5.山东省德州市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－１８　－ 第Ⅰ卷（选择题　共４８分） 一、选择题（本大题共１２小题，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选 对得４分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） １．在０，１２，－２，槡２这四个数中，最小的数是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．０ Ｂ．１２ 槡Ｃ．－２ Ｄ．２ ２．下列图形是中心对称图形的是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ３．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ａ２＋ａ２＝ａ４ Ｂ．ａ（ａ＋１）＝ａ２＋１ Ｃ．ａ２·ａ４＝ａ６ Ｄ．（ａ－１）２＝ａ２－１ ４．如图所示几何体的左视图为 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ５．甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了５次射击训练，成 绩（单位：环）如表所示： 甲 ９．７ ９．７ ９．６ ９．７ ９．７ 乙 ９．９ ９．８ １０ ９．４ ９．３ 丙 １０ ９．８ ９．６ ９．５ ９．５ 则三名运动员中成绩最稳定的是 （　　） Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．无法确定 ６．实数ａ，ｂ在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正 确的是 （　　） Ａ．｜ａ｜＞｜ｂ｜ Ｂ．ａ＋ｂ＜０ Ｃ．ａ＋２＞ｂ＋２ Ｄ．｜ａ－１｜＞｜ｂ－１｜ ７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，ＡＥ是中线，ＡＤ＝４，Ｓ△ＡＢＣ ＝１２，则ＢＥ的长为 （　　） Ａ．１．５ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６ ８．把多项式ｘ２－３ｘ＋４进行配方，结果为 （　　） Ａ．（ｘ－３）２－５ Ｂ．ｘ－( )３２ ２ ＋７４ Ｃ．ｘ－( )３２ ２ ＋２５４ Ｄ．ｘ＋( )３２ ２ ＋７４ ９．已知Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）是某函数图象上的两点，当１ ＜ｘ２＜ｘ１＜２时，ｙ２－ｙ１＜０。该函数的解析式可能为 （　　） Ａ．ｙ＝－２ｘ Ｂ．ｙ＝２ｘ Ｃ．ｙ＝ｘ２－ｘ－１ Ｄ．ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋１ １０．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为 Ｄ，ＡＥ平分∠ＢＡＣ，分别交 ＢＤ，ＢＣ于点 Ｆ，Ｅ。若 ＡＢ∶ＢＣ＝３∶４，则ＢＦ∶ＤＦ为 （　　） Ａ．５∶３ Ｂ．５∶４ Ｃ．４∶３ Ｄ．２∶１ 第１０题图 　　　 第１２题图 １１．已知∠ＡＯＢ，点 Ｐ是 ＯＡ上一点，用尺规作图，过点 Ｐ 作ＯＢ的平行线。下列作图痕迹不正确的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １２．如图，点Ａ，Ｃ在反比例函数 ｙ＝ａｘ的图象上，点 Ｂ，Ｄ在 反比例函数ｙ＝ｂｘ的图象上，ＡＢ∥ＣＤ∥ｙ轴，若 ＡＢ＝３， ＣＤ＝２，ＡＢ与ＣＤ的距离为５，则ａ－ｂ的值为 （　　） Ａ．－２ Ｂ．１ Ｃ．５ Ｄ．６ 第Ⅱ卷（非选择题　共１０２分） 二、填空题（本大题共６小题，共２４分，只要求填写最后结 果，每小题填对得４分） １３．分解因式：ｘ２－４＝　　　　。 １４．如图，Ｃ是ＡＢ的中点，且 ＣＤ＝ＢＥ，请添加一个条件　 　　　　　　　　　，使得△ＡＣＤ≌△ＣＢＥ。 １５．衣橱里挂着３套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与 裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤 子，则它们取自同一套的概率是　　　　。 １６．已知ａ和ｂ是方程ｘ２＋２０２４ｘ－４＝０的两个解，则ａ２＋ ２０２３ａ－ｂ的值为　　　　。 １７．观察下列等式： Ｓ１＝ １＋１＋槡 １ ４； Ｓ２＝ １＋１＋槡 １ ４＋ １＋ １ ４＋槡 １ ９； Ｓ３＝ １＋１＋槡 １ ４＋ １＋ １ ４＋槡 １ ９＋ １＋ １ ９＋ １ 槡 １６ ； …… 则Ｓ１０的值为　　　　。 １８．有一张如图所示的四边形纸片，ＡＢ＝ＡＤ＝６ｃｍ，ＢＣ＝ ＣＤ＝８ｃｍ，∠Ｂ为直角，要在该纸片中剪出一个面积最 大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为　　　　ｃｍ。 三、解答题（本大题共７小题，共７８分。解答要写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤） １９．（８分）（１）化简：１－ｍ ２－３ｍ ｍ２－９ ÷ｍ＋１ｍ＋３； （２）解方程组： ｘ－ｙ２＝２； ２ｘ＋３ｙ＝１２ { 。 ２０．（１０分）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册 数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图。 册数 四册 五册 六册 七册 人数 ６ ａ ９ ７ （１）本次调查的学生人数为　　　　； （２）ａ＝　　　　； （３）已知该校共有１８００名学生，请估计全校本学期读 四册课外书的学生人数； （４）学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况， 发现这几人读课外书的册数恰好相同。将其与之前的 数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补 查的人数最少为　　　　。 －１７－ ５ 德州市２０２４年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１５０分） 　－２０　－ ２１．（１０分）如图，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ平分∠ＢＡＤ。 （１）求证：ＡＢＣＤ是菱形； （２）若ＡＣ＝８，∠ＤＣＢ＝７４°，求菱形ＡＢＣＤ的边长。 （参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５） ２２．（１２分）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋。五 子棋比象棋的单价少８元，用１０００元购买的五子棋数 量和用１２００元购买的象棋数量相等。 （１）两种棋的单价分别为多少？ （２）学校准备再次购买五子棋和象棋共３０副，根据学 生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的３倍。 问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用为多少？ ２３．（１２分）如图，⊙Ｏ１与⊙Ｏ２都经过Ａ，Ｂ两点，点Ｏ２在 ⊙Ｏ１上，点 Ｃ是ＡＯ２ ) Ｂ上的一点，连接 ＡＣ并延长交 ⊙Ｏ２于点Ｐ，连接ＡＢ，ＢＣ，ＢＰ。 （１）求证：∠ＡＣＢ＝２∠Ｐ； （２）若∠Ｐ＝３０°，ＡＢ 槡＝２３。 ①求⊙Ｏ１的半径； ②求图中阴影部分的面积。 ２４．（１２分）已知抛物线ｙ＝ｘ２－４ｍｘ＋２ｍ＋１，ｍ为实数。 （１）如果该抛物线经过点（４，３），求此抛物线的顶点 坐标； （２）如果当２ｍ－３≤ｘ≤２ｍ＋１时，ｙ的最大值为４，求ｍ 的值； （３）点Ｏ（０，０），点 Ａ（１，０），如果该抛物线与线段 ＯＡ （不含端点）恰有一个交点，求ｍ的取值范围。 ２５．（１４分）在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝１２０°，Ｄ是ＡＢ上 一个动点（点Ｄ不与点Ａ，Ｂ重合），以点Ｄ为中心，将线 段ＤＣ顺时针旋转１２０°得到线段ＤＥ。 （１）如图１，当∠ＡＣＤ＝１５°时，求∠ＢＤＥ的度数； （２）如图２，连接 ＢＥ，当０°＜∠ＡＣＤ＜９０°时，∠ＡＢＥ的 大小是否发生变化？如果不变，求∠ＡＢＥ的度数；如果 变化，请说明理由； （３）如图３，点 Ｍ在 ＣＤ上，且 ＣＭ∶ＤＭ＝３∶２，以点 Ｃ 为中心，将线段ＣＭ逆时针旋转１２０°得到线段ＣＮ，连接 ＥＮ，若ＡＣ＝４，求线段ＥＮ的取值范围。 图１ 　 图２ 图３ －１９－ ∵∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ，∴ＣＦ平分∠ＤＣＥ。∴ＦＭ＝ＦＮ。 ∴ Ｓ△ＤＦＣ Ｓ△ＥＦＣ ＝ １ ２ＣＤ·ＦＭ １ ２ＣＥ·ＦＮ ＝ＤＦＥＦ。∴ ＣＤ ＣＥ＝ ＤＦ ＥＦ。 ∵ＣＥ＝ＢＤ，∴ＣＤＢＤ＝ ＤＦ ＥＦ。 ２３．解：（１）解方程ｘ２－２ｘ－３＝０，得ｘ１＝－１，ｘ２＝３。 ∴Ａ（－１，０），Ｂ（３，０）。 把点Ａ，Ｂ的坐标代入抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３，得 ａ－ｂ＋３＝０， ９ａ＋３ｂ＋３＝０{ ，解得 ａ＝－１，ｂ＝２{ 。 ∴抛物线对应的函数表达式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３。 （２）①存在。 理由：∵直线ｌ与ｘ，ｙ轴分别相交于点Ｄ，Ｅ， ∴Ｄ（－３，０），Ｅ（０，９）。 ∵Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）， ∴直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋３。 联立直线ｌ与直线ＢＣ的表达式，得 ｙ＝３ｘ＋９， ｙ＝－ｘ＋３{ ，解得 ｘ＝－３２， ｙ＝９２ { 。 ∴点Ｆ的坐标为 －３２，( )９２ 。 如图１，过点Ｆ作ＦＨ⊥ｘ轴，垂足为Ｈ，连接ＰＢ。过点 Ｐ作ＰＧ⊥ｙ轴，过点Ｂ作ＢＧ⊥ｘ轴，相交于点Ｇ。 图１ ∴点Ｈ的坐标为 －３２，( )０。 ∵Ｂ（３，０），∴ＢＨ＝３－ －( )３２ ＝９２。 ∵ＦＨ＝９２，∴ＦＨ＝ＢＨ。 ∴∠ＨＦＢ＝∠ＨＢＦ＝４５°。 ∵∠ＰＢＦ＝∠ＤＦＢ，∴∠ＤＦＨ＝∠ＰＢＨ。 ∴ｔａｎ∠ＰＢＨ＝ｔａｎ∠ＤＦＨ＝ＤＨＦＨ。 ∵ＤＨ＝－３２－（－３）＝ ３ ２， ∴ＤＨＨＦ＝ ３ ２ ９ ２ ＝１３。 ∵ＰＧ∥ｘ轴，∴∠ＰＢＨ＝∠ＢＰＧ。 ∴ｔａｎ∠ＰＢＨ＝ｔａｎ∠ＢＰＧ＝１３。 设点Ｐ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）。 ∵Ｂ（３，０），∴ＢＧ＝ｍ２－２ｍ－３，ＰＧ＝３－ｍ。 ∴ｔａｎ∠ＢＰＧ＝ｍ ２－２ｍ－３ ３－ｍ ＝ １ ３。 整理，得３ｍ２－５ｍ－１２＝０，解得ｍ＝３（舍去）或－４３。 ∴点Ｐ的坐标为 －４３，－ １３( )９ 。 综上所述，第三象限内的抛物线上存在点 Ｐ，使得 ∠ＰＢＦ＝∠ＤＦＢ，此时点Ｐ的坐标为 －４３，－ １３( )９ 。 ②设点Ｍ（ｘＭ，ｙＭ），Ｎ（ｘＮ，ｙＮ），直线 ＭＮ为 ｙ＝－ｘ＋ ｎ，直线ＣＮ为ｙ＝ｋ１ｘ＋３，直线ＢＭ为ｙ＝ｋ２（ｘ－３）。 联立直线ＭＮ和抛物线的函数表达式，得 ｙ＝－ｘ＋ｎ， ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３{ ， ∴ｘ２－３ｘ＋ｎ－３＝０。∴ｘＭ＋ｘＮ＝３。 将直线ＣＮ：ｙ＝ｋ１ｘ＋３代入ｙ＝－ｘ ２＋２ｘ＋３， 得ｋ１＝－ｘＮ＋２； 将直线ＢＭ：ｙ＝ｋ２（ｘ－３）代入ｙ＝－ｘ ２＋２ｘ＋３， 得ｋ２＝－ｘＭ－１。 联立直线ＣＮ和直线ＢＭ的函数表达式，得 ｙ＝ｋ１ｘ＋３， ｙ＝ｋ２（ｘ－３{ ）， ∴ｘ＝ ３（１＋ｋ２） ｋ２－ｋ１ ＝ ３（１－ｘＭ－１） －ｘＭ－１－（－ｘＮ＋２） ＝ －３ｘＭ ｘＮ－ｘＭ－３ ＝ －３ｘＭ （ｘＮ－３）－ｘＭ ＝ －３ｘＭ －２ｘＭ ＝３２。 ∴点Ｑ在直线ｘ＝３２上运动。 如图２，作点 Ｅ关于直线 ｘ＝３２的对称点 Ｅ′，连接 ＤＥ′，则点 Ｑ位于 ＤＥ′与直线 ｘ＝３２的交点时，ＱＤ＋ ＱＥ取得最小值。 图２ ∵Ｅ（０，９），∴Ｅ′（３，９）。 ∴ＱＤ＋ＱＥ的最小值为 ［３－（－３）］２＋９槡 ２ 槡＝３ １３。 ５德州市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】∵－２＜０＜１２ 槡＜２，∴最小的数是－２。 故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】选项 Ａ，Ｃ，Ｄ的图形都不能找到一个点，使 图形绕这一点旋转１８０度后与原来的图形重合，所以 不是中心对称图形；选项Ｂ的图形能找到一个点，使图 形绕这一点旋转１８０度后与原来的图形重合，所以是 中心对称图形。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．ａ２＋ａ２＝２ａ２，原计算错误，不符合题意； Ｂ．ａ（ａ＋１）＝ａ２＋ａ，原计算错误，不符合题意；Ｃ．ａ２· ａ４＝ａ６，正确，符合题意；Ｄ．（ａ－１）２＝ａ２－２ａ＋１，原计 算错误，不符合题意。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】从左边看，可得选项Ｃ的图形。故选Ｃ。 ５．Ａ　【解析】∵甲的成绩在９．６和９．７之间波动；乙的成 绩在９．３和１０之间波动；丙的成绩在９．５和１０之间波 动，∴ｓ甲 ＜ｓ丙 ＜ｓ乙．这三名运动员中成绩最稳定的是 甲。故选Ａ。 ６．Ｄ　【解析】根据实数ａ，ｂ在数轴上对应点的位置，得－ １＜ａ＜０，１＜ｂ＜２，∴｜ａ｜＜｜ｂ｜，ａ＋ｂ＞０，ａ＜ｂ，｜ａ－１｜ ＞｜ｂ－１｜。故选项Ａ，Ｂ不正确，不符合题意；选项Ｄ                                                                  正 —２１— 确，符合题意；∵ａ＜ｂ，∴ａ＋２＜ｂ＋２。故选项 Ｃ不正 确，不符合题意。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ＡＤ＝１２，ＡＤ＝４，∴ＢＣ＝ ６．∵ＡＥ是中线，∴ＢＥ＝１２ＢＣ＝３。故选Ｂ。 ８．Ｂ　【解析】ｘ２ －３ｘ＋４＝ｘ２ －３ｘ＋９４ － ９ ４ ＋４＝ ｘ－( )３２ ２ ＋７４。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】∵当１＜ｘ２＜ｘ１＜２时，ｙ２－ｙ１＜０，∴函数 ｙ 随ｘ的增大而增大．Ａ．ｙ＝－２ｘ中，ｙ随 ｘ的增大而减 小，故本选项不符合题意；Ｂ．ｙ＝２ｘ中，在第一象限ｙ随 ｘ的增大而减小，故本选项不符合题意；Ｃ．ｙ＝ｘ２－ｘ－１ 中，其图象开口向上，对称轴为直线ｘ＝１２，在对称轴的 右侧，ｙ随ｘ的增大而增大，故本选项符合题意；Ｄ．ｙ＝ －ｘ２－２ｘ＋１中，其图象开口向下，对称轴为直线ｘ＝－ １，在对称轴的右侧，ｙ随 ｘ的增大而减小，故本选项不 符合题意。故选Ｃ。 １０．Ａ　【解析】∵ＡＢ∶ＢＣ＝３∶４，∴设 ＡＢ＝３ｘ，ＢＣ＝４ｘ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝５ｘ．∵ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°．∵∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＢ，∴△ＡＢＤ ∽△ＡＣＢ．∴ＡＢＡＣ＝ ＡＤ ＡＢ．∴ ３ｘ ５ｘ＝ ＡＤ ３ｘ．∴ＡＤ＝ ９ ５ｘ。∵ＡＥ 平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ．∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ．∵ ∠ＡＦＤ＝∠ＢＦＥ，∴∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ。 ∴ＢＥ＝ＢＦ．∵∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＦ＝９０°，∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ， ∴△ＡＢＥ∽△ＡＤＦ．∴ＢＥＤＦ＝ ＡＢ ＡＤ．∴ ＢＦ ＤＦ＝ ＡＢ ＡＤ＝ ３ｘ ９ ５ｘ ＝ ５ ３。故选Ａ。 １１．Ｂ　【解析】如图１所示，∵ＯＭ平分∠ＡＯＢ， ∴∠ＡＯＭ ＝∠ＢＯＭ．又 ∵ ＯＰ＝ＰＭ，∴ ∠ＡＯＭ ＝ ∠ＰＭＯ．∴∠ＰＭＯ＝∠ＢＯＭ．∴ＰＭ∥ＯＢ．故 Ａ选项不 符合题意； 图１ 　　　 图２ 如图２所示，∵ＯＰ＝ＯＭ，∴∠ＯＰＭ＝∠ＯＭＰ。 又∵ＰＮ平分∠ＡＰＭ，∴∠ＡＰＮ＝∠ＭＰＮ．据此无法得 到判定ＰＮ∥ＯＢ的条件．故Ｂ选项符合题意； 如图３所示，∵ＯＰ＝ＯＮ＝ＰＭ＝ＭＮ，∴四边形 ＯＰＭＮ 是菱形．∴ＰＭ∥ＯＢ．故Ｃ选项不符合题意； 图３ 　　　 图４ 如图４所示，∵∠ＡＰＭ＝∠Ｏ， ∴ＰＭ∥ＯＢ．故Ｄ选项不符合题意。故选Ｂ。 １２．Ｄ　【解析】如图，设Ｃ ｍ，ａ( )ｍ ， 则Ｄ ｍ，ｂ( )ｍ ，ＯＥ＝－ｍ。 ∴ ｂｍ－ ａ ｍ＝２．∴ｂ－ａ＝２ｍ。 ∴ａ－ｂ＝２ＯＥ．同理ａ－ｂ＝３ＯＦ．∴２ＯＥ＝３ＯＦ。 又∵ＯＥ＋ＯＦ＝５，∴ＯＥ＝３，ＯＦ＝２．∴ａ－ｂ＝６。故 选Ｄ。 １３．（ｘ＋２）（ｘ－２）　【解析】ｘ２－４＝（ｘ＋２）（ｘ－２）。 １４．ＡＤ＝ＣＥ或∠Ｂ＝∠ＡＣＤ　【解析】添加ＡＤ＝ＣＥ或∠Ｂ ＝∠ＡＣＤ 后 可 分 别 根 据 ＳＳＳ，ＳＡＳ判 定 △ＡＣＤ ≌△ＣＢＥ。 １５．１３　【解析】令３件上衣分别为 Ａ，Ｂ，Ｃ，对应的裤子 分别为ａ，ｂ，ｃ，画树状图如下： 由树状图可知，共有９种等可能结果，其中取自同一 套的结果有３种，所以它们取自同一套的概率是 ３９ ＝１３。 １６．２０２８　【解析】∵ａ和 ｂ是方程 ｘ２＋２０２４ｘ－４＝０的 两个解，∴ａ２＋２０２４ａ－４＝０①，ａ＋ｂ＝－２０２４②。 ①－②，得ａ２＋２０２４ａ－４－ａ－ｂ＝２０２４。 ∴ａ２＋２０２３ａ－ｂ＝２０２８。 １７．１０１０１１　【解析】∵ １＋１＋槡 １ ４ ＝槡 ９ ４ ＝ ３ ２ ＝１ ＋ １１×２， １＋１４＋槡 １ ９＝ ４９ 槡３６＝ ７ ６＝１＋ １ ２×３， １＋１９＋ １ 槡 １６＝ １６９ 槡１４４＝ １３ １２＝１＋ １ ３×４， …… ∴Ｓ１＝１＋ １ １×２＝１＋１－ １ ２＝２－ １ ２， Ｓ２＝１＋ １ １×２＋１＋ １ ２×３＝２＋１－ １ ２＋ １ ２－ １ ３＝３ －１３， Ｓ３＝１＋ １ １×２＋１＋ １ ２×３＋１＋ １ ３×４＝３＋１－ １ ２＋ １ ２－ １ ３＋ １ ３－ １ ４＝４－ １ ４， …… ∴Ｓ１０＝１１－ １ １１＝１０ １０ １１。 １８．２４７　【解析】如图１，连接ＡＣ，作∠ＡＢＣ的平分线交ＡＣ 于点Ｅ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＣ。 ∵ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＡＣ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ。 ∴点Ｅ到四边形ＡＢＣＤ各边的距离相等。 图１ 　　　 图２ 如图２，在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，                                                                  则 —３１— 圆形纸片的圆心为点Ｅ。 设半径为ｒｃｍ，则ＢＦ＝ｒｃｍ，ＣＦ＝（８－ｒ）ｃｍ。 ∵∠ＡＢＣ＝９０°＝∠ＥＦＣ， ∴△ＡＢＣ∽△ＥＦＣ。 ∴ＥＦＡＢ＝ ＣＦ ＢＣ，即 ｒ ６＝ ８－ｒ ８．解得ｒ＝ ２４ ７。 １９．解：（１）１－ｍ ２－３ｍ ｍ２－９ ÷ｍ＋１ｍ＋３＝１－ ｍ（ｍ－３） （ｍ＋３）（ｍ－３）· ｍ＋３ ｍ＋１＝１－ ｍ ｍ＋１＝ ｍ＋１－ｍ ｍ＋１ ＝ １ ｍ＋１。 （２） ｘ－ ｙ ２＝２，① ２ｘ＋３ｙ＝１２．{ ② ①×２－②，得－４ｙ＝－８．解得ｙ＝２。 把ｙ＝２代入①，得ｘ－１＝２，解得ｘ＝３。 故方程组的解为 ｘ＝３， ｙ＝２{ 。 ２０．解：（１）９÷２５％＝３６（人）， 本次调查的学生人数为３６．故答案为３６。 （２）ａ＝３６－６－９－７＝１４．故答案为１４。 （３）１８００×６３６＝３００（人）。 答：估计全校本学期读四册课外书的学生人数为３００。 （４）∵补查前读课外书的册数最多的是五册， ∴补查前读课外书的册数的众数为５。 ∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读 课外书的册数的众数变成了另一个数， ∴补查的人数最少为１４－９＋１＝６。 故答案为６。 ２１．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ。 又∵ＡＣ平分∠ＢＡＤ， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ。 ∴∠ＢＣＡ＝∠ＢＡＣ。 ∴ＡＢ＝ＢＣ。 ∴ＡＢＣＤ是菱形。 （２）解：如图，连接 ＢＤ交 ＡＣ于 点Ｏ。 由（１）可知，ＡＢＣＤ是菱形。 ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ， ∠ＡＣＢ＝ １２∠ＤＣＢ＝ １ ２ ×７４° ＝３７°， ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＣ＝１２ＡＣ＝４。 ∴∠ＣＯＢ＝９０°。 在Ｒｔ△ＣＢＯ中， ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝ＯＣＢＣ＝ｃｏｓ３７°≈０．８０，即 ４ ＢＣ≈０．８０。 解得ＢＣ≈５。 ∴菱形ＡＢＣＤ的边长约为５。 ２２．解：（１）设象棋的单价为ｘ元，则五子棋的单价为（ｘ－ ８）元。 由题意可得 １０００ ｘ－８＝ １２００ ｘ 。 解得ｘ＝４８。 经检验，ｘ＝４８是原分式方程的根，且符合题意。 ∴ｘ－８＝４８－８＝４０。 答：象棋的单价为４８元，五子棋的单价为４０元。 （２）设购买五子棋 ａ副，总费用为 ｗ元，则购买象棋 （３０－ａ）副。 由题意可得ｗ＝４０ａ＋４８（３０－ａ）＝－８ａ＋１４４０。 ∵购买五子棋数量不超过象棋数量的３倍， ∴ａ≤３（３０－ａ），解得ａ≤２２．５。 ∵－８＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小。 ∴当 ａ＝２２时，ｗ取得最小值，最小值为 －８×２２＋ １４４０＝１２６４，此时３０－ａ＝３０－２２＝８。 答：当购买五子棋２２副，象棋８副时费用最低，最低费 用为１２６４元。 ２３．（１）证 明：如 图，连 接 Ｏ２Ａ，Ｏ２Ｂ。 ∵ ) ＡＢ＝ ) ＡＢ， ∴ ∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＯ２Ｂ ＝ ２∠Ｐ。 （２）解：①如图，连接 ＡＯ１ 并延长交⊙Ｏ１与点 Ｄ，连 接ＢＤ，则∠ＡＢＤ＝９０°。 ∵∠Ｐ＝３０°， ∴∠ＡＯ２Ｂ＝２∠Ｐ＝６０°。 ∴∠Ｄ＝∠ＡＯ２Ｂ＝６０°。 ∵ＡＢ 槡＝２３，∴ＡＤ＝ ＡＢ ｓｉｎ６０°＝ 槡２３ 槡３ ２ ＝４。 ∴⊙Ｏ１的半径为２。 ②如图，连接Ｏ２Ｏ１并延长，交ＡＢ于点Ｈ。 ∴ＡＨ＝１２ＡＢ 槡＝３，Ｏ２Ｈ⊥ＡＢ。 ∴Ｏ１Ｈ＝槡 ３ ３ＡＨ＝１，Ｏ１Ａ＝２。 ∴Ｏ２Ｈ＝３。 在⊙Ｏ２中，弓形 ＡＢ的面积 ＝扇形 ＡＯ２Ｂ的面积 － △ＡＯ２Ｂ的面积＝ ６０π×（槡２３） ２ ３６０ － １ ２ 槡×２３×３＝２π 槡－３３。 在⊙Ｏ１中，弓形 ＡＢ的面积 ＝扇形 ＡＯ１Ｂ的面积 － △ＡＯ１Ｂ的面积 ＝ １２０π×２２ ３６０ － １ ２ 槡×２ ３×１＝ ４ ３π 槡－３。 ∴图中阴影部分的面积＝４３π 槡－３－（２π 槡－３３）＝ 槡２３－ ２ ３π。 ２４．解：（１）∵抛物线ｙ＝ｘ２－４ｍｘ＋２ｍ＋１经过点（４，３）， ∴１６－１６ｍ＋２ｍ＋１＝３，解得ｍ＝１。 ∴ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３。 ∵ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３＝（ｘ－２）２－１， ∴此抛物线的顶点坐标为（２，－１）。 （２）∵ｙ＝ｘ２－４ｍｘ＋２ｍ＋１＝（ｘ－２ｍ）２－４ｍ２＋２ｍ ＋１， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线ｘ＝２ｍ。 ∵当２ｍ－３≤ｘ≤２ｍ＋１时，ｙ的最大值为４， ∴当ｘ＝２ｍ－３时，ｙ＝４。 ∴（２ｍ－３－２ｍ）２－４ｍ２＋２ｍ＋１＝４。 整理，得２ｍ２－ｍ－３＝０。 ∴ｍ＝３２或ｍ＝－１。 故ｍ的值为 ３２或－１。 （３）∵抛物线ｙ＝ｘ２－４ｍｘ＋２ｍ＋１与线段 ＡＢ恰有一 个交点， ∴ ２ｍ＋１＞０，１－４ｍ＋２ｍ{ ＋１＜０或 ２ｍ＋１＜０，１－４ｍ＋２ｍ＋１＞０{                                                                  。 —４１— ∴ｍ＞１或ｍ＜－１２。 ２５．解：（１）∵ＡＣ＝ＢＣ， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝１８０°－∠ＡＣＢ２ ＝ １８０°－１２０° ２ ＝３０°。 ∴∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝３０°＋１５°＝４５°。 ∵线段ＤＣ顺时针旋转１２０°得到线段ＤＥ， ∴∠ＣＤＥ＝１２０°。 ∴∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＥ－∠ＢＤＣ＝１２０°－４５°＝７５°。 （２）如图１，连接ＣＥ。 ∵线段ＤＣ顺时针旋转１２０°得到线段ＤＥ， ∴∠ＣＤＥ＝１２０°，ＣＤ＝ＤＥ。 ∴∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝３０°。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝１２０°， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ａ＝３０°。 ∴∠ＤＥＣ＝∠ＡＢＣ。 ∴点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ共圆。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ＝３０°。 ∴∠ＡＢＥ的大小不变，为３０°。 图１ 　　　 图２ （３）如图２，连接ＣＥ。 由（２）知，∠ＤＣＥ＝３０°。 ∵线段ＣＭ逆时针旋转１２０°得到线段ＣＮ， ∴∠ＤＣＮ＝１２０°，ＣＮ＝ＣＭ。 ∴∠ＥＣＮ＝∠ＤＣＮ－∠ＤＣＥ＝１２０°－３０°＝９０°。 设ＣＮ＝ＣＭ＝３ａ，ＤＭ＝２ａ，ＤＥ＝ＣＤ＝５ａ， 则ＣＥ 槡＝３ＣＤ 槡＝５３ａ。 ∴ＥＮ＝ ＣＥ２＋ＣＮ槡 ２＝ （槡５３ａ） ２＋（３ａ）槡 ２ 槡＝２ ２１ａ。 ∵点Ｄ在ＡＢ上， ∴ １２ＡＣ≤ＣＤ＜ＡＣ。 ∴２≤５ａ＜４。 ∴ ２５≤ａ＜ ４ ５。 ∴ 槡４ ２１５ ≤ＥＮ＜ 槡８ ２１ ５ 。 ６烟台市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】２３是分数，３．１４是有限小数， ３ 槡６４＝４是整 数，它们不是无理数；槡１５是无限不循环小数，它是无 理数。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ．ａ２·ａ３＝ａ２＋３＝ａ５，故选项不符合题意； Ｂ．ａ１２÷ａ２＝ａ１２－２＝ａ１０，故选项不符合题意；Ｃ．ａ３＋ａ３ ＝２ａ３，故选项不符合题意；Ｄ．（ａ２）３＝ａ２×３＝ａ６，故选项 符合题意。故选Ｄ。 ３．Ａ　【解析】若取走标有①的小正方体，则左视图是由 四个小正方形组成的大正方形，既是轴对称图形又是 中心对称图形，故选项Ａ符合题意。故选Ａ。 ４．Ｂ　【解析】由题图，知 －３＜ａ＜－２＜ｂ＜－１＜３＜ｃ＜ ４，｜ｃ｜＞｜ａ｜＞｜ｂ｜，故Ｃ不符合题意；∴ｂ＋ｃ＜３，故Ａ不 符合题意；ａ－ｃ＜０，故 Ｂ符合题意；－２ａ＞－２ｂ，故 Ｄ 不符合题意。故选Ｂ。 ５．Ｂ　【解析】由题意可得 １毫米 ＝１百万纳米 ＝１０６纳 米，则０．０１５毫米＝１．５×１０－２×１０６纳米 ＝１．５×１０４纳 米。故选Ｂ。 ６．Ｂ　【解析】根据题图数据，可知甲的平均数为 ５＋１０＋９＋５＋８＋７＋６＋６ ８ ＝７， ∴ｓ２甲 ＝ １ ８×［２×（５－７） ２＋（１０－７）２＋（９－７）２＋（８ －７）２＋（７－７）２＋２×（６－７）２］＝３。 乙的平均数为 ６＋４＋８＋４＋４＋６＋６＋１０ ８ ＝６， ∴ｓ２乙 ＝ １ ８×［３×（６－６） ２＋３×（４－６）２＋（８－６）２＋ （１０－６）２］＝４。 ∴ｓ２甲 ＜ｓ ２ 乙。故选Ｂ。 ７．Ｄ　【解析】第 １张图中，由作图痕迹，知射线 ＯＰ为 ∠ＡＯＢ的平分线； 第２张图中，由作图痕迹，知ＯＣ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＢ， 又∵∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ， ∴△ＡＤＯ≌△ＢＣＯ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＤＡＯ＝∠ＣＢＯ。 ∵ＯＣ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＢ，∴ＡＣ＝ＢＤ。 ∴△ＡＣＰ≌△ＢＤＰ（ＡＡＳ）。 ∴ＡＰ＝ＢＰ。∴△ＡＰＯ≌△ＢＰＯ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ。 ∴射线ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线； 第３张图中，由作图痕迹，知∠ＡＣＰ＝∠ＡＯＢ， ∴ＣＰ∥ＯＢ。 ∴∠ＣＰＯ＝∠ＰＯＢ。又由图，知ＣＰ＝ＯＰ， ∴∠ＣＯＰ＝∠ＣＰＯ。∴∠ＰＯＢ＝∠ＣＯＰ。 ∴射线ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线； 第４张图中，由作图痕迹，知 ＣＯ＝ＯＤ，射线 ＯＰ是 ＣＤ 的垂直平分线。 ∴ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线。故选Ｄ。 ８．Ｂ　【解析】如图，设 ＡＣ与 ＢＤ的 交点为Ｏ。 ∵在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为 对角线ＢＤ，ＡＣ的三等分点， ∴ＯＤ＝ＯＣ，∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝ ４５°，ＤＥ＝ＣＦ。∴ＯＥ＝ＯＦ。 ∵∠ＥＯＦ＝∠ＤＯＣ，ＯＥＯＤ＝ ＯＦ ＯＣ， ∴△ＥＯＦ∽△ＤＯＣ。∴∠ＯＦＥ＝∠ＯＣＤ＝４５°。 ∵Ｅ，Ｆ分别为对角线ＢＤ，ＡＣ的三等分点，∴ＤＥＢＥ＝ １ ２。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ。∴△ＡＢＥ∽△ＧＤＥ。 ∴ＤＧＢＡ＝ ＤＥ ＢＥ＝ １ ２。∴ＤＧ＝ １ ２ＡＢ＝ １ ２ＣＤ＝ＣＧ。 ∴△ＤＥＧ≌△ＣＦＧ（ＳＡＳ）。∴ＧＥ＝ＧＦ。 ∴∠ＧＥＦ＝１２（１８０°－∠ＡＧＦ）＝９０°－ １ ２α。 ∴∠ＦＡＧ＝∠ＧＥＦ－∠ＡＦＥ＝９０°－１２α－４５°＝４５°－ １ ２α＝ ９０°－α ２ 。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】设每天减少ｘ尺布。 ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，３０天完 工，∴５－２９ｘ＝１，解得ｘ＝４２９。 ∴５＋５－４２９＋５－ ８ ２９＋…… ＋１＝５×２９＋１－ ４ ２９× （１＋２８）×２８ ２ ＝９０（尺）。故选Ｃ。 １０．Ｄ　【解析】如图１，连接ＥＧ，ＨＦ交于点Ｏ                                                                 。 —５１—