专题03 一元一次方程（考题猜想，易错必刷62题18种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题03 一元一次方程（易错必刷62题18种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 方程与方程的解 题型二 等式的性质 题型三 一元一次方程的解法 题型四 一元一次方程解法拓展 题型五 一元一次方程的含参问题 题型六 一元一次方程的新定义问题 题型七 含绝对值的一元一次方程 题型八 一元一次方程中的错看、错解 题型九 一元一次方程中的同解问题 题型十 一元一次方程中的遮挡问题 题型十一 配套问题 题型十二 销售问题 题型十三 方案问题 题型十四 几何问题 题型十五 水电费问题 题型十六 行程问题 题型十七 工程问题 题型十八 日历问题 一．方程与方程的解（共4小题） 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，故不是方程，不符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 2．关于的方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于的方程有解，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， 解得：， 即的取值范围是， 故选：C． 3．若是关于x的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的位置上的值，据此把代入原方程得到，则，再根据代值计算即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 二．等式的性质（共3小题） 5．下列利用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．由，得 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质判断即可． 【详解】解：A、如果，那么等式两边同时加1可得，原变形错误，不符合题意； B、如果，那么等式两边同时除以可得，原变形错误，不符合题意； C、如果，那么等式两边同时加可得，原变形正确，符合题意； D、如果，那么等式两边同时除以可得，原变形错误，不符合题意； 故选：C． 6．方程从到变形的依据是 ． 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立. ． 根据等式的基本性质即可解答. 【详解】解：∵方程的两边同时减去，再同时减去，即可得到， ∴依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 7．利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是方程的解法，等式的基本性质的应用； （1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去，最后同时除以2即可； （2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时乘以3，再同时减去2即可； （3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去60，再在方程两边同时减去，最后在方程两边同时除以即可； （4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可． 【详解】（1）解：， 化简，得， 两边同时减去7，得， 即， 两边同时减去，得， 即， 两边同时除以2，得， 即； （2）解：， ∴， 即， 两边同时乘3，得， 即， 两边同时减去2，得， 即； （3）解： 化简，得， 两边同时减去60，得， 即， 两边同时减去，得 即， 两边同时除以，得， 即； （4）解：， 两边同时乘以6，得， 化简，得， 两边同时加上12，得， 两边同时减去x，得， 两边同时除以5，得． 三．一元一次方程的解法（共8小题） 8．利用移项与合并同类项解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）通过移项、合并同类项、系数化1计算即可； （2）通过移项、合并同类项、系数化1计算即可； （3）通过移项、合并同类项、系数化1计算即可； （4）通过移项、合并同类项、系数化1计算即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：； （3）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （4）解得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）按解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （2）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：原方程可变形为：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 10．用合并同类项的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法．解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． （1）首先合并同类项可得，再把系数化为可得； （2）首先合并同类项可得，再把系数化为可得； （3）首先合并同类项可得，再把系数化为可得； （4）首先合并同类项可得，再把系数化为可得． 【详解】（1）解：， 合并同类项：， 系数化为得：； （2）解： 合并同类项得:， 系数化为得：； （3）解：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （4）解：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 11．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）先去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：； 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 12．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出答案； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出答案． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键， （1）去分母解方程即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项解方程． 【详解】（1）解：原方程可变形为． 方程两边分别通分后相加，得， 即． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以5，得． （2）去中括号，得． 去小括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以，得． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （2）解：， 去小括号，得， 整理，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 15．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想． （1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可． （2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】（1）解：移项，得， 整体合并，得， 即，解得. （2）解：， 移项、合并同类项得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 四．一元一次方程解法拓展（共3小题） 16．若关于x的一元二次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得，再由关于x的一元二次方程的解为，可得，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解满足， ∴， 故选：D． 17．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 【详解】（1）解；∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 五．一元一次方程的含参问题（共3小题） 19．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】表示出方程的解，由方程的解为负整数解，确定出整数的值即可．此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：方程去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程有负整数解，得到整数，，之和为， 故选：B． 20．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解． 依据题意，由一次方程无解，从而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵无解， ， ， 故答案为：． 21．已知关于的方程与方程的解相同． (1)求这个相同的解． (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程，方程解的定义和解一元一次方程． （1）解方程即可； （2）将（1）中的解代入方程中即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）将代入， 即 解得 六．一元一次方程的新定义问题（共4小题） 22．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义，即可； （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义，即可． 【详解】（1）∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴，． 23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 【答案】(1)是“美好方程”，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可． 【详解】（1）解方程得， 解方程得， 因为， 所以这两个方程是“美好方程”； （2）解方程得， 根据题意，方程的解为：， 所以， 解得． 24．定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 【答案】(1)是，见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义运算以及一元一次方程的解法，正确理解“中点方程”的定义是解题关键． （1）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义判断，即可得到答案； （2）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义，得到关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由方程，解得：， ， 方程是“中点方程”； （2）解：由方程，解得， 方程为是“中点方程”， ， 解得： 25．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)， (3)b的值为5或 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值； （2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可； （3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：，， ∴，； （3）∵， ∴， ∵的“伴生方程”是， 解得：， ∵均为整数， ∴． 七．含绝对值的一元一次方程（共3小题） 26．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【答案】或=-2 【分析】按照所给解法，结合绝对值的意义解方程即可． 【详解】解：当时，方程可化为： 符合题意 当<1时，方程可化为： -2=4 =-2符合题意 所以原方程的解为：或=-2． 【点睛】本题考查了绝对值方程，解决可化为一元一次方程的绝对值方程，其最基本的套路是：将方程中的绝对值符号去掉，转化为括号即可，不过，括号里面的代数式，视原绝对值里面代数式的符号而定：如果原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；如果原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数． 27．解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 28．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 八．一元一次方程中的错看、错解（共3小题） 29．某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（    ）处为，则原式为，把代入解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 30．在一次课堂练习中，小明是这样解方程的； 解：去分母，① 去括号：② 移项，③ 合并同类项，④系 数化为1，⑤ 请你指出他错在 （填编号），这一步方程变形的依据应是 ．此方程的正确解是x= ． 【答案】 ① 等式的基本性质 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、x系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去分母，（等式的性质） 去括号： 移项， 合并同类项， 系数化为1，． 故答案为：①，等式的基本性质，． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键． 31．李颖在解方程时，是这样做的：   ①   ②   ③   ④ 老师说：李颖对解一元一次方程的步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第______步（填编号），错误的原因是______，现在，请你细心的解方程． 【答案】①；去分母时，等号左边的1漏乘6；解方程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤．李颖解题过程错在第①步，左边的1没有乘以6，按照解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得． 【详解】解：李颖错在了第①步，错误的原因是：去分母时，等号左边的1漏乘6， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 九．一元一次方程中的同解问题（共3小题） 32．已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识．分别求出两方程的解，使它们相等，求的值． 【详解】解：解方程， 得：， 解方程， 得：， 则， 解得：； 故选：A． 33．若方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，然后将解代入，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 把代入，得：，解得：； 故答案为：1． 34．若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．先分别解出两个一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：解方程， 解得， 解方程， 解得， 由题意得： 解得：． 一十．一元一次方程中的遮挡问题（共3小题） 35．下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算即可求解，比较简单． 把方程的解代入方程进行计算即可求解． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得． 故选C． 36．嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 【答案】-7 【分析】设■处的数字为a，把x=2代入方程 得出 ，再求出方程的解即可． 【详解】解：设■处的数字为a， 把x=2代入方程得：， 解得：a=-7， 即■处的数字为-7， 故答案为：-7． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 37．淇淇在解一元一次方程“”时，一不小心将墨水洒在作业本上，其中未知数x前的系数看不清了，他便问嘉嘉，嘉嘉想考考他，于是用手遮住了解题过程，只露出最后一步：“所以原方程的解为”（嘉嘉的答案是正确的），淇淇由此就知道了被墨水遮住的系数，求被墨水遮住的系数． 【答案】被墨水遮住的系数为 【分析】本题考查了一元一次方程的解，设被墨水遮住的系数为a，把原方程的解为代入方程中，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：设被墨水遮住的系数为a，把原方程的解为代入方程中， 得， 解得：， 即被墨水遮住的系数为． 一十一．配套问题（共3小题） 38．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 【答案】用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，设用张制盒身，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张制盒身． （张） 答：用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒． 39．某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． (1)前3天应先安排多少多工人生产？ (2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 【答案】(1)前3天应先安排名工人生产 (2)应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设前3天应先安排名工人生产，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设安排名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设前3天应先安排名工人生产， 根据题意得， 解得， 答：前3天应先安排名工人生产； （2）解：由题意，总共有名工人生产， 设安排名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件， 根据题意得， 解得， ， 答：应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件． 40．一张课桌需要一个桌面和四条桌腿，如果一立方米木材可做60个桌面或360条桌腿（其他材料不计），现有20立方米木材，那么安排多少立方米木材做桌面，多少立方米木材做桌腿刚好配套？ 【答案】安排12立方米木材做桌面，8立方米木材做桌腿刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据“4×桌面个数=桌腿个数”可列方程求解． 【详解】解：设安排立方米木材做桌面，则立方米木材做桌腿． 由题意，得， 解得， 所以． 答：安排12立方米木材做桌面，8立方米木材做桌腿刚好配套． 一十二．销售问题（共3小题） 41．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2)购进甲种商品件． (3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）根据利润率的定义求解即可． （2）设购进甲商品件，根据题意可得． （3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况． 【详解】（1）(元) 故答案为：，． （2）设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件． （3）设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．   当时，由，得，商品件数为(件) ．   第二天，购买乙商品： 当时，由，得(元)，舍去． 当时，由，得，商品件数为(件) ．   当时，商品件数为(件) ，舍去． 两天一共购买的商品件数为(件) ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 42．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： 类型 进货单价（元） 销售单价（元） 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 【答案】(1)400只 (2)九折 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只，根据甲乙两种灯的总进价为46000元列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙型节能灯需打a折，根据利润售价进价，列出a的一元一次方程，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只． 由题意，得， 解得． 答：可以购进甲型节能灯400只； （2）解：设乙型节能灯需打a折， 则， 解得． 答：乙型节能灯需打九折． 43．某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 商品种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 22 29 乙 30 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售且全部售完，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品150件，购进乙种商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件． 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）设购进乙商品x件，则购进甲商品件，根据题意列方程求解即可． （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进乙商品x件，则购进甲商品件， 依题意可知： 解得： ∴（件）， ∴该超市第一次购进甲种商品150件，购进乙种商品90件． （2）解：设以五折售出的乙商品有y件． 根据题意得： 解得： 故以五折售出的乙商品有70件． 一十三．方案问题（共3小题） 44．甲、乙两家商场以相同的价格出售同品牌的新电动车，为吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：甲商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价折销售．乙商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价七五折销售．李老师要去同一商场购买两辆该品牌新电动车，他只有一辆旧电动车可置换，设两商场的新电动车原价都是元． (1)用含的式子表示甲、乙商场购买新电动车李老师应付款额分别是多少元？ (2)若李老师在两家商场应付款额相等，求的值． 【答案】(1)甲商场付款元；乙商场付款元 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用、代数式和整式的加减，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题目要求即可写出算式，根据整式的加减运算法则化简即可； （2）可得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）甲商场付款：元． 乙商场付款：元． （2）由题意，得 解得 ． 45．某文具店的某种毛笔每支售价元，书法练习本每本售价元．该店为了促销该种毛笔和书法练习本，推出了两种优惠方案． 方案一：买一支毛笔赠送一本书法练习本； 方案二：按购买金额的九折付款． 某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔支，书法练习本本． (1)若该校按方案一购买，则需付款 元，若该校按方案二购买，则需付款 元(用含的式子表示)． (2)若该校购买本书法练习本，使用哪种方案更优惠？ (3)该校购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样？ 【答案】(1)， (2)方案一 (3)本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值； （1）利用总价单价数量，结合文具店推出的两种优惠方案，即可用含的代数式分别表示出该校按方案一购买及该校按方案二购买所需金额； （2）代入，求出该校按方案一购买及该校按方案二购买所需金额，比较后即可得出结论； （3）根据两种优惠方案的实际付款数一样，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：若该校按方案一购买，则需付款元； 若该校按方案二购买，则需付款元． 故答案为：，； （2）解：当时，（元）； （元）． ， 方案一更优惠； （3）解：根据题意得：， 解得：． 答：该校购买本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样． 46．为落实“五育并举”，全面发展素质教育，我校为学生量身定制了“趣味运动会”活动．为此，某班级准备购买5副球拍和若干盒（不少于5盒）的羽毛球，现去市场进行调研，得到的情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球拍每副定价30元，羽毛球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球，乙店全部按定价的9折优惠．问： (1)若购买的羽毛球为x盒，则在甲家商店购买这些羽毛球和羽毛球拍时应该支付的费用为______元，则在乙家商店购买这些羽毛球和羽毛球拍时应该支付的费用为______元．（用含x的代数式表示，要求写出化简后的结果）； (2)当购买几盒羽毛球时，在甲、乙商店购买所需费用一样？ 【答案】(1)； (2)当购买20盒时，甲、乙商店购买所需费用一样 【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出算式和方程． （1）购买5副球拍，甲家商店赠5盒羽毛球，故在甲家商店只需要购买盒羽毛球，根据球拍和羽毛球的数量和价格列算式即可，乙家商店的价格均打9折，根据打折后的价格和商品数量列算式即可； （2）根据甲、乙商店购买所需费用一样，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵购买5副球拍， ∴甲家商店赠送五盒羽毛球， 若购买的羽毛球为x盒， ∵， ∴在甲家商店需要购买的羽毛球为盒， 故甲家商店应该支付的费用为：元， 在乙家商店应该支付的费用为：元 故答案为：；． （2）解：∵甲、乙商店购买所需费用一样， ∴， 解得：， 答：当购买20盒时，甲、乙商店购买所需费用一样． 一十四．几何问题（共3小题） 47．如图，在中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点时停止运动．设点运动的时间是秒． (1)______． (2)当点在运动时，用含的代数式表示的长． (3)请直接写出当为何值时，的面积等于6． 【答案】(1)4 (2) (3)t的值为或4或6或时，的面积等于6 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据点是的中点，求出即可； （2）分P在E的左侧和右侧两种情况讨论即可； （3）分P在，，，上讨论即可． 【详解】（1）解：∵点是的中点，， ∴； （2）解：P在上运动的时间为， P从C运动到E需要， P从C运动到B需要， 当P在E的左侧时，即，； 当P在E的右侧时，即，； 综上分析可知：； （3）解：当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时，过点E作于G， ∵， ∴， 即， 解得， 根据题意，得， 解得； 综上，当t的值为或4或6或时，的面积等于6． 48．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80． (1)请直接写出的中点M对应的数． (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．试求出点C在数轴上所对应的数； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． （1）求与80和的一半即是点M表示的数； （2）先求出的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数． 【详解】（1）解：M点对应的数是：； （2）解：A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为80， ， 设t秒后P、Q相遇， ， 解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 49．综合题：如图，在长方形中，，．动点P从点B出发沿向点C运动，速度是；动点Q从点C出发沿向点B运动，速度是点P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止，设运动的时间是t秒． (1)用含t的代数式表示线段与的长； (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？ (3)当t为何值时，三角形的面积为？ 【答案】(1)， (2)秒 (3)t为秒或2秒时，三角形的面积为 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据路程速度时间进行求解即可； （2）根据两点相遇时所走的路程之和为的长列出方程求解即可； （3）分P、Q相遇前，P、Q相遇后两种情况用含t的式子表示出，再根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由题意得，，     解得， ∴当秒时，点P与点Q相遇 ； （3）解：P、Q相遇前，                         ∴， 解得；         P、Q相遇后， ，                 ∴， 解得， 此时，即点到达点位置．     综上所述：t为秒或2秒时，三角形的面积为． 一十五．水电费问题（共3小题） 50．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)元 (2) (3)立方米 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，用代数式表示数量关系， （1）根据题意，不超过部分的费用加上超过部分的费用即可； （2）根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可； （3）根据题意，可得小丽家4月份的煤气超过立方米，把代入（2）的式子计算即可． 【详解】（1）解：不超过50立方米，按每立方米0.8元收费，则此部分的费用为：（元），超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费， ∵小丽家某月用煤气量为80立方米， ∴超过部分的费用为（元）， ∴丽家该月应交煤气费为（元）； （2）解：∵每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元， ∴； （3）解：∵， ∴小丽家4月份的煤气超过立方米， 把代入（2）中的式子得，， 解得，， ∴她家4月份所用煤气为立方米． 51．某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过 超过 水费价格 4元/ 不超过的部分仍按4元/计费， 超过部分按6元/计费 (1)每户用水量为n，用式子表示： ①当月用水量不超过时，应收水费________元； ②当月用水量超过时，应收水费________元； (2)小明家七、八月份共用水50，共交水费208元，已知七月份用水不超过24 ，请帮小明计算他家这两个月各用水多少立方米． 【答案】(1)①　② (2)小明家七月份用水22 ，八月份用水28 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）根据不超过时，直接利用单价乘以数量计算即可，根据超过，利用分段收费的单价与数量列式计算即可； （2）设小明家七月份用水，则八月份用水，由于七月份用水不超过，所以八月份用水一定超过．再根据总费用为208元，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：①当月用水量不超过时，应收水费元； ②当月用水量超过时，应收水费 元． 故答案为：； （2）设小明家七月份用水，则八月份用水， 由于七月份用水不超过，所以八月份用水一定超过． 根据题意，得， 解得， 则． 答：小明家七月份用水，八月份用水． 52．某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气在50立方米以内（含50立方米），按每立方米元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米元收费，设某用户11月用煤气立方米． (1)若，则所需煤气费为______元；若，则所需煤气费为______元；（用含的代数式表示） (2)若该用户11月份的煤气费是76元，求该用户11月份用去煤气多少立方米？ 【答案】(1)； (2)该用户11月份用去煤气80立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．注意数学和实际生活的联系，本题解决的关键是：能够理解有两种情况、能够根据题意找出题目中的相等关系． （1）首先正确理解题意，掌握煤气费的收费标准，再分别表示出收费：，则费用表示为元，若，则费用表示为：； （2）根据50立方米的费用（按每立方米0.8元收费）超过50立方米的费用（按每立方米元收费），列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得： 若，则费用表示为元， 若，则费用表示为：元， 故答案为：；． （2）解：当时，， ∴x大于50， 由题意可得， 解得． 答：该用户11月份用去煤气80立方米． 一十六．行程问题（共3小题） 53．某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【答案】(1)从救生圈落水到被发现用了； (2)从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． （1）根据时间=路程÷军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，根据时间的等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：． 答：从救生圈落水到被发现用了； （2）解：设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，依题意有 ， 解得, 答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 54．一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． （1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可． （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得： ， 解得， ∴船在静水中的平均速度为； （2）解：依题意，船在静水中的平均速度为， ∴甲乙两码头之间的距离为， ∴甲乙两码头之间的距离． 55．甲乙两个小朋友分别从A、B地相向而行，甲的速度为每分钟72米，乙的速度是甲的0.875倍． (1)求乙的速度为每分钟多少米？ (2)若甲乙同时出发，当甲所走路程比乙多90米时，两人相距50米，求A、B两地间的距离． 【答案】(1)54分钟/米 (2)A、B两地间的距离为米或米 【分析】本题考查了一元一次方程的行程问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据甲的速度为每分钟72米，乙的速度是甲的0.875倍，进行列式计算，即可作答． （2）甲乙同时出发，且出发分，列式，算出，再进行分类讨论，即甲乙未相遇时或者甲乙相遇后，分别列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵甲的速度为每分钟72米，乙的速度是甲的0.875倍 ∴（分钟/米） （2）解：设甲乙同时出发，且出发分钟时，则甲所走路程比乙多90米时，两人相距50米 ∴ ∴ ∴当甲乙未相遇时，则（米） ∴当甲乙相遇后，则（米） ∴A、B两地间的距离为米或米 一十七．工程问题（共3小题） 56．整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，需要2小时完成．现在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？ 【答案】女生单独完成还需要工作小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设女生单独完成还需要工作小时．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设女生单独完成还需要工作小时．根据题意得， 解得： 答：女生单独完成还需要工作小时． 57．萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 【答案】1.5小时 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，根据工作效率×工资时间=工作总量列方程求解即可． 【详解】解：设两位同学应该合作x小时， 根据题意，得， 解得， 答：两位同学应该合作1.5小时． 58．有一项工程，甲队独做40天完成，乙队独做60天完成，现在两队合作这项工程，但中间甲队因为另有任务调走几天，所以经过27天才完成全部工作，甲队离开几天? 【答案】甲队离开了5天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意可知，甲队与乙队的效率分别是与，27天完成全部工作，则乙完成了全部的，设甲队离开天，则工作了天，所以甲完成了全部的天，由此可得：．通过设未知数，根据工作效率、工作时间与工作量之间的关系列出方程是完成本题的关键． 【详解】解：甲队离开天，可得 ． 答：甲队离开了5天． 一十八．日历问题（共4小题） 59．（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 60．如图是2023年12月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律． (1)若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整． a (2)求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）． (3)小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日． 【答案】(1)见解析 (2) (3)小明妈妈的生日是12月21日 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． （1）利用已知数字分布规律进而得出答案； （2）表示出各数进而得出关系式； （3）利用（2）中所求进而得出的值，求出答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：， 解得：， ， 答：小明妈妈的生日是12月21日． 61．将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)9,2001 (2) (3)506 (4)四数的和不能为308． 【分析】本题考查了列代数式的应用，并考查了学生的阅读理解及总结规律的能力，是一道综合性的题目． （1）当，S取最小值，当时，S取得最大值； （2）根据图中关系，可知，即可求解； （3）由（2）题可知，求m的值即可； （4）同（3）理解得m的值，注意m不能为四个边上的任一数． 【详解】（1）解：由图中关系可得：当，S取最小值，； 当时，S取得最大值，． （2）因为每排为7个数，m与上列正对的数表示为，所以可得与上列正对数相邻数的表示方法为；同理m与下列正对的数差为，即可得与下列正对数相邻数的表示方法． ∴ （3）由（2）题可知： ∴，解得 （4）由（2）题可知： ∴，解得 ∵m为7的倍数时在最右列，故不符合要求，所以四数的和不能为308． 62．综合与实践 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是_________； (2)小宇发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． (3)小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出两个不同的代数式） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；（答案不唯一）②能；15，17，22，23，24 【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，列代数式，有理数的减法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据这5个数中，最小数是，最大数是，进行减法运算，即可作答． （2）设正中心的数为x，则阴影框中其余的4个数为，，，．再列式，即可作答． （3）①根据这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示，所以或，即可作答． ②能，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，这5个数中，最小数是，最大数是， ∴， 故答案为：； （2）解：设正中心的数为x， 则阴影框中其余的4个数为，，，． ∴． 则这5个数的和为． ∵是正整数， ∴当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数． （3）解：①∵用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示， ∴； 或者； ∴这5个数的和为或（答案不唯一） ②能，过程如下： 依题意，， 解得 则， ∴这5个数是15，17，22，23，24． $$ 专题03 一元一次方程（易错必刷62题18种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 方程与方程的解 题型二 等式的性质 题型三 一元一次方程的解法 题型四 一元一次方程解法拓展 题型五 一元一次方程的含参问题 题型六 一元一次方程的新定义问题 题型七 含绝对值的一元一次方程 题型八 一元一次方程中的错看、错解 题型九 一元一次方程中的同解问题 题型十 一元一次方程中的遮挡问题 题型十一 配套问题 题型十二 销售问题 题型十三 方案问题 题型十四 几何问题 题型十五 水电费问题 题型十六 行程问题 题型十七 工程问题 题型十八 日历问题 一．方程与方程的解（共4小题） 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于x的方程的解，则 ． 4．已知关于的方程的解是，求的值． 二．等式的性质（共3小题） 5．下列利用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．由，得 C．如果，那么 D．如果，那么 6．方程从到变形的依据是 ． 7．利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 三．一元一次方程的解法（共8小题） 8．利用移项与合并同类项解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．解方程： (1)； (2)． 10．用合并同类项的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．解方程： (1)； (2) 12．解方程： (1)； (2) 13．解下列方程： (1)； (2)． 14．解方程： (1)； (2)． 15．解方程 (1)； (2)． 四．一元一次方程解法拓展（共3小题） 16．若关于x的一元二次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 17．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 18．已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 五．一元一次方程的含参问题（共3小题） 19．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 20．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 21．已知关于的方程与方程的解相同． (1)求这个相同的解． (2)求． 六．一元一次方程的新定义问题（共4小题） 22．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 24．定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 25．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 七．含绝对值的一元一次方程（共3小题） 26．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 27．解绝对值方程：． 28．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 八．一元一次方程中的错看、错解（共3小题） 29．某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 30．在一次课堂练习中，小明是这样解方程的； 解：去分母，① 去括号：② 移项，③ 合并同类项，④系 数化为1，⑤ 请你指出他错在 （填编号），这一步方程变形的依据应是 ．此方程的正确解是x= ． 31．李颖在解方程时，是这样做的：   ①   ②   ③   ④ 老师说：李颖对解一元一次方程的步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第______步（填编号），错误的原因是______，现在，请你细心的解方程． 九．一元一次方程中的同解问题（共3小题） 32．已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 33．若方程与的解相同，则的值是 ． 34．若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 一十．一元一次方程中的遮挡问题（共3小题） 35．下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 36．嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 37．淇淇在解一元一次方程“”时，一不小心将墨水洒在作业本上，其中未知数x前的系数看不清了，他便问嘉嘉，嘉嘉想考考他，于是用手遮住了解题过程，只露出最后一步：“所以原方程的解为”（嘉嘉的答案是正确的），淇淇由此就知道了被墨水遮住的系数，求被墨水遮住的系数． 一十一．配套问题（共3小题） 38．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 39．某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． (1)前3天应先安排多少多工人生产？ (2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 40．一张课桌需要一个桌面和四条桌腿，如果一立方米木材可做60个桌面或360条桌腿（其他材料不计），现有20立方米木材，那么安排多少立方米木材做桌面，多少立方米木材做桌腿刚好配套？ 一十二．销售问题（共3小题） 41．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 42．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： 类型 进货单价（元） 销售单价（元） 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 43．某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 商品种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 22 29 乙 30 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售且全部售完，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 一十三．方案问题（共3小题） 44．甲、乙两家商场以相同的价格出售同品牌的新电动车，为吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：甲商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价折销售．乙商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价七五折销售．李老师要去同一商场购买两辆该品牌新电动车，他只有一辆旧电动车可置换，设两商场的新电动车原价都是元． (1)用含的式子表示甲、乙商场购买新电动车李老师应付款额分别是多少元？ (2)若李老师在两家商场应付款额相等，求的值． 45．某文具店的某种毛笔每支售价元，书法练习本每本售价元．该店为了促销该种毛笔和书法练习本，推出了两种优惠方案． 方案一：买一支毛笔赠送一本书法练习本； 方案二：按购买金额的九折付款． 某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔支，书法练习本本． (1)若该校按方案一购买，则需付款 元，若该校按方案二购买，则需付款 元(用含的式子表示)． (2)若该校购买本书法练习本，使用哪种方案更优惠？ (3)该校购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样？ 46．为落实“五育并举”，全面发展素质教育，我校为学生量身定制了“趣味运动会”活动．为此，某班级准备购买5副球拍和若干盒（不少于5盒）的羽毛球，现去市场进行调研，得到的情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球拍每副定价30元，羽毛球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球，乙店全部按定价的9折优惠．问： (1)若购买的羽毛球为x盒，则在甲家商店购买这些羽毛球和羽毛球拍时应该支付的费用为______元，则在乙家商店购买这些羽毛球和羽毛球拍时应该支付的费用为______元．（用含x的代数式表示，要求写出化简后的结果）； (2)当购买几盒羽毛球时，在甲、乙商店购买所需费用一样？ 一十四．几何问题（共3小题） 47．如图，在中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点时停止运动．设点运动的时间是秒． (1)______． (2)当点在运动时，用含的代数式表示的长． (3)请直接写出当为何值时，的面积等于6． 48．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80． (1)请直接写出的中点M对应的数． (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．试求出点C在数轴上所对应的数； 49．综合题：如图，在长方形中，，．动点P从点B出发沿向点C运动，速度是；动点Q从点C出发沿向点B运动，速度是点P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止，设运动的时间是t秒． (1)用含t的代数式表示线段与的长； (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？ (3)当t为何值时，三角形的面积为？ 一十五．水电费问题（共3小题）50．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 51．某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过 超过 水费价格 4元/ 不超过的部分仍按4元/计费， 超过部分按6元/计费 (1)每户用水量为n，用式子表示： ①当月用水量不超过时，应收水费________元； ②当月用水量超过时，应收水费________元； (2)小明家七、八月份共用水50，共交水费208元，已知七月份用水不超过24 ，请帮小明计算他家这两个月各用水多少立方米． 52．某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气在50立方米以内（含50立方米），按每立方米元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米元收费，设某用户11月用煤气立方米． (1)若，则所需煤气费为______元；若，则所需煤气费为______元；（用含的代数式表示） (2)若该用户11月份的煤气费是76元，求该用户11月份用去煤气多少立方米？ 一十六．行程问题（共3小题） 53．某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 54．一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 55．甲乙两个小朋友分别从A、B地相向而行，甲的速度为每分钟72米，乙的速度是甲的0.875倍． (1)求乙的速度为每分钟多少米？ (2)若甲乙同时出发，当甲所走路程比乙多90米时，两人相距50米，求A、B两地间的距离． 一十七．工程问题（共3小题） 56．整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，需要2小时完成．现在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？ 57．萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 58．有一项工程，甲队独做40天完成，乙队独做60天完成，现在两队合作这项工程，但中间甲队因为另有任务调走几天，所以经过27天才完成全部工作，甲队离开几天? 一十八．日历问题（共4小题） 59．（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 60．如图是2023年12月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律． (1)若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整． a (2)求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）． (3)小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日． 61．将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 62．综合与实践 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是_________； (2)小宇发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． (3)小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出两个不同的代数式） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$