2.山东省济南市2024年九年级学业水平考试-2025年山东中考数学必备试题汇编

∴Ｓ△ＢＦＧ＝ １ ２ＧＦ·ＤＨ＝ １ ２×１× 　 槡３ ２＝ 　 槡３ ４。 ∴Ｓ阴影 ＝ＳＡＢＦＤ－Ｓ扇形ＡＥＤ－Ｓ扇形ＢＥＧ－Ｓ△ＢＦＧ＝ 　 槡３－ π ６－ π ６ － 　 槡３ ４＝ ３　槡３ ４ － π ３。 ２２．（１）证明：设ＡＣ＝ＤＥ＝ａ。 ∵∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ＝９０°，∠ＢＡＣ＝４５°， ∴∠Ａ＝∠Ｃ＝４５°。∴ＡＢ＝ＢＣ。 ∵ＢＭ⊥ＡＣ， ∴ＢＭ＝ＡＭ＝ＣＭ＝１２ＡＣ＝ １ ２ａ。 ∵∠ＥＤＦ＝３０°，ＥＮ⊥ＤＦ， ∴ＥＮ＝１２ＤＥ＝ １ ２ａ。∴ＢＭ＝ＥＮ。 （２）①证明：∵∠Ｄ＝３０°，ＣＮ⊥ＤＦ， ∴∠ＣＮＤ＝９０°，∠ＤＣＮ＝９０°－３０°＝６０°。 ∵α＝∠ＡＣＤ＝３０°， ∴∠ＡＣＮ＝∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＮ＝９０°。 ∵ＢＭ⊥ＡＣ，∴∠ＰＭＣ＝∠ＢＭＣ＝９０°。 ∴四边形ＰＭＣＮ是矩形。 ∵ＢＭ＝ＥＮ，即ＢＭ＝ＣＮ，而ＢＭ＝ＣＭ， ∴ＣＭ＝ＣＮ。∴四边形ＰＭＣＮ是正方形。 ②解：当３０°＜α＜６０°时，线段 ＭＰ，ＤＰ，ＣＤ的数量关 系为 ＤＰ＋ＭＰ ＣＤ ＝ 　 槡３ ２；当 ６０°＜α＜１２０°时，线段 ＭＰ， ＤＰ，ＣＤ的数量关系为ＭＰ－ＤＰＣＤ ＝ 　 槡３ ２。 证明：如图１，当３０°＜α＜６０°时，连接ＣＰ。 图１ 由（１）可得ＣＭ＝ＣＮ，∠ＰＭＣ＝∠ＰＮＣ＝９０°。 ∵ＣＰ＝ＣＰ，∴Ｒｔ△ＰＭＣ≌Ｒｔ△ＰＮＣ（ＨＬ）。 ∴ＰＭ＝ＰＮ。∴ＭＰ＋ＤＰ＝ＰＮ＋ＤＰ＝ＤＮ。 ∵∠Ｄ＝３０°。 ∴ｃｏｓＤ＝ＤＮＣＤ＝ ＤＰ＋ＭＰ ＣＤ ＝ｃｏｓ３０°＝ 　 槡３ ２。 ∴ＤＰ＋ＭＰＣＤ ＝ 　 槡３ ２。 如图２，当６０°＜α＜１２０°时，连接ＣＰ。 图２ 由（１）可得ＣＭ＝ＣＮ，∠ＰＭＣ＝∠ＰＮＣ＝９０°。 ∵ＣＰ＝ＣＰ，∴Ｒｔ△ＰＭＣ≌Ｒｔ△ＰＮＣ（ＨＬ）。 ∴ＰＭ＝ＰＮ。∴ＤＮ＝ＰＮ－ＤＰ＝ＭＰ－ＤＰ。 ∵∠ＣＤＦ＝３０°， ∴ｃｏｓ∠ＣＤＦ＝ＤＮＣＤ＝ ＭＰ－ＤＰ ＣＤ ＝ｃｏｓ３０°＝ 　 槡３ ２。 ∴ＭＰ－ＤＰＣＤ ＝ 　 槡３ ２。 综上所述，当３０°＜α＜６０°时，线段 ＭＰ，ＤＰ，ＣＤ的数 量关系为 ＤＰ＋ＭＰ ＣＤ ＝ 　 槡３ ２；当 ６０°＜α＜１２０°时，线段 ＭＰ，ＤＰ，ＣＤ的数量关系为ＭＰ－ＤＰＣＤ ＝ 　 槡３ ２。 ２３．解：（１）∵点Ｐ（２，－３）在二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３ （ａ＞０）的图象上， ∴４ａ＋２ｂ－３＝－３。解得ｂ＝－２ａ。 ∴二次函数的表达式为ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－３。 ∴二次函数的对称轴为直线ｘ＝－－２ａ２ａ＝１。 ∴ｍ＝１。 （２）∵点Ｑ（１，－４）在ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－３的图象上， ∴ａ－２ａ－３＝－４。解得ａ＝１。 ∴二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３＝（ｘ－１）２－４。 将该二次函数的图象向上平移５个单位长度，得到新 的二次函数为ｙ＝（ｘ－１）２－４＋５＝（ｘ－１）２＋１。 ∵０≤ｘ≤４，且ｋ＝１＞０， ∴当ｘ＝１时，函数有最小值，最小值为１；当ｘ＝４时， 函数有最大值，最大值为（４－１）２＋１＝１０。 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 １０＋１ ＝１１。 （３）∵ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－３的图象与 ｘ轴的交点为（ｘ１， ０），（ｘ２，０）（ｘ１＜ｘ２）， ∴ｘ１＋ｘ２＝２，ｘ１·ｘ２＝－ ３ ａ。 ∵ｘ２－ｘ１＝ 　 （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ槡 ２， ∴ｘ２－ｘ１＝ 　 ４＋１２槡 ａ＝２ 　 １＋３槡 ａ。 ∵４＜ｘ２－ｘ１＜６， ∴４＜２ 　 １＋３槡 ａ＜６，即２＜ 　 １＋３槡 ａ＜３。 解得 ３ ８＜ａ＜１。 ２济南市２０２４年九年级学业水平考试 １．Ａ　【解析】９的相反数是－９。故选Ａ。 ２．Ａ　【解析】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视 图与主视图和左视图不相同。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】３４６５００００００＝３．４６５×１０９。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】由题意，得３６０°÷４５°＝８，即这个正多边形 是正八边形。故选Ｃ。 ５．Ｃ　【解析】∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝１８０°，∴∠ＡＣＢ＝ １８０°－６０°－４０°＝８０°。∵△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ，∴∠ＡＣＢ＝ ∠ＤＣＥ＝８０°。故选Ｃ。 ６．Ｄ　【解析】ｘ与ｙ不是同类项，无法合并，故Ａ不正确， 不符合题意；（ｘｙ２）３＝ｘ３ｙ６，故Ｂ不正确，不符合题意；３ （ｘ＋８）＝３ｘ＋２４，故 Ｃ不正确，不符合题意；ｘ２·ｘ３＝ ｘ５，故Ｄ正确，符合题意。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】∵关于 ｘ的方程 ｘ２－ｘ－ｍ＝０有两个不相 等的实数根，∴Δ＞０。∴（－１）２＋４ｍ＞０。∴ｍ＞－ １ ４。故选Ｂ。 ８．Ｃ　解析：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班 锁”三个活动分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，画树状图如下：                                                                  —３— 共有９种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个 活动的结果有３种，∴小红和小丽恰好选到同一个活 动的概率为 ３ ９＝ １ ３。故选Ｃ。 ９．Ｄ　【解析】如图，连接 ＡＧ，过点 Ｇ作 ＧＨ⊥ＡＤ于点 Ｈ， 在ＤＣ上取一点Ｊ，使得 ＪＤ＝ＪＫ，连接 ＪＫ，设 ＥＦ与 ＣＤ 交于点Ｏ。∴∠ＧＨＤ＝９０°。 由作图，知ＥＦ垂直平分线段ＡＢ， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＤＣ＝９０°。 ∴ＥＦ垂直平分线段ＣＤ。 ∴∠ＤＯＦ＝９０°，ＤＯ＝ＣＯ＝１２ＣＤ。 ∵ＡＧ＝ＡＤ＝ＣＤ，∴ＡＧ＝２ＤＯ。∵ ∠ＯＤＨ＝∠ＤＨＧ＝∠ＤＯＧ＝９０°，∴四边形 ＤＯＧＨ是矩 形。∴ＨＧ＝ＤＯ。∴ＡＧ＝２ＧＨ。∴∠ＤＡＧ＝３０°。∵ＡＤ ＝ＡＧ，∴∠ＡＤＧ＝∠ＡＧＤ＝１２×（１８０°－３０°）＝７５°。∵ ∠ＡＤＣ＝９０°，∴∠ＣＤＫ＝９０°－∠ＡＤＧ＝１５°。∵ＪＤ＝ ＪＫ，∴∠ＪＤＫ＝∠ＪＫＤ＝１５°。∴∠ＣＪＫ＝∠ＪＤＫ＋ ∠ＪＫＤ＝３０°。设ＣＫ＝ｘ，则 ＪＫ＝ＤＪ＝２ｘ，ＣＪ 槡＝３ｘ。∴ ＣＤ＝２ｘ 槡＋３ｘ，ＢＣ＝ｘ＋２。∵ＣＤ＝ＢＣ，∴２ｘ 槡＋３ｘ＝ｘ＋ ２。∴ｘ 槡＝３－１。∴正方形ＡＢＣＤ的边长ＢＣ 槡＝３－１＋ 槡２＝３＋１。故选Ｄ。 １０．Ｄ　【解析】由题意，得当点Ｐ运动到点Ｃ时，ＤＰ２＝ｙ＝ ７，∴ＤＣ２＝７。如图１，过点 Ｄ作 ＤＨ⊥ＢＣ于点 Ｈ，∵ ∠Ｂ＝６０°，ＢＤ＝２，∴ＢＨ＝ １２ＢＤ＝１。∴ＤＨ＝ ＢＤ２－ＢＨ槡 ２ 槡＝３。∴ＣＨ＝ ＤＣ ２－ＤＨ槡 ２ 槡＝ ７－３＝２。 ∴ＢＣ＝ＢＨ＋ＣＨ＝１＋２＝３。∴ＡＢ＝ＢＣ＝３。故①正确； 图１ 　　 图２ ∴此时ｔ＝３÷１＝３（ｓ）。∴当ｔ＝５时，点Ｐ在ＡＣ上， 且ＰＣ＝２。如图 ２，ＡＤ＝ＡＰ＝１，又∵∠Ａ＝６０°，∴ △ＡＤＰ是等边三角形。∴ＤＰ＝ＡＤ＝ＡＰ＝１。∴ｙ＝ ＤＰ２＝１。故②正确；当４≤ｔ≤６时，如图３， 图３ ∴ＰＣ＝１。此时点 Ｐ从如图的位置运动到点 Ａ，过点 Ｄ作ＤＨ⊥ＡＰ于点 Ｈ。∴ＡＨ＝１２ＡＤ＝ １ ２。∴ＤＨ＝ 槡３ ２。此时点 Ｐ运动到点 Ｈ时，ｙ＝ＤＨ ２取最小值为 ３ ４。又∵ＨＰ＝ＡＣ－ＡＨ－ＰＣ＝３－ １ ２－１＝ ３ ２，∴ＤＰ ＝ ＤＨ２＋ＨＰ槡 ２ 槡＝３。∴此时 ｙ＝ＤＰ ２取最大值为３。 ∴当４≤ｔ≤６时，３４≤ｙ≤３。故③错误；∵ｔ１＋ｔ２＝６，ｔ１ ＜ｔ２，∴ｔ１＋ｔ２＜２ｔ２，２ｔ１＜ｔ１＋ｔ２，ｔ２＝６－ｔ１。∴ｔ１＜３，ｔ２ ＞３。由题意，得当０≤ｔ≤３时，ｙ＝（ｔ－１）２＋３；当３≤ ｔ≤６时，ｙ＝（ｔ－５．５）２＋３４。∴ｙ１＝（ｔ１－１） ２＋３，ｙ２ ＝（ｔ２－５．５） ２＋３４＝（ｔ１－０．５） ２＋３４。∴ｙ１－ｙ２＝（ｔ１ －１）２＋３－（ｔ１－０．５） ２－３４＝３－ｔ１＞０。∴ｙ１＞ｙ２。 故④正确。综上所述，正确结论的序号为①②④。故 选Ｄ。 １１．１　【解析】∵分式ｘ－１２ｘ的值为０，∴ｘ－１＝０且２ｘ≠０， 解得ｘ＝１。 １２．１４　【解析】∵圆被等分成 ４份，其中红色部分占 １份，∴指针落在红色区域的概率为 １４。 １３．６５　【解析】如图，标注∠３。 ∵ｌ１∥ｌ２， ∴∠１＝∠３＝７０°。 ∵△ＡＢＣ是等腰直角三角形， ∴∠ＡＢＣ＝４５°。 ∴∠２＝１８０°－４５°－７０°＝６５°。 １４．１２　【解析】Ａ款新能源电动汽车每千米的耗电量为 （８０－４８）÷２００＝０．１６（ｋｗ·ｈ），Ｂ款新能源电动汽车 每千米的耗电量为（８０－４０）÷２００＝０．２（ｋｗ·ｈ），∴ｌ１的 函数关系式为ｙ１＝８０－０．１６ｘ，ｌ２的函数关系式为 ｙ２ ＝８０－０．２ｘ。当ｘ＝３００时，ｙ１＝８０－０．１６×３００＝３２， ｙ２＝８０－０．２×３００＝２０，３２－２０＝１２（ｋｗ·ｈ），∴当两款 新能源电动汽车的行驶路程都是３００ｋｍ时，Ａ款新能 源电动汽车电池的剩余电量比 Ｂ款新能源电动汽车 电池的剩余电量多１２ｋｗ·ｈ。 １５．槡 槡３－２　【解析】如图，连接ＢＥ，延长ＦＥ交ＢＡ的延长 线于点Ｈ。 ∵在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ 槡＝２， ＡＤ＝２，Ｅ为边ＡＤ的中点， ∴ＡＥ＝ＤＥ＝１， ∠ＢＡＥ＝∠ＨＡＥ＝∠Ｄ＝９０°。 ∵∠ＡＥＨ＝∠ＤＥＦ， ∴△ＨＥＡ≌△ＦＥＤ（ＡＳＡ）。∴ＡＨ ＝ＤＦ。 ∵将△ＤＥＦ沿ＥＦ翻折，点Ｄ的对应点为点Ｄ′， ∴ＥＤ＝ＥＤ′＝１，∠ＥＤ′Ｆ＝∠Ｄ＝９０°，∠ＤＥＦ＝ ∠Ｄ′ＥＦ。在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＢＥ＝ ＡＢ２＋ＡＥ槡 ２ 槡＝ ２＋１＝ 槡３。∵ＢＤ′＝２，∴１ ２＋（槡３） ２＝２２。∴△ＢＥＤ′为直角 三角形。∴∠ＢＥＤ′＝９０°。设∠ＤＥＦ＝α，则∠ＡＥＨ＝ ∠ＤＥＦ＝α，∠ＤＥＤ′＝２α。∴∠ＡＥＢ＝１８０°－∠ＢＥＤ′－ ＤＥＤ′＝９０°－２α，∠ＡＨＥ＝９０°－α。∵∠ＨＥＢ＝１８０°－ ９０°－α＝９０°－α，∴∠ＨＥＢ＝∠ＡＨＥ。∴ＢＥ＝ＢＨ。∴ △ＢＨＥ为等腰三角形。∴ＢＨ＝ＢＥ 槡＝３。∴ＡＨ＝ＢＨ －ＡＢ 槡 槡＝３－２。∴ＤＦ＝ＡＨ 槡 槡＝３－２。 １６．解：原式 槡＝３－１＋４＋３－２×槡 ３ ２ 槡 槡＝３－１＋４＋３－３＝６。 １７．解：解不等式①，得ｘ＞－１。 解不等式②，得ｘ＜４。 ∴原不等式组的解集是－１＜ｘ＜４。 ∴它的所有整数解为０，１，２，３。 １８．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＤ＝ＣＤ。 ∵ＡＥ⊥ＣＤ，ＣＦ⊥ＡＤ， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°。 在△ＡＥＤ与△ＣＦＤ中， ∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ， ∠Ｄ＝∠Ｄ， ＡＤ＝ＣＤ{                                                                  ， —４— ∴△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）。∴ＤＥ＝ＤＦ。 ∴ＡＤ－ＤＦ＝ＣＤ－ＤＥ。∴ＡＦ＝ＣＥ。 １９．解：（１）如图，过点 Ｃ作 ＣＮ⊥ＥＤ，交 ＥＤ的延长线于 点Ｎ。 ∵∠ＣＤＥ＝９７°，∴∠ＣＤＮ＝８３°。 在Ｒｔ△ＣＤＮ中，ｓｉｎ∠ＣＤＮ＝ｓｉｎ８３°＝ＣＮＣＤ≈０．９９３， ∵ＣＤ＝６．７ｍ， ∴ＣＮ＝ＣＤ·ｓｉｎ８３°≈６．７×０．９９３≈６．６５（ｍ）。 ∴点Ｃ到地面ＤＥ的距离约为６．６５ｍ。 （２）如图，过点Ｂ作ＢＰ⊥ＣＦ，垂足为Ｐ。 ∵ＣＦ∥ＤＥ， ∴∠ＦＣＤ＝∠ＣＤＮ＝８３°。 ∵∠ＢＣＤ＝９８°， ∴∠ＢＣＰ＝∠ＢＣＤ－∠ＦＣＤ＝１５°。 ∵平行线间的距离处处相等， ∴ＥＦ＝ＣＮ＝６．６５ｍ。 ∵ＡＥ＝８．５ｍ， ∴ＢＰ＝ＡＦ＝ＡＥ－ＥＦ＝８．５－６．６５＝１．８５（ｍ）。 在Ｒｔ△ＢＣＰ中，ｓｉｎ∠ＢＣＰ＝ｓｉｎ１５°＝ＢＰＢＣ≈０．２５９， ∴ＢＣ＝ ＢＰｓｉｎ１５°≈ １．８５ ０．２５９≈７．１４（ｍ）。 ∴顶部线段ＢＣ的长约为７．１４ｍ。 ２０．（１）证明：∵∠ＥＤＢ，∠ＥＡＢ所对的弧是同弧， ∴∠ＥＤＢ＝∠ＥＡＢ。 ∵∠ＥＡＤ＋∠ＥＤＢ＝４５°， ∴∠ＥＡＤ＋∠ＥＡＢ＝４５°，即∠ＢＡＤ＝４５°。 ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝９０°。∴∠Ｂ＝４５°。 ∵ＡＢ＝ＡＧ，∴∠Ｂ＝∠Ｇ＝４５°。 ∴∠ＧＡＢ＝９０°。 ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径， ∴ＡＧ与⊙Ｏ相切。 （２）解：如图，连接ＣＥ。 ∵∠ＤＡＥ，∠ＤＣＥ所对的弧是同弧， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＤＣＥ。 ∵ＣＤ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＤＥＣ＝９０°。 在Ｒｔ△ＤＥＣ中，ｓｉｎ∠ＤＣＥ＝ｓｉｎ∠ＤＡＥ＝１３＝ ＤＥ ＣＤ， ∵ＢＧ 槡＝４５，∠Ｂ＝４５°，∠ＢＡＧ＝９０°， ∴ＡＢ＝槡２２ＢＧ 槡＝２ １０＝ＣＤ。 ∴ＤＥ＝ＣＤ·ｓｉｎ∠ＤＡＥ 槡＝２ １０× １ ３＝ 槡２ １０ ３ 。 ２１．解：（１）３÷５％＝６０（人）。 答：随机抽取的八年级学生人数为６０。 （２）扇形统计图中Ｂ组对应扇形的圆心角为 ３６０°×１５６０＝９０°。故答案为９０。 （３）Ｄ组的频数为６０－３－１５－１６－６＝２０， 补全频数直方图如图所示。 （４）∵抽取的八年级学生人数为６０， ∴中位数是排在第３０个数和第３１个数的平均数。 ∴排在第３０个数和第３１个数在Ｃ组。 ∴中位数为７６＋７８２ ＝７７（分）。 故答案为７７。 （５）９００×２０＋６６０ ＝３９０（人）。 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到 ８０ 分及以上的学生人数为３９０。 ２２．解：（１）设修建一个Ａ种光伏车棚需投资ｘ万元，修建 一个Ｂ种光伏车棚需投资ｙ万元。 根据题意，得 ２ｘ＋ｙ＝８， ５ｘ＋３ｙ＝２１{ 。解得 ｘ＝３，ｙ＝２{ 。 答：修建一个Ａ种光伏车棚需投资３万元，修建一个Ｂ 种光伏车棚需投资２万元。 （２）设修建Ａ种光伏车棚ｍ个，则修建Ｂ种光伏车棚 （２０－ｍ）个。 根据题意，得ｍ≥２（２０－ｍ）。 解得ｍ≥４０３。 设修建Ａ，Ｂ两种光伏车棚共投资ｗ万元， 则ｗ＝３ｍ＋２（２０－ｍ），即ｗ＝ｍ＋４０。 ∵１＞０， ∴ｗ的值随ｍ值的增大而增大。 ∵ｍ≥４０３，且ｍ为正整数， ∴当ｍ＝１４时，ｗ取得最小值，最小值为５４。 答：修建１４个Ａ种光伏车棚时，投资总额最少，最少 投资总额为５４万元。 ２３．解：（１）将点Ａ（２，ａ）代入ｙ＝３ｘ，得ａ＝３×２＝６。 ∴点Ａ（２，６）。 将点Ａ（２，６）代入 ｙ＝ｋｘ，得 ６＝ ｋ ２，解得ｋ＝１２。 ∴反比例函数的表达式为 ｙ＝１２ｘ。 （２）设点Ｂ（ｍ，３ｍ），则点Ｄ（ｍ＋３，３ｍ）。 由 ｙ＝１２ｘ可得ｘｙ＝１２，∴３ｍ（ｍ＋３）＝１２。 解得 ｍ１＝１，ｍ２＝－４（不符合题意，舍去）。 ∴点Ｂ（１，３）。 （３）如图，过点 Ｂ作 ＦＨ∥ｙ轴，过点 Ｅ作 ＥＨ⊥ＦＨ于 点Ｈ，过点 Ａ作 ＡＦ⊥ＦＨ于点 Ｆ，则∠ＥＨＢ＝∠ＢＦＡ ＝９０°。 ∴∠ＢＥＨ＋∠ＥＢＨ＝９０°。 ∵点Ａ绕点Ｂ顺时针旋转 ９０°， ∴∠ＡＢＥ＝９０°，ＢＥ＝ＢＡ。 ∴∠ＥＢＨ＋∠ＡＢＦ＝９０°。 ∴∠ＢＥＨ＝∠ＡＢＦ。 ∴△ＥＨＢ≌△ＢＦＡ（ＡＡＳ）。 设点Ｂ（ｎ，３ｎ），ＥＨ＝ＢＦ＝６－３ｎ， ＢＨ＝ＡＦ＝２－ｎ。 ∴点Ｅ（６－２ｎ，４ｎ－２                                                                  ）。 —５— ∵点Ｅ在反比例函数的图象上， ∴（４ｎ－２）（６－２ｎ）＝１２。 解得 ｎ１＝ ３ ２，ｎ２＝２（不符合题意，舍去）。 ∴点Ｅ（３，４）。 ２４．解：（１）由抛物线 Ｃ１：ｙ＝ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ过点 Ａ（０，２）， Ｂ（２，２）， 得 ｃ＝２， ４＋２ｂ＋ｃ＝２{ ，解得 ｂ＝－２，ｃ＝２{ 。 ∴抛物线Ｃ１的表达式为ｙ＝ｘ ２－２ｘ＋２。 ∵ｙ＝ｘ２－２ｘ＋２＝（ｘ－１）２＋１， ∴顶点Ｄ的坐标为（１，１）。 （２）如图１，连接 ＤＥ，过点 Ｅ作 ＥＧ∥ｙ轴，交 ＡＤ延长 线于点Ｇ，过点 Ｄ作 ＤＨ⊥ＥＧ，垂足为 Ｈ，与 ｙ轴交于 点Ｈ′。 设点Ｅ的横坐标为ｔ。 设直线ＡＤ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 由题意，知 ｂ＝２， ｋ＋ｂ＝１{ ，解得 ｋ＝－１，ｂ＝２{ 。 ∴直线ＡＤ的表达式为 ｙ＝－ｘ＋２。 ∴点Ｅ（ｔ，ｔ２－２ｔ＋２），Ｇ（ｔ，２－ｔ）。 ∴ＥＧ＝ｔ２－ｔ。 ∵ＡＤＦＥ的面积为１２， ∴Ｓ△ＡＤＥ＝ １ ２Ｓ△四边形ＡＤＦＥ＝ １ ２×１２＝６。 ∴Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ△ＡＧＥ－Ｓ△ＤＧＥ＝ １ ２ＥＧ·Ｈ′Ｄ＝６。 ∵点Ｄ（１，１），∴Ｈ′Ｄ＝ＯＨ′＝１。 ∴ＥＧ＝１２。∴ｔ２－ｔ＝１２。 解得ｔ１＝４，ｔ２＝－３（不符合题意，舍去）。 ∴点Ｅ（４，１０）。 ∵点Ａ（０，２），∴ＯＡ＝２。∴ＡＨ′＝ＯＡ－ＯＨ′＝１。 ∴ＡＨ′＝Ｈ′Ｄ＝１。∴点 Ｅ先向右平移１个单位长度， 再向下平移１个单位长度，得到点Ｆ。 ∴点Ｆ（５，９）。 将点Ｆ（５，９）代入ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍ２－ｍ＋２（ｍ≠１）， 得ｍ２－１１ｍ＋１８＝０。 解得ｍ１＝２，ｍ２＝９。 图１ 　　　 图２ （３）如图２，过点Ｍ作ＭＰ⊥ｘ轴，垂足为 Ｐ，过点 Ｄ作 ＤＫ∥ｙ轴，过点Ｑ作ＱＫ∥ｘ轴，与ＤＫ交于点Ｋ。 设点Ｍ（ｈ，ｈ２－２ｈ＋２），Ｎ（ｎ，０）。 ∵ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍ２＋２－ｍ＝（ｘ－ｍ）２＋２－ｍ， ∴抛物线Ｃ２的顶点Ｑ（ｍ，２－ｍ）。 ∴ＤＫ＝｜１－（２－ｍ）｜＝｜ｍ－１｜，ＫＱ＝｜ｍ－１｜。 ∴ＤＫ＝ＫＱ，∠ＤＱＫ＝４５°。 ∵ＭＮ∥ＤＱ，ＫＱ∥ＮＰ， ∴∠ＭＮＰ＝∠ＤＱＫ＝４５°。 ∴∠ＮＭＰ＝４５°。 ∴ＭＰ＝ＮＰ。 ∴ｎ－ｈ＝ｈ２－２ｈ＋２。 ∴ｎ＝ｈ２－ｈ (＋２＝ ｈ－ )１２ ２ ＋７４。 ∴当ｈ＝１２时，ｎ＝ ７ ４。 ∴点 Ｎ横坐标的最小值为 ｎ＝７４，此时点 Ｎ到直线 ＢＤ距离最近，△ＢＤＮ的面积最小，即最近距离为边 ＢＤ上的高。 ∵点Ｂ（２，２），Ｄ（１，１），∴ＢＤ 槡＝２。 ∴△ＢＤＮ的高为 ７４× 槡２ ２＝ 槡７２ ８。 ∴△ＢＤＮ面积的最小值为 Ｓ△ＢＤＮ ＝ １ ２ × 槡７２ ８ 槡× ２ ＝７８。 ２５．解：（１）①∠ＡＣＤ　②ＡＣＡＤ （２）△ＡＥＢ是直角三角形。理由如下： ∵∠ＡＣＥ＝∠ＡＦＣ，∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＣ， ∴△ＡＣＦ∽△ＡＥＣ。 ∴ＡＣＡＥ＝ ＡＦ ＡＣ。 ∴ＡＣ２＝ＡＦ·ＡＥ。 由（１），得 ＡＣ２＝ＡＤ·ＡＢ， ∴ＡＦ·ＡＥ＝ＡＤ·ＡＢ。 ∴ＡＦＡＢ＝ ＡＤ ＡＥ。 ∵∠ＦＡＤ＝∠ＢＡＥ，∴△ＡＦＤ∽△ＡＢＥ。 ∴∠ＡＤＦ＝∠ＡＥＢ＝９０°。 ∴△ＡＥＢ是直角三角形。 （３）∵∠ＣＥＢ＝∠ＣＢＤ，∠ＥＣＢ＝∠ＢＣＤ， ∴△ＣＥＢ∽△ＣＢＤ。 ∴ＣＥＣＢ＝ ＣＢ ＣＤ。 ∴ＣＤ·ＣＥ＝ＣＢ２＝２４。 如图，以点Ａ为圆心，２为半径作⊙Ａ，则点 Ｃ，Ｄ都在 ⊙Ａ上，延长 ＣＡ到点 Ｅ０，使 ＣＥ０＝６，交⊙Ａ于点 Ｄ０， 则ＣＤ０＝４，∠ＣＤＤ０＝９０°。 ∴ＣＤ０·ＣＥ０＝２４＝ＣＤ·ＣＥ。 ∴ ＣＤ０ ＣＥ＝ ＣＤ ＣＥ０ 。 ∵∠ＥＣＥ０＝∠Ｄ０ＣＤ，∴△ＥＣＥ０∽△Ｄ０ＣＤ。 ∴∠ＣＥ０Ｅ＝∠ＣＤＤ０＝９０°。 ∴点Ｅ在过点Ｅ０且与ＣＥ０垂直的直线上运动。 过点Ｂ作ＢＥ′⊥Ｅ０Ｅ，垂足为 Ｅ′，ＢＥ′即为最短的 ＢＥ， 连接ＣＥ′。 ∵∠ＢＣＥ０＝∠ＣＥ０Ｅ′＝∠ＢＥ′Ｅ０＝９０°， ∴四边形ＣＥ０Ｅ′Ｂ是矩形。 ∴Ｅ０Ｅ′＝ＢＣ 槡＝２６。 在Ｒｔ△ＣＥ０Ｅ′中，ＣＥ′＝ （槡２６） ２＋６槡 ２ 槡＝２ １５， ∴当线段ＢＥ的长度取得最小值时，ＣＥ 槡＝２ １５。 ３青岛市２０２４年初中学业水平考试 １．Ｄ　【解析】６００００＝６×１０４。故选Ｄ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ不是轴对称图形，是中心对称图形，不符 合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合 题意；Ｃ不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题 意；Ｄ既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意                                                                  。 —６— 2济南市2024年九年级学业水平考试 14.某公司生产了A,B两款新能源电动汽车。如图，1,2 分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩 (时间：120分钟总分：150分) 余电量y(kw·h)与汽车行驶路程x(km)的关系。当 两款新能源电动汽车的行驶路程都是300k时，A款 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题9.如图，在正方形ABCD中，分别以点A和点B为圆心， 新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽 只有一个选项符合题目要求) 车电池的剩余电量多」 kw·ho 1.9的相反数是 以大于)AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和点 y/(kw.h) F,作直线EF,再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧 80N A.-9 c D.9 交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部)，连接 48 2.黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高 4 DG并延长交BC于点K。若BK=2,则正方形ABCD 峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”。如图是山 的边长为 0200 x/km B 东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯。关于它的三视图，下 A.2+1 B 第14题图 第15题图 列说法正确的是 ( 15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=√2，AD=2,E为边AD A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同 C.3+5 D.3+1 C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同 2 的中点，点F在边CD上，连接EF,将△DEF沿EF翻 折，点D的对应点为点D',连接BD'。若BD'=2,则DF = 三、解答题（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 正面 R t/s 16(7分)计算：5-(m-3.14)°+(4) +151- 第2题图 第5题图 F不 图1 图2 3.截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林 第9题图 2cos30°。 第10题图 覆盖率达到24.02%。数字3465000000用科学记数法 10.如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD= 表示为 ( 2,动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿 A.0.3465×10 B.3.465×109 折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP。 C.3.465×108 D.34.65×10 设点P的运动时间为t(s),DP为y。当动点P沿BC 4.若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是 匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示。 4x>2(x-1),① 有以下四个结论：①AB=3;②当t=5时，y=1;③当4 17.(7分)解不等式组： A.正六边形 B.正七边形 ≤1≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动 生子<*5，@并写出它的所有 2 C.正八边形 D.正九边形 时，两个时刻t,2(t<t)分别对应y,和y,若t+2 整数解。 5.如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°，∠B=40°，则 =6,则y,>y2。其中正确结论的序号是() ∠DCE的度数为 A.①②③B.①②C.③④D.①②④ A.40°。B.60° C.80 D.100° 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 6.下列运算正确的是 A.3x+3y=6xy B.(y2)3=y Ⅱ若分式2的值为0，则实数x的值为 C.3(x+8)=3x+8 D.x2·x3=x3 12.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个 18.(7分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD,垂足为E,CF⊥ 7.若关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根， 扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的 AD,垂足为F。求证：AF=CE。 则实数m的取值范围是 概率为」 B.m>-4 1 C.m<-4 D.m>-4 8.3月14日是国际数学节。某学校在今年国际数学节策 白 划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑 B 战活动，若小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动， 第12题图 第13题图 则她们恰好选到同一个活动的概率是 13.如图，已知1，∥L2,△ABC是等腰直角三角形，∠BAC A.I B. c D.2 =90°，顶点A,B分别在，l2上，当∠1=70°时，∠2 9 6 泰斗 19.(8分)城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方 便。某校“综合实践”小组想测轻轨高架站的相关距 离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器、红外测距仪等 轻轨高架站示意图 BA 机 机 E 车 D站台以下 过程资料 相关数据及说明：图中点A,B,C,D,E,F 在同一平面内，房顶AB,吊顶CF和地面 DE所在的直线都平行，点F在与地面垂 直的中轴线AE上，∠BCD=98°，∠CDE= 97°，AE=8.5m,CD=6.7m 成果梳理 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点C到地面DE的距离； (2)求顶部线段BC的长。 (结果精确到0.01m,参考数据：sin15°≈0.259，cos15 ≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0. 122,tan83°≈8.144) 20.(8分)如图，AB,CD为⊙O的直径，点E在BD上，连接 AE,DE,点G在BD的延长线上，AB=AG,∠EAD+ ∠EDB=45°。 (1)求证：AG与⊙0相切； (2)若BG=4,5,in∠DME=3,求DE的长。 G 6 21.(9分)2024年3月25日是第29个全国中小学生安全 教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某 校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参 加了本次活动。为了解该年级的答题情况，该校随机抽 取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位： 分)，并对数据（成绩）进行统计整理。数据分为五组： A:50≤x<60:B:60≤x<70:C:70≤x<80:D:80≤x< 90:E:90≤x≤100。 下面给出了部分信息： a:C组的数据：70,71,71,72,72,72,74,74,75,76,76， 76,78.78.79.79 b:不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 个人数（频数） 25 》 20 15 1516 C 10 A5% 6 D 0 5060708090100成绩/分 请根据以上信息回答下列问题： (1)求随机抽取的八年级学生人数： (2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 度； (3)请补全频数直方图； (4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 分； (5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估 计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上 的学生人数。 22.(10分)近年来光伏建筑一体化广受关注。某社区拟修 建A,B两种光伏车棚，已知修建2个A种光伏车棚和1 个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏 车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元。 (1)修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少 万元？ (2)若修建A,B两种光伏车棚共20个，要求修建的A 种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的 2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最 少？最少投资总额为多少万元？ 23.(10分)已知反比例函数y=（x>0)的图象与正比 24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线C,:y=x2+bx+c 经过点A(0,2),B(2,2),顶点为D;抛物线C2:y=x2- 例函数y-3x(x≥0)的图象交于点A(2,a),B是线段 2mx+m2-m+2(m≠1)，顶点为Q OA上的一点（不与点A重合）。 (1)求抛物线C,的表达式及顶点D的坐标 (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，连接AD,E是抛物线C,对称轴右侧图象上 (2)如图1，过点B作)轴的垂线1,1与)=女(x>0) 一点，F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为 的图象交于点D,当线段BD=3时，求点B的坐标； 12的平行四边形，求m的值； (3)如图2，连接BD,DQ,M是抛物线C,对称轴左侧图 (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E, 象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x 当点E恰好落在)冬(x>0)的图象上时，求点E的 轴于点N,连接BN,DN,求△BDN面积的最小值。 坐标。 2 M B 0 图1 图2 图1 图2 鲁人泰斗 25.（12分)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似 后，对三角形的相似进行了深入研究。 (一)拓展探究 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。 (1)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB。理由如下： :∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90°。 ∠A=∠A, .∴.△ABC∽△ACD。 .·CD⊥AB, .∠ADC=90°。 g AB .∠A+∠ACD=90°。 .AC2=AD·AB。 ∴.∠B=① 请完成填空：① ,② (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点 E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形 状，并说明理由； (二)学以致用 (3)如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=2, BC=2√6，平面内一点D,满足AD=AC,连接CD并延 长至点E,且∠CEB=∠CBD,当线段BE的长度取得最 小值时，求线段CE的长。 图2 图3