平面解析几何练习卷-2025届高三数学一轮复习

2025届高三数学一轮复习平面解析几何练习卷 一、单选题 1．“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 3．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 4．椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 5．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 6．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 7．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 8．已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于、两点，则周长的最大值为（    ） A．6 B．8 C． D． 二、多选题 9．已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 10．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（    ） A． B．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 C．周长的最小值为12 D．面积的最大值为 三、填空题 12．过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 13．设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 14．定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则 .若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则 ． 四、解答题 15．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 16．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围. 17．已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 18．已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 19．三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D A A B B AD ABD 题号 11 答案 AD 12．150° 13． 14. 36 15．（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 16．（1）依题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆的离心率为，得，则， 设，则，椭圆的左焦点， 则， 当且仅当时取等号，因此，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 由消去得，则， 直线，同理， 则△OMN的面积 ，令，， 当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，， 所以△OMN面积的取值范围是. 17．（1）设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 则， 当三点共线且点在线段上时，取得最小值， 则，整理得，解得或， 因为，所以，故的方程为. （2）设过点的直线. 联立，消元得，则， 由， 得 代入韦达定理得： 化简得， 得或. 故的斜率为4或. 18．（1）代入双曲线上两点得，， 故，解得，， 故双曲线C标准方程为：. （2）如图， 设，， 由题知， 相减得， 又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 19．（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ，所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$