精品解析：山东省青岛莱西市（五四制）2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共14小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 数据2，6，4，5，4，3的众数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表，根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（ ） 甲 乙 丙 丁 169 169 168 168 6.0 5.0 5.0 19.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 9. 已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（ ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 将分式化为最简分式的结果为_____． 12. 计算：___________. 13. 某初中学校国旗护卫队新进了8个男队员，他们的身高及其对应人数情况如表所示： 身高（cm） 173 174 175 176 178 人数 1 2 3 1 1 那么，这批男队员身高的方差为___________． 14. 若，则式子的值等于___________． 15. 若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______． 16. 定义，例如，，试计算下面算式的值：_____． 三、解答题（本题共8小题，满分72分） 17. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 计算 （1）； （2）． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 20. 解决下面问题 （1）先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 21. 为了进一步丰富校园体育活动，某中学一次性购买了若干个篮球、足球和排球，其中篮球花费5000元，足球花费2400元，排球花费1200元，购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，已知篮球的单价比足球高，排球单价比足球的单价低20元． （1）求篮球、足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况计划再购买一批篮球、足球和排球，其中足球和排球共50个，篮球的个数是足球个数2倍，总费用不超过9600元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 22. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 23. 阅读理解： 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？ 设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=． （1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ； （2）请用上述方法将分式表示成部分分式． 24. 【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容） 25. 已知的三边长分别为，，，且，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 腰长为的等腰三角形 C. 底边长为的等腰三角形 D. 等腰直角三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共14小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 数据2，6，4，5，4，3的众数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了众数，解题关键是要明确众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，找出出现次数最多的数据即可． 【详解】解：∵数据2，6，4，5，4，3中，4出现了2次，是这组数据中出现次数最多的数， ∴这组数据的众数为4． 故选：C． 2. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．据此求解即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：B． 3. 下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式，进行逐一判断即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：A．无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； B． ，用平方差公式分解，故此选项正确，符合题意； C． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； D． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原式从左到右依次计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质并能正确应用． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，看其是否符合性质要求． 【详解】解：A，，选项化简错误，不符合题意； B，，选项化简错误，不符合题意； C，，选项化简错误，不符合题意； D，，选项化简正确，符合题意． 故选：D． 7. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表，根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（ ） 甲 乙 丙 丁 169 169 168 168 6.0 5.0 5.0 19.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数据的平均数与方差的意义，解题的关键是理解两者所代表的意义，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据平均数与方差的意义解答即可． 【详解】解：甲、乙的平均数比丙、丁大，应从甲和乙中选，甲的方差比乙的大，乙的成绩较好且状态稳定，应选的是乙． 故选：B． 8. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故选：C． 9. 已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解， ，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C． 10. 已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（ ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减法，除法运算，依据题意，根据所给信息逐个求出，然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴，故①错误． ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即，故②正确． ∵， 又若整数x使得为整数， ∴． ∴此时，为15． ∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确． 综上，正确的有②③共2个． 故选：C． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 将分式化为最简分式的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简．掌握分式的性质，是解题的关键． 根据分式的性质，进行约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 计算：___________. 【答案】x+1 【解析】 【分析】先通分，进行分式的加减法，再将分子进行因式分解，然后约分即可求出结果． 【详解】解： = . 故答案是：x+1. 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 13. 某初中学校国旗护卫队新进了8个男队员，他们的身高及其对应人数情况如表所示： 身高（cm） 173 174 175 176 178 人数 1 2 3 1 1 那么，这批男队员身高的方差为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先计算出8个男队员的平均身高，再根据方差公式计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了求一组数据的方差，熟知方差计算公式并正确计算是解题关键． 14. 若，则式子的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 15. 若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键 【详解】解：等式两边都乘以，得， 令，则， ∴“美好点”的坐标为， 故答案为（答案不唯一） 16. 定义，例如，，试计算下面算式的值：_____． 【答案】4048 【解析】 【分析】本题考查了新定义的应用，理解新定义，并得到规律是解题的关键． 根据新定义及示例，可得到，所求算式共有2024对，再加上，从而得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，…，， ∵ ∴ ． 三、解答题（本题共8小题，满分72分） 17. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． （1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （3）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （4）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 ， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ； 【小问4详解】 ， ， ． 18. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据分式的除法法则解答即可； （2）根据异分母分式的加减法解答即可． 本题考查了分式的除法，异分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）无解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 【小问2详解】 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 20. 解决下面问题 （1）先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】（1），当时，原式； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键 （1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的值代入计算即可； （2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减法，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：原式 ，即 当时，原式； 【小问2详解】 解：原式= ， 原式 ． 21. 为了进一步丰富校园体育活动，某中学一次性购买了若干个篮球、足球和排球，其中篮球花费5000元，足球花费2400元，排球花费1200元，购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，已知篮球的单价比足球高，排球单价比足球的单价低20元． （1）求篮球、足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况计划再购买一批篮球、足球和排球，其中足球和排球共50个，篮球的个数是足球个数2倍，总费用不超过9600元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】（1）篮球、足球和排球的单价分别是100元，80元，60元； （2）30个． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是元，排球的单价是元，根据购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买m个足球，则购买排球个，篮球个，根据总费用不超过9600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价各是x元，则篮球的单价是元，排球的单价是元， 根据题意，得： ， 解方程，得 经检验，是原方程的解． 所以，=100，=60． 所以，篮球、足球和排球的单价分别是100元，80元，60元． 【小问2详解】 解：设学校购买m个足球，根据题意，得： 解得， 所以学校最多可以购买30个足球． 22. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 23. 阅读理解： 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？ 设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=． （1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ； （2）请用上述方法将分式表示成部分分式． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解. 【详解】解：(1)∵， ∴， 解得：. (2)设分式= 将等式的右边通分得：=， 由=， 得， 解得. 所以=. 24. 【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】 （2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是； （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2）略 （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）略 附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容） 25. 已知的三边长分别为，，，且，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 腰长为的等腰三角形 C. 底边长为的等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，分组分解法分解因式，等腰三角形的定义，先把原式化为，可得，再进一步解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； ∴是腰长为的等腰三角形； 故选B 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $