精品解析：福建省福州福清市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期高二年期中质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名：考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用向量的坐标表示及相等向量求得. 【详解】设点，而点，则，又， 因此，解得，所以点的坐标是. 故选：D 2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点的坐标即可知直线与轴垂直，从而确定倾斜角. 【详解】因为，所以经过两点的直线与轴垂直，所以其倾斜角为90°. 故选：C. 3. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率计算公式可得：，线段的中点为，即可得出线段的垂直平分线的方程． 【详解】，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程是，化为：， 故选：A． 4. 在四面体OABC中，，，，为BC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用空间向量的加减数乘运算，结合三角形法则和平行四边形法则可解. 【详解】, 即. 故选：B. 5. 若点到直线l：的距离为，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或15 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 6. 直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出、点的坐标，从而求出的中点即为圆心，长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可. 【详解】直线，即，与轴，轴分别交于点、， 则的中点为，且， 所以以线段为直径的圆的方程为，即. 故选：B 7. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 8. 如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，确定点的位置，再利用几何法求出二面角的余弦值. 【详解】过点作于，连接，菱形边长为2，， 由半圆面平面，半圆面平面平面， 得平面，而的面积是定值，要三棱锥的体积最大， 当且仅当最大，此时为弧的中点，为中点，而为正三角形， 因此，又平面，则平面， 而，则平面，又平面，于是， 则是二面角的平面角，，， 所以二面角的余弦值. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行六面体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD. 10. 已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 若和外离，则或 B. 若和外切，则 C. 当时，有且仅有一条直线与和均相切 D. 当时，和内含 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为AB、BC的动点，且，则以下命题正确的是（ ） A. B. C. 三棱锥的体积最大值为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】当点分别在点处时，与不平行，选项A错误；建立空间直角坐标系，表示，由得选项B正确；分析面积的最大值可得选项C正确；利用侧棱和底面垂直时三棱锥外接球半径公式可得选项D正确. 【详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，则， ∴，，，. A. 当点分别在点处时，与不平行，选项A错误. B.因为 ，所以，选项B正确. C.由题意得，， 所以，当且仅当，即时，取等号，故三棱锥的体积最大值为，选项C正确. D.设三棱锥的外接球半径为， 因为平面，所以，其中为的外接圆半径，为的长， 因为为直角三角形，所以， 当时，，， 所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，选项D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过点和的直线与斜率为2的直线平行，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式计算得解. 【详解】由过点和的直线与斜率为2的直线平行，得，解得， 所以的值为1. 故答案为：1 13. 过点作圆的切线l，求切线l的方程 _______ 【答案】 【解析】 【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 14. 已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件先求解出的长度，然后采用平移直线法求解出异面直线所成角的余弦值. 【详解】因为， 所以，所以， 由三棱柱的结构特点可知，所以异面直线与的夹角即为（锐角）， 因为，所以， 所以， 所以异面直线与的夹角的余弦值为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）若不构成空间的一个基底，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直对应的坐标关系求解出的值，再根据坐标下模长计算公式求得结果； （2）由条件可设，根据坐标运算得到关于的方程组，由此可求结果. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为不构成空间的一个基底，所以共面， 设，所以，解得， 所以，即. 16. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的方程； （3）求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果； （2）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果； （3）根据题意，分直线经过原点与不经过原点讨论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由，得，所以交点， 设过点且平行于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得， 则直线方程是:. 【小问2详解】 求过点且垂直于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得， 则直线方程是:. 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， 将点坐标代入，可得， 则，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由条件可得，解得， 则，化简可得； 综上所述，直线的方程为或, 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线AE的距离； （2）求点C到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，利用点到直线的距离公式即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体棱长为2，且为线段的中点，为线段的中点， 则，， ， 所以. 又， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 由题意得， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则.所以，是平面的一个法向量. 所以到平面的距离为. 18. 已知圆C的方程为：，直线l的方程为：， （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）证明：直线l与圆C相交，设直线l与圆C相交于A、B，求弦长的最小值，及此时直线l的方程； （3）圆C的圆心C与A、B构成三角形，求三角形ABC面积的最大值． 【答案】（1）或 （2） 即，故直线l过定点. 因为，故在圆内. 故直线l与圆C相交. 故当直线l与直线垂直时弦长最小，此时，， 故直线，. 此时，，故，即. （3）2 【解析】 【分析】（1）分别求解直线在轴上的截距，根据截距相等求解即可； （2）根据直线过定点可判断直线与圆相交，再根据当直线l与直线垂直时弦长最小求解即可； （3）由三角形的面积公式判断即可. 【小问1详解】 令可得，即，令，易得此时，可得， 依题意，化简得，故或. 故直线l的方程为：或. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意， 故当，即为直角时取最大值. 由（2）可得当时坐标分别为，此时为直角. 故三角形ABC面积的最大值为2. 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，. （1）求证：平面PAD； （2）若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在中，， 由余弦定理，得， 则，即，由平面平面， 平面平面平面， 所以平面. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证得，再利用面面垂直的性质推理即得. （2）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点分别为，连接， 由，得，又平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，则，又，，则，即两两互相垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，则， 设，则， 于是， 设是平面的法向量，则， 令，则，得， 设直线与平面所成角为，， 则， 即，而，解得， 所以存在点，使得直线直线与平面所成角的正弦值为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年期中质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名：考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体OABC中，，，，为BC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若点到直线l：的距离为，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或15 6. 直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行六面体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 若和外离，则或 B. 若和外切，则 C. 当时，有且仅有一条直线与和均相切 D. 当时，和内含 11. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为AB、BC的动点，且，则以下命题正确的是（ ） A. B. C. 三棱锥的体积最大值为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过点和的直线与斜率为2的直线平行，则的值为______. 13. 过点作圆的切线l，求切线l的方程 _______ 14. 已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）若不构成空间的一个基底，求的值. 16. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的方程； （3）求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线AE的距离； （2）求点C到平面的距离. 18. 已知圆C的方程为：，直线l的方程为：， （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）证明：直线l与圆C相交，设直线l与圆C相交于A、B，求弦长的最小值，及此时直线l的方程； （3）圆C的圆心C与A、B构成三角形，求三角形ABC面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，. （1）求证：平面PAD； （2）若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $