4.山东省淄博市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－１４　－ 一、选择题（本大题共１０小题，每题４分，共４０分） １．下列运算结果是正数的是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．３－１ Ｂ．－３２ 槡Ｃ．－｜－３｜ Ｄ．－３ ２．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快 速发展。据中国汽车工业协会发布的消息显示，２０２４年 １至３月，我国新能源汽车完成出口３０．７万辆。将３０．７ 万用科学记数法表示为３．０７×１０ｎ，则ｎ的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ４．如图，已知 ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ。若∠Ａ＝１１０°，则 ∠Ｄ的度数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．３６° Ｃ．３５° Ｄ．３０° 第４题图 第５题图 ５．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试。 如图是他最近五次测试成绩（满分为１００分）的折线统 计图，那么其平均数和方差分别是 （　　） Ａ．９５分，槡１０ Ｂ．９６分，槡１０ Ｃ．９５分，１０ Ｄ．９６分，１０ ６．如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平 地面上的影长ＢＣ为３５ｍ，又在点 Ｃ处测得该楼的顶端 Ａ的仰角为２９°，则用科学计算器计算教学楼高度的按键 顺序正确的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ７．如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多６尺８寸，门 的对角线长１丈，那么门的高和宽各为多少？（１丈 ＝ １０尺，１尺 ＝１０寸）若设门的高和宽分别为 ｘ尺和 ｙ 尺，则下面所列方程组正确的是 （　　） Ａ． ｘ＝ｙ－６．８， ｘ２＋１０２＝ｙ{ ２ Ｂ． ｘ＝ｙ－６．８， ｘ２＋ｙ２＝１０{ ２ Ｃ． ｘ＝ｙ＋６．８， ｘ２＋１０２＝ｙ{ ２ Ｄ． ｘ＝ｙ＋６．８， ｘ２＋ｙ２＝１０{ ２ ８．如图所示，在矩形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝２ＡＢ，点Ｍ，Ｎ分别在边 ＢＣ，ＡＤ上，连接ＭＮ，将四边形ＣＭＮＤ沿ＭＮ翻折，点Ｃ， Ｄ分别落在点Ａ，Ｅ处，则ｔａｎ∠ＡＭＮ的值为 （　　） 槡 槡 槡Ａ．２ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．５ 第８题图 　　 第９题图 ９．如图所示，正方形ＡＢＣＤ与ＡＥＦＧ（其中边ＢＣ，ＥＦ分别 在ｘ，ｙ轴的正半轴上）的公共顶点Ａ在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ的图象上，直线 ＤＧ与 ｘ，ｙ轴分别相交于点 Ｍ，Ｎ。 若这两个正方形的面积之和为 １５ ２，且ＭＤ＝４ＧＮ，则ｋ的 值为 （　　） Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ １０．某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼。 两人都从Ａ地匀速出发，甲健步走向 Ｂ地，途中偶遇 一位朋友，驻足交流１０ｍｉｎ后，继续以原速步行前进； 乙因故比甲晚出发３０ｍｉｎ，跑步到达Ｂ地后立刻以原 速返回，在返回途中与甲第二次相遇。上图表示甲、 乙两人之间的距离 ｙ（ｍ）与甲出发的时间 ｘ（ｍｉｎ）之 间的函数关系。那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为２０ｍｉｎ； ②甲出发８６ｍｉｎ时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ３６００ｍ； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后１００ｍｉｎ； ④Ａ，Ｂ两地之间的距离为１１２００ｍ。 其中正确的结论有 （　　） Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④ 二、填空题（本大题共５小题，每题４分，共２０分） １１．计算：槡 槡２７－２３＝　　　　。 １２．如图，已知Ａ，Ｂ两点的坐标分别为 Ａ（－３，１），Ｂ（－１， ３），将线段ＡＢ平移得到线段ＣＤ。若点Ａ的对应点为Ｃ （１，２），则点Ｂ的对应点Ｄ的坐标为　　　　。 第１２题图 　　 第１４题图 １３．若多项式４ｘ２－ｍｘｙ＋９ｙ２能用完全平方公式因式分解， 则ｍ的值为　　　　。 １４．如图，在边长为１０的菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相 交于点Ｏ，点Ｅ在ＢＣ的延长线上，ＯＥ与 ＣＤ相交于点 Ｆ。若∠ＡＣＤ＝２∠ＯＥＣ，ＯＦＦＥ＝ ５ ６，则菱形 ＡＢＣＤ的面积 为　　　　。 １５．如图，在平面直角坐标系中， 作直线ｘ＝ｉ（ｉ＝１，２，３，…）与 ｘ轴相交于点 Ａｉ，与抛物线 ｙ ＝１４ｘ ２相交于点 Ｂｉ，连接 ＡｉＢｉ＋１，ＢｉＡｉ＋１相交于点Ｃｉ，得 △ＡｉＢｉＣｉ和△Ａｉ＋１Ｂｉ＋１Ｃｉ，若将其面积之比记为 ａｉ＝ Ｓ△ＡｉＢｉＣｉ Ｓ△Ａｉ＋１Ｂｉ＋１Ｃｉ ，则ａ２０２４＝　　　　。 三、解答题（本大题共８小题，共９０分。解答要写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤） １６．（１０分）解不等式组： １ ２＋２ｘ＜－ ３ ２ｘ＋４， ｘ－３＜１＋２ｘ{ ， 并求所有整 数解的和。 １７．（１０分）如图，已知 ＡＢ＝ＣＤ，点 Ｅ，Ｆ在线段 ＢＤ上，且 ＡＦ＝ＣＥ。 请从①ＢＦ＝ＤＥ；②∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＥ；③ＡＦ＝ＣＦ中，选择 一个合适的选项作为已知条件，使得△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ。 你添加的条件是：　　　　（只填写一个序号）。 添加条件后，请证明ＡＥ∥ＣＦ。 １８．（１０分）化简分式： ａ ２－ｂ２ ａ２－２ａｂ＋ｂ２ ＋１－ａ－ｂａ－ｂ，并求值（请 从小宇和小丽的对话中确定ａ，ｂ的值）。 　 －１３－ ４ 淄博市２０２４年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１５０分） 　－１６　－ １９．（１０分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查 目的 了解本校学生：（１）周家务劳动的时间；（２）最 喜欢的劳动课程。 调查 方式 随机问卷调查 调查 对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时 间都在１—３．５ｈ范围内） 调查 内容 （１）你的周家务劳动时间（单位：ｈ）是①１—１．５ ②１．５—２　③２—２．５　④２．５—３　⑤３—３．５ （２）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） Ａ．家政　Ｂ．烹饪　Ｃ．剪纸　Ｄ．园艺　Ｅ．陶艺 调查 结果 　　周家务劳动时间　　　　周家务劳动时间 　　　频数直方图　　　　　　扇形统计图 劳动课程条形统计图 结合调查信息，回答下列问题： （１）参与本次问卷调查的学生人数为　　　　；在扇形统 计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为　　　　度； （２）补全周家务劳动时间的频数直方图； （３）若该校七年级学生共有８００人，请估计最喜欢“烹 饪”课程的学生人数； （４）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课 程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求 两人恰好选到同一门课程的概率。 ２０．（１２分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心 健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐 年增多，从 ２０２１年的 ３２万人增加到 ２０２３年的 ５０ 万人。 （１）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （２）为支持市民的健身运动，市政府决定从 Ａ公司购 买某种套装健身器材。该公司规定：若购买不超过 １００套，每套售价１６００元；若超过１００套，每增加１０ 套，售价每套可降低 ４０元，但最低售价不得少于 １ ０００元。已知市政府向该公司支付货款２４万元，求购 买的这种健身器材的套数。 ２１．（１２分）如图，一次函数ｙ＝ｋ１ｘ＋２的图象与反比例函 数ｙ＝ ｋ２ ｘ的图象相交于 Ａ（ｍ，４），Ｂ两点，与 ｘ，ｙ轴分 别相交于点Ｃ，Ｄ，且ｔａｎ∠ＡＣＯ＝２。 （１）分别求这两个函数的表达式； （２）以点Ｄ为圆心，线段 ＤＢ的长为半径作弧与 ｘ轴 正半轴相交于点Ｅ，连接ＡＥ，ＢＥ。求△ＡＢＥ的面积； （３）根据函数的图象直接写出关于ｘ的不等式ｋ１ｘ＋２ ＞ ｋ２ ｘ的解集。 ２２．（１３分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开 展研究性学习。 【操作发现】 小明作出了⊙Ｏ的内接等腰三角形 ＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ，并在 边ＢＣ上任取一点Ｄ（不与点Ｂ，Ｃ重合），连接ＡＤ，然后 将△ＡＢＤ绕点Ａ逆时针旋转得到△ＡＣＥ，如图１。 小明发现：ＣＥ与⊙Ｏ的位置关系是　　　　，请说明 理由； 【实践探究】 连接 ＤＥ，与 ＡＣ相交于点 Ｆ，如图 ２。小明又发现：当 △ＡＢＣ确定时，线段 ＣＦ的长存在最大值。请求出当 ＡＢ 槡＝３ １０，ＢＣ＝６时，ＣＦ长的最大值； 【问题解决】 在图２中，小明进一步发现：点 Ｄ分线段 ＢＣ所成的比 ＣＤ∶ＢＤ与点Ｆ分线段 ＤＥ所成的比 ＤＦ∶ＥＦ始终相等， 请予以证明。 图１ 　 图２ ２３．（１３分）如图，抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３与 ｘ轴相交于 Ａ （ｘ１，０），Ｂ（ｘ２，０）两点（点Ａ在点Ｂ的左侧），其中ｘ１，ｘ２ 是方程ｘ２－２ｘ－３＝０的两个根，抛物线与 ｙ轴相交于 点Ｃ。 （１）求该抛物线对应的函数表达式； （２）已知直线ｌ：ｙ＝３ｘ＋９与ｘ，ｙ轴分别相交于点Ｄ，Ｅ。 ①设直线ＢＣ与ｌ相交于点 Ｆ，问在第三象限内的抛物 线上是否存在点Ｐ，使得∠ＰＢＦ＝∠ＤＦＢ？若存在，求出 点Ｐ的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点Ｍ作直线ＢＣ的平行线，与抛物线相 交于另一点Ｎ。设直线 ＢＭ，ＣＮ相交于点 Ｑ，连接 ＱＤ， ＱＥ。求线段ＱＤ＋ＱＥ的最小值。 　 备用图 －１５－ ∴ＡＢ∥ＣＤ。∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ。 ∵ＢＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ＝９０°。 ∵ＢＥ＝ＤＦ，∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）。∴ＡＢ＝ＣＤ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。 （２）解：当∠ＡＢＥ等于３０°时，四边形ＡＢＣＤ是矩形。 理由：∵ＡＢ＝ＯＢ，ＢＥ⊥ＯＡ， ∴∠ＡＢＯ＝２∠ＡＢＥ＝６０°。 ∴△ＡＯＢ是等边三角形。 ∴ＯＡ＝ＯＢ，∠ＢＡＯ＝６０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＣ＝２ＯＡ，ＢＤ＝２ＯＢ。 ∴ＡＣ＝ＢＤ。∴四边形ＡＢＣＤ是矩形。 ∴∠ＡＢＣ＝９０°。∴ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ｔａｎ６０°＝ＢＣＡＢ 槡＝３。 ２４．解：（１）设第ｘ天的单价ｍ（元／盒）与ｘ满足的一次函 数关系式为ｍ＝ｋｘ＋ｂ。 由题表，知当ｘ＝１时，ｍ＝５０；当ｘ＝２时，ｍ＝４８， ∴ ｋ＋ｂ＝５０，２ｋ＋ｂ＝４８{ ，解得 ｋ＝－２，ｂ＝５２{ 。 ∴ｍ＝－２ｘ＋５２。 故答案为（－２ｘ＋５２）。 （２）根据题意，得ｙ１＝（－２ｘ＋５２）（１０ｘ＋１０）－７４５ ＝－２０ｘ２＋５００ｘ－２２５， 所以Ａ樱桃园第 ｘ天的利润 ｙ１（元）与 ｘ的函数关系 式为ｙ１＝－２０ｘ ２＋５００ｘ－２２５。 （３）①∴二次函数 ｙ２＝ａｘ ２＋ｂｘ＋２５的图象经过点 （１，４９５），（２，９０５）， ∴ ａ＋ｂ＋２５＝４９５，４ａ＋２ｂ＋２５＝９０５{ ，解得 ａ＝－３０，ｂ＝５００{ 。 ∴ｙ２＝－３０ｘ ２＋５００ｘ＋２５。 故答案为ｙ２＝－３０ｘ ２＋５００ｘ＋２５。 ②ｙ１＋ｙ２＝（－２０ｘ ２＋５００ｘ－２２５）＋（－３０ｘ２＋５００ｘ＋ ２５）＝－５０ｘ２＋１０００ｘ－２００ ＝－５０（ｘ－１０）２＋４８００。 ∵－５０＜０，∴当ｘ＝１０时，ｙ１＋ｙ２取最大值４８００。 ∴第１０天两处樱桃园的利润之和最大，最大为 ４８００元。 （４）∵ｙ２＞ｙ１，∴ －３０ｘ ２＋５００ｘ＋２５＞－２０ｘ２＋５００ｘ－ ２２５，即－１０ｘ２＞－２５０，解得－５＜ｘ＜５。 ∵ｘ取正整数，∴１≤ｘ≤４。∴这１５天中共有４天 Ｂ 樱桃园的利润ｙ２比Ａ樱桃园的利润ｙ１大。 故答案为４。 ２５．解：（１）根据题意，得ＡＮ＝ＡＣ－ＤＥ＝２ｃｍ，ＥＮ＝ｔｃｍ， ＯＡ＝２ｔｃｍ， ∴ＡＥ＝ＡＮ＋ＥＮ＝（２＋ｔ）ｃｍ。 ∵点Ａ在线段ＯＥ的垂直平分线上， ∴ＡＥ＝ＯＡ，即２＋ｔ＝２ｔ，解得ｔ＝２，符合题意。 ∴当ｔ为２时，点Ａ在线段ＯＥ的垂直平分线上。 （２）如图１，过点 Ｏ作 ＯＧ⊥ＡＣ于点 Ｇ，ＯＨ⊥ＢＣ于点 Ｈ，连接ＯＣ， 则∠ＯＧＡ＝∠ＢＨＯ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴ＯＧ∥ＢＣ，ＯＨ∥ＡＣ。 ∴ＯＧＢＣ＝ ＡＯ ＡＢ， ＯＨ ＡＣ＝ ＯＢ ＡＢ。 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝１０ｃｍ， ∴ＯＢ＝（１０－２ｔ）ｃｍ。 ∴ＯＧ６＝ ２ｔ １０， ＯＨ ８＝ １０－２ｔ １０ 。 解得ＯＧ＝６ｔ５ｃｍ，ＯＨ＝ ４０－８ｔ ５ ｃｍ。 由平移可知ＰＣ∥ＤＦ，且ＤＥ＝ＤＦ， ∴ＰＣＦＤ＝ ＣＥ ＤＥ。 ∴ＰＣ＝ＣＥ＝（６－ｔ）ｃｍ。 ∴Ｓ＝Ｓ△ＰＣＯ ＋Ｓ△ＣＥＯ ＝ １ ２ＰＣ·ＯＨ＋ １ ２ＣＥ·ＯＧ＝ １ ２ＰＣ（ＯＨ＋ＯＧ）＝ １ ２（６－ｔ） ４０－８ｔ ５ ＋ ６ｔ( )５ ＝１５ｔ２－ ２６ ５ｔ＋２４。 图１ 图２ （３）如图２，过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＢ于点Ｍ， ∴∠ＢＭＰ＝∠ＢＣＡ＝９０°。 ∵∠ＰＢＭ＝∠ＡＢＣ， ∴△ＢＭＰ∽△ＢＣＡ。 ∴ＢＭＢＣ＝ ＰＭ ＡＣ＝ ＰＢ ＡＢ，即 ＢＭ ６＝ ＰＭ ８＝ ｔ １０。 ∴ＢＭ＝３５ｔｃｍ，ＰＭ＝ ４ ５ｔｃｍ。 ∴ ＯＭ ＝ＡＢ －ＢＭ －ＯＡ＝１０－ ３５ ｔ－２ｔ＝ １０－１３５( )ｔｃｍ。 ∵ＯＱ⊥ＡＢ，△ＡＯＨ与△ＡＯＱ关于直线ＡＢ对称， ∴ｔａｎ∠ＯＡＱ＝ＯＱＯＡ＝ ＢＣ ＡＣ＝ ６ ８＝ ３ ４，即 ＯＱ ２ｔ＝ ３ ４。 ∴ＯＨ＝ＯＱ＝３２ｔｃｍ。 ∵ＯＰ∥ＢＨ， ∴∠ＭＯＰ＝∠ＯＢＨ。 ∵ｔａｎ∠ＭＯＰ＝ＰＭＯＭ＝ ４ ５ｔ １０－１３５ｔ ， ｔａｎ∠ＯＢＨ＝ＯＨＯＢ＝ ３ ２ｔ １０－２ｔ， ∴ ４ ５ｔ １０－１３５ｔ ＝ ３ ２ｔ １０－２ｔ。解得ｔ＝ ７０ ２３，符合题意。 ∴当ｔ＝７０２３时，ＯＰ∥ＢＨ。 ４淄博市２０２４年初中学业水平考试 １．Ａ　【解析】３－１＝１３，－３ ２＝－９，－｜－３｜＝－３， 槡－３＝ 槡－３。 槡∵－９＜－３＜－３＜０＜ １ ３，∴３ －１是正数。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ．是轴对称图形，不是中心对称图形；Ｂ．不 是轴对称图形，是中心对称图形；Ｃ．既是轴对称图形， 又是中心对称图形；Ｄ．是轴对称图形，不是中心对称图 形。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】∵３０．７万＝３０７０００＝３．０７×１０５，∴ｎ＝５。 故选Ｂ                                                                  。 —９— ４．Ｃ　【解析】∵ＡＤ∥ＢＣ，∠Ａ＝１１０°， ∴∠Ｄ＝∠ＣＢＤ，∠ＡＢＣ＝７０°。 ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝∠Ｄ＝３５°。 故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】平均数为 １５×（９２＋９６＋９３＋１００＋９９）＝ ９６（分），方差为 １５×［（９２－９６） ２＋（９６－９６）２＋（９３－ ９６）２＋（１００－９６）２＋（９９－９６）２］＝１０。故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】∵ｔａｎＣ＝ＡＢＢＣ，ＢＣ＝３５ｍ，∠Ｃ＝２９°， ∴ＡＢ＝ＢＣ·ｔａｎＣ＝３５×ｔａｎ２９°。故选Ａ。 ７．Ｄ　【解析】∵矩形门的高比宽多６尺８寸， ∴ｘ－ｙ＝６．８。 ∵门的对角线为１丈，∴ｘ２＋ｙ２＝１０２。 联立并整理，得 ｘ＝ｙ＋６．８， ｘ２＋ｙ２＝１０２{ 。故选Ｄ。 ８．Ａ　【解析】如图，连接ＡＣ，交ＭＮ于点Ｏ。 ∵点Ｃ经ＭＮ翻折后落到点Ａ， ∴ＡＣ⊥ＭＮ，∠ＣＭＯ＝∠ＡＭＯ。 ∴∠ＣＯＭ＝９０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠Ｂ＝９０°。 ∵∠ＡＣＢ＝∠ＭＣＯ，∠Ｂ＝∠ＣＯＭ， ∴△ＡＢＣ∽△ＭＯＣ。 ∴∠ＡＭＮ＝∠ＣＭＮ＝∠ＢＡＣ。 ∵ＢＣ＝２ＡＢ，∴ｔａｎ∠ＡＭＮ＝ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ＢＣＡＢ＝２。 故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】由题意，得△ＮＦＧ∽△ＧＡＤ∽△ＤＣＭ。 设ＡＥ＝ａ，ＡＢ＝ｂ，则点Ａ的坐标为（ａ，ｂ）。 ∴ＮＧＤＭ＝ ＦＧ ＣＭ＝ １ ４，即ＣＭ＝４ａ。 ∵ＡＧＣＤ＝ ＡＤ ＣＭ，∴ ａ ｂ＝ ｂ ４ａ，即ｂ＝２ａ。 ∵ａ２＋ｂ２＝１５２，∴ａ＝ 槡６ ２。∴Ａ 槡６ ２，槡( )６。 ∴ｋ＝槡６２ 槡×６＝３。故选Ｃ。 １０．Ｂ　【解析】由题图可知，当 ｘ＝５０时，ｙ＝０，即甲出发 ５０ｍｉｎ时，甲、乙两人第一次相遇，乙的锻炼用时为５０ －３０＝２０（ｍｉｎ）。故①正确； 由题图可知，当ｘ＝８６时，ｙ取得最大值３６００，即甲出 发８６ｍｉｎ时，两人之间的距离达到最大值３６００ｍ。故 ②正确； ∵两人第一次相遇时，甲用时４０ｍｉｎ，乙用时２０ｍｉｎ， ∴乙的速度是甲的速度的２倍。 设甲的速度为ａｍ／ｍｉｎ，则乙的速度为２ａｍ／ｍｉｎ。 由题图，得３６×２ａ－３６×ａ＝３６００，解得ａ＝１００。 ∴甲的速度为１００ｍ／ｍｉｎ，乙的速度为２００ｍ／ｍｉｎ。 ∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ８６＋ ３６００÷（１００＋２００）＝９８（ｍｉｎ）。故③错误； ∴Ａ，Ｂ两地之间的距离为（８６－３０）×２００＝１１２００（ｍ）。 故④正确。故选Ｂ。 １１．槡３　【解析】槡 槡 槡 槡 槡２７－２３＝３３－２３＝３。 １２．（３，４）　【解析】∵Ａ（－３，１），Ｃ（１，２）， ∴线段ＡＢ向右平移了１－（－３）＝４个单位长度，向 上平移了２－１＝１个单位长度。 ∵Ｂ（－１，３），∴Ｄ（－１＋４，３＋１），即点Ｄ的坐标为（３， ４）。 １３．１２或－１２　【解析】由题意，得（－ｍ）２－４×４×９＝０， 解得ｍ＝±１２。 １４．９６　【解析】如图，取ＣＤ的中点 Ｇ，连接 ＯＧ，则 ＯＧ是 △ＤＢＣ的中位线。 ∵ＢＣ＝１０，∴ＯＧ＝５。 ∵ＯＦＦＥ＝ ５ ６，∴ ＯＧ ＣＥ＝ ５ ６。∴ＣＥ＝６。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ。 ∵∠ＡＣＤ＝２∠ＯＥＣ，∴∠ＡＣＢ＝２∠ＯＥＣ。 ∴∠ＯＥＣ＝∠ＣＯＥ。∴ＯＣ＝ＣＥ＝６。 ∵ＢＣ＝１０，∴ＯＢ＝８。 ∴ＡＣ＝２ＯＣ＝１２，ＢＤ＝２ＯＢ＝１６。 ∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ １ ２×１２×１６＝９６。 １５．２０２４ ４ ２０２５４ 　【解析】∵ＡｉＢｉ∥Ａｉ＋１Ｂｉ＋１， ∴△ＡｉＢｉＣｉ∽△Ｂｉ＋１Ａｉ＋１Ｃｉ。　 ∴ ａｉ ＝ Ｓ△ＡｉＢｉＣｉ Ｓ△Ａｉ＋１Ｂｉ＋１Ｃｉ ＝ ＡｉＢｉ Ａｉ＋１Ｂｉ( )＋１ ２ ＝ １ ４ｉ ２ １ ４（ｉ＋１）         ２ ２ ＝ ｉ ４ （ｉ＋１）４ 。 ∴ａ２０２４＝ Ｓ△Ａ２０２４Ｂ２０２４Ｃ２０２４ Ｓ△Ａ２０２５Ｂ２０２５Ｃ２０２４ ＝２０２４ ４ ２０２５４ 。 １６．解：解第一个不等式，得ｘ＜１； 解第二个不等式，得ｘ＞－４。 因此不等式组的解集为－４＜ｘ＜１。 所有整数解的和为（－３）＋（－２）＋（－１）＋０＝－６。 １７．解：若选①。 证明：在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中， ＡＢ＝ＣＤ， ＡＦ＝ＣＥ， ＢＦ＝ＤＥ{ ， ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＳＳＳ）。∴∠ＡＦＢ＝∠ＣＥＤ。 ∴∠ＡＦＥ＝∠ＣＥＦ。∴ＡＦ∥ＣＥ。 又∵ＡＦ＝ＣＥ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形。 ∴ＡＥ∥ＣＦ。 若选②。 证明：在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＥ， ＡＦ＝ＣＥ{ ， ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＳＡＳ）。∴∠ＡＦＢ＝∠ＣＥＤ。 ∴∠ＡＦＥ＝∠ＣＥＦ。∴ＡＦ∥ＣＥ。 又∵ＡＦ＝ＣＥ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形。 ∴ＡＥ∥ＣＦ。 若选③，则无法证明ＡＥ∥ＣＦ。 １８．解：原式＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） （ａ－ｂ）２ ＋１－ａ－ｂａ－ｂ ＝ ａ＋ｂ ａ－ｂ＋ １－ａ－ｂ ａ－ｂ ＝ １ａ－ｂ。 由题图，得ａ＝－３，ｂ＝２                                                                  ， —０１— 所以原式＝ １ａ－ｂ＝ １ －３－２＝－ １ ５。 １９．解：（１）参与本次问卷调查的学生人数为２０÷２０％ ＝ １００；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的 度数为３５÷１００×３６０°＝１２６°。 故答案为１００；１２６。 （２）１００－１０－２０－３５－１０＝２５。 补全频数直方图如图。 周家务劳动时间频数直方图 （３）（１００－１８－２０－２４－１６）÷１００×８００＝１７６。 答：最喜欢“烹饪”课程的学生人数为１７６。 （４）设“家政”“烹饪”“剪纸”“园艺”“陶艺”分别为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ。列表如下： Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ａ （Ａ，Ａ） （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） （Ａ，Ｄ） （Ａ，Ｅ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｂ） （Ｂ，Ｃ） （Ｂ，Ｄ） （Ｂ，Ｅ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｃ） （Ｃ，Ｄ） （Ｃ，Ｅ） Ｄ （Ｄ，Ａ） （Ｄ，Ｂ） （Ｄ，Ｃ） （Ｄ，Ｄ） （Ｄ，Ｅ） Ｅ （Ｅ，Ａ） （Ｅ，Ｂ） （Ｅ，Ｃ） （Ｅ，Ｄ） （Ｅ，Ｅ） 共有２５种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门 课程的结果有５种，所以两人恰好选到同一门课程的 概率为 ５ ２５＝ １ ５。 ２０．解：（１）设该市参加健身运动人数的年均增长率为ｘ， 根据题意，得３２×（１＋ｘ）２＝５０。 解得ｘ＝０．２５＝２５％（负值已舍去）。 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为２５％。 （２）设购买这种健身器材ａ套。 ∵１６００×１００＝１６００００＜２４００００，∴ａ＞１００。 根据题意，得 １６００－ａ－１００１０( )×４０ａ＝２４００００。 解得ａ１＝２００，ａ２＝３００。 当ａ＝２００时，健身器材的售价为１６００－ａ－１００１０ ×４０ ＝１２００（元），符合题意； 当ａ＝３００时，健身器材的售价为１６００－ａ－１００１０ ×４０ ＝８００（元），不符合题意，舍去。 答：购买这种健身器材２００套。 ２１．解：（１）∵一次函数的表达式为ｙ＝ｋ１ｘ＋２， ∴Ｄ（０，２）。∴ＯＤ＝２。 ∵ｔａｎ∠ＡＣＯ＝２，∴ＯＣ＝１。∴Ｃ（－１，０）。 把Ｃ（－１，０）代入一次函数的表达式ｙ＝ｋ１ｘ＋２， 得－ｋ１＋２＝０，解得ｋ１＝２。 ∴一次函数的表达式为ｙ＝２ｘ＋２。 把Ａ（ｍ，４）代入一次函数的表达式ｙ＝２ｘ＋２， 得２ｍ＋２＝４，解得ｍ＝１。∴Ａ（１，４）。 把Ａ（１，４）代入反比例函数ｙ＝ ｋ２ ｘ，得ｋ２＝４。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝４ｘ。 （２）联立一次函数和反比例函数的表达式，得 ｙ＝２ｘ＋２， ｙ＝４ｘ{ ， 解得 ｘ＝１，ｙ{ ＝４或 ｘ＝－２，ｙ＝－２{ 。 ∴点Ｂ的坐标为（－２，－２）。 ∴ＢＤ＝ （２－０）２＋［２－（－２）］槡 ２ 槡＝２５。 ∴ＤＥ＝ＢＤ 槡＝２５。 又∵ＯＤ＝２，∴ＯＥ＝４。 ∴点Ｅ的坐标为（４，０）。 ∴ＣＥ＝ＯＣ＋ＯＥ＝５。 ∴Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＣＥ＋Ｓ△ＢＣＥ＝ １ ２×５×４＋ １ ２×５×２＝１５。 （３）∵Ａ（１，４），Ｂ（－２，－２）， ∴不等式ｋ１ｘ＋２＞ ｋ２ ｘ的解集为－２＜ｘ＜０或ｘ＞１。 ２２．解：【操作发现】相切 理由：如图１，连接ＯＡ，ＯＣ。 图１ 设∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝２α， ∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝α， ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＝１８０°－２α２ ＝９０°－α。 ∴∠ＯＣＥ＝∠ＯＣＡ＋∠ＡＣＥ＝α＋９０°－α＝９０°。 ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径， ∴ＣＥ与⊙Ｏ的位置关系是相切。故答案为相切。 【实践探究】∵∠ＤＡＣ＝∠ＦＡＤ，∠ＡＤＦ＝∠ＡＣＤ， ∴△ＡＤＦ∽△ＡＣＤ。∴ＡＣＡＤ＝ ＡＤ ＡＦ。∴ＡＦ＝ ＡＤ２ ＡＣ。 ∵ＡＣ为定值，∴ＡＤ越小，ＡＦ越小，ＣＦ越大。 当ＡＤ⊥ＢＣ时，ＡＤ取得最小值，ＣＦ取得最大值。 ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＤ＝３。 ∴ＡＤ＝ ＡＢ２－ＢＤ槡 ２＝ （ 槡３ １０） ２－３槡 ２＝９。 ∴ＡＦ＝ＡＤ ２ ＡＣ＝ ９２ 槡３ １０ ＝ 槡２７ １０１０ 。 ∴ＣＦ＝ＡＣ－ＡＦ 槡＝３ １０－ 槡 ２７ １０ １０ ＝ 槡３ １０ １０ ， 即ＣＦ的最大值为 槡３ １０１０ 。 【问题解决】如图２，作ＦＭ⊥ＣＤ，ＦＮ⊥ＣＥ，垂足分别为 Ｍ，Ｎ。 图                                                                  ２ —１１— ∵∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ，∴ＣＦ平分∠ＤＣＥ。∴ＦＭ＝ＦＮ。 ∴ Ｓ△ＤＦＣ Ｓ△ＥＦＣ ＝ １ ２ＣＤ·ＦＭ １ ２ＣＥ·ＦＮ ＝ＤＦＥＦ。∴ ＣＤ ＣＥ＝ ＤＦ ＥＦ。 ∵ＣＥ＝ＢＤ，∴ＣＤＢＤ＝ ＤＦ ＥＦ。 ２３．解：（１）解方程ｘ２－２ｘ－３＝０，得ｘ１＝－１，ｘ２＝３。 ∴Ａ（－１，０），Ｂ（３，０）。 把点Ａ，Ｂ的坐标代入抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３，得 ａ－ｂ＋３＝０， ９ａ＋３ｂ＋３＝０{ ，解得 ａ＝－１，ｂ＝２{ 。 ∴抛物线对应的函数表达式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３。 （２）①存在。 理由：∵直线ｌ与ｘ，ｙ轴分别相交于点Ｄ，Ｅ， ∴Ｄ（－３，０），Ｅ（０，９）。 ∵Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）， ∴直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋３。 联立直线ｌ与直线ＢＣ的表达式，得 ｙ＝３ｘ＋９， ｙ＝－ｘ＋３{ ，解得 ｘ＝－３２， ｙ＝９２ { 。 ∴点Ｆ的坐标为 －３２，( )９２ 。 如图１，过点Ｆ作ＦＨ⊥ｘ轴，垂足为Ｈ，连接ＰＢ。过点 Ｐ作ＰＧ⊥ｙ轴，过点Ｂ作ＢＧ⊥ｘ轴，相交于点Ｇ。 图１ ∴点Ｈ的坐标为 －３２，( )０。 ∵Ｂ（３，０），∴ＢＨ＝３－ －( )３２ ＝９２。 ∵ＦＨ＝９２，∴ＦＨ＝ＢＨ。 ∴∠ＨＦＢ＝∠ＨＢＦ＝４５°。 ∵∠ＰＢＦ＝∠ＤＦＢ，∴∠ＤＦＨ＝∠ＰＢＨ。 ∴ｔａｎ∠ＰＢＨ＝ｔａｎ∠ＤＦＨ＝ＤＨＦＨ。 ∵ＤＨ＝－３２－（－３）＝ ３ ２， ∴ＤＨＨＦ＝ ３ ２ ９ ２ ＝１３。 ∵ＰＧ∥ｘ轴，∴∠ＰＢＨ＝∠ＢＰＧ。 ∴ｔａｎ∠ＰＢＨ＝ｔａｎ∠ＢＰＧ＝１３。 设点Ｐ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）。 ∵Ｂ（３，０），∴ＢＧ＝ｍ２－２ｍ－３，ＰＧ＝３－ｍ。 ∴ｔａｎ∠ＢＰＧ＝ｍ ２－２ｍ－３ ３－ｍ ＝ １ ３。 整理，得３ｍ２－５ｍ－１２＝０，解得ｍ＝３（舍去）或－４３。 ∴点Ｐ的坐标为 －４３，－ １３( )９ 。 综上所述，第三象限内的抛物线上存在点 Ｐ，使得 ∠ＰＢＦ＝∠ＤＦＢ，此时点Ｐ的坐标为 －４３，－ １３( )９ 。 ②设点Ｍ（ｘＭ，ｙＭ），Ｎ（ｘＮ，ｙＮ），直线 ＭＮ为 ｙ＝－ｘ＋ ｎ，直线ＣＮ为ｙ＝ｋ１ｘ＋３，直线ＢＭ为ｙ＝ｋ２（ｘ－３）。 联立直线ＭＮ和抛物线的函数表达式，得 ｙ＝－ｘ＋ｎ， ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３{ ， ∴ｘ２－３ｘ＋ｎ－３＝０。∴ｘＭ＋ｘＮ＝３。 将直线ＣＮ：ｙ＝ｋ１ｘ＋３代入ｙ＝－ｘ ２＋２ｘ＋３， 得ｋ１＝－ｘＮ＋２； 将直线ＢＭ：ｙ＝ｋ２（ｘ－３）代入ｙ＝－ｘ ２＋２ｘ＋３， 得ｋ２＝－ｘＭ－１。 联立直线ＣＮ和直线ＢＭ的函数表达式，得 ｙ＝ｋ１ｘ＋３， ｙ＝ｋ２（ｘ－３{ ）， ∴ｘ＝ ３（１＋ｋ２） ｋ２－ｋ１ ＝ ３（１－ｘＭ－１） －ｘＭ－１－（－ｘＮ＋２） ＝ －３ｘＭ ｘＮ－ｘＭ－３ ＝ －３ｘＭ （ｘＮ－３）－ｘＭ ＝ －３ｘＭ －２ｘＭ ＝３２。 ∴点Ｑ在直线ｘ＝３２上运动。 如图２，作点 Ｅ关于直线 ｘ＝３２的对称点 Ｅ′，连接 ＤＥ′，则点 Ｑ位于 ＤＥ′与直线 ｘ＝３２的交点时，ＱＤ＋ ＱＥ取得最小值。 图２ ∵Ｅ（０，９），∴Ｅ′（３，９）。 ∴ＱＤ＋ＱＥ的最小值为 ［３－（－３）］２＋９槡 ２ 槡＝３ １３。 ５德州市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｃ　【解析】∵－２＜０＜１２ 槡＜２，∴最小的数是－２。 故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】选项 Ａ，Ｃ，Ｄ的图形都不能找到一个点，使 图形绕这一点旋转１８０度后与原来的图形重合，所以 不是中心对称图形；选项Ｂ的图形能找到一个点，使图 形绕这一点旋转１８０度后与原来的图形重合，所以是 中心对称图形。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．ａ２＋ａ２＝２ａ２，原计算错误，不符合题意； Ｂ．ａ（ａ＋１）＝ａ２＋ａ，原计算错误，不符合题意；Ｃ．ａ２· ａ４＝ａ６，正确，符合题意；Ｄ．（ａ－１）２＝ａ２－２ａ＋１，原计 算错误，不符合题意。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】从左边看，可得选项Ｃ的图形。故选Ｃ。 ５．Ａ　【解析】∵甲的成绩在９．６和９．７之间波动；乙的成 绩在９．３和１０之间波动；丙的成绩在９．５和１０之间波 动，∴ｓ甲 ＜ｓ丙 ＜ｓ乙．这三名运动员中成绩最稳定的是 甲。故选Ａ。 ６．Ｄ　【解析】根据实数ａ，ｂ在数轴上对应点的位置，得－ １＜ａ＜０，１＜ｂ＜２，∴｜ａ｜＜｜ｂ｜，ａ＋ｂ＞０，ａ＜ｂ，｜ａ－１｜ ＞｜ｂ－１｜。故选项Ａ，Ｂ不正确，不符合题意；选项Ｄ                                                                  正 —２１—