专题01 实数（7大经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题01 实数 平方根和立方根的概念 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）下列命题中，是真命题的是（      ） A．立方根等于本身的实数有0和 B．倒数等于本身的实数有0和 C．平方根等于本身的实数有0和1 D．如果那么 2．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）9的算术平方根是（　　） A． B．3 C． D． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）化简 4．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）一个正数的两个平方根分别是a、b，则 ． 5．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）已知：一个正数的两个平方根分别是5和，则a的值是 ． 6．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若都是实数，，求的立方根． 平方根和立方根的应用 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为 秒． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知的平方根是，的立方根是，求 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 无理数的定义 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在实数，，，中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）在，，，，1.01001000100001…这五个数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在实数，2，，中，无理数是（    ） A． B．2 C． D． 6．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在实数中无理数有 个． 实数的定义及分类 1．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）在实数，，中，有理数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．，，都是无理数 B．绝对值最小的实数是0 C．实数分为正实数和负实数两类 D．无理数包括正无理数、负无理数和零 3．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列命题的逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 实数的大小比较 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在实数，，，中，最小的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）下列各数中，比小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 实数的运算 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末） ． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）计算：． 3． （23-24八年级上·湖南株洲·期末）计算：． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 5．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）计算：． 6．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）计算：   新定义下的实数运算 1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负数时，若，则.反之，当n为非负整数时，如果，则. 例如，，，，…若关于x的方程的解是正整数，且为正整数，则m的取值范围是 . 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数 平方根和立方根的概念 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）下列命题中，是真命题的是（      ） A．立方根等于本身的实数有0和 B．倒数等于本身的实数有0和 C．平方根等于本身的实数有0和1 D．如果那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了对立方根，倒数，平方根，不等式的性质的理解．根据概念和性质逐项进行分析判断即可得到结论． 【详解】解：A. 立方根等于本身的实数有0和，是真命题，故选项A符合题意； B. 倒数等于本身的实数是，原说法不是真命题，故选项B不符合题意； C. 平方根等于本身的实数是0，原说法不是真命题，故选项C不符合题意； D. 如果且时，那么，原说法不是真命题，故选项D不符合题意； 故选：A 2．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）9的算术平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：9的算术平方根为， 故答案为：B． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）化简 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算以及求一个数的算术平方根，理解并掌握算术平方根的性质是解题关键．根据乘方运算法则和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：． 故答案为：4． 4．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）一个正数的两个平方根分别是a、b，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个正数的两个平方根互为相反数成为解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数即可解答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴． 故答案为0． 5．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）已知：一个正数的两个平方根分别是5和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 由题意知可知，然后求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是5和， ∴，解得：． 故答案为． 6．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若都是实数，，求的立方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，非负数的性质，先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解；∵式子要有意义， ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根是3． 平方根和立方根的应用 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可； 【详解】∵与是同一个正数的两个平方根， ∴ 与互为相反数， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根概念，根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出的，，的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】∵的算术平方根为， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∵是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为 秒． 【答案】5 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解决实际问题时字母取值一般都是大于等于0． 把代入求得t的值即可． 【详解】解：把代入中可得：，则， ∵25的算术平方根为5，即， ∴到达地面需要的时间为5秒． 故答案为：5． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知的平方根是，的立方根是，求 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，代数式求值，根据平方根和立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 无理数的定义 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在实数，，，中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的概念，求算术平方根和立方根，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．根据相关概念，以及开平方、开立方运算判断各项，即可解题． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据“不能用整数或整数的比表示的数”是无理数判断各项，即可得出答案． 【详解】A．是分数，不是无理数，故该选项符合题意； B．不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； C．不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； D．是无限不循环小数，不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）在，，，，1.01001000100001…这五个数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的定义；先根据立方根的定义化简，再根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：， ∴在，，，，1.01001000100001…这五个数中， 无理数有：，，1.01001000100001…3个， 故选：C． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的识别．利用无理数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：A、0不是无理数，故本选项不符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、不是无理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意； 故选：D 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在实数，2，，中，无理数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义； 根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，进行判断即可． 【详解】解：在实数，2，3.1415926，中，无理数是， 故选：A． 6．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在实数中无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，先化简实数，再根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴在实数中无理数有，，共有个， 故答案为：． 实数的定义及分类 1．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）在实数，，中，有理数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次根式、立方根定义化简，再根据有理数的概念即可求解． 【详解】解：∵，是开不尽方的数，是无理数， ∴有理数是，，个， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的运算，有理数的概念的综合，掌握以上知识是解题的关键． 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．，，都是无理数 B．绝对值最小的实数是0 C．实数分为正实数和负实数两类 D．无理数包括正无理数、负无理数和零 【答案】B 【分析】利用实数的分类以及无理数的分类、无理数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，，，其中是有理数，故此选项不合题意； B．绝对值最小的实数是0，故此选项符合题意； C．实数分为正实数和负实数、零，故此选项不合题意； D．无理数包括正无理数、负无理数，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，掌握无理数以及实数的分类是解题关键． 3．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴以及无理数的定义，直接利用实数的相关性质结合无理数的定义分别分析得出答案． 【详解】①负数有立方根，原说法错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，原说法正确； ③，原说法错误； ④任何实数不是有理数就是无理数，原说法正确； ⑤两个无理数的和不一定还是无理数，原说法错误； ⑥无理数都是无限小数，原说法正确， 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列命题的逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题的真假性，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．解题的关键是掌握逆命题的概念和命题真假的判断以及相关知识． 【详解】A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； B、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的逆命题是到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题； C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题； D、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，是假命题； 故选：B． 实数的大小比较 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在实数，，，中，最小的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小． 先化简绝对值，根据负数的绝对值越大，这个数越小即可进行比较． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）下列各数中，比小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大，其值越小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中，比小的数是， 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题的关键．由得到，即可求解． 【详解】∵ ∴． 故答案为：． 实数的运算 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末） ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：6． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、零次幂，先化简算术平方根、立方根、零次幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义和算术平方根的定义分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用算术平方根、乘方、绝对值的代数意义和立方根的定义计算即可得到答案． 【详解】 ． 5．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 6．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）计算：   【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．根据零指数幂的意义，有理数的乘方，二次根式的意义，负整数指数幂的意义运算即可； 【详解】解： 新定义下的实数运算 1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算． 从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可． 【详解】解：由题意得， 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负数时，若，则.反之，当n为非负整数时，如果，则. 例如，，，，…若关于x的方程的解是正整数，且为正整数，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．先解方程求得，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数m的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∵方程的解为正整数， ∴或2， ①当时，， ∴， 即； ②当时，， ∵为正整数， ∴此时不符合题意； 综上分析可知：． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)①56；②2 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，化简后代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． 故答案为：． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 故答案为：． （3）解：①根据定义，得 ， 当时， 原式． ②解：根据题意，得 ． 又图中阴影部分的面积为45，， 故， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：与它的“变更方程”为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵是整数， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$