1.山东省2024年初中学业平考试(临沂市、菏泽市、枣庄市、聊城市)-2025年山东中考数学必备试题汇编

书 　－ ２　－ 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分。每小题 只有一个选项符合题目要求） １．下列实数中，平方最大的数是 （　　） 　　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　 Ａ．３ Ｂ．１２ Ｃ．－１ Ｄ．－２ ２．用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是 轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第２题图 　　　　　 第４题图 ３．２０２３年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗 位６１．９万个，将６１．９万用科学记数法表示应为 （　　） Ａ．０．６１９×１０３ Ｂ．６１．９×１０４ Ｃ．６．１９×１０５ Ｄ．６．１９×１０６ ４．下列几何体中，主视图是上图的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ａ４＋ａ３＝ａ７ Ｂ．（ａ－１）２＝ａ２－１ Ｃ．（ａ３ｂ）２＝ａ３ｂ２ Ｄ．ａ（２ａ＋１）＝２ａ２＋ａ ６．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后 比改造前每天多生产１００件，改造后生产６００件的时间 与改造前生产４００件的时间相同，则改造后每天生产的 产品件数为 （　　） Ａ．２００ Ｂ．３００ Ｃ．４００ Ｄ．５００ ７．如图，已知 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ是正 ｎ边形的三条边，在同一平 面内，以ＢＣ为边在该正 ｎ边形的外部作正方形 ＢＣＭＮ。 若∠ＡＢＮ＝１２０°，则ｎ的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１０ Ｃ．８ Ｄ．６ ８．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活 动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选 择同一项活动的概率是 （　　） Ａ．１９ Ｂ． ２ ９ Ｃ． １ ３ Ｄ． ２ ３ ９．如图，Ｅ为ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ上一点，ＡＣ＝５，ＣＥ＝ １，连接 ＤＥ并延长至点 Ｆ，使得 ＥＦ＝ＤＥ，连接 ＢＦ，则 ＢＦ的长为 （　　） Ａ．５２ Ｂ．３ Ｃ． ７ ２ Ｄ．４ １０．根据以下对话， 给出下列三个结论： ①１班学生的最高身高为１８０ｃｍ； ②１班学生的最低身高小于１５０ｃｍ； ③２班学生的最高身高大于或等于１７０ｃｍ。 上述结论中，所有正确结论的序号是 （　　） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③ 二、填空题（本题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．因式分解：ｘ２ｙ＋２ｘｙ＝　　　　　　　。 １２．写出满足不等式组 ｘ＋２≥１， ２ｘ{ －１＜５的一个整数解： 　。 １３．若关于ｘ的方程４ｘ２－２ｘ＋ｍ＝０有两个相等的实数 根，则ｍ的值为　　　　　。 １４．如图，△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内接三角形，若 ＯＡ∥ＣＢ， ∠ＡＣＢ＝２５°，则∠ＣＡＢ＝　　　　。 １５．如图，已知∠ＭＡＮ，以点 Ａ为圆心，以适当长为半径作 弧，分别与 ＡＭ，ＡＮ相交于点 Ｂ，Ｃ；分别以点 Ｂ，Ｃ为圆 心，以大于 １ ２ＢＣ的长为半径作弧，两弧在∠ＭＡＮ内部 相交于点Ｐ，作射线ＡＰ。分别以点Ａ，Ｂ为圆心，以大于 １ ２ＡＢ的长为半径作弧，弧分别相交于点 Ｄ，Ｅ，作直线 ＤＥ分别与ＡＢ，ＡＰ相交于点 Ｆ，Ｑ。若 ＡＢ＝４，∠ＰＱＥ＝ ６７．５°，则点Ｆ到ＡＮ的距离为　　　　。 １６．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘３再加上１；若是 偶数，就将该数除以２。反复进行上述两种运算，经过有 限次运算后，必进入循环圈１→４→２→１，这就是“冰雹猜 想”。在平面直角坐标系中，将点（ｘ，ｙ）中的ｘ，ｙ分别按 照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其 中ｘ，ｙ均为正整数。例如，点（６，３）经过第１次运算得到 点（３，１０），经过第２次运算得到点（１０，５），以此类推，则 点（１，４）经过第２０２４次运算得到点　　　　　。 三、解答题（本题共７小题，共７２分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） １７．（１０分）（１）计算：　槡４＋２ －１－ －( )１２ ； （２）先化简，再求值：１－ １ａ( )＋３ ÷ａ＋２ａ２－９，其中ａ＝１。 １８．（９分）【实践课题】测量湖边观测点 Ａ和湖心岛上鸟类 栖息点Ｐ之间的距离。 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具。 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选 取合适的点Ｂ。测量 Ａ，Ｂ两点间的距离以及∠ＰＡＢ和 ∠ＰＢＡ，测量三次取平均值，得到数据：ＡＢ＝６０米， ∠ＰＡＢ＝７９°，∠ＰＢＡ＝６４°。画出示意图，如图１。 【问题解决】（１）计算Ａ，Ｐ两点间的距离。 （参考数据：ｓｉｎ６４°≈０．９０，ｓｉｎ７９°≈０．９８，ｃｏｓ７９°≈ ０．１９，ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｔａｎ３７°≈０．７５） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种 方案： 如图２，选择合适的点Ｄ，Ｅ，Ｆ，使得点 Ａ，Ｄ，Ｅ在同一条 直线上，且ＡＤ＝ＤＥ，∠ＤＥＦ＝∠ＤＡＰ，当点 Ｆ，Ｄ，Ｐ在同 一条直线上时，只需测量ＥＦ即可。 （２）乙小组的方案用到了　　　　　。（填写正确答案 的序号） ①解直角三角形；②三角形全等。 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测 量，要根据现场地形状况选择可实施的方案。 图１ 　　 图２ －１－ １ 山东省２０２４年初中学业水平考试 　临沂市、菏泽市、枣庄市、聊城市 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） 　－ ４　－ １９．（９分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模 型设计、科技小论文两个项目。为了解学生的模型设计 水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生 的模型设计成绩（成绩为百分制，用 ｘ表示），并将其分 成如下四组：６０≤ｘ＜７０，７０≤ｘ＜８０，８０≤ｘ＜９０，９０≤ｘ ≤１００。 下面给出了部分信息： ８０≤ｘ＜９０的成绩为 ８１，８１，８２，８２，８３，８３，８４，８４，８４， ８５，８６，８６，８６，８７，８８，８８，８８，８９，８９，８９。 模型设计成绩的频数直方图 图１ 模型设计成绩的扇形统计图 图２ 根据以上信息解决下列问题： （１）请补全频数直方图； （２）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是　　　　分； （３）请估计全校１０００名学生的模型设计成绩不低于８０ 分的人数； （４）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文 成绩按３∶２的比例确定这次活动各人的综合成绩。某 班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩 （单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 ９４ ９０ 乙的成绩 ９０ ９５ 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ ２０．（１０分）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的 方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的 对应关系。下表是函数 ｙ＝２ｘ＋ｂ与 ｙ＝ｋｘ部分自变 量与函数值的对应关系： ｘ －７２ ａ １ ２ｘ＋ｂ ａ １ ｋ ｘ ７ （１）求ａ，ｂ的值，并补全表格； （２）结合表格，当 ｙ＝２ｘ＋ｂ的图象在 ｙ＝ｋｘ的图象上 方时，直接写出ｘ的取值范围。 ２１．（１０分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＤＡＢ＝ ６０°，ＡＢ＝ＢＣ＝２ＡＤ＝２。以点Ａ为圆心，以ＡＤ长为半 径作 ) ＤＥ交ＡＢ于点Ｅ，以点Ｂ为圆心，以ＢＥ长为半径 作 ) ＥＦ所交 ＢＣ于点 Ｆ，连接 ＦＤ交 ) ＥＦ于另一点 Ｇ，连 接ＣＧ。 （１）求证：ＣＧ为 ) ＥＦ所在圆的切线； （２）求图中阴影部分的面积。（结果保留π） ２２．（１２分）一副三角板分别记作△ＡＢＣ和△ＤＥＦ，其中 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ＝９０°，∠ＢＡＣ＝４５°，∠ＥＤＦ＝３０°，ＡＣ＝ ＤＥ。作ＢＭ⊥ＡＣ于点Ｍ，ＥＮ⊥ＤＦ于点Ｎ，如图１。 （１）求证：ＢＭ＝ＥＮ； （２）在同一平面内，将图１中的两个三角形按如图２所 示的方式放置，点Ｃ与点Ｅ重合记为Ｃ，点Ａ与点Ｄ重 合，将图２中的△ＤＣＦ绕点Ｃ按顺时针方向旋转 α后， 延长ＢＭ交直线ＤＦ于点Ｐ。 ①当α＝３０°时，如图３，求证：四边形ＣＮＰＭ为正方形； ②当３０°＜α＜６０°时，写出线段 ＭＰ，ＤＰ，ＣＤ的数量关 系，并证明；当６０°＜α＜１２０°时，直接写出线段ＭＰ，ＤＰ， ＣＤ的数量关系。 图１ 　　 图２ 图３ 　　 备用图 ２３．（１２分）在平面直角坐标系中，点Ｐ（２，－３）在二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３（ａ＞０）的图象上，记该二次函数图象的 对称轴为直线ｘ＝ｍ。 （１）求ｍ的值； （２）若点Ｑ（ｍ，－４）在 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３的图象上，将该 二次函数的图象向上平移５个单位长度，得到新的二次 函数的图象。当０≤ｘ≤４时，求新的二次函数的最大值 与最小值的和； （３）设ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３的图象与 ｘ轴的交点为（ｘ１，０）， （ｘ２，０）（ｘ１＜ｘ２）。若４＜ｘ２－ｘ１＜６，求ａ的取值范围。 －３－ 参考答案及解析 （部分答案不唯一） １２０２４年山东省初中学业水平考试 　临沂市、菏泽市、枣庄市、聊城市 １．Ａ　【解析】３２＝９，( )１２ ２ ＝１４，（－１） ２＝１，（－２）２＝４。 ∵ １４＜１＜４＜９，∴最大的数是９。∴平方最大的数是 ３。故选Ａ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，但不是中心对称图 形，故选项不符合题意；Ｃ是轴对称图形，但不是中心 对称图形，故选项不符合题意；Ｄ既是轴对称图形，又 是中心对称图形，故选项符合题意。故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】６１．９万＝６１９０００＝６．１９×１０５。故选Ｃ。 ４．Ｄ　【解析】Ａ．主视图是等腰三角形，故选项不符合题 意；Ｂ．主视图是共底边的两个等腰三角形，故选项不符 合题意；Ｃ．主视图是上面三角形，下面半圆，故选项不 符合题意；Ｄ．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故 选项符合题意。故选Ｄ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．式子中 ａ４与 ａ３不是同类项，不能合并， 故选项不符合题意； Ｂ．（ａ－１）２＝ａ２－２ａ＋１，故选项不符合题意； Ｃ．（ａ３ｂ）２＝ａ６ｂ２，故选项不符合题意； Ｄ．ａ（２ａ＋１）＝２ａ２＋ａ，故选项符合题意。 故选Ｄ。 ６．Ｂ　【解析】设改造后每天生产的产品件数为 ｘ，则改造 前每天生产的产品件数为（ｘ－１００）。 根据题意，得 ６００ ｘ＝ ４００ ｘ－１００。 解得ｘ＝３００。 经检验，ｘ＝３００是分式方程的根，且符合题意。 ∴改造后每天生产的产品件数为３００。 故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】∵四边形ＢＣＭＮ是正方形， ∴∠ＮＢＣ＝９０°。 ∵∠ＡＢＮ＝１２０°， ∴∠ＡＢＣ＝３６０°－９０°－１２０°＝１５０°。 ∴正ｎ边形的一个外角为１８０°－１５０°＝３０°。 ∴ｎ的值为３６０°３０°＝１２。 故选Ａ。 ８．Ｃ　【解析】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为 Ａ，Ｂ，Ｃ，画 树状图如下： 甲：　 乙：　 共有９种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的 结果有３种，故他们选择同一项活动的概率是 ３９＝ １ ３。 故选Ｃ。 ９．Ｂ　【解析】如图，连接ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＯＤ＝ＯＢ，ＡＯ＝ＣＯ＝１２ＡＣ＝ ５ ２。 ∴ＯＥ＝ＯＣ－ＣＥ＝５２－１＝ ３ ２。 ∵ＥＦ＝ＤＥ，∴ＯＥ是△ＢＦＤ的中位线。 ∴ＯＥ∥ＢＦ。∴ＯＥＢＦ＝ ＯＤ ＢＤ＝ １ ２。∴ ３ ２ ＢＦ＝ １ ２。 ∴ＢＦ＝３。故选Ｂ。 １０．Ｃ　【解析】设１班学生的最高身高为 ｘｃｍ，最低身高 为ｙｃｍ，２班学生的最高身高为 ａｃｍ，最低身高为 ｂｃｍ。 根据１班班长的对话，得ｘ≤１８０，ｘ＋ａ＝３５０。 ∴ｘ＝３５０－ａ。∴３５０－ａ≤１８０。 解得ａ≥１７０。故③正确； ∵１班所有人的身高均不超过１８０ｃｍ， ∴最高身高未必为１８０ｃｍ。故无法判断①； 根据２班班长的对话，得ｂ＞１４０，ｙ＋ｂ＝２９０。 ∴ｂ＝２９０－ｙ。∴２９０－ｙ＞１４０。 ∴ｙ＜１５０。故②正确。 综上所述，正确结论为②③。故选Ｃ。 １１．ｘｙ（ｘ＋２）　【解析】原式＝ｘｙ（ｘ＋２）。 １２．－１（答案不唯一）　【解析】 ｘ＋２≥１，①２ｘ－１＜５，{ ② 解不等式①，得ｘ≥－１。 解不等式②，得ｘ＜３。 ∴不等式组的解集为－１≤ｘ＜３。 ∴不等式组的整数解为－１，０，１，２。 １３．１４　【解析】∵关于 ｘ的方程４ｘ ２－２ｘ＋ｍ＝０有两个 相等的实数根， ∴Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－２）２－４×４×ｍ＝４－１６ｍ＝０。 解得ｍ＝１４。 １４．４０°　【解析】如图，连接ＯＢ。 ∵∠ＡＣＢ＝２５°，∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝５０°。 ∵ＯＡ＝ＯＢ， ∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝１２（１８０°－∠ＡＯＢ）＝６５°。 ∵ＯＡ∥ＣＢ，∴∠ＯＡＣ＝∠ＡＣＢ＝２５°。 ∴∠ＣＡＢ＝∠ＯＡＢ－∠ＯＡＣ＝４０°。 １５．　槡２　【解析】如图，过点Ｆ作ＦＨ⊥ＡＣ于点Ｈ。 由作图可得∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＰ，ＤＥ⊥ＡＢ， ＡＦ＝ＢＦ＝１２ＡＢ＝２。 ∵∠ＰＱＥ＝６７．５°，∴∠ＡＱＦ＝６７．５°。 ∴∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＰ＝９０°－６７．５°＝２２．５°                                                             。 —１— ∴∠ＦＡＨ＝２∠ＢＡＰ＝４５°。 ∴ＡＨ＝ＦＨ＝ 　 槡２ ２ＡＦ＝ 　 槡２。 ∴点Ｆ到ＡＮ的距离为　槡２。 １６．（２，１）　【解析】点（１，４）经过第１次运算得到点（１× ３＋１，４÷２），即（４，２）； 经过第２次运算得到点（４÷２，２÷１），即（２，１）； 经过第３次运算得到点（２÷２，１×３＋１），即（１，４）， …… 发现规律：点（１，４）经过３次运算后还是（１，４）。 ∵２０２４÷３＝６７４……２， ∴点（１，４）经过第２０２４次运算得到点（２，１）。 １７．解：（１）原式＝２＋１２＋ １ ２＝３。 （２）原式＝ａ＋２ａ＋３× （ａ＋３）（ａ－３） ａ＋２ ＝ａ－３。 当ａ＝１时，原式＝１－３＝－２。 １８．解：（１）如图，过点Ｂ作ＢＨ⊥ＡＰ于点Ｈ。 ∵ＡＢ＝６０米，∠ＰＡＢ＝７９°， ∴ＡＨ＝ＡＢ·ｃｏｓ７９°≈６０×０．１９＝１１．４（米）， ＢＨ＝ＡＢ·ｓｉｎ７９°≈６０×０．９８＝５８．８（米）。 ∵∠ＰＡＢ＝７９°，∠ＰＢＡ＝６４°， ∴∠ＡＰＢ＝１８０°－７９°－６４°＝３７°。 ∴ｔａｎ∠ＡＰＢ＝ｔａｎ３７°＝ＢＨＰＨ≈０．７５。 ∴ＰＨ≈５８．８０．７５＝７８．４（米）。 ∴ＡＰ＝ＡＨ＋ＰＨ＝１１．４＋７８．４＝８９．８（米）， 即Ａ，Ｐ两点间的距离为８９．８米。 （２）当点Ｆ，Ｄ，Ｐ在同一条直线上时，∠ＡＤＰ＝∠ＥＤＦ。 ∵ＡＤ＝ＥＤ，∠ＤＡＰ＝∠ＤＥＦ， ∴△ＡＤＰ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）。∴ＡＰ＝ＥＦ。 ∴只需测量ＥＦ即可得到ＡＰ的长度。 ∴乙小组的方案用到了②三角形全等。 故答案为②。 １９．解：（１）∵５÷１０％＝５０，而８０≤ｘ＜９０有２０人， ∴７０≤ｘ＜８０有５０－２０－５－１０＝１５（人）。 补全频数直方图如下： 模型设计成绩的频数直方图 （２）∵５＋１５＝２０，而８０≤ｘ＜９０的成绩为８１，８１，８２， ８２，８３，８３，８４，８４，８４，８５，８６，８６，８６，８７，８８，８８，８８，８９， ８９，８９，∴５０个数据按照从小到大排列后，排在第２５， ２６个数据分别为８３，８３。 ∴中位数为 １２×（８３＋８３）＝８３（分）。 故答案为８３。 （３）１０００×２０＋１０５０ ＝６００（人）。 ∴估计全校１０００名学生的模型设计成绩不低于８０ 分的人数为６００。 （４）甲的成绩为９４×３５＋９０× ２ ５＝９２．４（分）； 乙的成绩为９０×３５＋９５× ２ ５＝９２（分）。 ∵９２．４＞９２，∴甲的综合成绩更高。 ２０．解：（１）当ｘ＝－７２时，２ｘ＋ｂ＝ａ，即－７＋ｂ＝ａ， 当ｘ＝ａ时，２ｘ＋ｂ＝１，即２ａ＋ｂ＝１， ∴ ａ－ｂ＝－７，２ａ＋ｂ＝１{ 。解得 ａ＝－２，ｂ＝５{ 。 ∴一次函数的表达式为ｙ＝２ｘ＋５。 ∵当ｘ＝１时，ｙ＝ｋｘ＝７，∴ｋ＝７。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝７ｘ。 当ｘ＝１时，２ｘ＋５＝２＋５＝７； 当ｘ＝－７２时， ７ ｘ＝７÷ －( )７２ ＝－２； 当ｘ＝－２时，７ｘ＝７÷（－２）＝－ ７ ２。 补全表格如下： ｘ －７２ －２ １ ２ｘ＋ｂ －２ １ ７ ｋ ｘ －２ － ７ ２ ７ （２）由表格可得两个函数的交点坐标为 －７２，( )－２，（１， ７），∴当ｙ＝２ｘ＋ｂ的图象在 ｙ＝ｋｘ的图象上方时，ｘ 的取值范围是－７２＜ｘ＜０或ｘ＞１。 ２１．（１）证明：如图，连接ＢＧ。 根据题意可知ＡＤ＝ＡＥ，ＢＥ＝ＢＦ＝ＢＧ。 又∵ＡＢ＝ＢＣ，∴ＡＢ－ＢＥ＝ＢＣ－ＢＦ，即ＣＦ＝ＡＥ＝ＡＤ。 ∵ＡＢ＝ＢＣ＝２ＡＤ，∴ＢＦ＝ＢＥ＝ＡＤ＝ＡＥ＝ＣＦ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴四边形ＡＢＦＤ是平行四边形。 ∴∠ＢＦＤ＝∠ＤＡＢ＝６０°。 ∵ＢＧ＝ＢＦ，∴△ＢＦＧ是等边三角形。 ∴ＦＧ＝ＢＦ。∴ＦＧ＝ＢＦ＝ＣＦ。 ∴点Ｇ在以ＢＣ为直径的圆上， ∴∠ＢＧＣ＝９０°。∴ＣＧ是 ) ＥＦ所在圆的切线。 （２）解：如图，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ。 由图可得Ｓ阴影 ＝ＳＡＢＦＤ－Ｓ扇形ＡＥＤ－Ｓ扇形ＢＥＧ－Ｓ△ＢＦＧ。 在Ｒｔ△ＡＨＤ中，ＡＤ＝１２ＡＢ＝１，∠ＤＡＢ＝６０°， ∴ＤＨ＝ＡＤ·ｓｉｎ∠ＤＡＢ＝１× 　 槡３ ２＝ 　 槡３ ２。 ∴ＳＡＢＦＤ＝ＡＢ·ＤＨ＝２× 　 槡３ ２＝ 　 槡３。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∠ＤＡＢ＝６０°，∴∠ＡＢＣ＝１２０°。 ∵△ＢＦＧ是等边三角形，∴∠ＦＢＧ＝６０°。 ∴∠ＥＢＧ＝６０°。∵ＡＥ＝ＢＥ， ∴扇形ＡＤＥ和扇形ＢＧＥ全等， ∴Ｓ扇形ＡＥＤ＝Ｓ扇形ＢＧＥ＝ ６０π（ＡＤ）２ ３６０ ＝ ６０×π×１２ ３６０ ＝ π ６。 ∵ＧＦ＝ＢＦ＝ＡＤ＝１                                                                  ， —２— ∴Ｓ△ＢＦＧ＝ １ ２ＧＦ·ＤＨ＝ １ ２×１× 　 槡３ ２＝ 　 槡３ ４。 ∴Ｓ阴影 ＝ＳＡＢＦＤ－Ｓ扇形ＡＥＤ－Ｓ扇形ＢＥＧ－Ｓ△ＢＦＧ＝ 　 槡３－ π ６－ π ６ － 　 槡３ ４＝ ３　槡３ ４ － π ３。 ２２．（１）证明：设ＡＣ＝ＤＥ＝ａ。 ∵∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ＝９０°，∠ＢＡＣ＝４５°， ∴∠Ａ＝∠Ｃ＝４５°。∴ＡＢ＝ＢＣ。 ∵ＢＭ⊥ＡＣ， ∴ＢＭ＝ＡＭ＝ＣＭ＝１２ＡＣ＝ １ ２ａ。 ∵∠ＥＤＦ＝３０°，ＥＮ⊥ＤＦ， ∴ＥＮ＝１２ＤＥ＝ １ ２ａ。∴ＢＭ＝ＥＮ。 （２）①证明：∵∠Ｄ＝３０°，ＣＮ⊥ＤＦ， ∴∠ＣＮＤ＝９０°，∠ＤＣＮ＝９０°－３０°＝６０°。 ∵α＝∠ＡＣＤ＝３０°， ∴∠ＡＣＮ＝∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＮ＝９０°。 ∵ＢＭ⊥ＡＣ，∴∠ＰＭＣ＝∠ＢＭＣ＝９０°。 ∴四边形ＰＭＣＮ是矩形。 ∵ＢＭ＝ＥＮ，即ＢＭ＝ＣＮ，而ＢＭ＝ＣＭ， ∴ＣＭ＝ＣＮ。∴四边形ＰＭＣＮ是正方形。 ②解：当３０°＜α＜６０°时，线段 ＭＰ，ＤＰ，ＣＤ的数量关 系为 ＤＰ＋ＭＰ ＣＤ ＝ 　 槡３ ２；当 ６０°＜α＜１２０°时，线段 ＭＰ， ＤＰ，ＣＤ的数量关系为ＭＰ－ＤＰＣＤ ＝ 　 槡３ ２。 证明：如图１，当３０°＜α＜６０°时，连接ＣＰ。 图１ 由（１）可得ＣＭ＝ＣＮ，∠ＰＭＣ＝∠ＰＮＣ＝９０°。 ∵ＣＰ＝ＣＰ，∴Ｒｔ△ＰＭＣ≌Ｒｔ△ＰＮＣ（ＨＬ）。 ∴ＰＭ＝ＰＮ。∴ＭＰ＋ＤＰ＝ＰＮ＋ＤＰ＝ＤＮ。 ∵∠Ｄ＝３０°。 ∴ｃｏｓＤ＝ＤＮＣＤ＝ ＤＰ＋ＭＰ ＣＤ ＝ｃｏｓ３０°＝ 　 槡３ ２。 ∴ＤＰ＋ＭＰＣＤ ＝ 　 槡３ ２。 如图２，当６０°＜α＜１２０°时，连接ＣＰ。 图２ 由（１）可得ＣＭ＝ＣＮ，∠ＰＭＣ＝∠ＰＮＣ＝９０°。 ∵ＣＰ＝ＣＰ，∴Ｒｔ△ＰＭＣ≌Ｒｔ△ＰＮＣ（ＨＬ）。 ∴ＰＭ＝ＰＮ。∴ＤＮ＝ＰＮ－ＤＰ＝ＭＰ－ＤＰ。 ∵∠ＣＤＦ＝３０°， ∴ｃｏｓ∠ＣＤＦ＝ＤＮＣＤ＝ ＭＰ－ＤＰ ＣＤ ＝ｃｏｓ３０°＝ 　 槡３ ２。 ∴ＭＰ－ＤＰＣＤ ＝ 　 槡３ ２。 综上所述，当３０°＜α＜６０°时，线段 ＭＰ，ＤＰ，ＣＤ的数 量关系为 ＤＰ＋ＭＰ ＣＤ ＝ 　 槡３ ２；当 ６０°＜α＜１２０°时，线段 ＭＰ，ＤＰ，ＣＤ的数量关系为ＭＰ－ＤＰＣＤ ＝ 　 槡３ ２。 ２３．解：（１）∵点Ｐ（２，－３）在二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３ （ａ＞０）的图象上， ∴４ａ＋２ｂ－３＝－３。解得ｂ＝－２ａ。 ∴二次函数的表达式为ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－３。 ∴二次函数的对称轴为直线ｘ＝－－２ａ２ａ＝１。 ∴ｍ＝１。 （２）∵点Ｑ（１，－４）在ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－３的图象上， ∴ａ－２ａ－３＝－４。解得ａ＝１。 ∴二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３＝（ｘ－１）２－４。 将该二次函数的图象向上平移５个单位长度，得到新 的二次函数为ｙ＝（ｘ－１）２－４＋５＝（ｘ－１）２＋１。 ∵０≤ｘ≤４，且ｋ＝１＞０， ∴当ｘ＝１时，函数有最小值，最小值为１；当ｘ＝４时， 函数有最大值，最大值为（４－１）２＋１＝１０。 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 １０＋１ ＝１１。 （３）∵ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－３的图象与 ｘ轴的交点为（ｘ１， ０），（ｘ２，０）（ｘ１＜ｘ２）， ∴ｘ１＋ｘ２＝２，ｘ１·ｘ２＝－ ３ ａ。 ∵ｘ２－ｘ１＝ 　 （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ槡 ２， ∴ｘ２－ｘ１＝ 　 ４＋１２槡 ａ＝２ 　 １＋３槡 ａ。 ∵４＜ｘ２－ｘ１＜６， ∴４＜２ 　 １＋３槡 ａ＜６，即２＜ 　 １＋３槡 ａ＜３。 解得 ３ ８＜ａ＜１。 ２济南市２０２４年九年级学业水平考试 １．Ａ　【解析】９的相反数是－９。故选Ａ。 ２．Ａ　【解析】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视 图与主视图和左视图不相同。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】３４６５００００００＝３．４６５×１０９。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】由题意，得３６０°÷４５°＝８，即这个正多边形 是正八边形。故选Ｃ。 ５．Ｃ　【解析】∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝１８０°，∴∠ＡＣＢ＝ １８０°－６０°－４０°＝８０°。∵△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ，∴∠ＡＣＢ＝ ∠ＤＣＥ＝８０°。故选Ｃ。 ６．Ｄ　【解析】ｘ与ｙ不是同类项，无法合并，故Ａ不正确， 不符合题意；（ｘｙ２）３＝ｘ３ｙ６，故Ｂ不正确，不符合题意；３ （ｘ＋８）＝３ｘ＋２４，故 Ｃ不正确，不符合题意；ｘ２·ｘ３＝ ｘ５，故Ｄ正确，符合题意。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】∵关于 ｘ的方程 ｘ２－ｘ－ｍ＝０有两个不相 等的实数根，∴Δ＞０。∴（－１）２＋４ｍ＞０。∴ｍ＞－ １ ４。故选Ｂ。 ８．Ｃ　解析：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班 锁”三个活动分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，画树状图如下：                                                                  —３—