3.山东省青岛市2024年初中学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

　－１０　－ 一、选择题（本大题共９小题，每小题３分，共２７分） １．“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田 “大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储 油量达６００００立方米。将６００００用科学记数法表示为 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．６×１０３ Ｂ．６０×１０３ Ｃ．０．６×１０５ Ｄ．６×１０４ ２．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ在数轴上对应点的位置如图所示，这四个 实数中绝对值最小的是 （　　） Ａ．ａ Ｂ．ｂ Ｃ．ｃ Ｄ．ｄ ４．如图所示的正六棱柱，其俯视图是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ５．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ａ＋２ａ＝３ａ２ Ｂ．ａ５÷ａ２＝ａ３ Ｃ．（－ａ）２·ａ３＝－ａ５ Ｄ．（２ａ３）２＝２ａ６ ６．如图，将正方形 ＡＢＣＤ先向右平移，使点 Ｂ与原点 Ｏ重 合，再将所得正方形绕原点Ｏ顺时针方向旋转９０°，得到 四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，则点Ａ的对应点Ａ′的坐标为 （　　） Ａ．（－１，－２） Ｂ．（－２，－１） Ｃ．（２，１） Ｄ．（１，２） 第６题图 　　 第７题图 ７．为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边 形ＡＢＣＤＥ和正方形 ＣＤＦＧ中，ＣＦ，ＤＧ的延长线分别交 ＡＥ，ＡＢ于点Ｍ，Ｎ，则∠ＦＭＥ的度数为 （　　） Ａ．９０° Ｂ．９９° Ｃ．１０８° Ｄ．１３５° ８．如图，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的点，半径 ＯＡ＝３， ) ＡＢ＝ ) ＣＤ， ∠ＤＢＣ＝２５°，连接ＡＤ，则扇形ＡＯＢ的面积为 （　　） Ａ．５４π Ｂ． ５ ８π Ｃ． ５ ２π Ｄ． ５ １２π 第８题图 　　 第９题图 ９．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，对称轴为直 线 ｘ ＝ －１，则 过 点 Ｍ （ｃ，２ａ － ｂ）和 点 Ｎ（ｂ２－４ａｃ，ａ－ｂ＋ｃ）的直线一定不经过 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） １０．计算：槡１８＋( )１３ －１ －２ｓｉｎ４５°＝　　　　。 １１．图１和图２中的两组数据分别是甲、乙两地２０２４年５ 月２７日至３１日每天的最高气温，设这两组数据的方 差分别为 ｓ２甲，ｓ ２ 乙，则ｓ ２ 甲　　　　ｓ ２ 乙（填“＞”“＝”或 “＜”）。 图１ 图２ １２．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝１０，面积为６０，对角线ＡＣ 与ＢＤ相交于点 Ｏ，过点 Ａ作 ＡＥ⊥ＢＣ，交边 ＢＣ于点 Ｅ，连接ＯＥ，则ＯＥ＝　　　　。 第１２题图 　 　　第１３题图 １３．如图，某小区要在长为１６ｍ，宽为１２ｍ的矩形空地上 建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛 所占面积为空地面积的一半，则小路宽为　　　　ｍ。 １４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，以ＢＣ为直径的半圆Ｏ分别交 ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，过点Ｅ作半圆Ｏ的切线，交ＡＢ于点Ｍ， 交ＢＣ的延长线于点Ｎ。若ＯＮ＝１０，ｃｏｓＢ＝３５，则半径ＯＣ 的长为　　　　。 １５．如图１，将边长为２的正方形纸板沿虚线剪掉边长为１ 的小正方形，得到如图２的“纸板卡”，若用这样完全相 同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要　　　　块；如图 ３，将长、宽、高分别为４，２，２的长方体砖块，切割掉长、 宽、高分别为４，１，１的长方体，得到如图４的“直角砖 块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最 少需要　　　　块。 图１ 　　　 　 　 图２ 图３ 　 图４ 三、作图题（本大题满分４分，请用直尺、圆规作图，不写作 法，但要保留作图痕迹） １６．已知：如图，四边形ＡＢＣＤ，Ｅ是边ＣＤ上一点。 求作：四边形内一点Ｐ，使ＥＰ∥ＢＣ，且点Ｐ到ＡＢ，ＡＤ的 距离相等。 四、解答题（本大题共９小题，共７１分） １７．（９分）（１）解不等式组： ｘ－１ ２ ≤１， ｘ＜３（ｘ＋２{ ）； （２）先化简 ａ ２＋１ ａ( )－２ ÷ａ ２－１ ａ ，再从 －２，０，３中选一个 合适的数作为ａ的值代入求值。 １８．（６分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学 活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次 用字母Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示）中选择一处作为研学地点。为 了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调 查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统 计图。 根据图表信息，解答下列问题： （１）补全条形统计图，扇形统计图中Ａ所对应的圆心角 的度数为　　　　°； （２）该校共有１６００名学生，请你估计该校想去海洋馆 的学生人数； （３）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点， 研学后，学校从八年级各班分别随机抽取１０名学生开 展海洋知识竞赛。甲班１０名学生的成绩（单位：分）分 别为７５，８０，８０，８２，８３，８５，９０，９０，９０，９５；乙班１０名学生 的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别为 ８４， ８３，８８。根据以上数据判断　　　　（填“甲”或“乙”） 班的竞赛成绩更好。 －９－ ３ 青岛市２０２４年初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） 　－１２　－ １９．（６分）学校拟举办庆祝“中华人民共和国成立７５周年” 文艺汇演，每班选派一名志愿者。九年级（１）班的小明 和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获 胜者参加。规则如下：将牌面数字分别为１，２，３的三张 纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放 在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回 并洗匀，小红再从中随机摸出一张。若两次摸到的数字 之和大于４，则小明胜；若和小于４，则小红胜；若和等于 ４，则重复上述过程。 （１）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“１”的概率 是　　　　； （２）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方 是否公平。 ２０．（６分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡 角越小越安全。从安全性及适用性出发，小亮同学对所在 小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮 小亮解决方案中的问题。 方案 名称 滑梯安全改造 测量 工具 测角仪、皮尺等 方案 设计 如图，将滑梯顶端 ＢＣ拓宽为 ＢＥ，使 ＣＥ＝１ｍ， 并将原来的滑梯ＣＦ改为ＥＧ。（图中所有点均在 同一平面内，点Ｂ，Ｃ，Ｅ在同一直线上，点Ａ，Ｄ，Ｆ， Ｇ在同一直线上） 测量 数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度ＣＤ＝１．８ｍ； 【步骤二】在点Ｆ处用测角仪测得∠ＣＦＤ＝４２°； 【步骤三】在点Ｇ处用测角仪测得∠ＥＧＤ＝３２°。 解决 问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求 ＦＧ 的长 ( ） 参考数据：ｓｉｎ３２°≈１７３２，ｃｏｓ３２°≈ １７ ２０，ｔａｎ３２°≈ ５ ８，ｓｉｎ ４２°≈２７４０，ｃｏｓ４２°≈ ３ ４，ｔａｎ４２°≈ ９)１０ ２１．（８分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能 力，某校计划购买一批航空、航海模型。已知航空模 型的单价比航海模型的单价多３５元，用２０００元购买 航空模型的数量是用 １８００元购买航海模型数量 的 ４ ５。 （１）求航空和航海模型的单价； （２）学校采购时恰逢该商场“六一”儿童节促销：航空 模型八折优惠。若购买航空、航海模型共１２０个，且 航空模型数量不少于航海模型数量的 １ ２，请问分别购 买多少个航空和航海模型学校花费最少？ ２２．（８分）如图，Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ，Ａｎ＋１为反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ＞０）图象上的点，其横坐标依次为１，２，３，…，ｎ，ｎ＋ １。过点Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ作 ｘ轴的垂线，垂足分别为 Ｈ１，Ｈ２，Ｈ３，…，Ｈｎ；过点Ａ２作Ａ２Ｂ１⊥Ａ１Ｈ１于点Ｂ１，过点 Ａ３作Ａ３Ｂ２⊥Ａ２Ｈ２于点Ｂ２，……，过点Ａｎ＋１作Ａｎ＋１Ｂｎ⊥ ＡｎＨｎ于点Ｂｎ。 记△Ａ１Ｂ１Ａ２的面积为 Ｓ１，△Ａ２Ｂ２Ａ３的面积为 Ｓ２，……， △ＡｎＢｎＡｎ＋１的面积为Ｓｎ。 （１）当 ｋ＝２时，点 Ｂ１的坐标为　　　　，Ｓ１＋Ｓ２＝ 　　　　，Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝　　　　，Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋…＋ Ｓｎ＝　　　　（用含ｎ的代数式表示）； （２）当ｋ＝３时，Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋… ＋Ｓｎ＝　　　　（用 含ｎ的代数式表示）。 　 ２３．（８分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与 ＢＤ相 交于点Ｏ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ，ＢＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ 于点Ｆ，且ＢＥ＝ＤＦ。 （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形； （２）若ＡＢ＝ＯＢ，当∠ＡＢＥ等于多少度时，四边形 ＡＢ ＣＤ是矩形？请说明理由，并直接写出此时ＢＣＡＢ的值。 ２４．（１０分）５月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的 采摘销售季。为了解樱桃的收益情况，从第１天销售开 始，小明对自己家的两处樱桃园连续１５天的销售情况 进行了统计与分析： Ａ樱桃园：第ｘ天的单价、销售量与 ｘ的关系如表，第 ｘ 天的单价与ｘ近似地满足一次函数关系，已知每天的固 定成本为７４５元。 Ｂ樱桃园：第ｘ天的利润ｙ２（元）与ｘ的关系可以近似地 用二次函数ｙ２＝ａｘ ２＋ｂｘ＋２５刻画，其图象如图： 单价（元／盒） 销售量（盒） 第１天 ５０ ２０ 第２天 ４８ ３０ 第３天 ４６ ４０ 第４天 ４４ ５０ … … … 第ｘ天 １０ｘ＋１０ （１）Ａ樱桃园第ｘ天的单价为　　　　元／盒（用含ｘ的 代数式表示）； （２）求Ａ樱桃园第 ｘ天的利润 ｙ１（元）与 ｘ的函数关系 式（利润＝单价×销售量－固定成本）； （３）①ｙ２与ｘ的函数关系式是　　　　　　　　； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即 ｙ１＋ｙ２）最大， 最大为多少元？ （４）这１５天中，共有　　　　天 Ｂ樱桃园的利润 ｙ２比 Ａ樱桃园的利润ｙ１大。 ２５．（１０分）如图 １，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ ８ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，在Ｒｔ△ＥＤＦ中，∠ＥＤＦ＝９０°，ＤＥ＝ＤＦ ＝６ｃｍ，边ＢＣ与ＤＦ重合，且顶点 Ｅ与边 ＡＣ上的定点 Ｎ重合。如图２，△ＥＤＦ从图１所示位置出发，沿射线 ＮＣ方向匀速运动，速度为１ｃｍ／ｓ；同时，动点 Ｏ从点 Ａ 出发，沿 ＡＢ方向匀速运动，速度为２ｃｍ／ｓ。ＥＦ与 ＢＣ 交于 点 Ｐ，连 接 ＯＰ，ＯＥ。设 运 动 时 间 为 ｔ （ｓ）０＜ｔ≤１６( )５ 。 解答下列问题： （１）当ｔ为何值时，点Ａ在线段ＯＥ的垂直平分线上？ （２）设四边形 ＰＣＥＯ的面积为 Ｓ，求 Ｓ与 ｔ的函数关 系式； （３）如图３，过点Ｏ作ＯＱ⊥ＡＢ，交ＡＣ于点Ｑ，△ＡＯＨ与 △ＡＯＱ关于直线 ＡＢ对称，连接 ＢＨ。是否存在某一时 刻ｔ，使ＯＰ∥ＢＨ？若存在，求出 ｔ的值；若不存在，请说 明理由。 图１ 　 图２ 图３ －１１－ ∵点Ｅ在反比例函数的图象上， ∴（４ｎ－２）（６－２ｎ）＝１２。 解得 ｎ１＝ ３ ２，ｎ２＝２（不符合题意，舍去）。 ∴点Ｅ（３，４）。 ２４．解：（１）由抛物线 Ｃ１：ｙ＝ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ过点 Ａ（０，２）， Ｂ（２，２）， 得 ｃ＝２， ４＋２ｂ＋ｃ＝２{ ，解得 ｂ＝－２，ｃ＝２{ 。 ∴抛物线Ｃ１的表达式为ｙ＝ｘ ２－２ｘ＋２。 ∵ｙ＝ｘ２－２ｘ＋２＝（ｘ－１）２＋１， ∴顶点Ｄ的坐标为（１，１）。 （２）如图１，连接 ＤＥ，过点 Ｅ作 ＥＧ∥ｙ轴，交 ＡＤ延长 线于点Ｇ，过点 Ｄ作 ＤＨ⊥ＥＧ，垂足为 Ｈ，与 ｙ轴交于 点Ｈ′。 设点Ｅ的横坐标为ｔ。 设直线ＡＤ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 由题意，知 ｂ＝２， ｋ＋ｂ＝１{ ，解得 ｋ＝－１，ｂ＝２{ 。 ∴直线ＡＤ的表达式为 ｙ＝－ｘ＋２。 ∴点Ｅ（ｔ，ｔ２－２ｔ＋２），Ｇ（ｔ，２－ｔ）。 ∴ＥＧ＝ｔ２－ｔ。 ∵ＡＤＦＥ的面积为１２， ∴Ｓ△ＡＤＥ＝ １ ２Ｓ△四边形ＡＤＦＥ＝ １ ２×１２＝６。 ∴Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ△ＡＧＥ－Ｓ△ＤＧＥ＝ １ ２ＥＧ·Ｈ′Ｄ＝６。 ∵点Ｄ（１，１），∴Ｈ′Ｄ＝ＯＨ′＝１。 ∴ＥＧ＝１２。∴ｔ２－ｔ＝１２。 解得ｔ１＝４，ｔ２＝－３（不符合题意，舍去）。 ∴点Ｅ（４，１０）。 ∵点Ａ（０，２），∴ＯＡ＝２。∴ＡＨ′＝ＯＡ－ＯＨ′＝１。 ∴ＡＨ′＝Ｈ′Ｄ＝１。∴点 Ｅ先向右平移１个单位长度， 再向下平移１个单位长度，得到点Ｆ。 ∴点Ｆ（５，９）。 将点Ｆ（５，９）代入ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍ２－ｍ＋２（ｍ≠１）， 得ｍ２－１１ｍ＋１８＝０。 解得ｍ１＝２，ｍ２＝９。 图１ 　　　 图２ （３）如图２，过点Ｍ作ＭＰ⊥ｘ轴，垂足为 Ｐ，过点 Ｄ作 ＤＫ∥ｙ轴，过点Ｑ作ＱＫ∥ｘ轴，与ＤＫ交于点Ｋ。 设点Ｍ（ｈ，ｈ２－２ｈ＋２），Ｎ（ｎ，０）。 ∵ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍ２＋２－ｍ＝（ｘ－ｍ）２＋２－ｍ， ∴抛物线Ｃ２的顶点Ｑ（ｍ，２－ｍ）。 ∴ＤＫ＝｜１－（２－ｍ）｜＝｜ｍ－１｜，ＫＱ＝｜ｍ－１｜。 ∴ＤＫ＝ＫＱ，∠ＤＱＫ＝４５°。 ∵ＭＮ∥ＤＱ，ＫＱ∥ＮＰ， ∴∠ＭＮＰ＝∠ＤＱＫ＝４５°。 ∴∠ＮＭＰ＝４５°。 ∴ＭＰ＝ＮＰ。 ∴ｎ－ｈ＝ｈ２－２ｈ＋２。 ∴ｎ＝ｈ２－ｈ (＋２＝ ｈ－ )１２ ２ ＋７４。 ∴当ｈ＝１２时，ｎ＝ ７ ４。 ∴点 Ｎ横坐标的最小值为 ｎ＝７４，此时点 Ｎ到直线 ＢＤ距离最近，△ＢＤＮ的面积最小，即最近距离为边 ＢＤ上的高。 ∵点Ｂ（２，２），Ｄ（１，１），∴ＢＤ 槡＝２。 ∴△ＢＤＮ的高为 ７４× 槡２ ２＝ 槡７２ ８。 ∴△ＢＤＮ面积的最小值为 Ｓ△ＢＤＮ ＝ １ ２ × 槡７２ ８ 槡× ２ ＝７８。 ２５．解：（１）①∠ＡＣＤ　②ＡＣＡＤ （２）△ＡＥＢ是直角三角形。理由如下： ∵∠ＡＣＥ＝∠ＡＦＣ，∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＣ， ∴△ＡＣＦ∽△ＡＥＣ。 ∴ＡＣＡＥ＝ ＡＦ ＡＣ。 ∴ＡＣ２＝ＡＦ·ＡＥ。 由（１），得 ＡＣ２＝ＡＤ·ＡＢ， ∴ＡＦ·ＡＥ＝ＡＤ·ＡＢ。 ∴ＡＦＡＢ＝ ＡＤ ＡＥ。 ∵∠ＦＡＤ＝∠ＢＡＥ，∴△ＡＦＤ∽△ＡＢＥ。 ∴∠ＡＤＦ＝∠ＡＥＢ＝９０°。 ∴△ＡＥＢ是直角三角形。 （３）∵∠ＣＥＢ＝∠ＣＢＤ，∠ＥＣＢ＝∠ＢＣＤ， ∴△ＣＥＢ∽△ＣＢＤ。 ∴ＣＥＣＢ＝ ＣＢ ＣＤ。 ∴ＣＤ·ＣＥ＝ＣＢ２＝２４。 如图，以点Ａ为圆心，２为半径作⊙Ａ，则点 Ｃ，Ｄ都在 ⊙Ａ上，延长 ＣＡ到点 Ｅ０，使 ＣＥ０＝６，交⊙Ａ于点 Ｄ０， 则ＣＤ０＝４，∠ＣＤＤ０＝９０°。 ∴ＣＤ０·ＣＥ０＝２４＝ＣＤ·ＣＥ。 ∴ ＣＤ０ ＣＥ＝ ＣＤ ＣＥ０ 。 ∵∠ＥＣＥ０＝∠Ｄ０ＣＤ，∴△ＥＣＥ０∽△Ｄ０ＣＤ。 ∴∠ＣＥ０Ｅ＝∠ＣＤＤ０＝９０°。 ∴点Ｅ在过点Ｅ０且与ＣＥ０垂直的直线上运动。 过点Ｂ作ＢＥ′⊥Ｅ０Ｅ，垂足为 Ｅ′，ＢＥ′即为最短的 ＢＥ， 连接ＣＥ′。 ∵∠ＢＣＥ０＝∠ＣＥ０Ｅ′＝∠ＢＥ′Ｅ０＝９０°， ∴四边形ＣＥ０Ｅ′Ｂ是矩形。 ∴Ｅ０Ｅ′＝ＢＣ 槡＝２６。 在Ｒｔ△ＣＥ０Ｅ′中，ＣＥ′＝ （槡２６） ２＋６槡 ２ 槡＝２ １５， ∴当线段ＢＥ的长度取得最小值时，ＣＥ 槡＝２ １５。 ３青岛市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｄ　【解析】６００００＝６×１０４。故选Ｄ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ不是轴对称图形，是中心对称图形，不符 合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合 题意；Ｃ不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题 意；Ｄ既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意                                                                  。 —６— 故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】从数轴上看，离原点距离最近的点是实数 ｃ 对应的点，所以这四个实数中绝对值最小的是 ｃ。故 选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】根据题图所示的正六棱柱，可得其俯视图是 。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】ａ＋２ａ＝３ａ，故 Ａ不符合题意；ａ５÷ａ２＝ａ３， 故Ｂ符合题意；（－ａ）２·ａ３＝ａ５，故 Ｃ不符合题意； （２ａ３）２＝４ａ６，故Ｄ不符合题意。故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】由正方形ＡＢＣＤ先向右平移，使点Ｂ与原点 Ｏ重合，得点 Ａ的对应点 Ａ１（２，－１）；由正方形绕原点 Ｏ顺时针方向旋转９０°，得Ａ′（－１，－２）。 故选Ａ。 ７．Ｂ　【解析】∵五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形， ∴∠ＣＤＥ＝∠Ｅ＝（５－２）×１８０°５ ＝１０８°。 ∵四边形ＣＤＦＧ是正方形， ∴∠ＣＤＦ＝９０°，∠ＣＦＤ＝４５°。 ∴∠ＦＤＥ＝１０８°－９０°＝１８°，∠ＤＦＭ＝１８０°－４５°＝１３５°。 ∴∠ＦＭＥ＝３６０°－１８°－１３５°－１０８°＝９９°。 故选Ｂ。 ８．Ａ　【解析】如图，连接ＡＣ，则∠ＤＡＣ＝∠ＤＢＣ＝２５°。 ∵ ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＤＡＣ＝２５°。 ∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＤＢ＝５０°。 ∵ＯＡ＝３，∴扇形ＡＯＢ的面积为５０π×３ ２ ３６０ ＝ ５ ４π。 故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】∵函数图象开口向上，与 ｙ轴交于正半轴， 与ｘ轴没有交点，∴ａ＞０，ｃ＞０，ｂ２－４ａｃ＜０。 ∵对称轴为直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－１，∴ｂ＝２ａ＞０。 ∴２ａ－ｂ＝０。∴点Ｍ（ｃ，２ａ－ｂ）在ｘ轴正半轴上。 当ｘ＝－１时，ａ－ｂ＋ｃ＞０， ∴点Ｎ（ｂ２－４ａｃ，ａ－ｂ＋ｃ）在第二象限。 ∴过点Ｍ（ｃ，２ａ－ｂ）和点 Ｎ（ｂ２－４ａｃ，ａ－ｂ＋ｃ）的直线 一定不经过第三象限。故选Ｃ。 １０．槡２２＋３　【解析】原式 槡＝３２＋３－２×槡 ２ ２ 槡 槡＝３２＋３－２ 槡＝２２＋３。 １１．＜　【解析】甲地平均数：２８＋２９＋２６＋２８＋２９５ ＝ ２８（℃）， ｓ２甲 ＝（２８－２８） ２＋（２９－２８）２＋（２６－２８）２＋（２８－２８）２＋（２９－２８）２ ５ ＝１．２； 乙地平均数： ３２＋２４＋２２＋２８＋３４ ５ ＝２８（℃）， ｓ２乙 ＝（３２－２８） ２＋（２４－２８）２＋（２２－２８）２＋（２８－２８）２＋（３４－２８）２ ５ ＝２０．８。所以ｓ２甲 ＜ｓ ２ 乙。 １２．槡１０　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝１０。 ∵Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝６０，∴ＡＣ·ＢＤ＝１２０。 ∴ＯＢ·ＯＣ＝３０。 ∵ＯＢ２＋ＯＣ２＝ＢＣ２＝１００， ∴（ＯＢ＋ＯＣ）２－２ＯＢ·ＯＣ＝１００。 ∴ＯＢ＋ＯＣ 槡＝４ １０（负值已舍去）。 ∴ＯＢ 槡＝４ １０－ＯＣ。 ∴（ 槡４ １０－ＯＣ） ２＋ＯＣ２＝１００。 ∴ＯＣ 槡＝ １０。 ∵ＡＥ⊥ＢＣ，ＯＡ＝ＯＣ，∴ＯＥ＝ＯＣ 槡＝ １０。 １３．２　【解析】设小路宽为ｘｍ。 根据题意，得（１６－２ｘ）（１２－２ｘ）＝１２×１２×１６。 解得ｘ＝２或ｘ＝１２（舍去）。所以小路宽为２ｍ。 １４．６　【解析】如图，连接ＯＥ。 ∵ＯＥ＝ＯＣ，∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＣＥ。 ∵ＡＢ＝ＢＣ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＯＣＥ。∴∠ＯＥＣ＝∠ＢＡＣ。 ∴ＡＢ∥ＯＥ。∴∠ＡＢＣ＝∠ＥＯＣ。 ∵ｃｏｓＢ＝３５，∴ｃｏｓ∠ＥＯＣ＝ ３ ５。 ∵ＭＮ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＥＮ＝９０°。∴ＯＥＯＮ＝ ３ ５。 ∵ＯＮ＝１０，∴ＯＥ＝６。∴ＯＣ＝ＯＥ＝６。 １５．１２　１４４　【解析】先用２个题图２拼成一个长为３、宽 为２的长方形，面积为６，用６个这样的长方形拼成一 个面积为３６的正方形，此时边长为６，需要题图２的 个数为６×２＝１２；同理用２个题图４拼成长、宽、高分 别为４，３，２的长方体，用４×３＝１２个这样的长方体拼 成一个长、宽、高分别为１２，１２，２的长方体，用６个这 样的长方体拼成一个长、宽、高分别为１２，１２，１２的正 方体，此时需要题图４的个数为２×３×４×６＝１４４。 １６．解：如图，作∠ＤＡＢ的平分线ＡＭ，以Ｅ为顶点，ＥＤ为一 边作∠ＤＥＮ＝∠Ｃ，ＥＮ交ＡＭ于点Ｐ，点Ｐ即为所求。 １７．解：（１）解第一个不等式得ｘ≤３， 解第二个不等式得ｘ＞－３， 故原不等式组的解集为－３＜ｘ≤３。 （２）原式＝ａ ２＋１－２ａ ａ ÷ （ａ＋１）（ａ－１） ａ ＝（ａ－１） ２ ａ · ａ （ａ＋１）（ａ－１） ＝ａ－１ａ＋１。 ∵ａ≠０，（ａ＋１）（ａ－１）≠０， ∴ａ≠０，ａ≠±１。∴ａ＝－２或３                                                                  。 —７— 当ａ＝－２时，原式＝－２－１－２＋１＝３； 当ａ＝３时，原式＝３－１３＋１＝ １ ２。 １８．解：（１）总人数为５２÷２６％＝２００， 选择地点Ｄ的人数为２００－３０－５２－３８＝８０。 补全条形统计图如图。 Ａ所对应的圆心角的度数为３０２００×３６０°＝５４°。 故答案为５４。 （２）１６００×８０２００＝６４０， 即该校想去海洋馆的学生人数为６４０。 （３）根据题目数据，得甲班１０名学生的成绩的平均数 为 ７５＋８０×２＋８２＋８３＋８５＋９０×３＋９５ １０ ＝８５（分），中 位数为 ８３＋８５ ２ ＝８４（分），众数为９０分，则甲班的平均 数、中位数、众数都高于乙班，∴甲班的竞赛成绩 更好。 故答案为甲。 １９．解：（１）１３ （２）列表如下： 　　　小明 和 小红　　　 １ ２ ３ １ ２ ３ ４ ２ ３ ４ ５ ３ ４ ５ ６ 由表可知，共有９种等可能的结果，其中两次摸到的 数字之和大于４的结果有３种，两次摸到的数字之和 小于４的结果有３种，所以小明和小红获胜的概率均 为 ３ ９＝ １ ３。两人获胜的概率相等，所以游戏公平。 ２０．解：如图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＧ于点Ｈ。 由图可得，四边形ＣＤＨＥ是矩形， 则ＥＨ＝ＣＤ＝１．８ｍ，ＤＨ＝ＣＥ＝１ｍ。 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，∠ＣＦＤ＝４２°，ＣＤ＝１．８ｍ， ∴ＤＦ＝ ＣＤｔａｎ∠ＣＦＤ≈ １．８ ９ １０ ＝２（ｍ）。 ∴ＦＨ＝ＤＦ－ＤＨ＝２－１＝１（ｍ）。 在Ｒｔ△ＥＨＧ中，∠ＥＧＨ＝３２°，ＥＨ＝１．８ｍ， ∴ＧＨ＝ ＥＨｔａｎ∠ＥＧＨ≈ １．８ ５ ８ ＝２．８８（ｍ）。 ∴ＦＧ＝ＧＨ－ＦＨ＝１．８８（ｍ）。 答：调整后的滑梯会多占１．８８ｍ的一段地面。 ２１．解：（１）设航空模型的单价为ｘ元，则航海模型的单价 为（ｘ－３５）元。 根据题意，得 ２０００ ｘ ＝ １８００ ｘ－３５× ４ ５。解得ｘ＝１２５。 经检验，ｘ＝１２５是方程的解，且符合题意。 ∴ｘ－３５＝１２５－３５＝９０。 答：航空模型的单价为 １２５元，航海模型的单价为 ９０元。 （２）设购买航空模型 ｍ个，学校花费 ｗ元，则购买航 海模型（１２０－ｍ）个。 根据题意，得ｍ≥ １２（１２０－ｍ）。解得ｍ≥４０。 ｗ＝１２５×０．８ｍ＋９０（１２０－ｍ）＝１０ｍ＋１０８００。 ∵１０＞０， ∴ｗ随ｍ的增大而增大。 ∴当 ｍ＝４０时，ｗ取最小值，最小值为 １０×４０＋ １０８００＝１１２００， 此时１２０－ｍ＝１２０－４０＝８０。 答：购买航空模型 ４０个、航海模型 ８０个，学校花费 最少。 ２２．解：（１）当ｋ＝２时，ｙ＝ｋｘ＝ ２ ｘ。 ∵当ｘ＝１时，ｙ＝２；当ｘ＝２时，ｙ＝１， ∴Ａ１（１，２），Ａ２（２，１）。∴Ｂ１Ｈ１＝１。∴Ｂ１（１，１）。 ∵Ａ１ １，( )２１ ，Ａ２ ２，( )２２ ，Ａ３ ３，( )２３ ，Ａ４ ４，( )２４ ，…，Ａｎ ｎ，２( )ｎ ，Ａｎ＋１ ｎ＋１，２ｎ( )＋１， ∴Ｓ１＝ １ ２×１× ２ １－( )２２ ，Ｓ２＝１２×１× ２２－( )２３ ， Ｓ３ ＝ １ ２ ×１ × ２ ３－( )２４ ，…，Ｓｎ ＝ １２ ×１ × ２ｎ－ ２ ｎ( )＋１。 ∴Ｓ１＋Ｓ２＝ １ ２×１× ２ １－ ２ ２＋ ２ ２－( )２３ ＝１２×１× ２ １－( )２３ ＝２３，Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝１２×１× ２１－( )２４ ＝ ３ ４，…，Ｓ１ ＋Ｓ２ ＋Ｓ３ ＋… ＋Ｓｎ ＝ １ ２ ×１× ２ １－ ２ ｎ( )＋１＝ ｎｎ＋１。 故答案为（１，１），２３， ３ ４， ｎ ｎ＋１。 （２）∵当 ｋ＝３时，ｙ＝３ｘ，∴Ａ１ １，( )３１ ，Ａ２ ２，( )３２ ，Ａ３ ３，( )３３ ，…，Ａｎ ｎ，３( )ｎ ，Ａｎ＋１ ｎ＋１，３ｎ( )＋１。 ∴ Ｓ１ ＋ Ｓ２ ＋ Ｓ３ ＋ … ＋ Ｓｎ ＝ １ ２ × １ × ３ １－ ３ ｎ( )＋１ ＝ ３ｎ２ｎ＋２。 故答案为 ３ｎ ２ｎ＋２。 ２３．（１）证明：∵∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ                                                                  ， —８— ∴ＡＢ∥ＣＤ。∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ。 ∵ＢＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ＝９０°。 ∵ＢＥ＝ＤＦ，∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）。∴ＡＢ＝ＣＤ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。 （２）解：当∠ＡＢＥ等于３０°时，四边形ＡＢＣＤ是矩形。 理由：∵ＡＢ＝ＯＢ，ＢＥ⊥ＯＡ， ∴∠ＡＢＯ＝２∠ＡＢＥ＝６０°。 ∴△ＡＯＢ是等边三角形。 ∴ＯＡ＝ＯＢ，∠ＢＡＯ＝６０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＣ＝２ＯＡ，ＢＤ＝２ＯＢ。 ∴ＡＣ＝ＢＤ。∴四边形ＡＢＣＤ是矩形。 ∴∠ＡＢＣ＝９０°。∴ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ｔａｎ６０°＝ＢＣＡＢ 槡＝３。 ２４．解：（１）设第ｘ天的单价ｍ（元／盒）与ｘ满足的一次函 数关系式为ｍ＝ｋｘ＋ｂ。 由题表，知当ｘ＝１时，ｍ＝５０；当ｘ＝２时，ｍ＝４８， ∴ ｋ＋ｂ＝５０，２ｋ＋ｂ＝４８{ ，解得 ｋ＝－２，ｂ＝５２{ 。 ∴ｍ＝－２ｘ＋５２。 故答案为（－２ｘ＋５２）。 （２）根据题意，得ｙ１＝（－２ｘ＋５２）（１０ｘ＋１０）－７４５ ＝－２０ｘ２＋５００ｘ－２２５， 所以Ａ樱桃园第 ｘ天的利润 ｙ１（元）与 ｘ的函数关系 式为ｙ１＝－２０ｘ ２＋５００ｘ－２２５。 （３）①∴二次函数 ｙ２＝ａｘ ２＋ｂｘ＋２５的图象经过点 （１，４９５），（２，９０５）， ∴ ａ＋ｂ＋２５＝４９５，４ａ＋２ｂ＋２５＝９０５{ ，解得 ａ＝－３０，ｂ＝５００{ 。 ∴ｙ２＝－３０ｘ ２＋５００ｘ＋２５。 故答案为ｙ２＝－３０ｘ ２＋５００ｘ＋２５。 ②ｙ１＋ｙ２＝（－２０ｘ ２＋５００ｘ－２２５）＋（－３０ｘ２＋５００ｘ＋ ２５）＝－５０ｘ２＋１０００ｘ－２００ ＝－５０（ｘ－１０）２＋４８００。 ∵－５０＜０，∴当ｘ＝１０时，ｙ１＋ｙ２取最大值４８００。 ∴第１０天两处樱桃园的利润之和最大，最大为 ４８００元。 （４）∵ｙ２＞ｙ１，∴ －３０ｘ ２＋５００ｘ＋２５＞－２０ｘ２＋５００ｘ－ ２２５，即－１０ｘ２＞－２５０，解得－５＜ｘ＜５。 ∵ｘ取正整数，∴１≤ｘ≤４。∴这１５天中共有４天 Ｂ 樱桃园的利润ｙ２比Ａ樱桃园的利润ｙ１大。 故答案为４。 ２５．解：（１）根据题意，得ＡＮ＝ＡＣ－ＤＥ＝２ｃｍ，ＥＮ＝ｔｃｍ， ＯＡ＝２ｔｃｍ， ∴ＡＥ＝ＡＮ＋ＥＮ＝（２＋ｔ）ｃｍ。 ∵点Ａ在线段ＯＥ的垂直平分线上， ∴ＡＥ＝ＯＡ，即２＋ｔ＝２ｔ，解得ｔ＝２，符合题意。 ∴当ｔ为２时，点Ａ在线段ＯＥ的垂直平分线上。 （２）如图１，过点 Ｏ作 ＯＧ⊥ＡＣ于点 Ｇ，ＯＨ⊥ＢＣ于点 Ｈ，连接ＯＣ， 则∠ＯＧＡ＝∠ＢＨＯ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴ＯＧ∥ＢＣ，ＯＨ∥ＡＣ。 ∴ＯＧＢＣ＝ ＡＯ ＡＢ， ＯＨ ＡＣ＝ ＯＢ ＡＢ。 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝１０ｃｍ， ∴ＯＢ＝（１０－２ｔ）ｃｍ。 ∴ＯＧ６＝ ２ｔ １０， ＯＨ ８＝ １０－２ｔ １０ 。 解得ＯＧ＝６ｔ５ｃｍ，ＯＨ＝ ４０－８ｔ ５ ｃｍ。 由平移可知ＰＣ∥ＤＦ，且ＤＥ＝ＤＦ， ∴ＰＣＦＤ＝ ＣＥ ＤＥ。 ∴ＰＣ＝ＣＥ＝（６－ｔ）ｃｍ。 ∴Ｓ＝Ｓ△ＰＣＯ ＋Ｓ△ＣＥＯ ＝ １ ２ＰＣ·ＯＨ＋ １ ２ＣＥ·ＯＧ＝ １ ２ＰＣ（ＯＨ＋ＯＧ）＝ １ ２（６－ｔ） ４０－８ｔ ５ ＋ ６ｔ( )５ ＝１５ｔ２－ ２６ ５ｔ＋２４。 图１ 图２ （３）如图２，过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＢ于点Ｍ， ∴∠ＢＭＰ＝∠ＢＣＡ＝９０°。 ∵∠ＰＢＭ＝∠ＡＢＣ， ∴△ＢＭＰ∽△ＢＣＡ。 ∴ＢＭＢＣ＝ ＰＭ ＡＣ＝ ＰＢ ＡＢ，即 ＢＭ ６＝ ＰＭ ８＝ ｔ １０。 ∴ＢＭ＝３５ｔｃｍ，ＰＭ＝ ４ ５ｔｃｍ。 ∴ ＯＭ ＝ＡＢ －ＢＭ －ＯＡ＝１０－ ３５ ｔ－２ｔ＝ １０－１３５( )ｔｃｍ。 ∵ＯＱ⊥ＡＢ，△ＡＯＨ与△ＡＯＱ关于直线ＡＢ对称， ∴ｔａｎ∠ＯＡＱ＝ＯＱＯＡ＝ ＢＣ ＡＣ＝ ６ ８＝ ３ ４，即 ＯＱ ２ｔ＝ ３ ４。 ∴ＯＨ＝ＯＱ＝３２ｔｃｍ。 ∵ＯＰ∥ＢＨ， ∴∠ＭＯＰ＝∠ＯＢＨ。 ∵ｔａｎ∠ＭＯＰ＝ＰＭＯＭ＝ ４ ５ｔ １０－１３５ｔ ， ｔａｎ∠ＯＢＨ＝ＯＨＯＢ＝ ３ ２ｔ １０－２ｔ， ∴ ４ ５ｔ １０－１３５ｔ ＝ ３ ２ｔ １０－２ｔ。解得ｔ＝ ７０ ２３，符合题意。 ∴当ｔ＝７０２３时，ＯＰ∥ＢＨ。 ４淄博市２０２４年初中学业水平考试 １．Ａ　【解析】３－１＝１３，－３ ２＝－９，－｜－３｜＝－３， 槡－３＝ 槡－３。 槡∵－９＜－３＜－３＜０＜ １ ３，∴３ －１是正数。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ．是轴对称图形，不是中心对称图形；Ｂ．不 是轴对称图形，是中心对称图形；Ｃ．既是轴对称图形， 又是中心对称图形；Ｄ．是轴对称图形，不是中心对称图 形。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】∵３０．７万＝３０７０００＝３．０７×１０５，∴ｎ＝５。 故选Ｂ                                                                  。 —９—