6.山东省烟台市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

∴ｍ＞１或ｍ＜－１２。 ２５．解：（１）∵ＡＣ＝ＢＣ， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝１８０°－∠ＡＣＢ２ ＝ １８０°－１２０° ２ ＝３０°。 ∴∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝３０°＋１５°＝４５°。 ∵线段ＤＣ顺时针旋转１２０°得到线段ＤＥ， ∴∠ＣＤＥ＝１２０°。 ∴∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＥ－∠ＢＤＣ＝１２０°－４５°＝７５°。 （２）如图１，连接ＣＥ。 ∵线段ＤＣ顺时针旋转１２０°得到线段ＤＥ， ∴∠ＣＤＥ＝１２０°，ＣＤ＝ＤＥ。 ∴∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝３０°。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝１２０°， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ａ＝３０°。 ∴∠ＤＥＣ＝∠ＡＢＣ。 ∴点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ共圆。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ＝３０°。 ∴∠ＡＢＥ的大小不变，为３０°。 图１ 　　　 图２ （３）如图２，连接ＣＥ。 由（２）知，∠ＤＣＥ＝３０°。 ∵线段ＣＭ逆时针旋转１２０°得到线段ＣＮ， ∴∠ＤＣＮ＝１２０°，ＣＮ＝ＣＭ。 ∴∠ＥＣＮ＝∠ＤＣＮ－∠ＤＣＥ＝１２０°－３０°＝９０°。 设ＣＮ＝ＣＭ＝３ａ，ＤＭ＝２ａ，ＤＥ＝ＣＤ＝５ａ， 则ＣＥ 槡＝３ＣＤ 槡＝５３ａ。 ∴ＥＮ＝ ＣＥ２＋ＣＮ槡 ２＝ （槡５３ａ） ２＋（３ａ）槡 ２ 槡＝２ ２１ａ。 ∵点Ｄ在ＡＢ上， ∴ １２ＡＣ≤ＣＤ＜ＡＣ。 ∴２≤５ａ＜４。 ∴ ２５≤ａ＜ ４ ５。 ∴ 槡４ ２１５ ≤ＥＮ＜ 槡８ ２１ ５ 。 ６烟台市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】２３是分数，３．１４是有限小数， ３ 槡６４＝４是整 数，它们不是无理数；槡１５是无限不循环小数，它是无 理数。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ．ａ２·ａ３＝ａ２＋３＝ａ５，故选项不符合题意； Ｂ．ａ１２÷ａ２＝ａ１２－２＝ａ１０，故选项不符合题意；Ｃ．ａ３＋ａ３ ＝２ａ３，故选项不符合题意；Ｄ．（ａ２）３＝ａ２×３＝ａ６，故选项 符合题意。故选Ｄ。 ３．Ａ　【解析】若取走标有①的小正方体，则左视图是由 四个小正方形组成的大正方形，既是轴对称图形又是 中心对称图形，故选项Ａ符合题意。故选Ａ。 ４．Ｂ　【解析】由题图，知 －３＜ａ＜－２＜ｂ＜－１＜３＜ｃ＜ ４，｜ｃ｜＞｜ａ｜＞｜ｂ｜，故Ｃ不符合题意；∴ｂ＋ｃ＜３，故Ａ不 符合题意；ａ－ｃ＜０，故 Ｂ符合题意；－２ａ＞－２ｂ，故 Ｄ 不符合题意。故选Ｂ。 ５．Ｂ　【解析】由题意可得 １毫米 ＝１百万纳米 ＝１０６纳 米，则０．０１５毫米＝１．５×１０－２×１０６纳米 ＝１．５×１０４纳 米。故选Ｂ。 ６．Ｂ　【解析】根据题图数据，可知甲的平均数为 ５＋１０＋９＋５＋８＋７＋６＋６ ８ ＝７， ∴ｓ２甲 ＝ １ ８×［２×（５－７） ２＋（１０－７）２＋（９－７）２＋（８ －７）２＋（７－７）２＋２×（６－７）２］＝３。 乙的平均数为 ６＋４＋８＋４＋４＋６＋６＋１０ ８ ＝６， ∴ｓ２乙 ＝ １ ８×［３×（６－６） ２＋３×（４－６）２＋（８－６）２＋ （１０－６）２］＝４。 ∴ｓ２甲 ＜ｓ ２ 乙。故选Ｂ。 ７．Ｄ　【解析】第 １张图中，由作图痕迹，知射线 ＯＰ为 ∠ＡＯＢ的平分线； 第２张图中，由作图痕迹，知ＯＣ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＢ， 又∵∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ， ∴△ＡＤＯ≌△ＢＣＯ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＤＡＯ＝∠ＣＢＯ。 ∵ＯＣ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＢ，∴ＡＣ＝ＢＤ。 ∴△ＡＣＰ≌△ＢＤＰ（ＡＡＳ）。 ∴ＡＰ＝ＢＰ。∴△ＡＰＯ≌△ＢＰＯ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ。 ∴射线ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线； 第３张图中，由作图痕迹，知∠ＡＣＰ＝∠ＡＯＢ， ∴ＣＰ∥ＯＢ。 ∴∠ＣＰＯ＝∠ＰＯＢ。又由图，知ＣＰ＝ＯＰ， ∴∠ＣＯＰ＝∠ＣＰＯ。∴∠ＰＯＢ＝∠ＣＯＰ。 ∴射线ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线； 第４张图中，由作图痕迹，知 ＣＯ＝ＯＤ，射线 ＯＰ是 ＣＤ 的垂直平分线。 ∴ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线。故选Ｄ。 ８．Ｂ　【解析】如图，设 ＡＣ与 ＢＤ的 交点为Ｏ。 ∵在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为 对角线ＢＤ，ＡＣ的三等分点， ∴ＯＤ＝ＯＣ，∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝ ４５°，ＤＥ＝ＣＦ。∴ＯＥ＝ＯＦ。 ∵∠ＥＯＦ＝∠ＤＯＣ，ＯＥＯＤ＝ ＯＦ ＯＣ， ∴△ＥＯＦ∽△ＤＯＣ。∴∠ＯＦＥ＝∠ＯＣＤ＝４５°。 ∵Ｅ，Ｆ分别为对角线ＢＤ，ＡＣ的三等分点，∴ＤＥＢＥ＝ １ ２。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ。∴△ＡＢＥ∽△ＧＤＥ。 ∴ＤＧＢＡ＝ ＤＥ ＢＥ＝ １ ２。∴ＤＧ＝ １ ２ＡＢ＝ １ ２ＣＤ＝ＣＧ。 ∴△ＤＥＧ≌△ＣＦＧ（ＳＡＳ）。∴ＧＥ＝ＧＦ。 ∴∠ＧＥＦ＝１２（１８０°－∠ＡＧＦ）＝９０°－ １ ２α。 ∴∠ＦＡＧ＝∠ＧＥＦ－∠ＡＦＥ＝９０°－１２α－４５°＝４５°－ １ ２α＝ ９０°－α ２ 。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】设每天减少ｘ尺布。 ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，３０天完 工，∴５－２９ｘ＝１，解得ｘ＝４２９。 ∴５＋５－４２９＋５－ ８ ２９＋…… ＋１＝５×２９＋１－ ４ ２９× （１＋２８）×２８ ２ ＝９０（尺）。故选Ｃ。 １０．Ｄ　【解析】如图１，连接ＥＧ，ＨＦ交于点Ｏ                                                                 。 —５１— 图１ ∵四边形ＥＦＧＨ是菱形，∠ＨＥＦ＝６０°， ∴ＨＧ＝ＧＦ，∠ＨＧＦ＝∠ＨＥＦ＝６０°。 ∴△ＨＦＧ是等边三角形。 ∵ＥＦ 槡＝２３ｃｍ，∠ＨＥＦ＝６０°，∴∠ＯＥＦ＝３０°。 ∴ＥＧ＝２ＥＯ＝２ＥＦ· 槡ｃｏｓ３０°＝３ＥＦ＝６ｃｍ。 ∴Ｓ菱形ＥＦＧＨ＝ １ ２ＥＧ·ＦＨ＝ １ ２ 槡 槡×６×２３＝６３（ｃｍ ２）。 如图２，当０≤ｔ≤３时，重合部分为△ＭＮＧ， 依题意，△ＭＮＧ为等边三角形，运动时间为ｔ，则ＮＧ＝ ｔ ｃｏｓ３０°＝ 槡２３ ３ｔ（ｃｍ），∴Ｓ＝ １ ２ＮＧ·ＮＧ·ｓｉｎ６０°＝ 槡３ ４× （槡 ２３ ３ｔ） ２＝槡３３ｔ ２（ｃｍ２）； 图２ 　 图３ 如图３，当３＜ｔ≤６时，△ＥＫＪ为等边三角形。 依题意，得ＥＭ＝ＥＧ－ｔ＝（６－ｔ）ｃｍ， 则ＥＫ＝ ＥＭｓｉｎ６０°＝ ６－ｔ 槡３ ２ ＝ 槡２３３（６－ｔ）ｃｍ， ∴Ｓ△ＥＫＪ＝ １ ２ＥＫ·ＥＭ ＝１２× 槡２３ ３（６－ｔ） ２＝槡３３（６－ｔ） ２ｃｍ２。 ∴Ｓ＝Ｓ菱形ＥＦＧＨ－Ｓ△ＥＫＪ 槡＝６３－槡 ３ ３（６－ｔ） ２＝ （－槡３３ｔ ２ 槡＋４３ｔ 槡－６３）ｃｍ ２。 ∵ＥＧ＝６ｃｍ＜ＢＣ，∴当６＜ｔ≤８时，Ｓ 槡＝６３ｃｍ ２； 如图４，当８＜ｔ≤１１时， 同理可得Ｓ 槡＝６３－槡 ３ ３（ｔ－８） ２ｃｍ２； 图４ 　 图５ 如图５，当１１＜ｔ≤１４时， 同理可得Ｓ＝槡３３［６－（ｔ－８）］ ２＝槡３３（１４－ｔ） ２ｃｍ２。 综上所述， 当０≤ｔ≤３时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 当３＜ｔ≤６时，函数图象为开口向下的一段抛物线； 当６＜ｔ≤８时，函数图象为一条线段； 当８＜ｔ≤１１时，函数图象为开口向下的一段抛物线； 当１１＜ｔ≤１４时，函数图象为开口向上的一段抛物线。 故选Ｄ。 １１．ｘ＞１　【解析】∵代数式 ３ ｘ槡 －１ 在实数范围内有意义， ∴ｘ－１＞０，解得ｘ＞１。 １２．０（答案不唯一）　【解析】整理原不等式， 得 ｘ ２≤１－ｍ，解得ｘ≤２－２ｍ。 ∵原不等式有正数解， ∴２－２ｍ＞０，解得ｍ＜１。则ｍ的值可以是０。 １３．６　【解析】∵一元二次方程２ｘ２－４ｘ－１＝０的两根为 ｍ，ｎ，∴２ｍ２－４ｍ＝１，ｍ＋ｎ＝－－４２ ＝２，ｍｎ＝－ １ ２。 ∴３ｍ２－４ｍ＋ｎ２＝２ｍ２－４ｍ＋ｍ２＋ｎ２＝１＋（ｍ＋ｎ）２－ ２ｍｎ＝１＋２２－２×（－１２）＝６。 １４．槡３　【解析】如图，过点 Ａ作 ＡＭ⊥ ＢＦ，垂足为Ｍ，则ＢＭ＝ＦＭ。 ∵六边形ＡＢＣＤＥＦ是正六边形， ∴∠ＢＡＦ＝∠Ｅ＝（６－２）×１８０°６ ＝ １２０°，ＡＢ＝ＡＦ＝ＥＦ＝ＤＥ＝６。 ∴∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ＝∠ＤＦＥ＝１８０°－１２０°２ ＝３０°。 ∴∠ＢＦＤ＝１２０°－３０°－３０°＝６０°。 在Ｒｔ△ＡＢＭ中，ＡＢ＝６，∠ＡＢＭ＝３０°， ∴ＢＭ＝ＡＢ·ｃｏｓ３０°＝槡３２ 槡×６＝３３。∴ＢＦ＝２ＢＭ 槡＝６３。 设这个圆锥的底面半径为ｒ， 由题意，得２πｒ＝６０π 槡×６３１８０ ，解得ｒ槡＝３。 １５． 槡２０ ３－１６　【解析】∵在ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝１２０°， ＡＢ＝８，∴∠ＡＢＣ＝６０°，ＣＤ＝８。 ∵Ｅ为边 ＣＤ的中点，Ｆ为边 ＡＤ上的一动点，将 △ＤＥＦ沿ＥＦ翻折得△Ｄ′ＥＦ， ∴Ｄ′Ｅ＝ＤＥ＝ＣＥ＝１２ＣＤ＝４。 如图，点Ｄ′是以点Ｅ为圆心，ＣＤ为直径的圆周上的一 点。过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＢ交直线ＢＡ于点Ｈ，交⊙Ｅ于点 Ｇ，过点Ｄ′作Ｄ′Ｍ⊥ＡＢ于点Ｍ，连接ＥＭ， 过点Ｃ作ＣＮ⊥ＡＢ于点Ｎ，则ＥＨ＝ＣＮ。 ∵△ＡＢＤ′的面积＝１２ＡＢ·Ｄ′Ｍ，ＡＢ＝８， ∴△ＡＢＤ′的面积＝４Ｄ′Ｍ。 要求△ＡＢＤ′面积的最小值，只要求Ｄ′Ｍ的最小值即可， ∵Ｄ′Ｍ＝Ｄ′Ｍ＋Ｄ′Ｅ－４≥ＥＭ－４≥ＥＨ－４， ∴Ｄ′Ｍ的最小值为ＥＨ－４。 在Ｒｔ△ＢＣＮ中， ∵ＢＣ＝１０，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴ＣＮ＝ＢＣ·ｓｉｎ６０°＝１０×槡３２ 槡＝５３。 ∴ＥＨ 槡＝５３。∴Ｄ′Ｍ的最小值为 槡５３－４。 ∴△ＡＢＤ′面积的最小值＝４×（槡５３－４） 槡＝２０３－１６。 １６．①②④　【解析】把（－４，０），（－１，９），（１，５）代入ｙ＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ                                                                 ， —６１— 得 １６ａ－４ｂ＋ｃ＝０， ａ－ｂ＋ｃ＝９， ａ＋ｂ＋ｃ＝５{ ， 解得 ａ＝－１， ｂ＝－２， ｃ＝８{ 。 ∴ａｂｃ＞０。故①正确； ∵ａ＝－１，ｂ＝－２，ｃ＝８，∴ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋８。 当ｙ＝９时，－ｘ２－２ｘ＋８＝９，∴ｘ２＋２ｘ＋１＝０。 ∵Δ＝２２－４×１×１＝０， ∴关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝９有两个相等 的实数根。故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－３＋１２ ＝－１， ∴抛物线的顶点坐标为（－１，９）。 又∵ａ＜０， ∴当ｘ＜－１时，ｙ随ｘ的增大而增大；当 ｘ＞－１时，ｙ 随ｘ的增大而减小；当ｘ＝－１时，函数取最大值９。 ∵ｘ＝－３与ｘ＝１时的函数值相等，等于５， ∴当－４＜ｘ＜１时，ｙ的取值范围为０＜ｙ≤９。故③错误； ∵ｍ＋（－ｍ－２）２ ＝－１， ∴点（ｍ，ｙ１），（－ｍ－２，ｙ２）关于对称轴 ｘ＝－１对称。 ∴ｙ１＝ｙ２。故④正确； 由ａｘ２＋（ｂ＋１）ｘ＋ｃ＜２，得ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜－ｘ＋２，即－ｘ２ －２ｘ＋８＜－ｘ＋２，画函数ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋８和ｙ＝－ｘ＋２ 的图象如图。 由 ｙ＝－ｘ＋２， ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋８{ ， 解得 ｘ１＝２， ｙ１＝０{ ， ｘ２＝－３， ｙ２＝５{ 。 ∴Ａ（２，０）， Ｂ（－３，５）。 由图象得当 ｘ＜－３ 或ｘ＞２时，－ｘ２－ ２ｘ＋８＜－ｘ＋２，即 ａｘ２＋（ｂ＋１）ｘ＋ｃ＜ ２，故⑤错误。 综上，正确的结论 为①②④。 １７．解：（ ｍｍ－３＋ ７ｍ－４ ９－ｍ２ ）÷４－２ｍｍ＋３ ＝（ｍ ２＋３ｍ ｍ２－９ －７ｍ－４ ｍ２－９ ）· ｍ＋３ ４－２ｍ ＝ （ｍ－２） ２ （ｍ＋３）（ｍ－３）· ｍ＋３ －２（ｍ－２） ＝ｍ－２６－２ｍ。 根据计算器，得ｍ 槡 槡＝± ９－５＝±４＝±２， ∵４－２ｍ≠０，∴ｍ≠２。 当ｍ＝－２时，原式＝－２－２６＋４ ＝－ ２ ５。 １８．解：（１）抽取的人数为１０÷２０％＝５０， Ｃ组的人数为５０－１０－１６－４＝２０， 补全统计图如下： （２）ａ％＝１６５０×１００％＝３２％，即ａ＝３２。 Ｄ组对应的扇形圆心角的度数为３６０°×４５０＝２８．８°。 故答案为３２，２８．８°。 （３）画树状图如下： 共有１２种等可能的结果，其中所选的两人恰好是一 名男生和一名女生的结果有８种， 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率 ＝８１２＝ ２ ３。 １９．解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装 该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α ＝１４°。故答案为冬至，１４°。 任务二：如图，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＡＢ于点 Ｆ，则∠ＡＦＥ＝ ９０°，ＥＦ＝５４米，ＢＦ＝ＤＥ。 在Ｒｔ△ＡＦＥ中，ｔａｎα＝ＡＦＥＦ， ∴ＡＦ＝ＥＦ·ｔａｎ１４°≈５４×０．２５＝１３．５（米）。 ∵ＡＢ＝１１×３．３＝３６．３（米）， ∴ＤＥ＝ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ＝３６．３－１３．５＝２２．８（米）。 ∴２２．８÷３．３≈７（层）。 答：乙楼中７层（含７层）以下不能安装该品牌太阳能 热水器。 ２０．解：（１）ｙ＝（２００－ｘ）（６０＋４×ｘ１０） ＝－０．４ｘ２＋２０ｘ＋１２０００ ＝－０．４（ｘ２－５０ｘ＋６２５）＋１２２５０ ＝－０．４（ｘ－２５）２＋１２２５０。 ∵２００－ｘ≥１８０，∴ｘ≤２０。∴当 ｘ＝２０时，利润最大，最 大利润为－０．４（２０－２５）２＋１２２５０＝１２２４０（元）。 答：ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－０．４ｘ２＋２０ｘ＋１２０００； 每辆轮椅降价２０元时，每天的销售利润最大，最大利 润为１２２４０元。 （２）根据题意，得１２１６０＝－０．４（ｘ－２５）２＋１２２５０。 解得ｘ１＝４０（不合题意，舍去），ｘ２＝１０。 ∴售出轮椅的辆数为６０＋４×１０１０＝６４。 答：售出６４辆轮椅。 ２１．解：（１）∵点Ａ（槡６，ａ）在直线ｙ＝ｘ的图象上， ∴Ａ（槡６，槡６）。 ∵点Ａ（槡６，槡６）在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ的图象上， ∴ｋ＝６。∴反比例函数的表达式为ｙ＝６ｘ。 （２）正比例函数向下平移 ｎ个单位长度后得到直线 ＢＣ的表达式为ｙ＝ｘ－ｎ。 如图，过点Ｂ作ＢＭ⊥ｙ轴于点Ｍ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ｙ                                                                  轴 —７１— 于点Ｈ， ∴ＢＭ∥ＣＨ。 ∴△ＭＢＥ∽△ＨＣＥ。 ∵ＢＥ∶ＣＥ＝３∶２， ∴ＢＭＣＨ＝ ３ ２。 设点Ｂ（３ａ，６３ａ）， 则Ｃ（－２ａ，６－２ａ）。 ∵点Ｂ，Ｃ在直线ｙ＝ｘ－ｎ上， ３ａ－ｎ＝６３ａ， －２ａ－ｎ＝－６２ａ { ，解得 ａ＝１，ｎ＝１{ 。 ∴直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｘ－１。 ∵直线ＢＣ与ＢＧ关于直线ＢＦ成轴对称， ∴Ｅ（０，－１），Ｄ（１，０），Ｂ（３，２），Ｇ（５，０），Ｃ（－２，－３）。 ∴ＧＤ＝４。 ∴Ｓ△ＢＣＧ＝Ｓ△ＢＤＧ＋Ｓ△ＣＤＧ＝ １ ２×４×２＋ １ ２×４×３＝１０。 ２２．解：（１）如图１，过点 Ｅ作 ＥＭ⊥ＣＢ交 ＣＢ的延长线于 点Ｍ。 由旋转，得ＡＤ＝ＤＥ，∠ＡＤＥ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＥＤＭ＝９０°。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＤＭＥ，∠ＡＤＣ＋∠ＣＡＤ＝９０°。 ∴∠ＣＡＤ＝∠ＭＤＥ。∴△ＡＣＤ≌△ＤＭＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＭＥ，ＡＣ＝ＤＭ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ＢＭ＝ＤＭ－ＢＤ＝ＡＣ－ＢＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝ＣＤ。 ∴ＢＭ＝ＥＭ。 ∵ＥＭ⊥ＣＢ，∴ＢＥ 槡＝２ＥＭ 槡＝２ＣＤ。 故答案为ＢＥ 槡＝２ＣＤ。 图１ 　 图２ （２）补全图形如图２，ＢＥ 槡＝２ＣＤ。理由如下： 过点Ｅ作ＥＭ⊥ＣＢ交ＣＢ的延长线于点Ｍ， 由旋转，得ＡＤ＝ＤＥ，∠ＡＤＥ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＥＤＭ＝９０°。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＤＭＥ，∠ＡＤＣ＋∠ＣＡＤ＝９０°。 ∴∠ＣＡＤ＝∠ＭＤＥ。∴△ＡＣＤ≌△ＤＭＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＭＥ，ＡＣ＝ＤＭ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ＢＭ＝ＢＣ－ＣＭ＝ＤＭ－ＣＭ＝ＣＤ。 ∴ＢＭ＝ＥＭ。 ∵ＥＭ⊥ＣＢ，∴ＢＥ 槡＝２ＥＭ 槡＝２ＣＤ。 （３）如图３，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＣＢ交ＣＢ的延长线于点Ｍ。 图３ 由（２），得ＤＭ＝ＡＣ＝１，ＥＭ＝ＣＤ＝２， ∴ＣＭ＝ＣＤ＋ＤＭ＝３。 ∴ＣＥ＝ ＣＭ２＋ＥＭ槡 ２ 槡＝ １３。 ∴ｓｉｎ∠ＥＣＤ＝ＥＭＣＥ＝ ２ 槡１３ ＝ 槡２ １３１３ 。 ２３．解：（１）∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°。 又∵∠ＡＢＣ＝２５°， ∴∠ＣＡＢ＝９０°－２５°＝６５°。 ∵四边形ＡＢＥＣ是⊙Ｏ的内接四边形， ∴∠ＣＥＢ＋∠ＣＡＢ＝１８０°。 ∴∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＣＡＢ＝１１５°。 （２）ＤＩ＝ＡＤ＝ＢＤ，如图１，连接ＡＩ。 ∵点Ｉ为△ＡＢＣ的内心， ∴∠ＣＡＩ＝∠ＢＡＩ，∠ＡＣＩ＝∠ＢＣＩ＝１２∠ＡＣＢ＝４５°。 ∴ ) ＡＤ＝ ) ＢＤ。 ∴∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝∠ＡＣＩ，ＡＤ＝ＢＤ。 ∵∠ＤＡＩ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＩ，∠ＤＩＡ＝∠ＡＣＩ＋∠ＣＡＩ， ∴∠ＤＡＩ＝∠ＤＩＡ。 ∴ＤＩ＝ＡＤ＝ＢＤ。 图１ 　　　 图２ （３）如图２，过点Ｉ分别作ＩＱ⊥ＡＢ，ＩＦ⊥ＡＣ，ＩＰ⊥ＢＣ，垂 足分别为Ｑ，Ｆ，Ｐ。 ∵点Ｉ为△ＡＢＣ的内心，即为△ＡＢＣ的内切圆的圆心， ∴Ｑ，Ｆ，Ｐ分别为该内切圆与△ＡＢＣ三边的切点。 ∴ＡＱ＝ＡＦ，ＣＦ＝ＣＰ，ＢＱ＝ＢＰ。 ∵ＣＩ 槡＝２２，∠ＩＦＣ＝９０°，∠ＡＣＩ＝４５°， ∴ＣＦ＝ＣＩ·ｃｏｓ４５°＝２＝ＣＰ。 ∵ＤＩ＝ＡＤ＝ＢＤ，ＤＩ＝ 槡１３２２ ，∠ＡＤＢ＝９０°， ∴ＡＢ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２ (＝ 槡１３２)２ ２ (＋ 槡１３２)２槡 ２ ＝１３。 ∴△ＡＢＣ的周长为ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ ＝ＡＢ＋ＡＦ＋ＣＦ＋ＣＰ＋ＢＰ ＝ＡＢ＋ＡＱ＋ＢＱ＋２ＣＦ ＝２ＡＢ＋２ＣＦ ＝２×１３＋２×２＝３０。 ２４．解：（１）设点Ａ，Ｂ的坐标分别为（ｔ，０），（ｔ＋４，０）， 则ｘ＝－１＝１２（ｔ＋ｔ＋４），解得ｔ＝－３，即点Ａ，Ｂ的坐 标分别为（－３，０），（１，０）。 ∵ＯＣ＝ＯＡ， ∴点Ｃ（０，３）。 设抛物线ｙ１的表达式为 ｙ１＝ａ（ｘ＋３）（ｘ－１）＝ａ（ｘ ２＋２ｘ－３）。 将点Ｃ的坐标代入，得－３ａ＝３，解得ａ＝－１。 ∴ｙ１＝－ｘ ２－２ｘ＋３。 根据图形的对称性，得ｙ２＝ｘ ２－２ｘ－３。 （２）如图１，作点Ｄ关于ｌ２的对称点Ｄ′（２，－３），将点 Ｆ向右平移２个单位长度至点Ｆ′，连接Ｄ′Ｆ′交直线ｌ２ 于点Ｎ，∴ＭＮ＝２                                                                  。 —８１— 图１ ∵Ｆ′Ｆ∥ＭＮ，ＦＦ′＝ＭＮ，则四边形 ＦＦ′ＮＭ为平行四边 形，则ＦＭ＝Ｆ′Ｎ， ∴ＦＭ＋ＭＮ＋ＤＮ的最小值为 Ｆ′Ｎ＋ＮＤ′＋ＭＮ＝Ｆ′Ｄ′ ＋２＝ （２＋４）２＋３槡 ２ 槡＋２＝３５＋２。 （３）由抛物线ｙ２的表达式，知点 Ｄ（０，－３），点 Ｅ（１， －４）。 由点Ｈ，Ｅ的坐标得直线ＨＥ的表达式为ｙ＝－２ｘ－２。 如图２，当点Ｐ在ＢＥ的右侧时， ∵∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ，则ＥＰ和ＨＥ关于对称轴ｌ２对称， ∴直线ＥＰ的表达式为ｙ＝２（ｘ－１）－４。 联立上式和抛物线ｙ２的表达式，得 ２（ｘ－１）－４＝ｘ２－２ｘ－３， 解得ｘ＝１（舍去）或３，即点Ｐ（３，０）。 图２　　　　　　　图３ 当点Ｐ在ＢＥ的左侧时，如图３， 设直线ＰＥ交ｙ轴于点Ｎ，过点Ｅ（１，－４）作∠ＰＥＨ的 平分线ＥＪ交ＨＮ于点Ｊ，作 ＨＥ的中垂线 ＪＬ交 ＨＮ于 点Ｊ，交ＨＥ于点Ｌ，过点Ｅ作ＥＷ⊥ｙ轴交于点Ｗ。 ∵∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ，∴∠ＪＨＬ＝∠ＪＥＨ＝∠ＰＥＪ。 由点Ｈ，Ｅ的坐标，得直线ＨＥ的表达式为ｙ＝－２ｘ－２，则 点Ｌ（１２，－３）。 ∴直线ＪＬ的表达式为ｙ＝１２（ｘ－ １ ２）－３＝ １ ２ｘ－ １３ ４， 点Ｊ（０，－１３４）。∴ＨＪ＝ＪＥ＝ ５ ４。 ∵∠ＪＥＮ＝∠ＥＨＮ，∠ＥＮＪ＝∠ＨＮＥ， ∴△ＥＮＪ∽△ＨＮＥ。∴ＪＮＥＮ＝ ＥＮ ＨＮ＝ ＥＪ ＨＥ＝ ５ ４ 槡５ ＝槡５４。 设ＪＮ 槡＝５ｍ，则ＥＮ＝４ｍ。 ∴点Ｎ（０，－１３４ 槡－５ｍ）。 在Ｒｔ△ＮＥＷ中，ＮＷ２＋ＷＥ２＝ＮＥ２， 即（－１３４ 槡－５ｍ＋４） ２＋１＝１６ｍ２，解得ｍ＝ 槡５５４４。 ∴点Ｎ（０，－１６８４４）。 由点Ｎ，Ｅ的坐标，得直线 ＮＥ的表达式为 ｙ＝－２１１ｘ －４２１１。 联立上式和抛物线ｙ２的表达式， 得ｘ２－２ｘ－３＝－２１１ｘ－ ４２ １１，解得ｘ＝ ９ １１或ｘ＝１。 ∵当ｘ＝１时，点Ｐ与点Ｅ重合，不符合题意， ∴ｘ＝１舍去，即点Ｐ（９１１，－ ４８０ １２１）。 综上，点Ｐ的坐标为（３，０）或（９１１，－ ４８０ １２１）。 ７潍坊市二二四年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故选 项不符合题意；Ｂ不是轴对称图形，是中心对称图形， 故选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图形，也是中心对称 图形，故选项符合题意；Ｄ是轴对称图形，不是中心对 称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】１２６．７万 ＝１２６７０００＝１．２６７×１０６。故 选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】它的主视图如图所示。 故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】由图象可知，在 １２０ｍｉｎ时提取率最高， ５０℃时提取率最高。故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】如图，过点Ｅ作ＥＨ∥ＡＢ。 ∵ＡＢ∥ＦＧ，∴ＡＢ∥ＥＨ∥ＦＧ。 ∴∠ＢＥＨ＝α＝１５°，∠ＦＥＨ＋∠ＥＦＧ＝１８０°。 ∵β＝４５°，∴∠ＦＥＨ＝１８０°－４５°－１５°＝１２０°。 ∴∠ＥＦＧ＝１８０°－∠ＦＥＨ＝１８０°－１２０°＝６０°。 ∴ＥＦ与ＦＧ所成锐角的度数为６０°。 故选Ａ。 ６．Ｃ　【解析】∵ｍ－２ｎ＝３，∴ｍ＝２ｎ＋３。 ∴Δ＝（－ｍ）２－４（－ｎ２＋ｍｎ＋１） ＝ｍ２＋４ｎ２－４ｍｎ－４ ＝（２ｎ＋３）２＋４ｎ２－４ｎ（２ｎ＋３）－４ ＝４ｎ２＋１２ｎ＋９＋４ｎ２－８ｎ２－１２ｎ－４ ＝５＞０。 ∴原方程有两个不相等的实数根。故选Ｃ。 ７．ＡＣ　【解析】Ａ．由等式的性质可得，若ａ＝ｂ，则ａｃ＝ｂｃ， 原命题是真命题； Ｂ．由不等式的性质可得，若ａ＞ｂ，且ｃ＞０，则ａｃ＞ｂｃ，原 命题是假命题； Ｃ．两个有理数的积仍为有理数，原命题是真命题； Ｄ．两个无理数的积不一定为无理数，比如槡 槡２×２＝２， 原命题是假命题。故选ＡＣ。 ８．ＢＣ　【解析】Ａ．圆柱的体积为 π×（槡３） ２×１＝３π。故 选项不符合题意；Ｂ．∵圆柱的高为１，∴圆柱的母线长 为１。故选项符合题意；Ｃ．圆柱的侧面积为２π 槡×３×１ 槡＝２３π。故选项符合题意；Ｄ．圆柱的侧面展开图的周 长为２π 槡 槡×３×２＋１×２＝４ ３π＋２。故选项不符合 题意。 故选ＢＣ。 ９．ＡＣＤ　【解析】当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ。 由图象可知，此时图象在ｘ轴上方，即ａ－ｂ＋ｃ＞０。 故选项Ａ正确； 对称轴是直线ｘ＝１，∴４＋ｘ２ ＝１，即 ｘ＝－２。故该抛物 线与ｘ轴的另一个交点坐标为（－２，０）。故选项 Ｂ 错误； 当ｘ＝１时，函数有最大值，（２，ｙ２）距离对称轴更近，故 ｙ１＜ｙ２。故选项Ｃ正确                                                                  ； —９１— 　－２２　－ 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．下列实数中的无理数是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．２３ 槡Ｂ．３．１４ Ｃ． １５ Ｄ． ３ 槡６４ ２．下列计算结果为ａ６的是 （　　） Ａ．ａ２·ａ３ Ｂ．ａ１２÷ａ２ Ｃ．ａ３＋ａ３ Ｄ．（ａ２）３ ３．如图是由８个大小相同的小正方体组成的几何体，若从 标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的 左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ 第３题图 　　 第４题图 ４．实数 ａ，ｂ，ｃ在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的 是 （　　） Ａ．ｂ＋ｃ＞３ Ｂ．ａ－ｃ＜０ Ｃ．｜ａ｜＞｜ｃ｜Ｄ．－２ａ＜－２ｂ ５．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有０．０１５毫米， 约是Ａ４纸厚度的六分之一。已知１毫米＝１百万纳米， ０．０１５毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为 （　　） Ａ．０．１５×１０３纳米 Ｂ．１．５×１０４纳米 Ｃ．１５×１０－５纳米 Ｄ．１．５×１０－６纳米 ６．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如 图，其成绩的方差分别记为 ｓ２甲和 ｓ ２ 乙，则 ｓ ２ 甲和 ｓ ２ 乙 的大小 关系是 （　　） 　 Ａ．ｓ２甲 ＞ｓ ２ 乙 Ｂ．ｓ ２ 甲 ＜ｓ ２ 乙 Ｃ．ｓ ２ 甲 ＝ｓ ２ 乙 Ｄ．无法确定 ７．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组 展示作图痕迹如下，其中射线 ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线的 有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 　 　 　 ８．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为对角线ＢＤ，ＡＣ的 三等分点，连接 ＡＥ并延长交 ＣＤ于点 Ｇ，连接 ＥＦ，ＦＧ。 若∠ＡＧＦ＝α，则∠ＦＡＧ用含α的代数式表示为 （　　） Ａ．４５°－α２ Ｂ． ９０°－α ２ Ｃ．４５°＋α２ Ｄ． α ２ ９．《周髀算经》是中国现存最早的数学和天文学著作。书中 记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟。初日织五 尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”意思是现有 一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天 减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一 尺布，３０天完工，问一共织了多少布？ （　　） Ａ．４５尺 Ｂ．８８尺 Ｃ．９０尺 Ｄ．９８尺 １０．如图，水平放置的矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ ｃｍ，菱形ＥＦＧＨ的顶点Ｅ，Ｇ在同一水平线上，点 Ｇ与 ＡＢ的中点重合，ＥＦ 槡＝２ ３ｃｍ，∠Ｅ＝６０°，现将菱形 ＥＦＧＨ以１ｃｍ／ｓ的速度沿 ＢＣ方向匀速运动，当点 Ｅ 运动到ＣＤ上时停止。在这个运动过程中，菱形 ＥＦ ＧＨ与矩形ＡＢＣＤ重叠部分的面积 Ｓ（ｃｍ２）与运动时 间ｔ（ｓ）之间的函数关系图象大致是 （　　） Ａ 　 Ｂ Ｃ 　 Ｄ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．若代数式 ３ ｘ槡 －１ 在实数范围内有意义，则ｘ的取值范围 是　　　　　。 １２．关于ｘ的不等式ｍ－ｘ２≤１－ｘ有正数解，ｍ的值可以为 　　　　　（写出一个即可）。 １３．若一元二次方程２ｘ２－４ｘ－１＝０的两根为 ｍ，ｎ，则３ｍ２ －４ｍ＋ｎ２的值为　　　　。 １４．如图，在边长为６的正六边形 ＡＢＣＤＥＦ中，以点 Ｆ为圆 心，以ＦＢ的长为半径作 ) ＢＤ，剪如图中阴影部分做一个 圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为　　　　　。 第１４题图 　　 第１５题图 １５．如图，在ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝１２０°，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１０，Ｅ为边 ＣＤ的中点，Ｆ为边 ＡＤ上的一动点，将△ＤＥＦ沿 ＥＦ翻 折得△Ｄ′ＥＦ，连接ＡＤ′，ＢＤ′，则△ＡＢＤ′面积的最小值为 　　　　　　　。 １６．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的ｙ与ｘ的部分对应值如 表。下列结论： ①ａｂｃ＞０；②关于 ｘ的一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝９有 两个相等的实数根；③当－４＜ｘ＜１时，ｙ的取值范围是 ０＜ｙ＜５；④若点（ｍ，ｙ１），（－ｍ－２，ｙ２）均在二次函数图 象上，则ｙ１＝ｙ２；⑤满足ａｘ ２＋（ｂ＋１）ｘ＋ｃ＜２的 ｘ的取 值范围是 ｘ＜－２或 ｘ＞３。其中正确结论的序号为 　　　　　。　 ｘ －４ －３ －１ １ ５ ｙ ０ ５ ９ ５ －２７ 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ３ ｘ２ － ５ ＝，若 ｍ是其显示结果的平方根，先化 简：（ ｍ ｍ－３＋ ７ｍ－４ ９－ｍ２ ）÷４－２ｍｍ＋３，再求值。 １８．（７分）“山海同行，舰回烟台”。２０２４年４月２３日，烟台 舰与家乡人民共庆人民海军成立７５周年。值此，某学校 开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学 活动。为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学 活动时长（用ｔ表示，单位：ｈ）进行调查。经过整理，将数 据分成四组（Ａ组：０≤ｔ＜２；Ｂ组：２≤ｔ＜４；Ｃ组：４≤ｔ＜６； Ｄ组：６≤ｔ＜８），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇 形统计图。 （１）请补全条形统计图； （２）扇形统计图中，ａ的值为　　　　，Ｄ组对应的扇形 圆心角的度数为　　　　； （３）Ｄ组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取 两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人 恰好是一名男生和一名女生的概率。 　　 －２１－ ６ 烟台市２０２４年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） 　－２４　－ １９．（８分）根据手机的素材，探索完成任务。 探究太阳能热水器的安装 素 材 一 太阳能热水器是利用绿 色能源造福人类的一项 发明。某品牌热水器主 要部件太阳能板需要安 装在每天都可以有太阳 光照射到的地方如图１， 才能保证使用效果，否则 不予安装。 图１ 素 材 二 某市位于北半球，太阳光 线与水平线的夹角为 α， 冬至日时，１４°≤α≤２９°； 夏至日时，４３°≤α≤７６°。 ｓｉｎ１４°≈０．２４，ｃｏｓ１４° ≈０．９７，ｔａｎ１４°≈０．２５ ｓｉｎ２９°≈０．４８，ｃｏｓ２９° ≈０．８７，ｔａｎ２９°≈０．５５ ｓｉｎ４３°≈０．６８，ｃｏｓ４３° ≈０．７３，ｔａｎ４３°＝０．９３ ｓｉｎ７６°≈０．９７，ｃｏｓ７６° ≈０．２４，ｔａｎ７６°≈４．０１ 素 材 三 如图２，该市甲楼位于乙 楼的正南方向，两楼东西 两侧都无法获得太阳光 照射。现准备在乙楼南 面墙上安装该品牌太阳 能板。已知两楼间距为 ５４米，甲楼 ＡＢ共１１层， 乙楼 ＣＤ共 １５层，一层 从地面起，每层楼高皆为 ３．３米。ＡＥ为某时刻的 太阳光线。 图２ 问题解决 任 务 一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该 品牌太阳能板，应选择　　　　 日（填冬至或夏至）时，α为　　 　　　（填１４°，２９°，４３°，７６°中的 一个）进行计算。 任 务 二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计 算，确定乙楼中哪些楼层不能安 装该品牌太阳能热水器？ ２０．（８分）每年５月的第三个星期日为全国助残日，今年 的主题是“科技助残，共享美好生活”。某公司新研发 了一批便携式轮椅计划在该月销售。根据市场调查， 每辆轮椅盈利２００元时，每天可售出６０辆，单价每降 低１０元，每天可多售出４辆。公司决定在成本不变 的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 １８０ 元。设每辆轮椅降价ｘ元，每天的销售利润为ｙ元。 （１）求ｙ与ｘ的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时， 每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （２）全国助残日当天，公司共获得销售利润 １２１６０ 元，请问这天售出了多少辆轮椅？ ２１．（９分）如图，正比例函数ｙ＝ｘ与反比例函数ｙ＝ｋｘ的 图象交于点Ａ（槡６，ａ）。将正比例函数图象向下平移ｎ （ｎ＞０）个单位长度后，与反比例函数图象在第一、三 象限交于点Ｂ，Ｃ，与ｘ轴，ｙ轴交于点Ｄ，Ｅ，且满足ＢＥ ∶ＣＥ＝３∶２，过点Ｂ作ＢＦ⊥ｘ轴，垂足为Ｆ，Ｇ为ｘ轴 上一点，直线 ＢＣ与 ＢＧ关于直线 ＢＦ成轴对称，连 接ＣＧ。 （１）求反比例函数的表达式； （２）求ｎ的值及△ＢＣＧ的面积。 ２２．（１０分）在等腰直角三角形 ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ ＢＣ，Ｄ为直线ＢＣ上任意一点，连接 ＡＤ。将线段 ＡＤ绕 点Ｄ按顺时针方向旋转９０°得线段ＥＤ，连接ＢＥ。 【尝试发现】 （１）如图１，当点 Ｄ在线段 ＢＣ上时，线段 ＢＥ与 ＣＤ的 数量关系为　　　　　　　　　　　； 【类比探究】 （２）当点Ｄ在线段 ＢＣ的延长线上时，先在图２中补全 图形，再探究线段ＢＥ与ＣＤ的数量关系并证明； 【联系拓广】 （３）若ＡＣ＝ＢＣ＝１，ＣＤ＝２，请直接写出ｓｉｎ∠ＥＣＤ的值。 图１ 　 图２ ２３．（１１分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，点Ｉ 为△ＡＢＣ的内心，连接ＣＩ并延长交⊙Ｏ于点Ｄ，Ｅ是 ) ＢＣ 上任意一点，连接ＡＤ，ＢＤ，ＢＥ，ＣＥ。 （１）若∠ＡＢＣ＝２５°，求∠ＣＥＢ的度数； （２）找出图中所有与ＤＩ相等的线段，并证明； （３）若ＣＩ 槡＝２２，ＤＩ＝ １３ ２槡２，求△ＡＢＣ的周长。 ２４．（１３分）如图，抛物线 ｙ１＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ 两点，与ｙ轴交于点 Ｃ，ＯＣ＝ＯＡ，ＡＢ＝４，对称轴为直线 ｌ１：ｘ＝－１。将抛物线ｙ１绕点Ｏ旋转１８０°后得到新抛物 线ｙ２，抛物线ｙ２与ｙ轴交于点Ｄ，顶点为Ｅ，对称轴为直 线ｌ２。 （１）分别求抛物线ｙ１和ｙ２的表达式； （２）如图１，点 Ｆ的坐标为（－６，０），动点 Ｍ在直线 ｌ１ 上，过点 Ｍ作 ＭＮ∥ｘ轴与直线 ｌ２交于点 Ｎ，连接 ＦＭ， ＤＮ，求ＦＭ＋ＭＮ＋ＤＮ的最小值； （３）如图２，点Ｈ的坐标为（０，－２），动点Ｐ在抛物线ｙ２ 上，试探究是否存在点 Ｐ，使∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ？若存 在，请直接写出所有符合条件的点Ｐ的坐标；若不存在， 请说明理由。 图１ 　 图２ －２３－