专题05 全等三角形三大经典模型重难点题型培优专题训练（3大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题05 全等三角形三大经典模型重难点题型培优专题训练 题型一：“一线三等角”全等模型 题型二：“半角”全等模型 题型三：“手拉手”全等模型 知识要点精讲 知识点01、“一线三等角”全等模型 基础模型 已知:点 P 在线段AB 上, ∠1=∠2=∠3,且AP=BD 或AC=BP 或CP=PD) 已知：点P 在线段AB 的延长线上， ∠1=∠2=∠3,且AP=BD (或AC=BP或CP=PD) 结论1:△APC≌△BDP 结论2:△APC≌△BDP 模型拓展 已知：点P在线段AB上，∠1=∠2 = ∠3, 且 AP = BD(或AC=BP或CP=PD) 已知：点P在线段AB 的延长线上, ∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) 结论3:△APC≌△BDP 结论4:△APC≌△BDP 知识点02、“半角”全等模型 基本模型 等腰三角形含半角 等边三角形含半角 等腰直角三角形含半角 已知:∠BAC=2α,AB=AC, ∠DAE=∠BAC=α 已知:∠BDC=120°,BD=CD, 已知:∠BAC=90°,AB=AC, ∠DAE=45° 结论1： ①△ABD≌△ACF,△ADE≌△AFE; ②∠ECF=180°-2α 结论2： ①△BDE≌△CDG,△DEF≌△DGF; ②EF=BE+FC 结论3： ①△ABD≌△ACF,△ADE≌△AFE; ②∠ECF=90°; ③DE²=BD²+EC² 模型拓展 菱形含半角(∠BAD=120°) 正方形含半角 结论4:①△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF; ②△AEF 为等边三角形(连接AC,可得 △AEC≌△AFD) 结论 5:①△ABG≌△ADF,△AGE≌△AFE; ②EF=BE+DF 知识点03、“手拉手”全等模型 基础模型 已知:在等腰△OAB 中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,将 △OCD绕点 O 旋转一定角度后，连接AC，BD(称为“拉手线”，左手拉左手， 右手拉右手)，相交于点 E，连接OE 结论1:△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等)； 结论2:EO平分∠AED; 结论3：两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB 相等或互补 拓展模型 已知:△AOB 和△COD 均是等腰直角三角形,OA=OB,OC=OD.连接AC,BD 结论4:△AOC≌△BOD; 结论5:AC⊥BD 已知:△AOB 和△COD 均是等边三角形,连接AC,BD交于点 E,连接OE 结论6:△AOC≌△BOD; 结论7:∠AEB=60°; 结论8:EO平分∠AED 已知:在等腰△ABC 和等腰△ADE中,AB=AC, AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BE、CD(左手拉右手， 右手拉左手，称为“反向手拉手”全等模型) 将“反向手拉手”全等转化为“正向手拉手” 全等，方法如下：作出△ABC关于 AC 的轴对 称图形△AB'C,连接EB' 结论:△AB'E≌△ACD 重难点题型训练 题型一：“一线三等角”全等模型 1．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小；(2)当时，；(3)可以；的度数为或 【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，△ADE的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， △ADE是等腰三角形； 时， ， ， ， ， △ADE的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（21-22九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在△ABC中，，，直线经过点，且于，于．    (1)当直线绕点旋转到图1位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是________（直接写出答案，不需证明）． 【答案】(1)见解析；(2)，证明见解析；(3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．余角的性质，解题的关键在于找出证明三角形全等的条件． （1）先用证明，得，，进而得出； （2）先用证明，可得，，进而得出； （3）证明过程同（2），进而可得． 【详解】（1）证明：由题意知，，， ∴，， ∴， 在和△CEB中， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：． 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， 又∵, ∴． （3）解：． 证明：∵于，于， ∴， ∴，， ∴∠ACD＝∠EBC， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 3．（21-22八年级上·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（19-20八年级上·河南安阳·期末）（1）如图①．已知：在△ABC中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是__________；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据，得到，，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】解：（1）．理由：如图1， 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）（1）中结论成立， 理由如下：如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）结论：是等边三角形． 理由：如图3，由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图1，在△ABC中，，,直线经过边．将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．    (1)当△ABC绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：； (2)当△ABC绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见详解；②见详解；(2)不成立，，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）①由题意易得，，然后问题可求证；②由①可进行求证； （2）由题意易证，然后问题可求证． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论②不成立，，理由如下： 同理（1）可证， ∴， ∴． 6．（21-22七年级下·河南郑州·期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在△ABC中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，△ABC的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1)；(2)仍然成立，理由见解析；(3)4 【分析】本题考查了图形变换问题，全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，正确理解图形变换问题中各小题间的内在联系是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，得到，，由此即得答案； （2）同（1）的思路证明，同样得到，得到，，由此即得答案； （3）根据（1）（2）的解题思路，同样可证明，所以，根据，可知，由此即可进一步求得答案． 【详解】（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为： ． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3），， ， ， 在和中， ， ， ， 设△ABC的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为4． 7．（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，于点A，点D在直线上，．    (1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析；(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接证明，即可得出结论； （2）仿照（1）的证明过程推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意，， 在与中， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ； （1）中结论仍然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 8．（20-21八年级上·陕西商洛·期末）在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，______°； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）50；（2）=5时，，理由见详解；（3）当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形 【分析】（1）先求出∠B=30°，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴∠B=（180°-120°）÷2=30°， ∵， ∴180°-100°-30°=50°， 故答案是：50； （2）当AP＝5时，， 理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝30°， 又∵∠APC是△BPC的一个外角， ∴∠APC＝∠B＋＝30°＋， ∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD， ∴＝∠APD， 又∵AP＝BC＝5， ∴； （3）△PCD的形状可以是等腰三角形， 则∠PCD＝120°−α，∠CPD＝30°， PC＝PD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝（180°−30°）÷2＝75°，即120°−α＝75°， ∴α＝45°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°−α＝30°， ∴α＝90°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°−2×30°＝120°， 即120°−α＝120°， ∴α＝0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 9．（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论； （3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点． 【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． （2）解：成立． 理由：如图2中， ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α， ∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． （3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N． ∴∠EMI=∠GNI=90° 由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN ∴EM=GN 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI=GI， ∴I是EG的中点． ∴S△AEI=S△AEG=3.5． 故答案为：3.5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（21-22八年级上·山西阳泉·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现） （1）如图，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    （模型应用） （2）如图，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为的面积为，则有_____________（填“>、、”） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）。 【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点和点作于点，于点，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，由题意易得，，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为； （2）分别过点和点作于点，于点，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，即点是的中点； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于    ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 题型二：“半角”全等模型 1．（11-12九年级上·黑龙江绥化·期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】（1），证明见解析（2） 【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN． （2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似． 【详解】（1）BM+DN=MN成立． 证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线． ∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°， 又∵∠NAM=45°， ∴在△AEM与△ANM中， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴ME=MN， ∵ME=BE+BM=DN+BM， ∴DN+BM=MN； （2）DN-BM=MN． 在线段DN上截取DQ=BM，如图， 在△ADQ与△ABM中， ∵， ∴△ADQ≌△ABM（SAS）， ∴∠DAQ=∠BAM， ∴∠QAN=∠MAN． 在△AMN和△AQN中， ∴△AMN≌△AQN（SAS）， ∴MN=QN， ∴DN-BM=MN． 2．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为______　　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （3）在NC上截取CM'=AM，连接BM'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CBM'，从而得到AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，进而得到∠MAM'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下： 如图，在NC上截取CM'=AM，连接BM'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°， ∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CBM'， ∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'， ∴∠MAM'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-CM'，   ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键． 3．（21-22九年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)见解析；(2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析；(3)DE＝BD 【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝A，∠CA＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据旋转的性质可得AD＝A，再利用“边边边”证明△ADE和△AE全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解； （3）求出∠CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得E＝C，再根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴AD＝A，∠CA＝∠BAD， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAE＝∠AE， 在△ADE和△AE中， ∵，∴△ADE≌△AE（SAS）， ∴DE＝E； （2）解：∠DAE＝∠BAC． 理由如下：在△ADE和△AE中， ，∴△ADE≌△AD′E（SSS）， ∴∠DAE＝∠AE， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAC； （3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°， ∴∠CE＝45°＋45°＝90°， ∵△EC是等腰直角三角形， ∴E＝C， 由（2）DE＝E， ∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴BD＝， ∴DE＝BD． 【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键． 4．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　__　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45；(2)DF＝BE+EF，证明见解析；(3)2 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF；理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ，∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 5．（2012·北京昌平·中考模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析． 【分析】（1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等，将EF转换为GE，证得EF=BE+DF， （2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形ABG和三角形ADF全等， （3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，用（1）中方法，可证得DF=BG，GE=EF，则EF=GE=BE-BG=BE-DF 【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG， 在与中， ； （2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下， 证明：如图，延长CB到M，使BM=DF， 在与中 即 在与中 即 ； （3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下， 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， 在与中 ． 【点睛】本题考查四边形综合题，三角形全等的判定与性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 6．（2020九年级·全国·专题练习）请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【答案】（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立，详见解析；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°． 【分析】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，得到△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝45°+45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论； （2）根据（1）的思路一样可以解决问题； （3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题． 【详解】解：（1）DE2＝BD2+EC2； 证明：如图，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE， ∴△AFD≌△ABD， ∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD， ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45° ∴∠BAD+∠CAE＝45°, ∠FAD+∠FAE＝45°, ∴∠CAE=∠FAE 又AE=AE,AF=AB=AC ∴△AFE≌△ACE， ∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝45°+45°＝90°， ∴DE2＝FD2+EF2 ∴DE2＝BD2+EC2； （2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立． 证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE ∴△AFD≌△ABD， ∴AF＝AB，FD＝DB， ∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD， 又∵AB＝AC， ∴AF＝AC， ∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°， ∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB， ∴∠FAE＝∠EAC， 又∵AE＝AE， ∴△AFE≌△ACE， ∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135° ∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°， ∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2， 即DE2＝BD2+EC2； （3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB， 可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA． ∴AD＝DF，EF＝BE． ∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°． 若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE， ∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°． 【点睛】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据． 7．（21-22七年级下·陕西西安·期末）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，   ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 8．（19-20八年级上·江苏盐城·期末）在等边△ABC的两边、所在直线上分别有两点、，为△ABC外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及△AMN的周长与等边△ABC的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　； (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1)，；(2)（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析；(3)，证明见解析 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出． 【详解】（1）解：、、之间的数量关系， 此时， 理由如下：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：猜想：结论仍然成立， 证明：如图，在的延长线上截取，连接， ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 的周长为：， ； （3）证明：如图，在上截取，连接，    同（2）可证， ， ∵∠MDN=60°，， ， ， 又，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法． 9．（2012·北京海淀·中考模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：_____________； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）    【答案】（1）AH=AB；（2）成立，理由见解析；（3）6 【分析】（1）先证明，可得，，再证明即可； （2）延长至，使，证明，能得到； （3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理，解得． 【详解】解：（1）如图①，．理由如下： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， 是等腰三角形， 又， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； （2）数量关系成立．如图②，延长至，使． ∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ∴≌（SAS）， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ，， 、是和对应边上的高， ． （3）如图③分别沿、翻折和，得到和， ，，． 分别延长和交于点，得正方形， 由（2）可知，． 设，则，， 在中，由勾股定理，得， ， 解得，．（不符合题意，舍去）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键． 10．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 【答案】(1)；(2)，证明见解析；(3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得△ADE，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，在上取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得△ADE， ，，， ， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型三：“手拉手”全等模型 1．（20-21八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 2．（16-17八年级上·河北沧州·期末）在△ABC中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 【答案】(1)90；(2)120；(3)；(4)或 【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数； （2）由“”可证，得，可求的度数； （3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； （4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； （3）， 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （4）如图4，当点D在的延长线上时，，    证明方法同（3）； 如图5，当点D在的延长线上时，，    理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 3．（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，；(2)成立，理由见解析；(3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 4．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，大小不同的两块三角板 △ABC和 △DEC直角顶点重合在点 处，，，连接、，点恰好在线段上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容是解题关键．根据条件证即可求解． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质及角的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ， 在与中， ． （2），理由如下： 设交于点O， 由（1）得， ， ， ， ． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△AOB和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），△ABC是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴△AOB是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 6．（22-23八年级上·江西吉安·期中）（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则①；②线段，之间的数量关系； （2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用， （1）证明．得到．利用为等边三角形，得到，再利用点A，D，E在同一直线上，可得，即可得； （2）证明，可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，可得，证明是等边三角形，证明，再证明、、在同一条直线上，求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ②由①得：△， ∴； 故答案为：①；②． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴． ∵点，，在同一直线上， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：，， 则， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 即D、P、E在同一条直线上， ∴， 在中，=， 即的长为． 【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中． 7．（18-19八年级上·山东德州·期中）如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析；(2)不发生变化，见解析；(3)①，见解析；②能，60° 【分析】（1）延长交于点，证明，得到，，推出，即可； （2）证明，得到，，进一步推出，即可； （3）①证明即可；②证明，得到，，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， 理由如下：延长交于点． ， ． 在 和 中， ， ，． ，   ． ， ， ， ． （2）不发生变化． 理由如下：  ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， ． ， ， ， ． （3）① ，理由如下： ， ， ． 在 和 中， ， ． ②能． 与 所成的夹角的度数为  ． 理由如下： 和 是等边三角形， ，，， ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， 即 与 所成的夹角的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键． 8．（22-23九年级下·广东深圳·阶段练习）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把△ADE绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把△ADE绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)，；(2)为等腰直角三角形，理由见解析；(3)． 【分析】（）根据，，得 ，再根据三角形中位线定理可知， ，，，利用平行线的性质可证得； （）先通过证明，得 ，，再由()同理可证； （）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵∠， ∴， 故答案为：，； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可知：， 又∴，， ∴， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：由三角形三边关系可知：，即， ∴的最大值为， 由()知，是等腰直角三角形， ， ∴时，最大，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键． 9．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接． (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析；② 【分析】（1）利用正方形性质可得、，然后利用即可证明结论； （2）①根据，可得，又因为，，所以四边形是矩形，再证明可得从而证明结论；②如图：作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，然后求出的最小值即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ． （2）解：①证明：如图中，设与相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， 又，   ， ， 矩形是正方形； ②如图∶作交于点，作于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ，， 最大时，最小，即点与点重合时，， ， 由（2）①可知，是等腰直角三角形， ． 故答案为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，寻找并证明全等三角形是解题的关键． 10．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为；②线段、之间的数量关系为； 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，，，，，则的值为________． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）8 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． ( 35 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形三大经典模型重难点题型培优专题训练 题型一：“一线三等角”全等模型 题型二：“半角”全等模型 题型三：“手拉手”全等模型 知识要点精讲 知识点01、“一线三等角”全等模型 基础模型 已知:点 P 在线段AB 上, ∠1=∠2=∠3,且AP=BD 或AC=BP 或CP=PD) 已知：点P 在线段AB 的延长线上， ∠1=∠2=∠3,且AP=BD (或AC=BP或CP=PD) 结论1:△APC≌△BDP 结论2:△APC≌△BDP 模型拓展 已知：点P在线段AB上，∠1=∠2 = ∠3, 且 AP = BD(或AC=BP或CP=PD) 已知：点P在线段AB 的延长线上, ∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) 结论3:△APC≌△BDP 结论4:△APC≌△BDP 知识点02、“半角”全等模型 基本模型 等腰三角形含半角 等边三角形含半角 等腰直角三角形含半角 已知:∠BAC=2α,AB=AC, ∠DAE=∠BAC=α 已知:∠BDC=120°,BD=CD, 已知:∠BAC=90°,AB=AC, ∠DAE=45° 结论1： ①△ABD≌△ACF,△ADE≌△AFE; ②∠ECF=180°-2α 结论2： ①△BDE≌△CDG,△DEF≌△DGF; ②EF=BE+FC 结论3： ①△ABD≌△ACF,△ADE≌△AFE; ②∠ECF=90°; ③DE²=BD²+EC² 模型拓展 菱形含半角(∠BAD=120°) 正方形含半角 结论4:①△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF; ②△AEF 为等边三角形(连接AC,可得 △AEC≌△AFD) 结论 5:①△ABG≌△ADF,△AGE≌△AFE; ②EF=BE+DF 知识点03、“手拉手”全等模型 基础模型 已知:在等腰△OAB 中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,将 △OCD绕点 O 旋转一定角度后，连接AC，BD(称为“拉手线”，左手拉左手， 右手拉右手)，相交于点 E，连接OE 结论1:△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等)； 结论2:EO平分∠AED; 结论3：两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB 相等或互补 拓展模型 已知:△AOB 和△COD 均是等腰直角三角形,OA=OB,OC=OD.连接AC,BD 结论4:△AOC≌△BOD; 结论5:AC⊥BD 已知:△AOB 和△COD 均是等边三角形,连接AC,BD交于点 E,连接OE 结论6:△AOC≌△BOD; 结论7:∠AEB=60°; 结论8:EO平分∠AED 已知:在等腰△ABC 和等腰△ADE中,AB=AC, AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BE、CD(左手拉右手， 右手拉左手，称为“反向手拉手”全等模型) 将“反向手拉手”全等转化为“正向手拉手” 全等，方法如下：作出△ABC关于 AC 的轴对 称图形△AB'C,连接EB' 结论:△AB'E≌△ACD 重难点题型训练 题型一：“一线三等角”全等模型 1．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 2．（21-22九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在△ABC中，，，直线经过点，且于，于．    (1)当直线绕点旋转到图1位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是________（直接写出答案，不需证明）． 3．（21-22八年级上·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 4．（19-20八年级上·河南安阳·期末）（1）如图①．已知：在△ABC中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是__________；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断△DEF的形状，并说明理由． 5．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图1，在△ABC中，，,直线经过边．将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．    (1)当△ABC绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：； (2)当△ABC绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 6．（21-22七年级下·河南郑州·期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在△ABC中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，△ABC的面积是12，求与的面积之和． 7．（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，于点A，点D在直线上，．    (1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 8．（20-21八年级上·陕西商洛·期末）在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，______°； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 9．（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 10．（21-22八年级上·山西阳泉·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现） （1）如图，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    （模型应用） （2）如图，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为的面积为，则有_____________（填“>、、”） 题型二：“半角”全等模型 1．（11-12九年级上·黑龙江绥化·期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 2．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为______　　． 3．（21-22九年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 4．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　__　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 5．（2012·北京昌平·中考模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 6．（2020九年级·全国·专题练习）请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 7．（21-22七年级下·陕西西安·期末）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 8．（19-20八年级上·江苏盐城·期末）在等边△ABC的两边、所在直线上分别有两点、，为△ABC外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及△AMN的周长与等边△ABC的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　； (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 9．（2012·北京海淀·中考模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：_____________； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）    10．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 题型三：“手拉手”全等模型 1．（20-21八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 2．（16-17八年级上·河北沧州·期末）在△ABC中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 3．（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 4．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，大小不同的两块三角板 △ABC和 △DEC直角顶点重合在点 处，，，连接、，点恰好在线段上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△AOB和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），△ABC是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 6．（22-23八年级上·江西吉安·期中）（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则①；②线段，之间的数量关系； （2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 7．（18-19八年级上·山东德州·期中）如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 8．（22-23九年级下·广东深圳·阶段练习）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把△ADE绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把△ADE绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 9．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接． (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为． 10．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为；②线段、之间的数量关系为； 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，，，，，则的值为________． ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$