精品解析：浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试 数学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则a等于（ ） A. 1 B. C. D. 3 2. 设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知函数，若，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7 B. 若随机变量X服从二项分布，且，则 C. X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 11. 已知曲线C的方程为：，，，过M的直线交曲线C于A、B两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（ ） A. B. 的最小值是2 C. 周长的最大值是 D. 若，将沿翻折，使面面，则折后 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线方程为______. 13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 14. 一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若，的面积为，求的值. 16. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若为钝角，且二面角的大小为，求. 18. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T的轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 19. 一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辐角.我们规定在范围内的辐角称为辐角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试 数学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则a等于（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合间的基本关系求参. 【详解】因为，且， 则,所以. 故选：D. 2. 设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数关于实轴对称得出,再应用复数的除法及乘法计算化简即可. 【详解】复数在复平面内对应的点关于实轴对称，故. 所以. 故选：A. 3. 若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式法求解. 【详解】解：因为，成立， 所以，解得， 故选：B 4. 在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高. 【详解】 设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r， 因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆， 则，解得， 则该圆锥的高为. 故选：A. 6. 函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先解方程，结合图象，求得方程的实数根，即可求解的值. 【详解】令，则，，， 则，且，所以. 故选：C 7. 已知函数，若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得为偶函数，则，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得，，，又当时，由，可得为单调递增函数，即可得到答案. 【详解】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数， 因为， 则， 又，，， ，， 则，所以， 当时，因为，所以为单调递增函数， 所以. 故选：B. 8. 已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值. 【详解】依题意在区间上有零点， 整理得在上有解， 表示坐标系中，直线（看成参数）上的点， 所以表示原点到直线上的点的距离的平方， 设， 由于，所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程. 距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7 B. 若随机变量X服从二项分布，且，则 C. X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据极差和众数的概念即可判断A；根据二项分布的性质即可判断B；根据独立性检验的思想即可判断C；根据正态曲线的性质即可判断D. 【详解】A：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A错误； B：由，得，解得， 所以，故B正确； C：值越大，X和Y有关系的可能性就越大，则“X与Y独立”的把握越小，故C错误； D：由，得， 所以，故D正确. 故选：BD 10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设得是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前n项和判断D. 【详解】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列， 所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对； 由，则， 所以， 所以，D对. 故选：BCD 11. 已知曲线C的方程为：，，，过M的直线交曲线C于A、B两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（ ） A. B. 的最小值是2 C. 周长的最大值是 D. 若，将沿翻折，使面面，则折后 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理，结合椭圆概念，即可判断；对于B，由，利用三角恒等变换可得，再由基本不等式可得的最小值；对于C，由周长，对于，利用基本不等式即可得到周长的最大值；对于D，由直曲联立可得，又，则折后，即可判断D. 【详解】 由已知，在中，已知，， 由正弦定理得， 又，即， 所以，故A正确； 由 ， 得：， 在中，，则， 所以， 故， 当且仅当，时取到最小值是2，故B正确； 周长， 设，， 又，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故周长的最大值是，故C正确； 设AB的方程是：与联立得：， 解得：（舍去）或，则点为椭圆上顶点，， 又在圆上，所以 ， 又沿翻折后，平面平面， 平面平面 ，， 则平面，又平面，则， 所以，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：B选项中利用三角恒等变换弦化切，再利用基本不等式求最值；C选项先利用椭圆定义和两点间距离公式，再利用基本不等式求最值. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案. 【详解】由得，即，焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 14. 一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果. 【详解】标有数字的4只球排序共有种情况. 要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况： ①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况. ②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出， 其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解； （2）由面积公式和正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由条件得，从而. 所以，由正弦定理得，故. 从而，得，故. 所以. 【小问2详解】 设的面积为，则. 16. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出值. （2）分类讨论判断值的正负情况，求出函数的单调区间. 【小问1详解】 函数，求导得， 由曲线在点处的切线垂直于直线，得， 所以. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，方程中，， 若，则，，函数在上单调递增； 若，则，关于x的方程有两个正根，，， 当或时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 17. 如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若为钝角，且二面角的大小为，求. 【答案】（1）证明如下： 如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N， 平面平面ABC，平面平面，平面ABC， 平面PAC，又平面PAC，，同理可证， 又，平面ABC， 平面ABC； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得平面PAC，利用线面垂直的性质可得、，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得平面PAC，得，设，，则，根据建立方程，解之即可求解. 法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ， 平面ABC，平面ABC，， 又，平面PAC， 平面PAC，则为二面角的平面角，即 设，， 则，， 所以，又，所以， 所以，由得， 整理得，又，解得或（舍去）， 综上. 法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，， 则，，，， 易知平面PAC的法向量为， 设面PAB的法向量为， 则， ， 则， 整理得，由， 得，解得或（舍）， 综上，. 18. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T的轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 【答案】（1） （2） 由（1）知，，设直线，，， 联立消去x，整理得，则 ， 根据题意可设，，则由， 可得，同理可得， 所以直线FM与直线FN的斜率之积， . 所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得，即可得到标准方程； （2）根据题意，设直线，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明. 【小问1详解】 由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得. 由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长为，焦距为，， 所以点T的轨迹W的方程为 【小问2详解】 略 19. 一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辐角.我们规定在范围内的辐角称为辐角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 【答案】（1）1，i，，，， （2）X的分布列为 X 1 2 3 4 P （3）【解析】 【分析】（1）根据题意，直接得到结果； （2）根据题意，由条件可得X的取值为1，，2，3，，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列； （3）根据题意，由条件可得或，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在次操作中，分别设得到i，的次数为，的次数为，的次数为，即可得到，然后得到与之间的关系，即可得到结果. 【小问1详解】 一次操作后可能的复数为：1，i，，，，， 【小问2详解】 一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，1，，，2，2 由，故X的取值为1，，2，3，，4 ，，. ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 【小问3详解】若为实数，则或. 而1，i，，，，的辅角主值分别是0，，0，，，， 设在n次操作中，得到i，的次数为，得到的次数为，得到的次数为， 于是， 从而，即 因此，所有的概率即为是3的倍数的概率，下面研究与之间的关系. （ⅰ）是3的倍数，且第次操作得到的复数是1，i，，（概率为）； （ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的复数是（概率为）； （ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的复数是（概率为）； 因此由全概率公式可以得到： 变形得，其中，故 【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到与之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $