7.山东省潍坊市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

图１ ∵Ｆ′Ｆ∥ＭＮ，ＦＦ′＝ＭＮ，则四边形 ＦＦ′ＮＭ为平行四边 形，则ＦＭ＝Ｆ′Ｎ， ∴ＦＭ＋ＭＮ＋ＤＮ的最小值为 Ｆ′Ｎ＋ＮＤ′＋ＭＮ＝Ｆ′Ｄ′ ＋２＝ （２＋４）２＋３槡 ２ 槡＋２＝３５＋２。 （３）由抛物线ｙ２的表达式，知点 Ｄ（０，－３），点 Ｅ（１， －４）。 由点Ｈ，Ｅ的坐标得直线ＨＥ的表达式为ｙ＝－２ｘ－２。 如图２，当点Ｐ在ＢＥ的右侧时， ∵∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ，则ＥＰ和ＨＥ关于对称轴ｌ２对称， ∴直线ＥＰ的表达式为ｙ＝２（ｘ－１）－４。 联立上式和抛物线ｙ２的表达式，得 ２（ｘ－１）－４＝ｘ２－２ｘ－３， 解得ｘ＝１（舍去）或３，即点Ｐ（３，０）。 图２　　　　　　　图３ 当点Ｐ在ＢＥ的左侧时，如图３， 设直线ＰＥ交ｙ轴于点Ｎ，过点Ｅ（１，－４）作∠ＰＥＨ的 平分线ＥＪ交ＨＮ于点Ｊ，作 ＨＥ的中垂线 ＪＬ交 ＨＮ于 点Ｊ，交ＨＥ于点Ｌ，过点Ｅ作ＥＷ⊥ｙ轴交于点Ｗ。 ∵∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ，∴∠ＪＨＬ＝∠ＪＥＨ＝∠ＰＥＪ。 由点Ｈ，Ｅ的坐标，得直线ＨＥ的表达式为ｙ＝－２ｘ－２，则 点Ｌ（１２，－３）。 ∴直线ＪＬ的表达式为ｙ＝１２（ｘ－ １ ２）－３＝ １ ２ｘ－ １３ ４， 点Ｊ（０，－１３４）。∴ＨＪ＝ＪＥ＝ ５ ４。 ∵∠ＪＥＮ＝∠ＥＨＮ，∠ＥＮＪ＝∠ＨＮＥ， ∴△ＥＮＪ∽△ＨＮＥ。∴ＪＮＥＮ＝ ＥＮ ＨＮ＝ ＥＪ ＨＥ＝ ５ ４ 槡５ ＝槡５４。 设ＪＮ 槡＝５ｍ，则ＥＮ＝４ｍ。 ∴点Ｎ（０，－１３４ 槡－５ｍ）。 在Ｒｔ△ＮＥＷ中，ＮＷ２＋ＷＥ２＝ＮＥ２， 即（－１３４ 槡－５ｍ＋４） ２＋１＝１６ｍ２，解得ｍ＝ 槡５５４４。 ∴点Ｎ（０，－１６８４４）。 由点Ｎ，Ｅ的坐标，得直线 ＮＥ的表达式为 ｙ＝－２１１ｘ －４２１１。 联立上式和抛物线ｙ２的表达式， 得ｘ２－２ｘ－３＝－２１１ｘ－ ４２ １１，解得ｘ＝ ９ １１或ｘ＝１。 ∵当ｘ＝１时，点Ｐ与点Ｅ重合，不符合题意， ∴ｘ＝１舍去，即点Ｐ（９１１，－ ４８０ １２１）。 综上，点Ｐ的坐标为（３，０）或（９１１，－ ４８０ １２１）。 ７潍坊市二二四年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故选 项不符合题意；Ｂ不是轴对称图形，是中心对称图形， 故选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图形，也是中心对称 图形，故选项符合题意；Ｄ是轴对称图形，不是中心对 称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】１２６．７万 ＝１２６７０００＝１．２６７×１０６。故 选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】它的主视图如图所示。 故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】由图象可知，在 １２０ｍｉｎ时提取率最高， ５０℃时提取率最高。故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】如图，过点Ｅ作ＥＨ∥ＡＢ。 ∵ＡＢ∥ＦＧ，∴ＡＢ∥ＥＨ∥ＦＧ。 ∴∠ＢＥＨ＝α＝１５°，∠ＦＥＨ＋∠ＥＦＧ＝１８０°。 ∵β＝４５°，∴∠ＦＥＨ＝１８０°－４５°－１５°＝１２０°。 ∴∠ＥＦＧ＝１８０°－∠ＦＥＨ＝１８０°－１２０°＝６０°。 ∴ＥＦ与ＦＧ所成锐角的度数为６０°。 故选Ａ。 ６．Ｃ　【解析】∵ｍ－２ｎ＝３，∴ｍ＝２ｎ＋３。 ∴Δ＝（－ｍ）２－４（－ｎ２＋ｍｎ＋１） ＝ｍ２＋４ｎ２－４ｍｎ－４ ＝（２ｎ＋３）２＋４ｎ２－４ｎ（２ｎ＋３）－４ ＝４ｎ２＋１２ｎ＋９＋４ｎ２－８ｎ２－１２ｎ－４ ＝５＞０。 ∴原方程有两个不相等的实数根。故选Ｃ。 ７．ＡＣ　【解析】Ａ．由等式的性质可得，若ａ＝ｂ，则ａｃ＝ｂｃ， 原命题是真命题； Ｂ．由不等式的性质可得，若ａ＞ｂ，且ｃ＞０，则ａｃ＞ｂｃ，原 命题是假命题； Ｃ．两个有理数的积仍为有理数，原命题是真命题； Ｄ．两个无理数的积不一定为无理数，比如槡 槡２×２＝２， 原命题是假命题。故选ＡＣ。 ８．ＢＣ　【解析】Ａ．圆柱的体积为 π×（槡３） ２×１＝３π。故 选项不符合题意；Ｂ．∵圆柱的高为１，∴圆柱的母线长 为１。故选项符合题意；Ｃ．圆柱的侧面积为２π 槡×３×１ 槡＝２３π。故选项符合题意；Ｄ．圆柱的侧面展开图的周 长为２π 槡 槡×３×２＋１×２＝４ ３π＋２。故选项不符合 题意。 故选ＢＣ。 ９．ＡＣＤ　【解析】当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ。 由图象可知，此时图象在ｘ轴上方，即ａ－ｂ＋ｃ＞０。 故选项Ａ正确； 对称轴是直线ｘ＝１，∴４＋ｘ２ ＝１，即 ｘ＝－２。故该抛物 线与ｘ轴的另一个交点坐标为（－２，０）。故选项 Ｂ 错误； 当ｘ＝１时，函数有最大值，（２，ｙ２）距离对称轴更近，故 ｙ１＜ｙ２。故选项Ｃ正确                                                                  ； —９１— 当ｘ＝１时，函数有最大值，故ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ≤ａ＋ｂ＋ｃ，即 不等式ａｎ２＋ｂｎ≤ａ＋ｂ总成立。故选项Ｄ正确。 故选ＡＣＤ。 １０．ＡＢＤ　【解析】如图，设ＡＣ，ＯＥ交于点Ｆ，连接ＡＤ。 由题意，得ＯＥ是ＡＣ的垂直平分线，∴ＡＥ＝ＣＥ。 ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＡＯＥ≌△ＣＯＥ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＥ。 ∵ＯＦ＝ＯＦ，ＯＡ＝ＯＣ， ∴△ＡＯＦ≌△ＣＯＦ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＯＡＦ＝∠ＯＣＦ。 ∵ＯＡ∥ＢＣ，∴∠ＯＡＦ＝∠ＡＣＥ。 ∴∠ＯＣＡ＝∠ＡＣＥ。 ∴ ) ＡＢ＝ ) ＡＤ。故选项Ａ正确； ∵∠ＯＣＦ＝∠ＥＣＦ，∠ＯＦＣ＝∠ＥＦＣ＝９０°，ＣＦ＝ＣＦ， ∴△ＥＦＣ≌△ＯＦＣ（ＡＳＡ）。∴ＯＣ＝ＣＥ＝ＯＡ。 ∵ＯＡ∥ＣＥ，∴四边形ＡＯＣＥ是菱形。故选项Ｄ正确； ∵ ) ＡＢ＝ ) ＡＤ，∴ＡＢ＝ＡＤ。 ∵四边形ＡＯＣＥ是菱形，∴ＡＥ＝ＯＣ＝ＯＤ。 ∴四边形ＡＥＯＤ是平行四边形。 ∴ＡＤ＝ＯＥ。∴ＡＢ＝ＯＥ。故选项Ｂ正确； ∠ＡＯＤ＝∠ＯＡＥ。故选项Ｃ错误。故选ＡＢＤ。 １１．ｙ＝－ｘ＋２（答案不唯一）　【解析】∵ｙ随着 ｘ的增大 而减小，∴一次函数的比例系数ｋ＜０。 又∵函数图象与ｙ轴正半轴相交，∴ｂ＞０。 ∴同时满足两个条件的一次函数为 ｙ＝－ｘ＋２。（答 案不唯一） １２．４，４－ 槡４３( )３ 　【解析】如图，作 Ｃ′Ｆ⊥ＯＡ，交 ｙ轴于点 Ｆ，Ｃ′Ｄ⊥ＢＣ，交ｘ轴于点Ｄ。 由题可得ＯＡ＝４。 ∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＯＡ⊥ＢＣ， ∴ＯＡ是∠ＢＡＣ的平分线。 ∴∠ＯＡＣ＝３０°。∴ＯＣ＝１２ＡＣ。 在Ｒｔ△ＡＯＣ中，ＯＡ２＋ＯＣ２＝ＡＣ２， 即１６＋ １２( )ＡＣ ２ ＝ＡＣ２，解得ＡＣ＝ 槡８３３。 ∴ＡＣ′＝ＡＣ＝ 槡８３３。 ∴ＯＦ＝ＯＡ－ＡＦ＝４－ＡＣ′·ｃｏｓ６０°＝４－ 槡４３３， Ｃ′Ｆ＝ＡＣ′·ｓｉｎ６０°＝ 槡８３３ × 槡３ ２＝４。 ∴Ｃ′４，４－ 槡４３( )３ 。 １３．１３　【解析】共有６种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝 黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红 黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝。 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果有２种， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是２６＝ １ ３。 １４．４５　２　【解析】由图可知，当正整数为ｋ２时， 若ｋ为奇数，则ｋ２在第ｋ行，第１列， 下一个数在下一行，上一个数在第２列； 若ｋ为偶数，则ｋ２在第１行，第ｋ列， 下一个数在下一列，上一个数在第２行。 ∵ａ（ｍ，ｎ）＝２０２４＝２０２５－１＝４５ ２－１， ∴２０２４在第４５行，第２列。∴ｍ＝４５，ｎ＝２。 １５．解：（１）原式＝－２＋４－３＝－１。 （２）原式＝ａ ２－１－３ ａ－１ ÷ ａ＋２ ａ－１ ＝（ａ＋２）（ａ－２）ａ－１ · ａ－１ ａ＋２＝ａ－２。 当ａ 槡＝３＋２时，原式 槡 槡＝３＋２－２＝３。 １６．证明：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠ＥＡＨ＝∠ＦＣＧ。 由折叠，得 ＡＧ＝ＡＤ，ＣＨ＝ＣＢ，∠ＣＨＥ＝∠Ｂ＝９０°， ∠ＡＧＦ＝∠Ｄ＝９０°。 ∴ＣＨ＝ＡＧ，∠ＡＨＥ＝∠ＣＧＦ＝９０°。 ∴ＡＨ＝ＣＧ。 在△ＡＥＨ和△ＣＦＧ中， ∠ＥＡＨ＝∠ＦＣＧ， ＡＨ＝ＣＧ， ∠ＡＨＥ＝∠ＣＧＦ＝９０°{ ， ∴△ＡＥＨ≌△ＣＦＧ（ＡＳＡ）。 （２）由（１），知∠ＡＨＥ＝∠ＣＧＦ＝９０°，△ＡＥＨ≌△ＣＦＧ， ∴ＥＨ∥ＦＧ，ＥＨ＝ＦＧ。 ∴四边形ＥＧＦＨ是平行四边形。 １７．解：（１）把Ａ（ｍ，槡３）代入ｙ＝－槡 ３ ３ｘ，得槡３＝－ 槡３ ３ｍ， ∴ｍ＝－３。∴Ａ（－３，槡３）。 把Ａ（－３，槡３）代入ｙ＝ ｋ ｘ，得槡３＝ ｋ －３， ∴ｋ 槡＝－３３。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ 槡３３ｘ。 （２）把Ｐ（槡２３，ｎ）代入ｙ＝－槡 ３ ３ｘ， 得ｎ＝－槡３３ 槡×２３＝－２。∴Ｐ（槡２３，－２）。 ∵ＰＱ∥ｙ轴，∴点Ｑ的横坐标为 槡２３。 把ｘ 槡＝２３代入ｙ＝－ 槡 ３３ ｘ，得ｙ＝－ 槡３３ 槡２３ ＝－３２， ∴Ｑ 槡２３，－( )３２ 。 ∴ＰＱ＝－３２－（－２）＝ １ ２。 ∴Ｓ△ＯＰＱ＝ １ ２× １ ２ 槡×２３＝ 槡３ ２。 １８．解：（１）平台从甲商家抽取了１２÷４０％＝３０个评价分 值，从乙商家抽取了３÷１５％＝２０个评价分值， 所以甲商家４分的评价分值个数为３０－２－１－１２－５ ＝１０， 乙商家４分的评价分值个数为２０－１－３－３－４＝９， 补全条形统计图如下： “商家服务”评价分值的条形统计图 （２）α＝３６０°×１０３０＝１２０°                                                                  。 —０２— （３）∵甲商家共有３０个数据，∴数据按照由小到大的 顺序排列，中位数为第１５个和第１６个数的平均数， ∴ａ＝３＋４２ ＝３．５。 由条形统计图可知，乙商家４分的个数最多， ∴众数ｂ＝４。 乙商家平均数ｘ＝１×１＋２×３＋３×３＋４×９＋５×４２０ ＝ ３．６。 （４）小亮应该选择乙商家。理由如下： 由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高 于甲商家的，方差较接近，因此小亮应该选择乙商家。 １９．解：（１）由题意，得 ｙ＝Ｐ＋８Ｔ＝１０ｘ＋８× ２１－（ｘ＋２）（ｘ＋４）[ ]８ ＝－ｘ２＋４ｘ＋１６０。 当ｙ＝１４８时，－ｘ２＋４ｘ＋１６０＝１４８， 解得ｘ１＝６，ｘ２＝－２。 ∵０≤ｘ≤９，∴ｘ＝６。 ∴该商场建造的隔热层厚度为６ｃｍ。 （２）由（１），得ｙ＝－ｘ２＋４ｘ＋１６０。 ∵ｔ＝ｙ＋ｘ２， ∴ｔ＝－ｘ２＋４ｘ＋１６０＋ｘ２＝４ｘ＋１６０（１７２≤ｔ≤１９２）。 ∵４＞０，∴ｔ随ｘ的增大而增大。 当ｔ＝１７２时，４ｘ＋１６０＝１７２，解得ｘ＝３； 当ｔ＝１９２时，４ｘ＋１６０＝１９２，解得ｘ＝８。 ∴ｘ的取值范围是３≤ｘ≤８。 ２０．（１）证明：如图，连接ＯＤ。 ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ。 ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ。 ∴∠ＯＤＡ＝∠ＥＡＤ。 ∵ＤＥ⊥ＡＥ，∴∠Ｅ＝９０°。 ∴∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＥ＝９０°。 ∴∠ＯＤＡ＋∠ＡＤＥ＝９０°，即∠ＯＤＥ＝９０°。 ∴ＯＤ⊥ＤＥ。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°。 ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＤ＝９０°， 即∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＋∠ＤＢＣ＝９０°。 ∵∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＥ＝９０°， ∴∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＝９０°。 ∴ ∠ＢＡＤ ＋∠ＡＢＣ ＋∠ＤＢＣ ＝∠ＥＡＤ ＋∠ＡＤＣ ＋∠ＣＤＥ。 ∵∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ， ∴∠ＤＢＣ＝∠ＣＤＥ。 ∵∠ＤＢＣ＝∠ＣＡＤ，∠ＤＣＢ＝∠ＢＡＤ，∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＣＤＥ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝∠ＢＡＤ。 ∴ＢＤ＝ＣＤ，ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝１３。 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＣＥＣＤ＝ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝ １ ３， ∴ＣＤ＝３ＣＥ＝３×１＝３。∴ＢＤ＝３。 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤＡＢ＝ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝ １ ３， ∴ＡＢ＝３ＢＤ＝３×３＝９，即⊙Ｏ的直径为９。 ２１．解：（１）设ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ。 将（０，４０），（１０，４５），（３０，４９）代入， 得 ４０＝ｃ， ４５＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ， ４９＝９００ａ＋３０ｂ＋ｃ{ ，解得 ａ＝－１１００， ｂ＝３５， ｃ＝４０ { 。 所以ｙ＝－１１００ｘ ２＋３５ｘ＋４０。 （２）根据函数表达式得函数对称轴为ｘ＝－ｂ２ａ＝ － ３ ５ －１１００×２ ＝３０。 故太阳能板与水平地面的夹角为３０度时，日平均太 阳辐射量最大。 （３）ｙ＝－１１００ｘ ２＋３５ｘ＋４０＝－ １ １００（ｘ－３０） ２＋４９。 如图，延长ＮＦ与过点Ａ作ＡＨ⊥ＧＭ的线交于点Ｈ，延 长ＡＮ交ＧＭ与点Ｊ。 设ＦＤ＝ｐｍ，则ＡＨ＝ｐｍ，ＡＮ＝２ＡＨ＝２ｐｍ。 ∴ＨＮ＝ ＡＮ２－ＡＨ槡 ２ 槡＝３ｐｍ。 ∵ＨＮ＝ＦＨ＋ＦＮ＝（ｐ＋４）ｍ， 槡∴ ３ｐ＝４＋ｐ。 ∴ｐ 槡＝２３＋２，即ＡＮ＝（槡４３＋４）ｍ。 ∵∠ＡＪＧ＝∠ＡＧＪ，∴ＡＪ＝ＡＧ。 ∵ＡＪ＝ＡＮ＋ ＮＭｃｏｓ６０°＝（槡４３＋６）ｍ， ∴ＡＧ＝（槡４３＋６）ｍ。∴ＣＧ＝ＡＧ－ＡＣ＝（槡４３＋５）ｍ。 ∴ＣＤ＝ＣＧ·ｓｉｎ３０°＝ＣＧ２≈２．５＋２×１．７３２≈６．０（ｍ）。 ∴ＣＤ的长约为６．０ｍ。 ２２．解：（１）当喷洒半径为９ｍ时， 喷洒的圆面积ｋ＝π×９２＝８１π （ｍ２）。 正方形草坪的面积ｓ＝１８２＝３２４（ｍ２）。 故喷洒覆盖率ρ＝ｋｓ＝ ８１π ３２４＝ π ４≈０．７８５。 故答案为０．７８５。 （２）对于任意的 ｎ，喷洒面积 ｋｎ＝ｎ ２π ９( )ｎ ２ ＝８１π （ｍ２），而草坪面积始终为３２４ｍ２， 因此，无论ｎ取何值，喷洒覆盖率始终为π４≈０．７８５。 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒 覆盖率不起作用。 （３）如图，连接ＥＦ。 要使喷洒覆盖率ρ＝１，即要求 ｋｓ＝１，其中ｓ为草坪面 积，ｋ为喷洒面积。 ∴⊙Ｏ１，⊙Ｏ２，⊙Ｏ３，⊙Ｏ４都经过正方形的中心点Ｏ， 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＥＦ＝２ｒｍ，ＡＥ＝ｘｍ。 ∵ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ， ∴ＡＦ＝（１８－ｘ）ｍ。 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＡＥ２＋ＡＦ２＝ＥＦ２， 即４ｒ２＝ｘ２＋（１８－ｘ）２                                                                  。 —１２— ∴ｙ＝πｒ２＝πｘ ２＋（１８－ｘ）２ ４ ＝ π ２（ｘ－９） ２＋８１π２。 ∴当ｘ＝９时，ｙ取得最小值， 此时４ｒ２＝９２＋９２，解得ｒ＝ 槡９２２。 （４）由（３），得当⊙Ｏ１的面积最小时， 此时圆为边长为９ｍ的正方形的外接圆。 当ｒ 槡＝３２ｍ时，圆的内接正方形的边长为槡 ２ ２×２×３ 槡２＝６（ｍ）。 而草坪的边长为１８ｍ，１８６＝３，即将草坪分为９个正 方形，将半径为 槡３ ２ｍ的自动喷洒装置放置于９个 正方形的中心，此时所用装置个数最少。所以至少 安装９个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 ρ＝１。 ８济宁市二二四年初中学业水平考试 １．Ａ　【解析】－３的绝对值是３。故选Ａ。 ２．Ｄ　【解析】由图可知，有“建”字一面的相对面上的字 是“国”。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】 槡Ａ． ２与槡３不能合并，所以 Ａ选项错误；Ｂ。 槡 槡 槡２×５＝ １０，所以Ｂ选项正确； 槡 槡 槡Ｃ．２÷２＝ ４÷２＝２， 所以Ｃ选项错误；Ｄ。 （－５）槡 ２＝ －５ ＝５，所以Ｄ选 项错误。故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＣ⊥ＢＤ。 ∵Ｅ是ＡＢ的中点，∴ＯＥ＝１２ＡＢ。 ∵ＯＥ＝３，∴ＡＢ＝２ＯＥ＝２×３＝６。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】全班共５０名学生，班主任制作了５０份问卷 调查，因此班主任采用的是全面调查。故Ａ选项错误． 喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱 乐节目的同学最多。故 Ｂ选项错误．喜爱戏曲节目的 同学有５０×６％ ＝３（名），故 Ｃ选项错误．“体育”对应 扇形的圆心角度数为 ３６０°×２０％ ＝７２°，故 Ｄ选项正 确。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】如图，连接 ＯＡ，ＯＦ，过点 Ｏ作 ＯＧ⊥ＡＦ于 点Ｇ。 ∵⊙Ｏ为正六边形ＡＢＣＤＥＦ的外接圆， ∴ＯＦ＝ＯＡ，∠ＡＯＦ＝３６０°×１６＝６０°。 ∴△ＡＯＦ是等边三角形。 ∴ＯＦ＝ＯＡ＝ＡＦ＝２。 ∵ＯＧ⊥ＡＦ， ∴ＦＧ＝１２ＡＦ＝１。 ∴ＯＧ＝ ２２－１槡 ２ 槡＝３， 即它的内切圆半径为槡３。故选Ｄ。 ７．Ｃ　【解析】∵ｋ＜０， ∴反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ＜０）的图象分布在第二、四象 限，且在每一象限内ｙ随ｘ的增大而增大。 ∵－２＜－１＜０＜３， ∴ｙ３＜０＜ｙ１＜ｙ２。 ∴ｙ３＜ｙ１＜ｙ２。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】方程两边同乘２－６ｘ， 得２－６ｘ－（２－６ｘ）× １３ｘ－１＝－ ５ ２－６ｘ×（２－６ｘ）。 整理，得２－６ｘ＋２＝－５。故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∠Ａ＋∠ＢＣＤ＝１８０°。 ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｅ＋∠ＥＣＢ，∠ＡＤＣ＝∠Ｆ＋∠ＤＣＦ， ∴∠Ｅ＋∠ＥＣＢ＋∠Ｆ＋∠ＤＣＦ＝１８０°。 ∵∠ＥＣＢ＝∠ＤＣＦ，∠Ｅ＝５４°４１′，∠Ｆ＝４３°１９′， ∴５４°４１′＋４３°１９′＋２∠ＥＣＢ＝１８０°。 ∴∠ＥＣＢ＝４１°。 ∵∠ＥＣＢ＋∠ＢＣＤ＝１８０°， ∴∠Ａ＝∠ＥＣＢ＝４１°。故选Ｃ。 １０．Ｂ　【解析】第１幅图有１个正方形， 第２幅图有５＝１２＋２２个正方形， 第３幅图有１４＝１２＋２２＋３２个正方形， …… 第６幅图有１２＋２２＋３２＋４２＋５２＋６２＝１＋４＋９＋１６＋ ２５＋３６＝９１（个）正方形。 故选Ｂ。 １１．２．５×１０５　【解析】２５００００＝２．５×１０５。 １２．２　【解析】∵ａ２－２ｂ＋１＝０， ∴ａ２＋１＝２ｂ。 ∴ ４ｂ ａ２＋１ ＝４ｂ２ｂ＝２。 １３．ＡＤ∥ＢＣ（答案不唯一） 【解析】添加条件：ＡＤ∥ＢＣ。 证明：∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＤＡＯ＝∠ＢＣＯ。 在△ＡＯＤ和△ＣＯＢ中， ∠ＤＡＯ＝∠ＢＣＯ， ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＢ{ ， ∴△ＤＡＯ≌△ＢＣＯ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＤ＝ＢＣ。 ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。 １４．ｋ≥３　【解析】将抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋１２向下平移ｋ个 单位长度，得ｙ＝ｘ２－６ｘ＋１２－ｋ。 ∵ｙ＝ｘ２－６ｘ＋１２－ｋ与ｘ轴有公共点， ∴Δ≥０，即（－６）２－４（１２－ｋ）≥０。 解得ｋ≥３。 １５．①②⑤　【解析】∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°， ∴△ＡＢＣ为等腰直角三角形，∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝４５°。 又∵ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝１２∠ＢＡＣ＝ １ ２×９０°＝４５°。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝４５°。 ∴ＢＤ＝ＡＤ＝ＣＤ。故①正确。 根据题意作图，可得∠ＭＡＣ＝∠ＡＢＤ＝４５°， ＢＭ＝ＢＣ。 如图，过点Ｍ作ＭＫ⊥ＢＣ于点Ｋ， 则∠ＭＫＢ＝９０°。 ∵ ＡＤ 是 △ＡＢＣ的 角 平 分线， 由三线合一， 可得ＡＤ⊥ＢＣ， 即∠ＡＤＣ＝９０°。∴ＡＤ＝ １ ２ＢＣ。 ∵∠ＤＡＭ＝∠ＤＡＣ＋∠ＭＡＣ＝４５°＋４５°＝９０°， ∴∠ＤＡＭ＝∠ＭＫＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°。 ∴四边形ＡＤＫＭ为矩形。 ∴ＭＫ＝ＡＤ＝１２ＢＣ＝ １ ２ＢＭ。 ∴∠ＭＢＫ＝３０°。 ∴∠ＡＢＭ＝∠ＡＢＤ－∠ＭＢＫ＝４５°－３０°＝１５°。 故②正确。 ∵∠ＡＰＮ＝∠ＡＢＭ＋∠ＢＡＤ＝１５°＋４５°＝６０°，∠                                                                  ＡＮＰ —２２— 　－２６　－ 一、单项选择题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题 的四个选项中只有一项正确） １．下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的 是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　Ａ． Ｂ． Ｃ． 　Ｄ． ２．２０２４年３月份，低空经济首次被写入《政府工作报告》。 截至２０２３年底，全国注册通航企业６９０家、无人机１２６．７ 万架，运营无人机的企业达１．９万家。将１２６．７万用科 学记数法表示为 （　　） Ａ．１．２６７×１０５ Ｂ．１．２６７×１０６ Ｃ．１．２６７×１０７ Ｄ．１２６．７×１０４ ３．某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图１ 所示。该浮漂的俯视图是图２，那么它的主视图是（　　） 图１ 　　　　　　 图２ Ａ． 　Ｂ． 　Ｃ． 　Ｄ． ４．中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研 究获２０１５年诺贝尔生理学或医学奖。某科研小组用石 油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件 不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的 影响，其结果如图所示。由图可知，最佳的提取时间和提 取温度分别为 （　　） 提取时间对青蒿素提取率的影响 提取温度对青蒿素提取率的影响 Ａ．１００ｍｉｎ，５０℃ Ｂ．１２０ｍｉｎ，５０℃ Ｃ．１００ｍｉｎ，５５℃ Ｄ．１２０ｍｉｎ，５５℃ ５．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架 ＡＢ与吊线ＦＧ平行，灯杆 ＣＤ与底部支架 ＡＢ所成锐角 α＝１５°。顶部支架 ＥＦ与灯 杆ＣＤ所成锐角β＝４５°，则ＥＦ与ＦＧ所成 锐角的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．５５° Ｃ．５０° Ｄ．４５° ６．已知关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－ｍｘ－ｎ２ ＋ｍｎ＋１＝０，其中ｍ，ｎ满足ｍ－２ｎ＝３，关于该方程根 的情况，下列判断正确的是 （　　） Ａ．无实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．有两个不相等的实数根 Ｄ．无法确定 二、多项选择题（共４小题，每小题５分，共２０分。每小 题的四个选项中，有多项正确，全部选对得５分，部分选 对得３分，有错选的得０分） ７．下列命题是真命题的有 （　　） Ａ．若ａ＝ｂ，则ａｃ＝ｂｃ Ｂ．若ａ＞ｂ，则ａｃ＞ｂｃ Ｃ．两个有理数的积仍为有理数 Ｄ．两个无理数的积仍为无理数 ８．如图，圆柱的底面半径为槡３，高为１，下列关于该圆柱的 结论正确的有 （　　） Ａ．体积为π Ｂ．母线长为１ Ｃ．侧面积为 槡２３π Ｄ．侧面展开图的周长为 槡２＋８３π ９．如图，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴是直线 ｘ＝ １，且抛物线与 ｘ轴的一个交点坐标为（４，０）。下列结 论正确的有 （　　） Ａ．ａ－ｂ＋ｃ＞０ Ｂ．该抛物线与ｘ轴的另一个交点坐标为（－３，０） Ｃ．若点（－１，ｙ１）和（２，ｙ２）在该抛物线上，则ｙ１＜ｙ２ Ｄ．对任意实数ｎ，不等式ａｎ２＋ｂｎ≤ａ＋ｂ总成立 第９题图 　　　 第１０题图 １０．如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＯＡ∥ＢＣ，连接 ＣＯ并延 长交⊙Ｏ于点Ｄ。分别以点Ａ，Ｃ为圆心，以大于１２ＡＣ 的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点Ｍ。直线ＯＭ 交ＢＣ于点Ｅ，连接ＡＥ，下列结论一定正确的是（　　） Ａ ) ．ＡＢ＝ ) ＡＤ Ｂ．ＡＢ＝ＯＥ Ｃ．∠ＡＯＤ＝∠ＢＡＣ Ｄ．四边形ＡＯＣＥ是菱形 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．请写出同时满足以下两个条件的一个函数： 　。 ①ｙ随着ｘ的增大而减小；②函数图象与ｙ轴正半轴相交。 １２．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 ＡＢＣ的顶点 Ａ 的坐标为（０，４），点Ｂ，Ｃ均在ｘ轴上。将△ＡＢＣ绕顶点Ａ 逆时针旋转３０°得到△ＡＢ′Ｃ′，则点Ｃ′的坐标为　　　　。 第１２题图 　　　 第１４题图 １３．小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔， 这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致。完成手抄报 后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔 帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是　　　　。 １４．将连续的正整数排成如图所示的数表。记ａ（ｉ，ｊ）为数表中 第ｉ行第ｊ列位置的数字，如ａ（１，２）＝４，ａ（３，２）＝８，ａ（５，４）＝ ２２。若ａ（ｍ，ｎ）＝２０２４，则ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　。 四、解答题（共８小题，共９０分。请写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） １５．（１０分）（１）计算：３槡－８＋( )１２ －２ － －３； （２）先化简，再求值：ａ＋１－ ３ａ( )－１÷ａ＋２ａ－１，其中ａ 槡＝３＋２。 １６．（１０分）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＞２ＡＤ，点 Ｅ，Ｆ分别 在边ＡＢ，ＣＤ上。将△ＡＤＦ沿ＡＦ折叠，点Ｄ的对应点Ｇ 恰好落在对角线ＡＣ上；将△ＣＢＥ沿ＣＥ折叠，点Ｂ的对 应点Ｈ恰好也落在对角线ＡＣ上。连接ＥＧ，ＦＨ。 求证：（１）△ＡＥＨ≌△ＣＦＧ； （２）四边形ＥＧＦＨ是平行四边形。 １７．（１０分）如图，正比例函数ｙ＝－槡３３ｘ的图象与反比例函 数ｙ＝ｋｘ的图象的一个交点为 Ａ（ｍ，槡３）。点 Ｐ（ 槡２ ３， ｎ）在直线ｙ＝－槡３３ｘ上，过点Ｐ作ｙ轴的平行线，交ｙ＝ ｋ ｘ的图象于点Ｑ。 （１）求这个反比例函数的表达式； （２）求△ＯＰＱ的面积。 １８．（１１分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后， 可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务” 等方面给予商家分值评价（分值为１分，２分，３分，４分 和５分）。该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销 售同款Ｔ恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服 务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部 分“商家服务”的评价分值进行统计分析。 【数据描述】 下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问 题（１）（２）。 “商家服务”评价分值的条形统计图 “商家服务”评价分值的扇形统计图 甲商家 乙商家 －２５－ ７ 潍坊市二二四年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１５０分） 　－２８　－ （１）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分 值？请补全条形统计图； （２）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中 圆心角α的度数； 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（３）（４）。 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 ａ ３ ３．５ １．０５ 乙商家 ４ ｂ ｘ １．２４ （３）直接写出表中ａ和ｂ的值，并求ｘ的值； （４）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的 一家购买此款 Ｔ恤衫。你认为小亮应该选择哪一家？ 说明你的观点。 １９．（１０分）２０２４年６月，某商场为了减少夏季降温和冬季 供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热 层，其建造成本Ｐ（万元）与隔热层厚度ｘ（ｃｍ）满足函数 表达式：Ｐ＝１０ｘ。预计该商场每年的能源消耗费用 Ｔ （万元）与隔热层厚度ｘ（ｃｍ）满足函数表达式：Ｔ＝２１－ （ｘ＋２）（ｘ＋４） ８ ，其中０≤ｘ≤９。设该商场的隔热层建造 费用与未来８年能源消耗费用之和为ｙ（万元）。 （１）若ｙ＝１４８万元，求该商场建造的隔热层厚度； （２）已知该商场未来８年的相关规划费用为 ｔ（万元）， 且ｔ＝ｙ＋ｘ２，当１７２≤ｔ≤１９２时，求隔热层厚度ｘ（ｃｍ）的 取值范围。 ２０．（１２分）如图，已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ是⊙Ｏ的直 径，∠ＢＡＣ的平分线交⊙Ｏ于点 Ｄ，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ ＡＣ，交ＡＣ的延长线于点Ｅ，连接ＢＤ，ＣＤ。 （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＣＥ＝１，ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝１３，求⊙Ｏ的直径。 ２１．（１４分）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图１） 与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影 响。某地区工作人员对日平均太阳辐射量 ｙ（单位： ｋＷ·ｈ·１０－１·ｍ－２·ｄ－１）和太阳能板与水平地面的 夹角ｘ°（０≤ｘ≤９０）进行统计，绘制了如图２所示的散 点图，已知该散点图可用二次函数刻画。 图１ 图２ 图３ （１）求ｙ关于ｘ的函数表达式； （２）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时， 日平均太阳辐射量最大？ （３）图３是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太 阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最 大），∠ＡＧＤ为太阳能板ＡＢ与水平地面 ＤＧ的夹角，ＣＤ 为支撑杆。已知 ＡＢ＝２ｍ，Ｃ是 ＡＢ的中点，ＣＤ⊥ＤＧ。 在ＧＤ的延长线上选取一点 Ｍ，在 Ｄ，Ｍ两点间选取一 点Ｅ，测得ＥＭ＝４ｍ，在Ｍ，Ｅ两点处分别用测角仪测得 太阳能板顶 Ａ的仰角为３０°，４５°，该测角仪支架的高为 １ｍ。求支撑杆ＣＤ的长。（精确到０．１ｍ，参考数据：槡２ ≈１．４１４，槡３≈１．７３２） ２２．（１３分）【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定 时喷水养护，某公司准备在一块边长为１８ｍ的正方形 草坪（如图１）中安装自动喷洒装置，既为了节约安装成 本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装 方案。 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为ｒｍ的圆 面。喷洒覆盖率ρ＝ｋｓ，ｓ为待喷洒区域面积，ｋ为待喷 洒区域中的实际喷洒面积。 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学 问题。 【探索发现】 （１）如图２，在该草坪中心位置设计安装１个喷洒半径为９ ｍ的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝　　　　； 图１ 　 图２ 　 图３ 图４ 　 图５ 　 图６ （２）如图３，在该草坪内设计安装４个喷洒半径均为９２ ｍ的自动喷洒装置；如图４，设计安装９个喷洒半径均 为３ｍ的自动喷洒装置……以此类推，如图５，设计安 装ｎ２个喷洒半径均为９ｎｍ的自动喷洒装置。与（１）中 的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的 方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由； （３）如图６所示，该公司设计了用４个相同的自动喷洒 装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率 ρ＝１。 已知正方形ＡＢＣＤ各边上依次取点 Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｅ，使得 ＡＥ ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ，设ＡＥ＝ｘｍ，⊙Ｏ１的面积为ｙｍ ２，求ｙ 关于ｘ的函数表达式，并求当ｙ取得最小值时ｒ的值； 【问题解决】 （４）该公司现有喷洒半径为 槡３ ２ｍ的自动喷洒装置若 干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒 覆盖率ρ＝１？（直接写出结果即可） －２７－