精品解析：天津市第九十五中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

九十五中学2024-2025学年度第一学期 第一次学习情况调查 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列五个关系式中正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 4. 函数在区间上的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知，则“成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知偶函数在上是增函数，则下列关系是中成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，已知集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 函数的定义域为__________． 12. 设且，则的最小值为______． 13. 已知，那么 _____________． 14. 设，，若，则实数的值为_________． 15. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是______. 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知集合求. 17. （1）已知，求的最大值；并求出此时的值. （2）已知，求的最小值，并求出此时的值. 18. 已知集合，． （1）求集合； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为，解不等式. 20. 已知函数 （1）写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； （2）用单调性定义证明函数在上单调递增； （3）若定义域为，解不等式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九十五中学2024-2025学年度第一学期 第一次学习情况调查 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列五个关系式中正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的概念和集合间的关系分别判断五个关系式即可. 【详解】因为集合中的元素具有无序性，所以，故①正确； 因为且，所以，故②正确； 因为空集是不含任何元素的集合，所以，故③错误； 因为空集是任意非空集合的真子集，所以，故④正确； 因为集合中有一个元素0，所以，故⑤正确； 故选：C. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式,可求得原不等式的解集. 【详解】原不等式可化为， 解得，所以原不等式的解集是. 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 3. 已知函数，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分析得到，将原式改写为关于的形式，再利用基本不等式求解出最值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以.当且仅当，时，有最大值. 故选：C. 4. 函数在区间上的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数展开，结合其图象的对称性和单调性即可求得其最值. 【详解】因 可知函数图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增， 又 故当时，取得最大值4；当时，取得最小值0. 故选：D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 6. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”. 故选：C 7. 已知，则“成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出不等式以及，即可得出答案. 【详解】解可得，. 由可得，，解得. 所以，“成立”是“成立”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 9. 已知偶函数在上是增函数，则下列关系是中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用为偶函数得到，再根据在上是增函数可得的大小，从而得到正确的选项. 【详解】因为为偶函数，所以， 因为且在上是增函数， 所以即. 故选：C. 【点睛】如果一个函数具有奇偶性，那么它的图像具有对称性，偶函数的图像关于 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，因此知道其一侧的图像、解析式、函数值或单调性，必定可以知晓另一侧的图像、解析式、函数值或单调性. 10. 设，已知集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，根据已知集合的并集结果即可求的取值范围. 【详解】由题设，，又，， ∴. 故选：D 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据开平方时被开方数要大于等于0及分式中分母不能为0列不等式解得答案. 【详解】使有意义的满足且， 解得． 故答案为： 12. 设且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 因为，由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立， 故，故的最小值为. 故答案为：. 13. 已知，那么 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的每段上的解析式，代值计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：. 14. 设，，若，则实数的值为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据，对集合进行分类讨论，即可求得的值. 【详解】因为，则， 因为， 当时，则，满足， 当时，则，因为,所以或，则或， 综上，或或. 故答案为：或或. 15. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，对任意的，不等式恒成立，然后分和两种情况分析，由此可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，不等式恒成立. ①当时，则有，该不等式在上不恒成立； ②当时，由于不等式在上恒成立， 则，即， 解得或，此时，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知集合求. 【答案】；； 或； 或或. 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算，借助于数轴表示即可逐一求得. 【详解】依题意，； ； 或或； 或或或. 17. （1）已知，求的最大值；并求出此时的值. （2）已知，求的最小值，并求出此时的值. 【答案】（1）此时；（2），此时. 【解析】 【分析】根据所求函数式的特征，进行适当配凑项或系数，再运用基本不等式求解即得. 【详解】（1）因，则， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最大值为； （2）因，则， 则 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最小值为7. 18. 已知集合，． （1）求集合； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法化简求解集合即可. （2）根据是成立的充分不必要条件，由求解. 【详解】（1）由，得．故集合 由，得，． 当时，，由得， 故集合． （2）∵是成立的充分不必要条件， 所以， 则，即， 解得， 又当时，，不合题意， 所以实数的取值范围为． 19. 已知函数. （1）若，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为，解不等式. 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分类讨论求解（2）由根与系数的关系求出参数后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）当时，显然成立； 当时，需满足，得. 综上可得，a的取值范围是. （2）即. 根据题意，和是方程的两个实根， 所以，解得，经检验，符合题意. ，解得， 所以不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题. 20. 已知函数 （1）写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； （2）用单调性定义证明函数在上单调递增； （3）若定义域为，解不等式 【答案】（1）的定义域为R，为奇函数 （2）证明：任取，，且，则 ，因为，，且，所以，，所以，故，，所以在单调递增，证毕. （3） 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，判断并用定义法证明函数在R上为奇函数；（2）定义法证明函数单调性，取值，作差，判号，下结论；（3）利用第一问和第二问的结论解不等式. 【小问1详解】 的分母恒成立，故的定义域为R，函数在R上为奇函数，理由如下：首先定义域关于原点对称，其次，所以在R上为奇函数，证毕. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，即 由（1）知，在R上为奇函数，故，所以，又定义域为，由（2）知，函数在上单调递增，故，解得：，故解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $