专题01 直线、射线、线段重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 直线、射线、线段重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 题型二 画出直线、射线、线段 题型三 点与线的位置关系 题型四 直线、线段、射线的数量问题 题型五 直线相交的交点个数问题 题型六 线段的应用 题型七 两点确定一条直线 题型八 尺规作图（作线段） 题型九 线段的和与差问题 题型十 线段中点的有关计算 题型十一 线段n等分点的有关计算 题型十二 线段之间的数量关系 题型十三 与线段有关的动点问题 题型十四 两点之间线段最短 题型十五 两点间的距离 题型十六 最短路径问题 知识点一：线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【经典例题一 直线、射线、线段的联系与区别】 【例1】下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义． 【详解】解：（）两点确定一条直线，错误； （）射线是不可度量的，错误； （）线段和线段是同一条线段，正确； （）射线和射线是不同的射线，错误； （）直线和直线是同一条直线，正确； ∴错误的有个， 故选：． 1．下列语句：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点之间所有连线中，线段最短；④射线和射线是同一条射线．说法正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查直线、射线和线段，根据直线、射线等相关的定义或定理分别判断得出答案即可． 【详解】解：①过两点有且只有一条直线，此说法正确； ②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故原说法错误； ③两点之间所有连线中，线段最短，此选项正确； ④射线和射线的端点不同，不是同一条射线，故此说法错误； 故正确的是①③． 故选：B． 2．通过画图尝试，我们发现了如下的规律：若在直线上有10个不同的点，则此图中共有 条线段． 图形 直线上点的个数 共有线段条数 2 1 3 3 4 6 5 10 … … … 【答案】45 【分析】根据规律列式计算即可． 【详解】解：由图可知：2个点时：1=1， 3个点时：， 4个点时：， 5个点时：， 10个点时：线段数． 故答案为：45． 【点睛】本题考查直线、射线、线段以及图形的规律，掌握“直线上点的个数”与“共有线段的条数”的变化规律是正确解答的关键． 3．如图，在数轴上，点A表示3，点B表示－. (1)数轴是什么图形？ (2)数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？ (3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？ (4)数轴上表示不小于－且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？ 【答案】(1)直线;(2)射线，射线OB;(3)非正数，0;(4)线段，线段AB 【分析】（1）数轴是直线； （2）根据射线的定义，即可解答； （3）根据负数和0，即可解答； （4）根据线段的定义，即可解答． 【详解】（1）数轴是直线； （2）数轴在原点O左边的部分（包括原点）是射线，表示为射线OB； （3）射线OB上的点表示0和负数，端点表示0； （4）数轴上表示不小于-，且不大于3的部分是线段，表示为线段AB． 【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的有关概念． 【经典例题二 画出直线、射线、线段】 【例2】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择． 【详解】A．线段CD不能延伸，直线延伸方向，与线段无交点，直线和线段不能相交； B．射线可以无线延伸，这条射线与这条直线能相交； C．线段CD不能延伸，射线EF延伸的方向与线段无交点； D.直线和射线的延伸方向，得两者不能相交． 故选B． 【点睛】本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是关键． 1．下列画图语句中正确的是（　　） A．画射线OP=5cm B．画射线OA的反向延长线 C．画出A、B两点的中点 D．画出A、B两点的距离 【答案】B 【分析】根据画角的条件判断A；根据线段延长线的等腰判断B；根据基本作图判断C；根据确定弧的条件判断D. 【详解】A.画射线OP=5cm，错误，射线没有长度， B.画射线OA的反向延长线，正确． C.画出A、B两点的中点，错误，中点是线段的不是两点的， D.画出A、B两点的距离，错误，画出的是线段不是距离 故选B． 【点睛】考核知识点：几何语言的规范性. 2．如图，已知线段，根据下列步骤，依次画图 ①作出射线； ②在射线上依次截取 =a； ③在线段上截取 =b 则长为的线段是 【答案】 / / / 【分析】利用基本作图画出对应的几何图形，即可得出答案． 【详解】①作出射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取． 则长为的线段是． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．如下图，在平面内有三点．    (1)画直线，线段和射线； (2)在线段上任取一点D（不同于点），连接线段； (3)此时图中有几条线段？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)有6条线段 【分析】此题考查了直线、线段、射线，解题的关键熟知概念并会画图． （1）根据条件画图即可． （2）根据已知条件画图即可． （3）根据图，数出线段条数即可． 【详解】（1）解：如图，直线，线段和射线即为所求．    （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：由题可得，图中有线段，一共6条．所以图中线段的条数为6． 【经典例题三 点与线的位置关系】 【例3】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 1．根据下图，下列说法中不正确的是（    ） A．图①中直线经过点 B．图②中直线，相交于点 C．图③中点在线段上 D．图④中射线与线段有公共点 【答案】C 【分析】根据点和直线的位置关系、射线和线段的延伸性、直线与直线相交的表示方法等知识点对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、图①中直线l经过点A，正确； B、图②中直线a、b相交于点A，正确； C、图③中点C在线段AB外，故本选项错误； D、图④中射线CD与线段AB有公共点，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查直线、射线、线段，解题关键是熟练掌握点和直线的位置关系，射线和线段的延伸性，直线与直线相交的表示方法等． 2．如图，完成下列填空： (1)直线a经过点 ，点 ，但不经过点 ，点 ； (2)点B在直线 上，在直线 外； (3)点A既在直线 上，又在直线 上． 【答案】 (1)A； C； B； D； (2)b； a； (3)a； b. 【分析】根据点与直线的位置关系回答即可. 【详解】(1)直线a经过点A，点C，但不经过点B，点D； (2)点B在直线b上，在直线a外； (3)点A既在直线a上，又在直线b上． 故答案为（1）A； C； B； D;(2)b； a； (3)a； b. 【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系：点在直线上，点在直线外. 3．如图，已知三点，，． (1)画直线； (2)用语句表述图中点与直线的关系：________； (3)连接，在线段的延长线上作线段，使（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (4)连接，，则________（填“”，“”，“”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)点在直线外； (3)见解析 (4)；两点之间，线段最短； 【分析】（1）根据题意画出直线； （2）根据直线与点的位置关系进行求解； （3）根据几何语言画出几何图形； （4）利用两点之间线段最短得到． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：点与直线的关系为：点在直线外， 故答案为：点在直线外； （3）解：作出图如图所示；     （4）解：如图所示， 根据两点之间，线段最短，可得 故答案为：；两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了画直线、线段，点与直线的位置关系，两点之间线段最短：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【经典例题四 直线、线段、射线的数量问题】 【例4】已知直线上有10个点，直线上有9个点，且，现将上的每一个点与上的每一个点相连得到若干线段，则这些线段的交点（不包含两条直线上已知的19个点）个数最多有（    ）． A．90个 B．1620个 C．3240个 D．4005个 【答案】B 【分析】此题关键是把复杂问题简单化，把问题转化成求在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以了． 在、上分别取点M、N和点P、Q，连接，根据题意会发现：对于直线上的任意两点M、N与直线上的任意两点P、Q都可以构成一个四边形，而这个四边形的两条对角线的交点恰好是我们要计数的点，故只需要求出在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以了． 【详解】 解：如图所示，对于直线上的任意两点M、N与直线上的任意两点P、Q都可以构成一个四边形，而这个四边形的两条对角线的交点是我们要计数的点，故只需要求出在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以． 可以用乘法原理分2步计算： 第1步，确定线段，有（种） 第2步，确定线段，有（种） 根据乘法原理，共可产生个四边形 而已知没有三条线段相交于直线与外的一点，那么这些线段一共有1620个交点． 故答案为：B． 1．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面上直线的确定方法，由于没有明确平面上五点的位置关系，所以是否全面的类讨论是解答本题的关键；根据5点或4点在一条直线上，3点都不在一条直线上，五点都不在一条直线上，分别画出图形，即可求得画的直线的条数，得出结论． 【详解】解:如下图，分以下四种情况： ①当五点在同一直线上，如图：      故可以画1条不同的直线； ②当有四个点在同一直线上，    故可以画5不同的直线； ③当有两个三点在同一直线上，    故可以画6条不同的直线； ④当有三个点在同一直线上，    故可以画8不同的直线； ⑤当五个点都不在同一直线上时， 因此当n=5时，一共可以画×5×4=10条直线． 故可以作1条、5条、6条，8条或10条直线，不可能是7条， 故选：C． 2．素养提升： 如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多画 条直线． 能否通过以上发现，解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么一共要握 次手． 【答案】 990 【分析】本题主要考查规律型图形的变化类，根据每一个点可以与其他个点分别连接生成条直线，去掉重复的即可得到个点（每3个点均不在1条直线上），最多画（条直线．根据每一个人可以与其他44握手一次，每人44次，即可求解． 【详解】∵每一个点可以与其他个点连接生成条直线， ∴个点最多画直线数量为 ∵某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，则每一个人可以与其他44握手一次，每人44次， ∴45人一共要握手（次． 故答案为：，990． 3．【观察思考】 （1）如图，已知点A、B、C、D在直线l上．请你写出图中以A、B、C、D为左端点的线段； 【总结归纳】 （2）若一条线段上有m个点（包括两个端点），则该线段上共有多少条线段？请填写下表，并说明结论的正确性； 点个数 2 3 4 5 … m 线段条数 1 3 6 ___ … ____ 【解决问题】 （3）某班40名同学在一次跳绳比赛中，若每两人都要进行一场比赛，则共比赛多少次？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【答案】（1）以点A为左端点向右的线段有：线段；以点C为左端点，向右的线段有：线段；以点D为左端点向右的线段有：线段；没有以点B为左端点的线段；（2）10，，见解析；（3）780次 【分析】本题考查了线段数量问题及其应用，有条理思考问题是解题的关键； （1）按照两点确定一条线段，分别按A、C、D、B为左端点的线段进行即可； （2）完成表格填写，找出规律即可说明结论正确； （3）把问题转化为一条直线上的40个点，线段总条数的问题，直接代入（2）中的结论即可求解． 【详解】解：（1）以点A为左端点向右的线段有：线段；以点C为左端点，向右的线段有：线段；以点D为左端点向右的线段有：线段；没有以点B为左端点的线段； （2）表格完成如下 点个数 2 3 4 5 … m 线段条数 1 3 6 10 … 从左往右，以第一个点为左端点的线段有条，以第二个点为左端点的线段有条，以第三个点为左端点的线段有条，……，以第个点为左端点的线段有条，以第个点为左端点的线段有条，以第个点为左端点的线段没有，则共有条； 故答案为：10，； （3）问题转化为一条直线上的40个点，线段总条数的问题， 所以当时，（次）； 答：每两人都要进行一场比赛，则共比赛780次． 【经典例题五 直线相交的交点个数问题】 【例5】已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了直线的交点个数问题，根据题意画图讨论其交点情况，即可解题． 【详解】解：根据题意画图：    有1个交点，故A项有可能，不符合题意；    有5个交点，故C项有可能，不符合题意；    有6个交点，故D项有可能，不符合题意； 它们的交点不可能有2个， 故选：B． 1．如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点……按这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点，再把各选项的n的值代入计算即可解答问题． 【详解】解：2条直线相交有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点…， 按照这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 答：若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为9． 故选B． 【点睛】此题考查的是相交线及规律性题目，解答此题关键是根据直线的条数变化得到的交点个数的变化，得出规律，再利用规律进行计算即可解答问题． 2．如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有 个交点． 【答案】45 【详解】解：2条直线相交，最多有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，即条直线相交，最多有6个交点，即条直线相交，最多有10个交点，即条直线相交，最多有（个）交点． 3．我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】(1)；； (2)这一轮要进行场比赛 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 根据题意，结合图形，发现：条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点．条直线相交最多有个交点，而，，，，故可猜想，条直线相交，最多有个交点； 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】（1）解：①两条直线相交最多有个交点：； ②三条直线相交最多有个交点：； ③四条直线相交最多有个交点：； ④五条直线相交最多有个交点：， ⑤六条直线相交最多有个交点： … 条直线相交最多有个交点； 故答案为：；； （2）解：该类问题符合上述规律，所以可将代入， 即； 故这一轮要进行场比赛 【经典例题六 线段的应用】 【例6】如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图2给出的信息进行计算即可． 【详解】解： 由题意可知，折叠凳的内层长为，即， 又∵， ∴， ∴外框宽为， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段和与差的应用，弄清图中线段之间的关系是解题的关键． 1．如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ） A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5 【答案】B 【分析】根据题意设OB的长度为2a,则BP的长度为7a，OP的长度为9a，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【详解】解：设OB的长度为2a，则BP的长度为7a，OP的长度为9a， ∵OA：AP＝1：2， ∴OA＝3a，AP＝6a， 又∵先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，如图2，再从图2 的B点及与B点重迭处一起剪开，使得细线分成三段， ∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、5a， ∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：5a＝2：2：5， 故选：B． 【点睛】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度． 2．工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在 处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在 ，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？ 【答案】 C C与D之间 【分析】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A与B之间，在B与C之间，在C与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论． 【详解】解：如图， ∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB； 若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB； 若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB； 若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB； 若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB， ∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短． 如果工作台由5个改为6个，如图， 位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE； 位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE； 位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD； 位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD； 位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE； ∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 3．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 4．观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10条，见解析； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 【经典例题七 两点确定一条直线】 【例7】下列说法错误的是（　　） A．直线和直线表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 【答案】D 【分析】题目主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项正确，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，不符合题意； C、射线和射线表示不同射线，选项正确，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，符合题意． 故选：D． 1．下列生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（    ） A．①② B．①②③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项． 【详解】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，符合题意； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，符合题意； ③从地到地架设电线，总是尽可能沿若直线架设，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩知路程，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查直线的概念，熟练掌握直线的相关定义是解题的关键． 2．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ． 【答案】②④ 【分析】直接利用线段公理以及直线公理分别分析得出答案． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是“两点确定一条直线”，故①不合题意； ②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程，可用“两点之间线段最短”来解释，故②符合题意； ③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，利用的是“两点确定一条直线”，故③不合题意； ④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，可用“两点之间线段最短”来解释，故符合④题意； 故答案为：②④． 【点睛】此题主要考查了线段公理和直线公理，解题关键是正确掌握线段公理：两点之间，线段最短；直线公理：两点确定一条直线． 3．在下列生活、生产现象中：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）． ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． 【答案】①④/④① 【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析求解即可． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； 综上可得：①④可以用“两点确定一条直线”来解释， 故答案为：①④． 【点睛】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键． 4．画图题： (1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹． ①画射线； ②连接； ③反向延长至D，使得； ④在直线l上确定点E，使得最小； (2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理． 如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________； 情景二： 同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________． 【答案】(1)①见解析②见解析③见解析④见解析 (2)图见解析，两点之间线段最短；两点确定一条直线 【分析】（1）根据射线、线段、两点之间线段最短即可解决问题； （2）利用两点之间线段最短和两点确定一条直线即可解决问题． 【详解】（1）解：①射线，如图所示； ②线段，如图所示； ③线段如图所示； ④点E即为所求； （2）解：情景一：两点之间线段最短； 如图：线段即为所求； 情景二：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查线段、射线的含义，以及两点之间线段最短和两点确定一条直线，解题的关键是掌握其定义与性质． 【经典例题八 尺规作图（作线段）】 【例8】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据图形观察分析得出. 【详解】、错误，图中； 、错误，图中； 、错误，图中； 、正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法. 1．下列说法不正确的是（    ） A．画一条5cm长的线段 B．射线AB与射线BA是同一条射线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】根据线段是有长度的性质，可以画定长线段；根据端点相同，且延伸方向相同的射线是同一条射线进行判断；根据直线的性质，线段的性质分别判断即可． 【详解】解：∵线段是有长度的， ∴画一条5cm长的线段，是正确的， ∴A不符合题意； ∵射线AB与射线BA端点不同，是不同的两条条射线； ∴射线AB与射线BA是同一条射线，是错误的， ∴B符合题意； ∵两点确定一条直线， ∴C正确，不符合题意； ∵两点之间线段最短， ∴D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质，解题的关键是熟练掌握三线的性质． 2．如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 【答案】 4 见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）以C为圆心，CA长为半径画弧，与BC交于点Q，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解． 【详解】解：（1）的面积等于， 故答案为：4； （2）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； 分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； 连接并延长，交于点； 点，即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作轴对称点，熟悉作对称点的尺规作图方法和点到直线的距离垂线段最短是解题的关键． 3．作图：已知线段a、b，请用尺规作线段EF使EF＝a+b．请将下列作图步骤按正确的顺序排列出来（只填序号） ． 作法：①以M为端点在射线MG上用圆规截取MF＝b；②作射线EG；③以E为端点在射线EG上用圆规截取EM＝a；④EF即为所求的线段． 【答案】②③①④ 【分析】根据用尺规作一条线段等于已知线段的方法，对所给的作法步骤逐一进行分析，然后排序即可得. 【详解】作法步骤为：作射线EG； 以E为端点在射线EG上用圆规截取EM＝a； 以M为端点在射线MG上用圆规截取MF＝b； EF即为所求的线段； 故答案为②③①④． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 4．如图，已知平面内四个点A，B，C，D分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹）    (1)连结，作直线； (2)作射线，并在射线上找点F使得； (3)若要在线段上建一所供电站O，向四个村庄供电，且满足到A村庄与C村庄所用电线最短，则供电站O应建在何处，请画出供电站点O的位置，并说明这样建的理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析，两点之间，线段最短． 【分析】（1）根据题意连结，作直线即可； （2）按照题意作射线，并在射线上以点C为圆心，以为半径画弧交射线于点F，则即为所求； （3）连接与相交于点O，则点O满足要求，写出理由即可． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求；    （2）如图，线段即为所求， （3）解：如图所示，连接与相交于点O，则点O即为所求，这样建的理由是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【点睛】此题考查了线段、直线、射线的作图，并考查了线段的性质，熟练掌握作图方法是解题的关键． 【经典例题九 线段的和与差问题】 【例9】如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则\9．点A，B，C是直线l上三点，如果点M是线段的中点，点N是线段的中点，若，则（    ） A．6 B．3或7 C．3 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差与线段中点的定义，解题的关键是掌握线段的和差与线段中点的定义．利用线段的和差与线段中点的定义计算． 【详解】解：如图，点为线段的中点，点为线段的中点．， ，， ； 如图，点为线段的中点，点为线段的中点．， ，， ． 的长为或． 故选：B． 1．如图，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等量代换可得，再结合即可列式求解． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查线段的和差关系，解题的关键是通过等量代换得出． 2．如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且，，则CB的长为 ．    【答案】5 【分析】由线段和差关系可求，，由中点的性质可求解． 【详解】解：，， ，， ，， 是的中点， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段和差与中点的性质和应用，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键． 3．如图，C，D是线段AB上的两点，且，已知图中所有线段的长度之和为81，则的长为 ．      【答案】9 【分析】根据，可得，，图中所有的线段有：，，，，，，再根据所有线段的长度之和为81，列出等式求出，问题随之即可作答． 【详解】∵， ∴，， 结合图形可知，共有线段6条：，，，，，， ∵图中所有线段的长度之和为81， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了线段的和差等数量关系的计算，找出图中所有的线段为，，，，，，是解答本题的关键． 4．如图，点C在线段上，点M、N分别是、的中点．    (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由； (3)若C为直线上线段之外的任一点，且，，则线段的长为_____． 【答案】(1)9厘米 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用中点定义求出，，由点C在线段上，计算即可； （2）利用（1）知，，由点C在线段上，，无论点C在线段上移动到哪里，； （3）当点C在线段的延长线上时，等于减去，而，从而可求出长度； 当点C在线段的延长线上时，等于减去，，从而可求出的长度． 【详解】（1）∵点M，N分别是，的中点，    ∴，． ∴． 又∵，， ∴ （2） 理由如下：由（1）知：． ∵， ∴ （3）或 ①当C在A的左侧时，如图，    ∵点M，N分别是，的中点， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ②当C在B的右侧时，如图，    ∵点M，N分别是，的中点， ∴，． ∴． ∵，， ∴． 综上，或． 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，求出的长度，而第三问要分情况讨论，M在不同侧时有不同的情况，分析各情况得到的表达式 【经典例题十 线段中点的有关计算】 【例10】已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（    ） A．3 B．3.5 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由点分别是和的中点可得，再由进行计算即可得到答案． 【详解】解：点分别是和的中点， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，根据题意得出是解题的关键． 1．如图，在数轴上有四个整数点（即各点均表示整数），且，若两点表示的数分别为和6，E为线段的中点，则中点E表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据A、D两点在数轴上所表示的数，求得的长度，然后根据，求得、的长度，从而找到的中点E所表示的数． 【详解】解：如图，∵，    而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， ∴点E所表示的数是：． 故选D． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点之间的距离，线段中点的含义，比较线段的长短．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 2．如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，如果比长，则比长 ．    【答案】4cm 【分析】根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵比长， ∴ ∴． 故答案为：4cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的性质和线段的和差是解题的关键． 3．在直线上取三点，使得，如果点是线段的中点，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，进行分类讨论：当点A和点C在点B两侧时，当点A和点C在点B同侧时，先求出的长度，再根据中点的定义，得出即可． 【详解】解：当点A和点C在点B两侧时， ∵ ∴， ∵点是线段的中点， ∴；    当点A和点C在点B同侧时， ∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴；    故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了线的和差关系，线段的中点，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论，熟练掌握线段中点的定义． 4．如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs． (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的值为4或7或 【分析】本题考查了一元一次方程在线段上动点问题中的应用，线段的中点； (1) 当P、Q两点重合时，P、Q两点运动的距离之和为线段的长； (2) 分类讨论：①当点C是线段的中点时，②当点P是线段的中点时，③当点Q是线段的中点时； 能根据不同的中点进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴当P、Q重合时， ， 解得：； （2）解：由题意可得：， ①当点C是线段的中点时， ， 解得：； ②当点P是线段的中点时， ， 解得：； ③当点Q是线段的中点时， 解得：； 综上所述，满足条件的值为4或7或． 【经典例题十一 线段n等分点的有关计算】 【例11】已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 1．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系． 先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故选：D． 2．已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【答案】(1)7 (2)4.5 (3)3或6 【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据线段的和差计算即可； （2）根据线段中点的特点计算即可； （3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：点是线段的中点， ； 故答案为：4.5． （3）解：点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为3或6． 故答案为：3或6． 3．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 【经典例题十二 线段之间的数量关系】 【例12】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 1．如图，点在线段上，是的中点，是的中点，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了求两点之间的距离，解题的关键是能根据题意得出方程．设，求出，，求出，，根据得出方程，求出即可． 【详解】解：设，则，， 线段、的中点分别是、， ，， ， ， 解得：， ． 故选：D． 2．已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了求线段的长度，解决本题的关键是根据比例求出相关线段长．设，，，，根据，得到，求得，，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】解：如下图： 、C两点把线段分成三部分， 设，，，， 是线段的中点，N为中点， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：10． 3．如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【答案】(1)16 (2) (3)有变化，4 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段间的数量关系． （1）根据线段间的数量关系，求出，，然后求出结果即可； （2）根据线段间的数量关系进行解答即可； （3）先求出，再求出，根据线段间的数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：有变化． 理由如下：当C点在的延长线时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长度有变化． 【经典例题十三 与线段有关的动点问题】 【例13】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 1．已知线段，现有一点P满足．有下列说法；①点P必在线段上；②点P必在直线外；③点P必在直线上；④点P可能在直线上；⑤点P可能在直线外，其中正确的说法是（    ） A．①② B．②③ C．④⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据线段的和差即可得． 【详解】当点P在线段上时， 则，与题意不符，说法①错误； ， ， 点P可能在直线上，也可能在直线外， 则说法④⑤正确，说法②③错误； 综上，正确的说法是④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 2．已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，； （3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵， ∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵， ∴点在边上， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 【经典例题十四 两点之间线段最短】 【例14】下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可解答，正确区分两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：是根据两点确定一条直线，是根据两点之间，线段最短， 故选：． 1．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　） ①车站的位置设在C点好于B点； ②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样； ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处． A．①③ B．③④ C．②③ D．② 【答案】A 【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可． 【详解】解：①车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意； ②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意； ③工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算． 2．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是把． 【详解】解：如图，连接，则，    当N在A，C之间时，的最小值， 的最小值是， 故答案为：． 3．如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了线段、射线、直线的画法，两点之间，线段最短的应用，准确画图，知道线段和最小值的确定方法是解题的关键． （1）根据线段的特点，直线的特点画出，注意直线的双向伸展性； （2）先画射线，点是起始点，点是方向点，用圆规截取等长即可； （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点； 【详解】（1）根据题意作图如下：    （2）根据题意作图如下：    （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点，作图如下：    【经典例题十五 两点间的距离】 【例15】若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．考虑到、、三点之间的位置关系的多种可能，即点在点与之间或点在点的右侧两种情况进行分类讨论． 【详解】解：①如图1所示，当点在点与之间时， 线段，， ． 是线段的中点， ， ②当点在点的右侧时， ， 是线段的中点， ． 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 1．已知线段，C是线段所在直线上一点．下列说法：①若C为线段的中点，则；②若，则C为线段的中点；③若，则点C一定在线段的延长线上；④线段与的长度和一定不小于．其中正确的说法是（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查线段、中点，根据中点的定义可判断①②；举反例可判断③；根据线段的和差关系可判断④． 【详解】解：若C为线段的中点，则，故①正确； 若，且C在线段上时，则C为线段的中点，故②错误； 若，则点C可能在线段的延长线上，也可能在线段上，故③错误； ，线段与的长度和一定不小于，故④正确； 综上可知，正确的说法是①④， 故选D． 2．如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由和推出，由M为的中点可得出的长，进而可得的长度，由 N为的中点可得出的长度，进而即可求出的值．根据各线段之间的关系求出的长度是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 3．追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 【经典例题十六 最短路径问题】 【例16】在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8 【答案】D 【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案. 【详解】由题意得：当BP⊥AC时，的值最小， ∵, ∴, 解得BP=， 故选：D. 【点睛】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当BP⊥AC时，的值最小是解题的关键. 1．如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M．      根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 2．从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 【答案】 ② 相等 【分析】题目主要考查线段的和差，理解题意，结合图形求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得①、③两条路线的总长度相等； ②路线的长度最短，因为． 故答案为：②；相等． 3．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图： (1)作直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可； （2）以A为圆心，AB为半径作弧，交AC于点P，点P即为所求； （3）连接DP交AB于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线AB，射线BD，线段AC即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图，点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的数量问题，根据题意已知条件找到对应的规律，将所求点代入即可； 【详解】解：过2个点可以画：； 过3个点可以画：； 过n个点可以画：； 则过10个点可以画； 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的条数．先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可． 【详解】解：上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段4条． 共计21条． 故选：B． 3．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系；由题意易得，则有，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即可 【详解】解：因为D为的中点，， 所以． 因为， 所以． 如图①，当点E在点A右侧时． 因为，所以， 所以； 如图②，当点E在点A左侧时 因为， 所以． 综上所述，的长为或； 故选D． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，熟练掌握两点间的距离的应用是解题的关键； 设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或， 故选：C 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：条直线相交，最多有个交点， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， ， 条直线相交，最多有（个）交点， 故答案为：． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点C在直线上，，点M是线段的中点，则线段 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查线段的中点的相关计算． 根据题意分两种情况讨论，然后利用线段中点的性质和线段的和差求解即可． 【详解】解：当点C在线段上时，如图1，    ∵， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴； 当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴， 即或3． 故答案为：或3 9．（2024七年级上·全国·专题练习）已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8或16/16或8 【分析】本题主要考查与中点有关的线段和差计算，分两种情况：点C在点B的左边时，点C在点B的右边时，再根据相应线段的关系进行解答即可． 【详解】解：当点C在点B的左边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴； 当点C在点B的右边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为8或16， 故答案为：8或16． 10．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】4或24 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 11．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，C、D两点将线段分成三部分，E为线段的中点，，求线段和的长． 【答案】， 【分析】本题考点为两点之间的距离和一元一次方程的应用，根据、两点将线段分成三部分，设，然后表示出，再根据，求得x的值，进而求出的长；再计算出的长，然后利用可得长． 【详解】解：设， ∵， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∵为线段的中点， ∴ ， ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．若为上一点，且满足，试说明：是线段的中点． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，由线段的中点定义及线段的和差得，再根据线段中点的定义及表示出，即可说明问题．解题的关键是理解线段的中点定义：一条线段的中点只有一个；某一点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：点必须在这条线段上；它把这条线段分为相等的两条线段． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 由题意及图形知：点在线段上， 即是线段的中点． 13．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8． (1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？ (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由． (3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？ 【答案】(1)当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8 (2)线段的长度不发生变化，其值为5，理由见详解 (3)点所表示的数为或， 【分析】（1）设A、B两点移动的时间为，然后根据题意可分当点B在点A的右侧和左侧进行分类求解即可； （2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案； （3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：设A、B两点移动的时间为，由题意可知后点A、B在数轴上所表示的数分别为， 当点B在点A的右侧时，则有，解得：； 当点B在点A的左侧时，则有，解得：； 综上所述：当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为5． ∵M为的中点，N为的中点， ∴， 分下面两种情况： ①当点在、两点之间运动时（如图）． ； ②当点在点的左侧运动时（如图）． ． 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5． （3）解：当点在、两点之间运动时， ∵， ∴， 又， 解得：，此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时， 同理得：， ， 解得：． 此时点所表示的数为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线、射线、线段重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 题型二 画出直线、射线、线段 题型三 点与线的位置关系 题型四 直线、线段、射线的数量问题 题型五 直线相交的交点个数问题 题型六 线段的应用 题型七 两点确定一条直线 题型八 尺规作图（作线段） 题型九 线段的和与差问题 题型十 线段中点的有关计算 题型十一 线段n等分点的有关计算 题型十二 线段之间的数量关系 题型十三 与线段有关的动点问题 题型十四 两点之间线段最短 题型十五 两点间的距离 题型十六 最短路径问题 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【经典例题一 直线、射线、线段的联系与区别】 【例1】下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 1．下列语句：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点之间所有连线中，线段最短；④射线和射线是同一条射线．说法正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．通过画图尝试，我们发现了如下的规律：若在直线上有10个不同的点，则此图中共有 条线段． 图形 直线上点的个数 共有线段条数 2 1 3 3 4 6 5 10 … … … 3．如图，在数轴上，点A表示3，点B表示－. (1)数轴是什么图形？ (2)数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？ (3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？ (4)数轴上表示不小于－且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？ 【经典例题二 画出直线、射线、线段】 【例2】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 1．下列画图语句中正确的是（　　） A．画射线OP=5cm B．画射线OA的反向延长线 C．画出A、B两点的中点 D．画出A、B两点的距离 2．如图，已知线段，根据下列步骤，依次画图 ①作出射线； ②在射线上依次截取 =a； ③在线段上截取 =b 则长为的线段是 3．如下图，在平面内有三点．    (1)画直线，线段和射线； (2)在线段上任取一点D（不同于点），连接线段； (3)此时图中有几条线段？ 【经典例题三 点与线的位置关系】 【例3】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 1．根据下图，下列说法中不正确的是（    ） A．图①中直线经过点 B．图②中直线，相交于点 C．图③中点在线段上 D．图④中射线与线段有公共点 2．如图，完成下列填空： (1)直线a经过点 ，点 ，但不经过点 ，点 ； (2)点B在直线 上，在直线 外； (3)点A既在直线 上，又在直线 上． 3．如图，已知三点，，． (1)画直线； (2)用语句表述图中点与直线的关系：________； (3)连接，在线段的延长线上作线段，使（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (4)连接，，则________（填“”，“”，“”），理由是__________． 【经典例题四 直线、线段、射线的数量问题】 【例4】已知直线上有10个点，直线上有9个点，且，现将上的每一个点与上的每一个点相连得到若干线段，则这些线段的交点（不包含两条直线上已知的19个点）个数最多有（    ）． A．90个 B．1620个 C．3240个 D．4005个 1．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．素养提升： 如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多画 条直线． 能否通过以上发现，解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么一共要握 次手． 3．【观察思考】 （1）如图，已知点A、B、C、D在直线l上．请你写出图中以A、B、C、D为左端点的线段； 【总结归纳】 （2）若一条线段上有m个点（包括两个端点），则该线段上共有多少条线段？请填写下表，并说明结论的正确性； 点个数 2 3 4 5 … m 线段条数 1 3 6 ___ … ____ 【解决问题】 （3）某班40名同学在一次跳绳比赛中，若每两人都要进行一场比赛，则共比赛多少次？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【经典例题五 直线相交的交点个数问题】 【例5】已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 1．如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有 个交点． 3．我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【经典例题六 线段的应用】 【例6】如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 1．如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ） A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5 2．工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在 处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在 ，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？ 3．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 4．观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【经典例题七 两点确定一条直线】 【例7】下列说法错误的是（　　） A．直线和直线表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 1．下列生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（    ） A．①② B．①②③ C．②④ D．③④ 2．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ． 3．在下列生活、生产现象中：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）． ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． 4．画图题： (1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹． ①画射线； ②连接； ③反向延长至D，使得； ④在直线l上确定点E，使得最小； (2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理． 如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________； 情景二： 同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________． 【经典例题八 尺规作图（作线段）】 【例8】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   1．下列说法不正确的是（    ） A．画一条5cm长的线段 B．射线AB与射线BA是同一条射线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 2．如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 3．作图：已知线段a、b，请用尺规作线段EF使EF＝a+b．请将下列作图步骤按正确的顺序排列出来（只填序号） ． 作法：①以M为端点在射线MG上用圆规截取MF＝b；②作射线EG；③以E为端点在射线EG上用圆规截取EM＝a；④EF即为所求的线段． 4．如图，已知平面内四个点A，B，C，D分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹）    (1)连结，作直线； (2)作射线，并在射线上找点F使得； (3)若要在线段上建一所供电站O，向四个村庄供电，且满足到A村庄与C村庄所用电线最短，则供电站O应建在何处，请画出供电站点O的位置，并说明这样建的理由是 ． 【经典例题九 线段的和与差问题】 【例9】如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则\9．点A，B，C是直线l上三点，如果点M是线段的中点，点N是线段的中点，若，则（    ） A．6 B．3或7 C．3 D．7 1．如图，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且，，则CB的长为 ．    3．如图，C，D是线段AB上的两点，且，已知图中所有线段的长度之和为81，则的长为 ．      4．如图，点C在线段上，点M、N分别是、的中点．    (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由； (3)若C为直线上线段之外的任一点，且，，则线段的长为_____． 【经典例题十 线段中点的有关计算】 【例10】已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（    ） A．3 B．3.5 C．5 D．6 1．如图，在数轴上有四个整数点（即各点均表示整数），且，若两点表示的数分别为和6，E为线段的中点，则中点E表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 2．如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，如果比长，则比长 ．    3．在直线上取三点，使得，如果点是线段的中点，则线段的长度为 ． 4．如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs． (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【经典例题十一 线段n等分点的有关计算】 【例11】已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 1．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 2．已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 3．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【经典例题十二 线段之间的数量关系】 【例12】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 1．如图，点在线段上，是的中点，是的中点，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm． 3．如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【经典例题十三 与线段有关的动点问题】 【例13】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 1．已知线段，现有一点P满足．有下列说法；①点P必在线段上；②点P必在直线外；③点P必在直线上；④点P可能在直线上；⑤点P可能在直线外，其中正确的说法是（    ） A．①② B．②③ C．④⑤ D．①②④ 2．已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 3．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【经典例题十四 两点之间线段最短】 【例14】下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 1．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　） ①车站的位置设在C点好于B点； ②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样； ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处． A．①③ B．③④ C．②③ D．② 2．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为 ．    3．如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【经典例题十五 两点间的距离】 【例15】若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 1．已知线段，C是线段所在直线上一点．下列说法：①若C为线段的中点，则；②若，则C为线段的中点；③若，则点C一定在线段的延长线上；④线段与的长度和一定不小于．其中正确的说法是（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 2．如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 3．追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【经典例题十六 最短路径问题】 【例16】在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8 1．如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 2．从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 3．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图： (1)作直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 3．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点C在直线上，，点M是线段的中点，则线段 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 10．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 11．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，C、D两点将线段分成三部分，E为线段的中点，，求线段和的长． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．若为上一点，且满足，试说明：是线段的中点． 13．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 14．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8． (1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？ (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由． (3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？ 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$