湖南省岳阳市第十八中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025学年岳阳市第十八中学九年级期中考试 数学学科试卷 命题人:侯楠 审核人:殷玲波 时间:120分钟 满分:120分 一、单选题(本题共10小题，每小题3分，共30分) 1．若sinα=，则锐角α的度数是( ) A．20° B．30° C．45° D．60° 2．若反比例函数y=的图象经过点(－1,－5)，那么k的值为( ) A．k= B．k=－ C．k=5 D．k=－5 3．一元二次方程x(x－2)=0的解是( ) A．x1=0, x2=2 B．x=－2 C．x1=2, x2=1 D．x1=－2,x2=0 4．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度i=1∶3，如果某物体从地面A处传送到离地面5m高的B处，那么该物体所经过的路程是（ 　　） A．5m B．5m C．10 D．15m 5．把方程x2－6x+1=0转化成(x－m)2＝n的形式，则m、n的值是( ) A．3，8 B．3，10 C．－3，10 D．－3，8 6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=2米,AC = 3．2米，AE = 0．8米，那么CD为( ) A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 (题4)(题6) 7．甲、乙、丙、丁四位男同学在中考体育前进行10次立定跳远测试，平均成绩都是2.3米，方差依次分别是s=0.50，s=0.55，s=0.35，s=0.45，则成绩最稳定的是( ) A，甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1∶2，△EDC的周长为8，则△ABC的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 （T8）（题9） 9．如图，能保证△ABC与△ACD相似的条件是（　　） A．AB∶BC=AC∶CD B．BC∶AC=CD∶AD C．AC2=AD⋅AB D．CD2=AD⋅DB 10．如图，□ABCD中，E为AD上一点，BE交AC于点F．已知AE∶ED=2∶1，则下列判断错误的是（　　） A．△AEF与△BCF的周长比为2∶3 B．△ABF与四边形EFCD的面积比为6∶11 C．若连接CE，则△ABF与△CEF相似 D．若题中条件“AE∶ED=2∶1”改为“点E为边AD的黄金分割点，“AE＞ED”，则 ＝ 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分) 11．若＝，则＝____________． 12．一元二次方程(x－3)2＝1的解是____________． 13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，DE=6，则BC等于________． 14．两个相似三角形的相似比为2∶3，则它们的面积之比为___________． 15．已知x1，x2是方程x2－3x＋m＝0的两个根，则x1＋x2＝_________． 16．已知点A(1，y1)、B(2，y2)都在反比例函数y＝(a为常数)的图象上，则y1、y2的大小关系是y1_____y2． 17．若(a2＋b2)2－(a2＋b2)－12＝0，则a2＋b2＝______． 18．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，连结BE，过点A作AF⊥BE于点F，交边BC于点G，连结DF．给出下面三个结论： ①△ABF～△BEC．②若BF＝1，AF＝3，则． ③若，则．上述结论中，正确结论的序号是 　 　． 三、解答题(本题共8题，共66分) 19．计算：(－1)0－2sin30°＋()－1＋(－1)2024． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，tanB＝． ⑴求BC的长； ⑵求cosA的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象交于A(2，a)、D(b，－1)两点． （1）求m的值和点D的坐标； （2）若P是x轴上一动点，且满足△CBP的面积是6，求点P的坐标． 22．已知关于x的一元二次方程x2－6x+(4m＋1)=0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为x1＝1，求该方程的另一个根及m的值． 23．设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 　 　名学生，a＝　 　%； （2）补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为 　 　度； （3）若该校共有4000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？ 24．2024年11月12日，第十五届中国国际航空航天博览会在广东珠海开幕，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量。某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米． （1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号） （2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：1.41，1.73） 25．【阅读材料】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）． 如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA． 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 【问题提出】根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°＝　 　； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC=，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA=，试求sadA的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发，在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，移动时间为t秒． （1）求t＝9时，求线段EF的长； （2）移动过程中，是否存在这样的t值使得△PEF的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）移动过程中，是否存在t值使得以点E、O、P为顶点的三角形与△BOA相似？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$2024－2025 学年岳阳市第十八中学九年级期中考试 数学学科试卷 命题人:侯楠 审核人:殷玲波 时间:120 分钟 满分:120 分 一、单选题(本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1．若 sinα= 3 2 ，则锐角 α的度数是( D ) A．20° B．30° C．45° D．60° 2．若反比例函数 y= k x 的图象经过点(－1,－5)，那么 k 的值为( C ) A．k= 1 5 B．k=－ 1 5 C．k=5 D．k=－5 3．一元二次方程 x(x－2)=0 的解是( A ) A．x1=0, x2=2 B．x=－2 C．x1=2, x2=1 D．x1=－2,x2=0 4．如图，传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度 i=1∶3，如果某物体从地面 A 处传送到离 地面 5m 高的 B 处，那么该物体所经过的路程是（ B ） A．5m B．5 10m C．10 2 D．15m 5．把方程 x2－6x+1=0 转化成(x－m)2＝n 的形式，则 m、n 的值是( A ) A．3，8 B．3，10 C．－3，10 D．－3，8 6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B 观察井水水岸 D，视线 BD 与井口 的直径 AC 交于点 E，如果测得 AB=2 米,AC = 3．2 米，AE = 0．8 米，那么 CD 为( D ) A．3 米 B．4 米 C．5 米 D．6 米 (题 4) (题 6) 7．甲、乙、丙、丁四位男同学在中考体育前进行 10 次立定跳远测试，平均成绩都是 2.3 米，方差依次分别是 s2甲 =0.50，s2乙 =0.55，s2丙 =0.35，s2丁 =0.45，则成绩最稳定的是( C ) A，甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．如图，已知△ABC 和△EDC 是以点 C 为位似中心的位似图形，且△ABC 和△EDC 的位似比为 1∶2，△EDC 的周长为 8，则△ABC 的周长是（ B ） A．2 B．4 C．8 D．16 （T8） （题 9） 9．如图，能保证△ABC 与△ACD 相似的条件是（ C ） A．AB∶BC=AC∶CD B．BC∶AC=CD∶AD C．AC2=AD⋅AB D．CD2=AD⋅DB 10．如图，□ABCD 中，E 为 AD 上一点，BE 交 AC 于点 F．已知 AE∶ED=2∶1，则 下列判断错误的是（ C ） A．△AEF 与△BCF 的周长比为 2∶3 B．△ABF 与四边形 EFCD 的面积比为 6∶11 C．若连接 CE，则△ABF 与△CEF 相似 D．若题中条件“AE∶ED=2∶1”改为“点 E 为边 AD 的黄金分割点，“AE＞ED”，则 CF AF ＝ 5＋1 2 二、填空题(本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 11．若 n m ＝ 3 4 ，则 n＋m m ＝______ 7 4 ______． 12．一元二次方程(x－3)2＝1 的解是______ x1＝4,x2＝2______． 13．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DE∥BC，若 AD∶DB=3∶2， DE=6，则 BC 等于____10_____． 14．两个相似三角形的相似比为 2∶3，则它们的面积之比为_____4∶9_______． 15．已知 x1，x2 是方程 x 2－3x＋m＝0 的两个根，则 x1＋x2＝______3______． 16．已知点 A(1，y1)、B(2，y2)都在反比例函数 y＝ a 2 ＋1 x (a 为常数)的图象上，则 y1、 y2 的大小关系是 y1___＞___y2． 17．若(a2＋b2)2－(a2＋b2)－12＝0，则 a2＋b2＝___4___． 18．如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，连结 BE，过点 A 作 AF⊥BE 于点 F， 交边 BC 于点 G，连结 DF．给出下面三个结论： ①△ABF～△BEC．②若 BF＝1，AF＝3，则𝐴𝐷 = 5 2√10． ③若 𝐴𝐷 𝐴𝐵 = 5 4 ，则𝑡𝑎𝑛∠𝐴𝐹𝐷 = 5 2 ．上述结论中，正确结论的序号是 ①③ ． 三、解答题(本题共 8 题，共 66 分) 19．计算：( 3－1)0－2sin30°＋( 1 3 ) －1＋(－1)2024． 解：原式＝1－2× 1 2 ＋3＋1＝4. 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，tanB＝ 1 2 ． ⑴求 BC 的长； ⑵求 cosA 的值． 解：（1）∵∠C=90°，AC=2，tanB= 1 2 ，∴tanB= AC BC = 2 BC = 1 2 ， ∴BC=4； （2）∵AC=2，BC=4，∴AB= AC2＋BC2=2 5， ∴cosA= AC AB = 2 2 5 = 5 5 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= 1 2 x+2 的图象与反比例函数 y＝ m x (m≠0) 的图象交于 A(2，a)、D(b，－1)两点． （1）求 m 的值和点 D 的坐标； （2）若 P 是 x 轴上一动点，且满足△CBP 的面积是 6，求点 P 的坐标． 解：（1）两图象交于点 A（2，a）和点 D，∴a=2+1=3， ∴A（2，3）， ∵点 D（b，－1）在一次函数 y= 1 2 x+2 的图象上， ∴－1＝ 1 2 ×b＋2, ∴b=－6， ∴D（－6，－1）． （2）在直线 y= 1 2 x+2 中，当 x=0 时，y=2，∴B(0，2)， 当 y=0 时，x=－4，∴C（－4，0）， 设点 P(t,0)，则 PD=│t+4│， ∵△PAB 的面积等于 6，∴S△CBP = 1 2 PCOB＝6， ∴ 1 2 ×│t+4│×2=6，∴t+4=6 或 t+4=－6， 解得 t=2 或－10， ∴点 P 坐标为（－10，0）或（2，0）． 22．已知关于 x 的一元二次方程 x2－6x+(4m＋1)=0 有实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的一个根为 x1＝1，求该方程的另一个根及 m 的值． 解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2－6x+(4m＋1)=0 有实数根， ∴Δ=(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0， 解得 m≤2， 即 m 的取值范围为 m≤5； （2）设该方程的另一个根为 x2，则 x1+x2=6，x1x2=4m＋1. 即：1＋x2=6， 解得：x2=5， 根据：1×5=4m＋1， 解得 m=1， 即该方程的另一个根是 x2＝5，m 的值是 1． 23．设中学生体质健康综合评定成绩为 x 分，满分为 100 分，规定：85≤x≤100 为 A 级，75≤x＜85 为 B 级，60≤x＜75 为 C 级，x＜60 为 D 级．现随机抽取华益中学 部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，a＝ %； （2）补全条形统计图；扇形统计图中 C 级对应的圆心角为 度； （3）若该校共有 4000 名学生，请你估计该校 D 级学生有多少名？ 【解】：（1）在这次调查中，一共抽取了 24÷48%＝50（人）， 𝛼 = 12 50 × 100% = 24%， 答案：50，24； （2）C 级学生人数为：50﹣12﹣24﹣4＝10（人）， 补全条形统计图，如图所示： 扇形统计图中 C 级对应的圆心角为：360°× 10 50 = 72°， 答案：72． （3）4000× 4 50 × 100% =320（名）， 答：估计该校 D 级学生有 320 名． 24．2024 年 11 月 12 日，第十五届中国国际航空航天博览会在广东珠海开幕，首次打 造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量。某校数学兴 趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为 α，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 50 米 至 B 处，测得正前方河流右岸 D 处的俯角为 30°．线段 AM 的长为无人机距地面 的铅直高度，点 M、C、D 在同一条直线上．其中 tanα＝2，MC＝50√3米． （1）求无人机的飞行高度 AM；（结果保留根号） （2）求河流的宽度 CD．（结果精确到 1 米，参考数据：√2 ≈1.41，√3 ≈1.73） 解：过点 B 作 BN⊥MD，垂足为 N，由题意可知， ∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50， （1）在 Rt△ACM 中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50√3， ∴AM＝2MC＝100√3 =BN， 答：无人机的飞行高度 AM 为 100√3米； （2）在 Rt△BND 中，∠BND＝90°, ∵tan∠BDN= 𝐵𝑁 𝐷𝑁 ，即：tan30°= 100√3 𝐷𝑁 ， ∴DN＝300， ∴DM＝DN+MN＝300+50＝350， ∴CD＝DM﹣MC＝（350﹣50√3）. 答：河流的宽度 CD 约为（350﹣50√3）米． 25．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作 sad）．如图①，在 △ABC 中，AB＝AC，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA= 底边 腰 = 𝐵𝐶 𝐴𝐵 ．容易知道一 个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下 列问题： （1）sad60°＝ ； （2）如图②，△ABC 中，CB＝CA，若 sadC= 6 5 ，求 tanB 的值； （3）如图③，Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 sinA= 4 5 ，试求 sadA 的值． 【解】（1）∵顶角为 60°的等腰三角形是等边三角形， ∴sad60°= 底边 腰 = 1 1 = 1． 答案：1． （2）作 CD⊥BA 于点 D(图略)，∴∠ADC＝∠BDC＝90°, ∵△ABC 中，CB＝CA，sadC= 6 5 ，sadC= 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ， ∴AB= 6 5 𝐵𝐶，BD＝AD= 1 2 𝐴𝐵 = 3 5 𝐵𝐶． ∴CD= √𝐵𝐶2 − 𝐵𝐷2 = √𝐵𝐶2 − ( 3 5 𝐵𝐶)2 = 4 5 𝐵𝐶． ∴tanB= 𝐶𝐷 𝐵𝐷 = 4 5 𝐵𝐶 3 5 𝐵𝐶 = 4 3 ． 即 tanB= 4 3 ． （3）设 AB＝5a，BC＝4a，则 AC＝3a． 如图③所示，在 AB 上截取 AD＝AC＝3a，作 DE⊥AC 于点 E， ∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA= 4 5 ， ∴DE＝AD•sinA＝3a× 4 5 = 12𝑎 5 ，AE＝AD•cosA= 3𝑎 × 3 5 = 9𝑎 5 ． ∴CE＝AC﹣AE＝3a− 9𝑎 5 = 6𝑎 5 ． ∴CD= √𝐶𝐸2 + 𝐷𝐸2 = √( 6𝑎 5 )2 + ( 12𝑎 5 )2 = 6√5𝑎 5 ． ∴sadA= 𝐶𝐷 𝐴𝐶 = 6√5𝑎 5 3𝑎 = 2√5 5 ． 即 sadA= 2√5 5 ． 26．如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动 点 P 从点 A 出发，在线段 AO 上以每秒 2 个单位长度的速度向原点 O 运动，动直线 EF 从 x 轴开始以每秒 1 个单位长度的速度向上平行移动（即 EF∥x 轴），分别与 y 轴、线段 AB 交于点 E、F，连接 EP、FP，设动点 P 与动直线 EF 同时出发，移动 时间为 t 秒． （1）求 t＝9 时，求线段 EF 的长； （2）移动过程中，是否存在这样的 t 值使得△PEF 的面积等于 40？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）移动过程中，是否存在 t 值使得以点 E、O、P 为顶点的三角形与△BOA 相似？ 若存在，请求出所有满足条件的 t 值；若不存在，请说明理由． 【解】：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF＝∠BOA 又∵∠B＝∠B， ∴△BEF∽△BOA， ∴ 𝐸𝐹 𝑂𝐴 = 𝐵𝐸 𝐵𝑂 ， 当 t＝9 时，OE＝9，OA＝20，OB＝15，BE＝OB﹣OE＝15﹣9＝6， ∴𝐸𝐹 = 20×6 15 = 8； （2）不存在．理由如下：∵△BEF∽△BOA， ∴𝐸𝐹 = 𝐵𝐸⋅𝑂𝐴 𝐵𝑂 = (15−𝑡)⋅20 15 = 4 3 (15 − 𝑡)， ∴ 1 2 × 4 3 (15 − 𝑡) × 𝑡 = 40， 整理，得 t2﹣15t+60＝0， ∵△＝152﹣4×1×60＝－15＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在使得△PEF 的面积等于 40 的 t 值； （3）当∠EPO＝∠BAO 时，△EOP∽△BOA， ∴ 𝑂𝑃 𝑂𝐴 = 𝑂𝐸 𝑂𝐵 ，即 20−2𝑡 20 = 𝑡 15 ， 解得 t＝6； 当∠EPO＝∠ABO 时，△EOP∽△AOB， ∴ 𝑂𝑃 𝑂𝐵 = 𝑂𝐸 𝑂𝐴 ，即 20−2𝑡 15 = 𝑡 20 ， 解得𝑡 = 80 11 ． ∴当 t＝6s 或𝑡 = 80 11 𝑠时，△EOP 与△BOA 相似．