ＢＦ。 （１）求证：ＣＤ＝２ＢＦ，ＣＤ⊥ＢＦ； （２）将△ＤＢＥ绕点Ｂ顺时针旋转到图２的位置。 ①请直接写出ＢＦ与ＣＤ的位置关系：　　　　　　　　； ②求证：ＣＤ＝２ＢＦ。 ２５．（１３分）如图，抛物线 Ｃ１：ｙ＝ａｘ ２＋４３ｘ－４的图象经过 点Ｄ（１，－１），与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ。 （１）求抛物线Ｃ１的表达式； （２）将抛物线Ｃ１向右平移１个单位长度，再向上平移３ 个单位长度得到抛物线 Ｃ２，求抛物线 Ｃ２的表达式，并 判断点Ｄ是否在抛物线Ｃ２上； （３）在 ｘ轴上方的抛物线 Ｃ２上，是否存在点 Ｐ，使 △ＰＢＤ是等腰直角三角形．若存在，请求出点 Ｐ的坐 标；若不存在，请说明理由。 －３５－