精品解析：2025届陕西省米脂中学高三第四次模拟考试数学试题

2025届高三第四次模拟考试数学试题 考试时间：120分 总分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数z满足，则z的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 2. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 中国最早的天文观测仪器叫“圭表” ，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且则甲、乙两地之间的距离约为（ ） A. 8千里 B. 10千里 C. 12千里 D. 14千里 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，最小值为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象的一条对称轴为，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 10. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上恰有4个极值点 11. 若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为等差数列的前项和，且，则________． 13. 已知、是方程的两根，并且、，则的值是______． 14. 已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 化简下列各式 （1） （2）; （3）； （4）. 16. （1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 18. 中，内角所对的边为，． （1）若，试确定的形状； （2）若，是的平分线，求长． 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若，求的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第四次模拟考试数学试题 考试时间：120分 总分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数z满足，则z的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题设条件可求，从而可得正确的选项. 【详解】设，则，故， 所以， 故选：B. 2. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出向量的坐标，再利用向量平行的坐标条件列出方程，即可求解. 【详解】由已知，，则，又，所以，解得. 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案 【详解】由为偶函数可排除A，C； 当时，图象高于图象，即，排除B； 故选：D． 【点睛】识图常用的方法： （1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； （2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； （3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 5. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根平面向量的数量积的运算公式和夹角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若， 可得， 因为，是两个不共线向量，所以，所以， 所以，所以， 又由，是两个不共线向量，可得， 即与的夹角为钝角，所以必要性成立； 由向量与的夹角为钝角，不妨设， 可得，此时， 所以与不垂直，即充分性不成立， 所以“与的夹角为钝角”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 6. 中国最早的天文观测仪器叫“圭表” ，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且则甲、乙两地之间的距离约为（ ） A. 8千里 B. 10千里 C. 12千里 D. 14千里 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出甲地、乙地的日影长，即可计算甲、乙两地的距离作答. 【详解】依题意，甲地中线段AB的长为寸，则甲地的日影长为寸， 于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差12寸， 所以甲、乙两地之间的距离是12千里. 故选：C 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式以及同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为，则， ， . 故选：B 8. 已知函数的最小正周期为，最小值为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象的一条对称轴为，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和余弦化简，由已知求得a的值，然后由平移后函数图象的对称轴为x=得到φ的值，即可得出结果． 【详解】 依题意可得：， ， 故 故，即 将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象的一条对称轴为， 即，即 的值不可能为 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的除法及共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的意义计算判断B；利用复数的意义判断C；利用复数模的几何意义计算判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，为纯虚数，令，则，B正确； 对于C，不全是实数的两个复数不能比较大小，C错误； 对于D，集合所构成区域是复平面内以为圆心，3为半径的圆及内部，因此该区域面积为，D正确. 故选：ABD 10. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上恰有4个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象变换得的解析式，根据正弦型函数的性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得， 对于A：令，解得对称轴方程为， 令，解得一条对称轴方程为，故A正确； 对于B：令，解得对称中心为， 无论k取任何整数，，故B错误； 对于C：因为，所以， 所以在此范围内单调递增，故C错误. 对于D：因为，所以， 当时，函数取得极值，所以函数在上恰有4个极值点，故D正确. 故选：AD 11. 若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令即可验算；对于B，令即可判断；对于C，令，得，进一步结合奇函数的定义即可求解；对于D，首先说明4是的周期，故只需求出的值即可验算. 【详解】A中：令，得，又，所以，故A不选； B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选； C中：令，得，所以， 又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选； D中：,所以，所以， 故4是的周期，又，所以，故D选. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为等差数列的前项和，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式以及等差数列下标和的性质代入计算，即可得到结果． 【详解】由等差数列的前项和可得： ， ， 则，所以． 故答案为： 13. 已知、是方程的两根，并且、，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，，根据两角和的正切公式即可求出. 【详解】、是方程的两根，并且、， ∴，，． ∴、均大于零，故、，∴． ∵，∴， 故答案为：． 14. 已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题， 由正弦定理可得： ③ 由正弦定理，故， 由余弦定理： 代入得： 所以，故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 化简下列各式 （1） （2）; （3）； （4）. 【答案】（1）; （2）; （3）; （4） 【解析】 【分析】（1）利用切化弦、辅助角公式、诱导公式来求解即可； （2）利用切化弦，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可； （3）利用二角的降次升倍公式，再利用两角和差公式求解即可； （4）利用二倍角公式和半角公式求解即可. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 ; 【小问3详解】 ; 【小问4详解】 , 因为，所以，即， 即上式. 16. （1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，，符合上式， 所以的通项公式是． （2）因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值； （2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解. 【小问1详解】 因为在菱形中，. 故， 故，所以. 【小问2详解】 显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 18. 中，内角所对的边为，． （1）若，试确定的形状； （2）若，是的平分线，求长． 【答案】（1） 为等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，，得到为等边三角形； （2）在（1）基础上，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，由角平分线得到，求出答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 又， 又，故， 化简得， 又，故为等边三角形； 【小问2详解】 由（1）知，， 又， 在中，由余弦定理得， 故， 由于，故为直角三角形，其中， 又是的平分线，故， 故，即， 故的长为 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若，求的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）当时，，， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减． （2）， （3）由（2）可知，当时，， 令得，， 整理得，， ，， ， 即． 另运用数学归纳法证明．当时，左边成立． 假设当时，不等式成立，即． 当时，要证， 只要证， 即证． 可令，则，，则需证明， 再令，则需证明． 构造函数，， ， 可得在，上递减， 则，所以原不等式成立， 即时，成立． 综上可得，成立． 【解析】 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.或者另运用数学归纳法证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 在上恒成立， 又， 令，则， ， ①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增． 因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去； ②当，即， ， 若，则， 所以在，上单调递减，，符合题意． 若，则， 所以在上单调递减，，符合题意． 综上所述，实数的取值范围是，． 【小问3详解】 略 【点睛】函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $