专题02 一元一次不等式(组)（6大经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题02 一元一次不等式(组) 不等式的性质 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 由实际问题抽象出一元一次不等式 1（23-24七年级下·湖南长沙·期末）根据数量关系列不等式：与3的和不可能是负数 ． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）根据“x的两倍与3的和大于9”可列不等式为 ． 解一元一次不等式 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的解集是，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）在方程组中，若未知数，满足，则的取值范围为 ． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解不等式． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在数轴上表示的解集． 5．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来． 一元一次不等式的应用 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）为了备战学校体育节的乒乓球比赛活动，七（1）班计划买5副乒乓球拍和若干盒乒乓球（多于5盒）．该班体育委员发现在学校附近有甲、乙两家商店都在出售相同品牌的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副售价100元，乒乓球每盒售价25元．经过体育委员的洽谈，甲商店给出每买一副乒乓球拍送一盒乒乓球的优惠；乙商店给出乒乓球拍和乒乓球全部九折的优惠． (1)若这个班计划购买的乒乓球盒数为6盒，请分别计算在甲、乙商店的应付款数； (2)当这个班购买多少盒乒乓球时，在甲、乙两家商店付款相同？ (3)通过（2）的计算，你发现七（1）班当购买多少盒乒乓球时在甲商店购买省钱，购买多少盒乒乓球时在乙商店购买省钱． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）为了落实防疫工作，我校计划给每个班级配备紫外线消毒灯和体温检测仪，已知一台紫外线消毒灯单价比一个体温检测仪的单价多50元，用4000元购进紫外线消毒灯的数量用与3000元购进体温检测仪的数量相同． (1)求紫外线消毒灯和体温检测仪的单价分别为多少元？ (2)根据学校的实际情况，需要购进体温检测仪的数量比购进紫外线消毒灯的数量的2倍还多6个，总费用不超过50900元，那么我校最多能购买多少台紫外线消毒灯？ 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化．已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？ 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）为建设“秀美幸福之市”，我市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对外环路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元． (1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲种树苗多少棵? (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 解一元一次不等式组 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）解一元一次不等式组：． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）求不等式组 解集，并将解集在数轴上表示出来． 4．（22-23七年级下·湖南湘西·期末）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 一元一次不等式组的应用 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本，求学生有多少人？ 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）衡阳市某商场准备购进A、B两种类型的便携式风扇出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． (1)求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ (2)商场准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，商场准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？ (3)在（2）中哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？ 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）为着力提升劳动课程教育，加强学生实践能力，某中学开展了“空中蔬菜乐园”实践课．现需租甲、乙两种型号车辆运输蔬菜秧苗，已知2辆甲型运输车与3辆乙型运输车一次共运输蔬菜秧苗31袋，5辆甲型运输车与6辆乙型运输车一次共运输蔬菜秧苗70袋． (1)一辆甲型运输车和一辆乙型运输车一次各运输蔬菜秧苗多少袋？ (2)该学校决定租甲、乙两种型号运输车共20辆参与运输蔬菜秧苗，若本次运输蔬菜秧苗总量不小于148袋，且乙型运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 不等式的创新题型 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程 是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）； (2)若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不妨约定：关于的二元一次方程， 若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”． (1)①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）； ②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______； (2)若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； (3)已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式(组) 不等式的性质 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A．若若，，则，选项正确，不符合题意； B．当时不成立，选项错误，符合题意； C．由可得，不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，选项正确，不符合题意； D．，不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据不等式的性质逐项求解即可． 【详解】解：∵ A、∴，选项正确，不符合题意； B、∴，选项正确，不符合题意； C、∴，选项正确，不符合题意； D、若，则，选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，应用不等式的性质，逐项判断即可．此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：， ， 选项A不符合题意； ， ， 选项B符合题意； ， ， 选项C不符合题意； ， ， 选项D不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的基本性质； 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项判断即可． 【详解】解：若，则，，，， ∴B正确，A，C，D错误， 故选：B． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得不等式在两边同时除以后不等式的符号发生的改变，则，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴不等式在两边同时除以后不等式的符号发生的改变， ∴， ∴． 由实际问题抽象出一元一次不等式 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）根据数量关系列不等式：与3的和不可能是负数 ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据与3的和不可能是负数得到即可． 【详解】解：∵与3的和不可能是负数， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）根据“x的两倍与3的和大于9”可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，先求乘积，再就和，最后列不等式即可． 【详解】“x的两倍与3的和大于9”可列不等式为， 故答案为：． 解一元一次不等式 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的解集是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数，先求出不等式的解集，进而确定的值即可． 【详解】解：， ∴， ∵不等式的解集是， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）在方程组中，若未知数，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】题考查解二元一次方程组和一元一次不等式．将两方程相加可得，由 得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解： 得： ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得，． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在数轴上表示的解集． 【答案】数轴表示见解析 【分析】解：本题考查了数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项得，， ∴不等式的解集在数轴上表示为： 5．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 在数轴上表示如下： 一元一次不等式的应用 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）为了备战学校体育节的乒乓球比赛活动，七（1）班计划买5副乒乓球拍和若干盒乒乓球（多于5盒）．该班体育委员发现在学校附近有甲、乙两家商店都在出售相同品牌的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副售价100元，乒乓球每盒售价25元．经过体育委员的洽谈，甲商店给出每买一副乒乓球拍送一盒乒乓球的优惠；乙商店给出乒乓球拍和乒乓球全部九折的优惠． (1)若这个班计划购买的乒乓球盒数为6盒，请分别计算在甲、乙商店的应付款数； (2)当这个班购买多少盒乒乓球时，在甲、乙两家商店付款相同？ (3)通过（2）的计算，你发现七（1）班当购买多少盒乒乓球时在甲商店购买省钱，购买多少盒乒乓球时在乙商店购买省钱． 【答案】(1)525元，585元 (2)30盒 (3)购买的乒乓球盒数少于30盒时，选择到甲商店购买更省钱；购买的乒乓球盒数大于30盒时，选择到乙商店购更买省钱 【分析】此题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）分别计算甲乙两店购买5副乒乓球拍和6盒乒乓球的价钱即可； （2）设这个班购买盒乒乓球时，在甲、乙两家商店付款相同，根据题意列方程求解即可． （3）根据（2）中结果列不等式即可求解； 【详解】（1）解：甲商店应付款：（元）， 乙商店应付款：（元）； （2）解：设这个班购买盒乒乓球时，在甲、乙两家商店付款相同． 由题意，得． 解方程，得 ． 答：购买30盒乒乓球时，在甲、乙两家商店付款相同． （3）解：由（2）可知， ，解得：， 故当购买的乒乓球盒数少于30盒时，选择到甲商店购买更省钱； ，解得：， 故当购买的乒乓球盒数大于30盒时，选择到乙商店购更买省钱． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）为了落实防疫工作，我校计划给每个班级配备紫外线消毒灯和体温检测仪，已知一台紫外线消毒灯单价比一个体温检测仪的单价多50元，用4000元购进紫外线消毒灯的数量用与3000元购进体温检测仪的数量相同． (1)求紫外线消毒灯和体温检测仪的单价分别为多少元？ (2)根据学校的实际情况，需要购进体温检测仪的数量比购进紫外线消毒灯的数量的2倍还多6个，总费用不超过50900元，那么我校最多能购买多少台紫外线消毒灯？ 【答案】(1)紫外线消毒灯的单价为200元，则体温检测仪的单价为150元 (2)学校最多能购买100台紫外线消毒灯 【分析】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、找准等量关系或不等关系列出分式方程和不等式成为解题的关键． （1）设紫外线消毒灯的单价为x元，则体温检测仪的单价为元，再根据“用4000元购进紫外线消毒灯的数量用与3000元购进体温检测仪的数量相同”列出分式方程求解即可； （2）设学校购进m台紫外线消毒灯，则购进台体温检测仪，由题意：总费用不超过50900元列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设紫外线消毒灯的单价为x元，则体温检测仪的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，则． 答：紫外线消毒灯的单价为200元，则体温检测仪的单价为150元． （2）解：设学校购进m台紫外线消毒灯，则购进台体温检测仪， 由题意得：， 解得：． 答：学校最多能购买100台紫外线消毒灯． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化．已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？ 【答案】37天 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确列出不等式是解题关键． 根据题意表示出明年空气质量良好的天数比去年要增加的天数进而得出不等式求出答案． 【详解】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加天，根据题意可得： ， 解得：， 为整数， ， 答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37天． 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）为建设“秀美幸福之市”，我市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对外环路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元． (1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲种树苗多少棵? (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 【答案】(1)购买甲种树苗300棵 (2)至少应购买甲种树苗240棵 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据“购买两种树苗的总金额为90000元”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设应购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据“购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意，得， 解得：．     答：购买甲种树苗300棵． （2）解：设应购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意，得， 解得：． 答：至少应购买甲种树苗240棵． 解一元一次不等式组 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 (3)；数轴见解析 (4)；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （3）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （4）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （4）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）解一元一次不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．将每一个不等式的取值先计算出来，再联立起来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组的解集为. 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）求不等式组 解集，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 4．（22-23七年级下·湖南湘西·期末）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴ 如图，    一元一次不等式组的应用 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本，求学生有多少人？ 【答案】学生有6人 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设学生有x人，则有笔记本本，再根据如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有x人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：学生有6人． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）衡阳市某商场准备购进A、B两种类型的便携式风扇出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． (1)求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ (2)商场准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，商场准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？ (3)在（2）中哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元 (2)共有4种进货方案 (3)方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用．根据题意找出数量关系，列出方程或不等式组是解题关键． （1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据题意可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可； （2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇台，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，求出m的解集，结合m的实际意义，即可确定m的值，即得出几种方案． （3）最后根据A、B的进货单价，先判断最低费用的方案，再计算即可． 【详解】（1）解：设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元； （2）解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇台， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以取72、73、74、75， ∴共有4种进货方案， 方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台； 方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台； 方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台； 方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台． 答：共有4种进货方案． （3）解：∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价， ∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低， 最低费用为元． 答：方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？ 【答案】(1)甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件 (2)共有3种购货方案 【分析】（1）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据“该商店购进甲、乙两种商品共180件，且计划销售完这批商品后能获利1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购货方案． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件， 依题意得：， 解得：． 答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件． （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为61，62，63， 共有3种购货方案， 方案1：购进甲种商品61件，乙种商品119件； 方案2：购进甲种商品62件，乙种商品118件； 方案3：购进甲种商品63件，乙种商品117件． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）为着力提升劳动课程教育，加强学生实践能力，某中学开展了“空中蔬菜乐园”实践课．现需租甲、乙两种型号车辆运输蔬菜秧苗，已知2辆甲型运输车与3辆乙型运输车一次共运输蔬菜秧苗31袋，5辆甲型运输车与6辆乙型运输车一次共运输蔬菜秧苗70袋． (1)一辆甲型运输车和一辆乙型运输车一次各运输蔬菜秧苗多少袋？ (2)该学校决定租甲、乙两种型号运输车共20辆参与运输蔬菜秧苗，若本次运输蔬菜秧苗总量不小于148袋，且乙型运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 【答案】(1)辆甲型运输车一次运输袋，一辆乙型运输车一次运输5袋； (2)第一种方案：甲型运输车18辆，乙型运输车2辆； 第二种方案：甲型运输车17辆，乙型运输车3辆； 第三种方案：甲型运输车16辆，乙型运输车4辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，对于（1），根据2辆甲型运输车运输蔬菜秧苗加上3辆乙型运输车运输蔬菜秧苗等于31袋，5辆甲型运输车运输蔬菜秧苗加上6辆乙型运输车运输蔬菜秧苗等于70袋，列出方程组，求出解即可； 对于（2），先设两种型号车的辆数，并根据不等关系列出不等式组，再求出解集，讨论方案即可． 【详解】（1）解：设一辆甲型运输车一次运输袋，一辆乙型运输车一次运输袋， ， 解得． 即一辆甲型运输车一次运输8袋，一辆乙型运输车一次运输5袋； （2）由题意可得， 设该学校租甲、乙两种型号的运输车分别为辆、辆， ， 解得， 则，17，18， 所以，3，2． 故有三种租车方案， 第一种方案：甲型运输车18辆，乙型运输车2辆； 第二种方案：甲型运输车17辆，乙型运输车3辆； 第三种方案：甲型运输车16辆，乙型运输车4辆． 不等式的创新题型 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程 是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）； (2)若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判定即可； （2）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，求解即可； （3）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，可求得的一个取值范围；再根据不等式组有7个整数解求得的另一个取值范围，再求取值范围的公共部分即可得到最终的取值范围． 本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的解，理解题中的“包含方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程①得，；解方程②得，；解方程③得，； 解不等式组得，． 由此可知不等式组的“包含方程”是②③， 故填：②③； （2）解：解方程得，解不等式组得， 由题意可知：， 解得； （3）解方程得， 解不等式组得， 关于的方程是关于的不等式组的“包含方程”， ，解得， 不等式组恰好有7个整数解， ，解得， 综上，的取值范围为． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不妨约定：关于的二元一次方程， 若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 【答案】(1)①不是；②是；③不是； (2)有． (3)． 【分析】本题主要考查二元一次方程组： （1）根据“开心”方程的定义求解即可； （2）解方程组得，代入原方程组得，求出； （3）根据“开心”方程的定义将方程组整理为，解得，由求得，得到代入原方程可求解， 【详解】（1）解：对于方程，， ∵, ∴方程不是开心方程； 对于方程，， ∵ ∴方程是开心方程； 对于方程，，所以，方程不是开心方程； 故答案为：不是，是，不是 （2）解：由题意可知：， 解得：， 将代回原方程组得： 由①＋②得：， ∵， ∴有． （3）解：由题可知： 化简可得：． 解得， ∵， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴或2 根据新定义，所以舍去1，则 ∴， 代入原方程得：， 消去y化简可得； ∵， 所以：“开心方程组”的解为． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”． (1)①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）； ②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______； (2)若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； (3)已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根． 【答案】(1)①B，C；② (2) (3)的平方根为． 【分析】（1）根据定义分别求得的值即可求解； （2）解不等式组得，根据是“爱心点”可得；进一步可得，，据此即可求解； （3）由题意得，解不等式组得；根据p，q为有理数可得，据此即可求解 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴ ∴ 同理：由得： 此时， 由得： 此时，， ∴是“爱心点”的有； ②∵点是“爱心点” ∴且 即： 故答案为：①B，C；② （2）解：解不等式组得： ∵是“爱心点”， ∴由（1）可知： ∵s是不等式组的最大整数解 ∴ ∴ ∴， 解得： （3）解：∵点是“爱心点”， ∴ 由，得： ∴ ∵p，q为有理数， ∴ ∴ ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次不等式组的求解、二元一次方程组的求解等知识点，正确理解题意是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$