8.山东省济宁市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－３０　－ 一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分，在每 小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） １．－３的绝对值是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．３ Ｂ．１３ Ｃ．－３ Ｄ．－ １ ３ ２．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后， 有“建”字一面的相对面上的字是 （　　） Ａ．“人” Ｂ．“才” Ｃ．“强” Ｄ．“国” 第２题图 　　 第４题图 ３．下列运算正确的是 （　　） Ａ．　槡２＋ 　 槡３＝ 　 槡５ Ｂ． 　 槡２× 　 槡５＝ 　 槡１０ Ｃ．２÷　槡２＝１ Ｄ． 　 （－５）槡 ２＝－５ ４．如图，菱形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ是 ＡＢ 的中点，连接ＯＥ．若ＯＥ＝３，则菱形的边长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１２ ５．为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目 的喜爱情况，班主任对全班５０名同学进行了问卷调查 （每名同学只选其中的一类），依据５０份问卷的调查结 果绘制了全班同学喜爱节目情况的扇形统计图（如图所 示）．下列说法正确的是 （　　） Ａ．班主任采用的是抽样调查 Ｂ．喜爱动画节目的同学最多 Ｃ．喜爱戏曲节目的同学有６名 Ｄ．“体育”对应扇形的圆心角为７２° ６．如图，边长为２的正六边形ＡＢＣＤＥＦ内接于⊙Ｏ，则它的 内切圆半径为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．　槡２ Ｄ．　槡３ ７．已知点Ａ（－２，ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２），Ｃ（３，ｙ３）在反比例函数ｙ ＝ｋｘ（ｋ＜０）的图象上，则ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ１＜ｙ２＜ｙ３ Ｂ．ｙ２＜ｙ１＜ｙ３ Ｃ．ｙ３＜ｙ１＜ｙ２ Ｄ．ｙ３＜ｙ２＜ｙ１ ８．解分式方程１－ １３ｘ－１＝－ ５ ２－６ｘ时，去分母变形正确的 是 （　　） Ａ．２－６ｘ＋２＝－５ Ｂ．６ｘ－２－２＝－５ Ｃ．２－６ｘ－１＝５ Ｄ．６ｘ－２＋１＝５ ９．如图，分别延长圆内接四边形 ＡＢＣＤ的两组对边，延长 线相交于点Ｅ，Ｆ．若∠Ｅ＝５４°４１′，∠Ｆ＝４３°１９′，则∠Ａ 的度数为 （　　） Ａ．４２° Ｂ．４１°２０′ Ｃ．４１° Ｄ．４０°２０′ １０．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方 形．第一幅图有１个正方形，第二幅图有５个正方形， 第三幅图有１４个正方形，……，按照此规律，第六幅 图中正方形的个数为 （　　） 第一幅图 　 第二幅图 　 第三幅图 　 … 第四幅图　　 Ａ．９０ Ｂ．９１ Ｃ．９２ Ｄ．９３ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．我国自主研发的５００ｍ口径球面射电望远镜（ＦＡＳＴ）有 “中国天眼”之称，它的反射面面积约为２５００００ｍ２．数 ２５００００用科学记数法表示为 ． １２．已知ａ２－２ｂ＋１＝０，则 ４ｂ ａ２＋１ 的值是 ． １３．如图，四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，ＯＡ ＝ＯＣ，请补充一个条件： ，使四边形ＡＢＣＤ是 平行四边形． 第１３题图 　 第１５题图 １４．将抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋１２向下平移 ｋ个单位长度．若 平移后得到的抛物线与ｘ轴有公共点，则 ｋ的取值范 围是 ． １５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ是△ＡＢＣ 的角平分线． （１）以点 Ｂ为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ＢＡ，ＢＣ 于点Ｅ，Ｆ． （２）以点Ａ为圆心，ＢＥ长为半径画弧，交ＡＣ于点Ｇ． （３）以点Ｇ为圆心，ＥＦ长为半径画弧，与（２）中所画的 弧相交于点Ｈ． （４）画射线ＡＨ． （５）以点Ｂ为圆心，ＢＣ长为半径画弧，交射线ＡＨ于点Ｍ． （６）连接ＭＣ，ＭＢ，ＭＢ分别交ＡＣ，ＡＤ于点Ｎ，Ｐ． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 （只 填序号）． ①ＢＤ＝ＣＤ；②∠ＡＢＭ＝１５°；③∠ＡＰＮ＝∠ＡＮＰ；④ＡＭＡＤ＝ 　 槡３ ２；⑤ＭＣ ２＝ＭＮ·ＭＢ． 三、解答题（本大题共７小题，共５５分） １６．（６分）先化简，再求值：ｘ（ｙ－４ｘ）＋（２ｘ＋ｙ）（２ｘ－ｙ）， 其中ｘ＝１２，ｙ＝２． １７．（６分）如图，△ＡＢＣ三个顶点的坐标分别是 Ａ（１，３），Ｂ （３，４），Ｃ（１，４）． （１）将△ＡＢＣ向下平移２个单位长度得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，画出 平移后的图形，并直接写出点Ｂ１的坐标； （２）将△Ａ１Ｂ１Ｃ１绕点Ｂ１逆时针旋转９０°得△Ａ２Ｂ１Ｃ２，画 出旋转后的图形，并求点Ｃ１运动到点Ｃ２所经过的路 径长． １８．（８分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为 “珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共 ２０题，每题 ５ 分，满分１００分）．该校从学生成绩都不低于８０分的八 年级（１）班和（３）班中，各随机抽取了２０名学生成绩进 行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（１）班２０名学生的成绩：８５，９５，１００，９０，９０，８０， ８５，９０，８０，１００，８０，８５，９５，９０，９５，９５，９５，９５，１００，９５． 八年级（３）班２０名学生的成绩：９０，８０，１００，９５，９０，８５， ８５，１００，８５，９５，８５，９０，９０，９５，９０，９０，９５，９０，９５，９５． 【描述数据】 八年级（１）班２０名学生成绩统计表 分数 ８０ ８５ ９０ ９５ １００ 人数 ３ ３ ａ ｂ ３ 【分析数据】 八年级（１）班和（３）班２０名学生成绩分析表 　　　统计量 班级　　　 平均数 中位数 众数 方差 八年级（１）班 ｍ ｎ ９５ ４１．５ 八年级（３）班 ９１ ９０ ｐ ２６．５ 八年级（３）班２０名学生成绩条形统计图 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （１）请补全条形统计图； （２）填空：ｍ＝ ，ｎ＝ ； （３）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （４）从上面５名得１００分的学生中，随机抽取２名学生 参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取 的２名学生恰好在同一个班级的概率． －２９－ ８ 济宁市二二四年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１００分） 　－３２　－ １９．（８分）如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，Ｄ是 ＢＣ上一点，ＡＤ＝ ＡＣ．Ｅ是⊙Ｏ外一点，∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＢ， 连接ＢＥ． （１）若ＡＢ＝８，求ＡＥ的长； （２）求证：ＥＢ是⊙Ｏ的切线． ２０．（８分）某商场以每件８０元的价格购进一种商品，在 一段时间内，销售量ｙ（单位：件）与销售单价ｘ（单位： 元／件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （１）求这段时间内ｙ与ｘ之间的函数解析式； （２）在这段时间内，若销售单价不低于１００元，且商场 还要完成不少于２２０件的销售任务，当销售单价为多 少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ ２１．（９分）综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图１，在 矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＞ＡＤ且ＡＢ足够长）进行探究活动． 图１ 【动手操作】 如图２，第一步，沿点Ａ所在直线折叠，使点Ｄ落在ＡＢ 上的点Ｅ处，折痕为ＡＦ，连接ＥＦ，把纸片展平． 第二步，把四边形ＡＥＦＤ折叠，使点Ａ与点Ｅ重合，点 Ｄ与点Ｆ重合，折痕为ＧＨ，再把纸片展平． 第三步，连接ＧＦ． 图２ 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形ＡＥＦＤ是正方形． 乙同学的结论：ｔａｎ∠ＡＦＧ＝１３． （１）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确， 写出证明过程；若不正确，请说明理由； 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图３，第四步，沿点 Ｇ所在直线折叠，使点 Ｆ落在 ＡＢ 上的点Ｍ处，折痕为ＧＰ，连接ＰＭ，把纸片展平． 第五步，连接ＦＭ交ＧＰ于点Ｎ． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：ＦＮ·ＡＭ ＝ＧＮ·ＡＤ． （２）请证明这个结论． 图３ ２２．（１０分）已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过（０， －３），（－ｂ，ｃ）两点，其中ａ，ｂ，ｃ为常数，且ａｂ＞０． （１）求ａ，ｃ的值； （２）若该二次函数的最小值是－４，且它的图象与ｘ轴交 于点Ａ，Ｂ（点Ａ在点Ｂ的左侧），与ｙ轴交于点Ｃ． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点Ａ，Ｂ的坐标； ②如图，在ｙ轴左侧，该二次函数的图象上有一动点 Ｐ， 过点Ｐ作ｘ轴的垂线，垂足为 Ｄ，与直线 ＡＣ交于点 Ｅ， 连接ＰＣ，ＣＢ，ＢＥ．是否存在点Ｐ，使 Ｓ△ＰＣＥ Ｓ△ＣＢＥ ＝３８？若存在， 求此时点Ｐ的横坐标；若不存在，请说明理由． 　　　　　　　　　　　　备用图 －３１－ ∴ｙ＝πｒ２＝πｘ ２＋（１８－ｘ）２ ４ ＝ π ２（ｘ－９） ２＋８１π２。 ∴当ｘ＝９时，ｙ取得最小值， 此时４ｒ２＝９２＋９２，解得ｒ＝ 槡９２２。 （４）由（３），得当⊙Ｏ１的面积最小时， 此时圆为边长为９ｍ的正方形的外接圆。 当ｒ 槡＝３２ｍ时，圆的内接正方形的边长为槡 ２ ２×２×３ 槡２＝６（ｍ）。 而草坪的边长为１８ｍ，１８６＝３，即将草坪分为９个正 方形，将半径为 槡３ ２ｍ的自动喷洒装置放置于９个 正方形的中心，此时所用装置个数最少。所以至少 安装９个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 ρ＝１。 ８济宁市二二四年初中学业水平考试 １．Ａ　【解析】－３的绝对值是３。故选Ａ。 ２．Ｄ　【解析】由图可知，有“建”字一面的相对面上的字 是“国”。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】 槡Ａ． ２与槡３不能合并，所以 Ａ选项错误；Ｂ。 槡 槡 槡２×５＝ １０，所以Ｂ选项正确； 槡 槡 槡Ｃ．２÷２＝ ４÷２＝２， 所以Ｃ选项错误；Ｄ。 （－５）槡 ２＝ －５ ＝５，所以Ｄ选 项错误。故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＣ⊥ＢＤ。 ∵Ｅ是ＡＢ的中点，∴ＯＥ＝１２ＡＢ。 ∵ＯＥ＝３，∴ＡＢ＝２ＯＥ＝２×３＝６。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】全班共５０名学生，班主任制作了５０份问卷 调查，因此班主任采用的是全面调查。故Ａ选项错误． 喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱 乐节目的同学最多。故 Ｂ选项错误．喜爱戏曲节目的 同学有５０×６％ ＝３（名），故 Ｃ选项错误．“体育”对应 扇形的圆心角度数为 ３６０°×２０％ ＝７２°，故 Ｄ选项正 确。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】如图，连接 ＯＡ，ＯＦ，过点 Ｏ作 ＯＧ⊥ＡＦ于 点Ｇ。 ∵⊙Ｏ为正六边形ＡＢＣＤＥＦ的外接圆， ∴ＯＦ＝ＯＡ，∠ＡＯＦ＝３６０°×１６＝６０°。 ∴△ＡＯＦ是等边三角形。 ∴ＯＦ＝ＯＡ＝ＡＦ＝２。 ∵ＯＧ⊥ＡＦ， ∴ＦＧ＝１２ＡＦ＝１。 ∴ＯＧ＝ ２２－１槡 ２ 槡＝３， 即它的内切圆半径为槡３。故选Ｄ。 ７．Ｃ　【解析】∵ｋ＜０， ∴反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ＜０）的图象分布在第二、四象 限，且在每一象限内ｙ随ｘ的增大而增大。 ∵－２＜－１＜０＜３， ∴ｙ３＜０＜ｙ１＜ｙ２。 ∴ｙ３＜ｙ１＜ｙ２。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】方程两边同乘２－６ｘ， 得２－６ｘ－（２－６ｘ）× １３ｘ－１＝－ ５ ２－６ｘ×（２－６ｘ）。 整理，得２－６ｘ＋２＝－５。故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∠Ａ＋∠ＢＣＤ＝１８０°。 ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｅ＋∠ＥＣＢ，∠ＡＤＣ＝∠Ｆ＋∠ＤＣＦ， ∴∠Ｅ＋∠ＥＣＢ＋∠Ｆ＋∠ＤＣＦ＝１８０°。 ∵∠ＥＣＢ＝∠ＤＣＦ，∠Ｅ＝５４°４１′，∠Ｆ＝４３°１９′， ∴５４°４１′＋４３°１９′＋２∠ＥＣＢ＝１８０°。 ∴∠ＥＣＢ＝４１°。 ∵∠ＥＣＢ＋∠ＢＣＤ＝１８０°， ∴∠Ａ＝∠ＥＣＢ＝４１°。故选Ｃ。 １０．Ｂ　【解析】第１幅图有１个正方形， 第２幅图有５＝１２＋２２个正方形， 第３幅图有１４＝１２＋２２＋３２个正方形， …… 第６幅图有１２＋２２＋３２＋４２＋５２＋６２＝１＋４＋９＋１６＋ ２５＋３６＝９１（个）正方形。 故选Ｂ。 １１．２．５×１０５　【解析】２５００００＝２．５×１０５。 １２．２　【解析】∵ａ２－２ｂ＋１＝０， ∴ａ２＋１＝２ｂ。 ∴ ４ｂ ａ２＋１ ＝４ｂ２ｂ＝２。 １３．ＡＤ∥ＢＣ（答案不唯一） 【解析】添加条件：ＡＤ∥ＢＣ。 证明：∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＤＡＯ＝∠ＢＣＯ。 在△ＡＯＤ和△ＣＯＢ中， ∠ＤＡＯ＝∠ＢＣＯ， ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＢ{ ， ∴△ＤＡＯ≌△ＢＣＯ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＤ＝ＢＣ。 ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。 １４．ｋ≥３　【解析】将抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋１２向下平移ｋ个 单位长度，得ｙ＝ｘ２－６ｘ＋１２－ｋ。 ∵ｙ＝ｘ２－６ｘ＋１２－ｋ与ｘ轴有公共点， ∴Δ≥０，即（－６）２－４（１２－ｋ）≥０。 解得ｋ≥３。 １５．①②⑤　【解析】∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°， ∴△ＡＢＣ为等腰直角三角形，∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝４５°。 又∵ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝１２∠ＢＡＣ＝ １ ２×９０°＝４５°。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝４５°。 ∴ＢＤ＝ＡＤ＝ＣＤ。故①正确。 根据题意作图，可得∠ＭＡＣ＝∠ＡＢＤ＝４５°， ＢＭ＝ＢＣ。 如图，过点Ｍ作ＭＫ⊥ＢＣ于点Ｋ， 则∠ＭＫＢ＝９０°。 ∵ ＡＤ 是 △ＡＢＣ的 角 平 分线， 由三线合一， 可得ＡＤ⊥ＢＣ， 即∠ＡＤＣ＝９０°。∴ＡＤ＝ １ ２ＢＣ。 ∵∠ＤＡＭ＝∠ＤＡＣ＋∠ＭＡＣ＝４５°＋４５°＝９０°， ∴∠ＤＡＭ＝∠ＭＫＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°。 ∴四边形ＡＤＫＭ为矩形。 ∴ＭＫ＝ＡＤ＝１２ＢＣ＝ １ ２ＢＭ。 ∴∠ＭＢＫ＝３０°。 ∴∠ＡＢＭ＝∠ＡＢＤ－∠ＭＢＫ＝４５°－３０°＝１５°。 故②正确。 ∵∠ＡＰＮ＝∠ＡＢＭ＋∠ＢＡＤ＝１５°＋４５°＝６０°，∠                                                                  ＡＮＰ —２２— ＝∠ＭＢＫ＋∠ＤＣＡ＝３０°＋４５°＝７５°， ∴∠ＡＰＮ≠∠ＡＮＰ。故③错误。 设ＡＰ＝ｘ，则ＰＤ＝ＡＤ－ｘ。 ∵ＡＭ∥ＢＣ， ∴∠ＡＭＢ＝∠ＭＢＣ＝３０°。 ∴ｔａｎ∠ＡＭＢ＝ｔａｎ３０°＝ＡＰＡＭ＝ ｘ ＡＭ＝ 槡３ ３，即 ＡＭ 槡＝３ｘ， ｔａｎ∠ＭＢＣ＝ｔａｎ３０°＝ＰＤＢＤ＝ ＡＤ－ｘ ＡＤ ＝ 槡３ ３，即 ＡＤ ＝（ 槡３＋３）ｘ２ 。 ∴ＡＭＡＤ＝ 槡３ｘ （ 槡３＋３）ｘ ２ 槡＝３－１。故④错误。 ∵∠ＢＭＣ＝∠ＢＣＭ＝１８０°－∠ＭＢＣ２ ＝ １８０°－３０° ２ ＝ ７５°，∠ＭＮＣ＝∠ＡＮＰ＝７５°， ∴∠ＭＮＣ＝∠ＢＣＭ。 又∵∠ＢＭＣ＝∠ＣＭＮ， ∴△ＢＭＣ∽△ＣＭＮ。 ∴ＭＣＭＮ＝ ＭＢ ＭＣ。 ∴ＭＣ２＝ＭＮ·ＭＢ。故⑤正确。 综上所述，正确的有①②⑤。 １６．解：ｘ（ｙ－４ｘ）＋（２ｘ＋ｙ）（２ｘ－ｙ） ＝ｘｙ－４ｘ２＋４ｘ２－ｙ２ ＝ｘｙ－ｙ２ 当ｘ＝１２，ｙ＝２时， 原式＝１２×２－２ ２＝１－４＝－３。 １７．解：（１）如图，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求作。 由图可知，点Ｂ１（３，２）。 （２）如图，△Ａ２Ｂ１Ｃ２即为所求作。 点Ｃ１运动到点Ｃ２所经过的路径长为 π×Ｂ１Ｃ１×９０ １８０ ＝ π×２×９０ １８０ ＝π。 １８．解：（１）由八年级（３）班２０名学生成绩统计，可得９０ 分的学生有７人，９５分的学生有６人，补全条形统计 图如图所示。 八年级（３）班２０名学生成绩条形统计图 （２）由八年级（１）班２０名学生成绩统计，可得ａ＝４， ｂ＝７， 所以 ｍ＝８０×３＋８５×３＋９０×４＋９５×７＋１００×３２０ ＝ ９１。　 一共有２０名学生，中位数应该为第１０名与第１１名的 平均数， 所以ｎ＝９５＋９０２ ＝９２．５。故答案为９１；９２．５。 （３）八年级（１）班的成绩较好．理由如下： 八年级（１）班和八年级（３）班的平均成绩相同，但八年 级（１）班的中位数和众数都比八年级（３）班高，即八年 级（１）班高分段的人数较多。因此八年级（１）班的成 绩较好。 （４）设八年级（１）班的三名得１００分的学生用 Ａ，Ｂ，Ｃ 表示，八年级（３）班的两名得１００分的学生用 Ｘ，Ｙ表 示，则随机抽取两名学生的所有情况如下： 　　八年级 　　（１）班 八年级　　　 （３）班　 　 　 Ａ Ｂ Ｃ Ｘ Ｙ Ａ （Ａ，Ｂ）（Ａ，Ｃ）（Ａ，Ｘ）（Ａ，Ｙ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｃ）（Ｂ，Ｘ）（Ｂ，Ｙ） Ｃ （Ｃ，Ａ）（Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｘ）（Ｃ，Ｙ） Ｘ （Ｘ，Ａ）（Ｘ，Ｂ）（Ｘ，Ｃ） （Ｘ，Ｙ） Ｙ （Ｙ，Ａ）（Ｙ，Ｂ）（Ｙ，Ｃ）（Ｙ，Ｘ） 一共有２０种等可能的结果。其中所抽取的２名学生 恰好在同一个班级的有 ＡＢ，ＡＣ，ＢＡ，ＢＣ，ＣＡ，ＣＢ，ＸＹ， ＹＸ共８种， 所以所抽取的２名学生恰好在同一个班级的概率为 ８ ２０＝ ２ ５。 １９．（１）解：∵∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＢ。 又∵ＡＤ＝ＡＣ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＢ， ∴△ＤＡＥ≌△ＣＡＢ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＥ＝ＡＢ＝８。 （２）证明：如图，连接ＯＡ，ＯＢ。 由（１），得ＡＥ＝ＡＢ，ＡＤ＝ＡＣ。 ∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＥ， ∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ。 ∵∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ。 ∵ＯＡ＝ＯＢ， ∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝１２（１８０°－∠ＡＯＢ）＝ ９０°－１２∠ＡＯＢ。 又∵∠ＡＣＢ＝１２∠ＡＯＢ， ∴∠ＯＢＡ＝９０°－∠ＡＣＢ。 ∴∠ＯＢＥ＝∠ＯＢＡ＋∠ＡＢＥ＝ ９０°－∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＢ＝９０°。 ∵ＯＢ是⊙Ｏ的半径， ∴ＥＢ是⊙Ｏ的切线                                                                  。 —３２— ２０．解：（１）设这段时间内ｙ与ｘ之间的函数解析式为ｙ＝ ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。 ∵由图象可知，该函数图象经过点（１００，３００），（１２０， ２００）， ∴联立方程组，得 １００ｋ＋ｂ＝３００，１２０ｋ＋ｂ＝２００{ 。解得 ｋ＝－５，ｂ＝８００{ 。 ∴这段时间内ｙ与ｘ之间的函数解析式为 ｙ＝－５ｘ＋８００。 （２）∵销售单价不低于１００元，且商场还要完成不少 于２２０件的销售任务， ∴ｘ≥１００，ｙ≥２２０，即 －５ｘ＋８００≥２２０，ｘ≥１００{ 。 解得１００≤ｘ≤１１６。 设获得利润为 ｚ元，则 ｚ＝（－５ｘ＋８００）ｘ－（－５ｘ＋ ８００）×８０＝－５ｘ２＋１２００ｘ－６４０００。 ∴对称轴为直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－ １２００ ２×（－５）＝１２０。 ∵－５＜０，即二次函数图象开口向下，ｘ的取值范围是 １００≤ｘ≤１１６， ∴在１００≤ｘ≤１２０范围内，ｚ随 ｘ的增大而增大，即当 销售单价ｘ＝１１６时，商场获得的利润最大。 ∴最大利润为 －５×１１６２＋１２００×１１６－６４０００＝ ７９２０（元）。 答：当销售单价为１１６元时，商场获得利润的最大，最 大利润是７９２０元。 ２１．解：（１）甲、乙两同学的结论都正确。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＤＡＥ＝∠Ｄ＝９０°。 由第一步操作折叠的性质，可知ＡＤ＝ＡＥ， ＤＦ＝ＥＦ，∠ＡＥＦ＝∠Ｄ＝９０°。 ∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＦ＝∠Ｄ＝９０°。 ∴四边形ＡＥＦＤ为矩形。 又∵ＡＤ＝ＡＥ， ∴四边形ＡＥＦＤ为正方形。 ∴甲同学的结论正确。 如图１，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＡＦ于点Ｍ。 图１ ∵四边形ＡＥＦＤ为正方形， ∴∠ＦＡＥ＝４５°。 设ＡＧ＝ａ，由第二步操作折叠的性质，可知ＧＥ＝ＡＧ＝ １ ２ＡＥ＝ａ，ＤＨ＝ＨＦ。 ∴ＥＦ＝ＡＥ＝２ａ。 在Ｒｔ△ＡＭＧ中， ∵∠ＭＡＧ＝４５°， ∴ＡＭ＝ＭＧ＝槡２２ａ。 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＡＦ 槡＝２ＡＥ 槡＝２２ａ， ∴ＭＦ＝ＡＦ－ＡＭ 槡＝２２ａ－槡 ２ ２ａ＝ 槡３２ ２ａ。 ∴ｔａｎ∠ＡＦＧ＝ＭＧＭＦ＝ 槡２ ２ａ 槡３２ ２ａ ＝１３。 故乙同学的结论正确。 （２）如图２，过点Ｇ作ＧＲ∥ＱＳ交ＳＭ于点Ｒ。 图２ 由折叠的性质， 得ＡＧ＝ＱＧ，ＡＤ＝ＱＳ，ＤＦ＝ＳＭ，ＤＰ＝ＳＰ，ＦＰ＝ＭＰ， ∠ＡＤＦ＝∠ＤＡＥ＝∠Ｑ＝∠Ｓ＝９０°。 ∵ＧＲ∥ＱＳ， ∴∠ＳＲＧ＝∠ＱＧＲ＝∠Ｑ＝∠Ｓ＝９０°。 ∴四边形ＱＳＲＧ为矩形。 ∴ＳＲ＝ＱＧ＝ＡＧ＝ＤＨ，ＧＲ＝ＱＳ＝ＡＤ＝ＨＧ。 在Ｒｔ△ＧＨＰ和Ｒｔ△ＧＲＰ中， ＧＰ＝ＧＰ， ＨＧ＝ＲＧ{ ， ∴Ｒｔ△ＧＨＰ≌Ｒｔ△ＧＲＰ（ＨＬ）。 ∴∠ＦＰＧ＝∠ＭＰＧ。 又∵ＦＰ＝ＭＰ，∴ＰＧ⊥ＦＭ，ＦＮ＝ＭＮ。 ∴ＧＰ为ＦＭ的垂直平分线。 ∴ＧＦ＝ＧＭ。 ∵ＰＧ⊥ＦＭ，ＦＮ＝ＭＮ， ∴∠ＦＧＰ＝∠ＭＧＰ。 ∵ＦＰ∥ＧＭ， ∴∠ＦＰＧ＝∠ＭＧＰ。 ∴∠ＦＰＧ＝∠ＭＰＧ＝∠ＦＧＰ＝∠ＭＧＰ。 ∴ＦＧ＝ＦＰ＝ＰＭ＝ＧＭ。 ∴四边形ＧＭＰＦ为菱形。 ∴ＧＭ＝ＭＰ。 ∵ＲＭ＝ＳＭ－ＳＲ＝ＤＦ－ＤＨ＝ＨＦ＝ＡＧ， ∴ＡＧ＋ＧＭ＝ＲＭ＋ＭＰ，即ＡＭ＝ＲＰ。 在Ｒｔ△ＤＡＭ和Ｒｔ△ＧＲＰ中， ＡＤ＝ＲＧ， ∠ＤＡＭ＝∠ＧＲＰ＝９０° ＡＭ＝ＲＰ{ ， ， ∴Ｒｔ△ＤＡＭ≌Ｒｔ△ＧＲＰ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＡＭＤ＝∠ＲＰＧ。 ∵∠ＲＰＧ＝∠ＦＧＮ，∴∠ＦＧＮ＝∠ＡＭＤ。 ∵ＰＧ⊥ＦＭ，∴∠ＦＮＧ＝９０°。 ∴∠ＦＮＧ＝∠ＤＡＭ＝９０°。 ∴△ＤＡＭ∽△ＦＮＧ。∴ＡＤＮＦ＝ ＡＭ ＮＧ。 ∴ＦＮ·ＡＭ＝ＧＮ·ＡＤ。 ２２．解：（１）∵二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点（０， －３），（－ｂ，ｃ）。 ∴ｃ＝－３，ａｂ２－ｂ２＋ｃ＝ｃ。∴（ａ－１）ｂ２＝０。 ∵ａｂ＞０，∴ａ≠０，ｂ≠０。∴ａ－１＝０。∴ａ＝１。 （２）①∵ａ＝１，ｃ＝－３， ∴该二次函数的解析式为ｙ＝ｘ２＋ｂｘ－３。 ∵ｙ最小值 ＝ －１２－ｂ２ ４ ＝－４， ∴ｂ＝±２。 ∵ａｂ＞０且ａ＞０， ∴ｂ＞０。 ∴ｂ＝２。 ∴该二次函数的解析式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３。 当ｙ＝０时，ｘ２＋２ｘ－３＝０。 解得ｘ１＝－３，ｘ２＝１。 ∴点Ａ（－３，０），Ｂ（１，０                                                                  ）。 —４２— ②存在点Ｐ，使 ＳＰＣＥ ＳＣＢＥ ＝３８。 当点Ｐ在点Ａ右侧时，如图１，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ， 过点Ｐ作ＰＧ⊥ＡＣ于点Ｇ。 图１ ∵Ａ（－３，０），Ｃ（０，－３），Ｂ（１，０）， ∴ＯＡ＝ＯＣ＝３，ＯＢ＝１。 ∴ＡＢ＝ＯＡ＋ＯＢ＝４，ＡＣ 槡＝３２。 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＯＣ＝ １ ２ＢＦ·ＡＣ， ∴ＢＦ＝ＡＢ·ＯＣＡＣ 槡＝２２。 ∵△ＰＣＥ和△ＢＣＥ都是以ＣＥ为底的三角形， ∴ Ｓ△ＰＣＥ Ｓ△ＢＣＥ ＝ＰＧＢＦ＝ ３ ８。 ∴过点Ｐ作 ＰＨ∥ＡＣ交 ｙ轴于点 Ｈ，过点 Ｃ作ＣＫ⊥ ＰＨ，则ＣＫ＝ＰＧ＝ 槡３２４。 ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＯＣＡ＝４５°。∴∠ＣＨＫ＝４５°。 ∴ＣＨ 槡＝２ＣＫ＝ ３ ２。∴ＯＨ＝ ９ ２。 ∴点Ｈ (坐标 ０，－ )９２ 。 直线ＰＨ的解析式为ｙ＝－ｘ－９２。 联 立 直 线 ＰＨ 与 二 次 函 数 的 解 析 式，可 得 ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３， ｙ＝－ｘ－９２{ 。 解得 ｘ１＝槡 ３－３ ２ ， ｙ１＝ 槡 －６－３ ２ { ，ｘ２＝ 槡－３－３ ２ ， ｙ２＝ 槡 －６＋３ ２ { 。 ∴点Ｐ (的坐标为 槡３－３２ ， 槡－６－３)２ ( 或 槡－３－３ ２ ， 槡－６＋３)２ 。 当点Ｐ在点 Ａ左侧时，过点 Ｐ作 ＰＨ∥ＡＣ交 ｙ轴于 点Ｈ。 图２ 同第一种情况的方法可得， (Ｈ ０，－ )３２ 。 ∴直线ＰＨ的解析式为ｙ＝－ｘ－３２。 联立 直 线 ＰＨ 和 为 二 次 函 数 的 解 析 式， 得 ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３， ｙ＝－ｘ－３２{ ， 解得 ｘ１＝ 槡 －３＋ １５ ２ ｙ１＝－槡 １５{ ２ （舍）， ｘ２＝ 槡 －３－ １５ ２ ， ｙ２＝槡 １５ ２ { 。 ∴点Ｐ (的坐标为 槡－３－ １５２ ，槡１５)２ 。 综上，点Ｐ的横坐标为槡３－３２ 或 槡－３－３ ２ 或 槡－３－ １５ ２ 。 ９泰安市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】－５６的相反数是 ５ ６。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ．２ｘ２ｙ与３ｘｙ２不是同类项，不能合并同类 项，故不选项符合题意； Ｂ．４ｘ８ｙ２÷２ｘ２ｙ２＝２ｘ６，故选项不符合题意； Ｃ．（ｘ－ｙ）（－ｘ－ｙ）＝－（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）＝－（ｘ２－ｙ２） ＝ｙ２－ｘ２，故选项不符合题意； Ｄ．（ｘ２ｙ３）２＝ｘ４ｙ６，故选项符合题意。 故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】第一、二、三个图形是中心对称图形，第四个 图形不是中心对称图形，所以符合题意的有３个。 故选Ｃ。 ４．Ｄ　【解析】８６０万＝８６０００００＝８．６×１０６。故选Ｄ。 ５．Ｂ　【解析】∵ｌ∥ｍ，∴∠ＥＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１８０°， 即∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝１８０°。 ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°。 又∵∠ＡＢＥ＝２１°，∴２１°＋６０°＋６０°＋∠ＡＣＤ＝１８０°。 ∴∠ＡＣＤ＝３９°。故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】∵ＢＡ平分∠ＣＢＤ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∠ＡＯＤ＝５０°， ∴∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＤ＝１２∠ＡＯＤ＝２５°。 ∴∠ＡＢＣ＝２５°。 ∴∠Ａ＝１８０°－∠Ｃ－∠ＡＢＣ＝１８０°－９０°－２５°＝６５°。 故选Ａ。 ７．Ｂ　【解析】∵关于 ｘ的一元二次方程２ｘ２－３ｘ＋ｋ＝０ 有实数根， ∴Δ＝（－３）２－４×２ｋ≥０。解得ｋ≤ ９８。故选Ｂ。 ８．Ｄ　【解析】根据 ｘ＋ｙ＝１０００， １１ ９ｘ＋ ４ ７ｙ{ ＝９９９可得甜果九个用十一 文钱，苦果七个用四文钱。 故选Ｄ。 ９．Ｄ　【解析】由作图可知，ＭＮ垂直平分线段ＡＣ， ∴ＡＥ＝ＣＥ，∴∠ＥＡＣ＝∠Ｃ。 由作图可知，ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ。 ∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠Ｃ＝∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＥ＝３０°。 故①正确； ∴ＡＣ＝２ＡＢ，ＡＥ＝２ＢＥ。 ∵ＡＦ＝ＣＦ，∴ＡＢ＝ＡＦ。 ∴ＡＰ垂直平分线段ＢＦ。故②正确； ∵ＡＥ＝２ＢＥ，ＡＥ＝ＣＥ，∴ＣＥ＝２ＢＥ。故③正确； ∴Ｓ△ＢＥＦ＝ １ ３Ｓ△ＢＦＣ                                                                  。 —５２—