专题01 二次函数中的最值问题-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题01 二次函数中的最值问题 题型1：二次函数中的线段最值问题 题型2：二次函数中的线段和差最值问题 题型3：二次函数中的周长最值问题 题型4：二次函数中的面积最值问题 题型1：二次函数中的线段最值问题 【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为．点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．探究线段的长度变化情况． （1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式； 【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为． （2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标； 【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化． （3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值． 【答案】（1）点坐标为，抛物线解析式为，（2），它的最大值． 【分析】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的最值，此题将线段的最值转化为二次函数的最值问题． （1）把A、C两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得b、c的值，根据直线的解析式为可得C的坐标，由此即可确定抛物线解析式； （2）根据点在抛物线解析式上，由解析式即可表示点的坐标， （3）由，，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可； 【详解】解：（1）∵直线的解析式为与轴交于点，即，， ∴点坐标为， 又∵点是抛物线与轴的交点； ∴， ∴抛物线解析式为， （2）∵点在抛物线解析式上， ∴当代入得， 即点 （3）∵P在线段上运动 ∴M点在N点上方， ∵， ∴ ∴当时，有最大值，的最大值为 一．解答题（共3小题） 1．如图，拋物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求拋物线的解析式和点的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 2．如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值和点Q的坐标 3．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2：二次函数中的线段和差最值问题 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求的值及抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上且满足，求的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键． （1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）根据，求出、点坐标，再求出的面积，设，再根据列出方程求解即可； （2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入抛物线得：， 解得：， ， 顶点坐标为：． （2）解：点的坐标为，由（1）知的对称轴为， ， 令，则， ， ， 设， ， 整理得：或， 解得：， 点的坐标为或或或； （3）解：连接交抛物线对称轴于点，连接，则此时的值最小， 设直线的解析式为：， 点，点， ， 解得：． 直线的解析式为：， 当时，， 当的值最小时，点的坐标为：． 一．解答题（共3小题） 1．已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 2．已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 题型3：二次函数中的周长最值问题 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作，垂足为，求周长的最大值； (3)如图，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】把，的坐标代入，得到关于、的方程组，解方程组得到：，从而得到抛物线的表达式； 利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，可以得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，根据点、的坐标求出的周长为，利用可得它们的相似比为，根据相似三角形的周长比等于相似比可得，整理可得，可得有最大值且最大值为； 点在对称轴上，设点的坐标为，分三种情况：当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；当点恰好落在矩形对角线所在的直线上时，当点落实在矩形对角线的延长线上时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把、代入， 得到：， 解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为，则点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， 在中， 在中， ， ， 在和中，，， ， ，， ， ，的周长为， ， ， 整理得：， ， ， 有最大值， 最大值为； （3）解：如下图所示， 抛物线的解析式为， 对称轴为， 点在对称轴上，设点的坐标为， 抛物线的对称轴交轴于点，交边于点， 则，，， 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时， 则是的垂直平分线， ， ， 又四边形是矩形，，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； 当点恰好落在矩形对角线所在的直线上时， 如下图所示，连接交于点， 点和点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 、关于对称轴对称， 点是的中点，且， 点是的中点， 点的坐标是， ，， 在中，， ， 解得：，， 点的坐标为； 如下图所示，当点落实在矩形对角线的延长线上时， 过点作轴于点，连接交于点， 点和点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， 解得：，， ， 点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标是 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 综上所述点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想，是解题的关键． 一．解答题（共3小题） 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标； 2．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 3.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型4：二次函数中的面积最值问题 如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)连接、，求四边形面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）设点，点，则点，可得，，列出方程解答即可求解； （）设，则，即得，再根据可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值和几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，则点， ∴，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为． 1． 解答题（共3小题） 1．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． 3．如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A、D两点，且．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．点E是线段上的一动点，从点D出发向点A匀速运动，同时点F从点A出发，以与点E大小相同的速度沿x轴正方向匀速运动，当点E到达点A时停止运动，此时点F也随之停止运动，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是射线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)请你求出四边形的面积的最大值； (4)的最小值是__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数中的最值问题 题型1：二次函数中的线段最值问题 题型2：二次函数中的线段和差最值问题 题型3：二次函数中的周长最值问题 题型4：二次函数中的面积最值问题 ： 题型1：二次函数中的线段最值问题 【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为．点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．探究线段的长度变化情况． （1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式； 【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为． （2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标； 【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化． （3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值． 【答案】（1）点坐标为，抛物线解析式为，（2），它的最大值． 【分析】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的最值，此题将线段的最值转化为二次函数的最值问题． （1）把A、C两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得b、c的值，根据直线的解析式为可得C的坐标，由此即可确定抛物线解析式； （2）根据点在抛物线解析式上，由解析式即可表示点的坐标， （3）由，，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可； 【详解】解：（1）∵直线的解析式为与轴交于点，即，， ∴点坐标为， 又∵点是抛物线与轴的交点； ∴， ∴抛物线解析式为， （2）∵点在抛物线解析式上， ∴当代入得， 即点 （3）∵P在线段上运动 ∴M点在N点上方， ∵， ∴ ∴当时，有最大值，的最大值为 一．解答题（共3小题） 1．如图，拋物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求拋物线的解析式和点的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)拋物线的解析式为，点的坐标为 (2)的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值．将线段的最值转化为二次函数的最值问题是解题的关键． （1）把、两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得、的值，即可得抛物线的解析式；令，解方程即可求得的坐标； （2）线待定系数法求出直线的解析式，根据解析式分别表示、两点的坐标，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 令可得，， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴点坐标为． （2）解：设直线解析式为， 把、代入可得， 解得， ∴直线解析式为； ∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为． 2．如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值和点Q的坐标 【答案】(1) (2)，， (3)有最大值，此时点的坐标为 【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）设P点坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； （3）先求出直线的解析式为，再设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：把，代入， 得：，解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）由（1）知，该抛物线的解析式为， 当时，即，解得：，，则， 设P点坐标为， ∵， ∴， 整理，得或， 解得或， 则符合条件的点P的坐标为：，，； （3）设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． 设Q点坐标为，（），则D点坐标为， ， ∴当时，有最大值，此时点的坐标为． 【点睛】考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 3．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有最大值为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）由可得，则，利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案； （3）过作轴交于点，交轴于点，作于，可得，则，设，则，则，由点在第一象限得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 点坐标为， 又抛物线 与轴交于，两点， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为， 即， 点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得，解得， 直线解析式为； （2）解：设，则， ， ，函数图像开口向下， 当时，有最大值为； （3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，    设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当中边上的高为时，即， ， 点在第一象限， ， 解得或， 或， 综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或． 题型2：二次函数中的线段和差最值问题 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求的值及抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上且满足，求的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键． （1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）根据，求出、点坐标，再求出的面积，设，再根据列出方程求解即可； （2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入抛物线得：， 解得：， ， 顶点坐标为：． （2）解：点的坐标为，由（1）知的对称轴为， ， 令，则， ， ， 设， ， 整理得：或， 解得：， 点的坐标为或或或； （3）解：连接交抛物线对称轴于点，连接，则此时的值最小， 设直线的解析式为：， 点，点， ， 解得：． 直线的解析式为：， 当时，， 当的值最小时，点的坐标为：． 一．解答题（共3小题） 1．已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为：； (3)，； 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． （1）将点，点代入求解即可得到答案； （2）根据对称性得到点A关于对称轴的对称点B的坐标，连接交对称轴即为点，此时距离和最小，根据两点间距离公式求解即可得到答案； （3）设点，根据面积列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：将点，点代入得， ，解得：， ∴； （2）解：当时，， 解得：，， ∴， 由抛物线的对称性得，连接交对称轴即为点，此时距离和最小， ∵A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：设点， ∵三角形的面积为， ∴， 解得：，， ∴，； 2．已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用两点式写出函数解析式，再把代入，求解即可； （2）根据，得到当三点共线时，的值最大，求出直线的解析式，进而求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，代入，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， ∴直线与对称轴的交点即为点， 设直线得解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 当时，， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，，，解直角三角形得出，，延长交延长线于点，过点作于，解直角三角形得出，，推出，，待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，则，，求出，再结合二次函数的性质即可得解； （3）移后的抛物线的解析式为，得出新抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，作于，于，过点作轴于，过C作于，于，则，，证明三角形相似，由相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】（1）解：在直线上，令，解得， ； 把，代入，得：， 解得，            ； （2）解：在中，令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 延长交延长线于点，过点作于， ， ∵轴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ∴ ；             ， 时，，    此时； （3）解：， ∵， ∴该抛物线沿射线方向平移个单位，就是将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为， 如图，作于，于，过点作轴于，作于，轴于，则，， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式，二次函数综合线段问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型3：二次函数中的周长最值问题 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作，垂足为，求周长的最大值； (3)如图，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】把，的坐标代入，得到关于、的方程组，解方程组得到：，从而得到抛物线的表达式； 利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，可以得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，根据点、的坐标求出的周长为，利用可得它们的相似比为，根据相似三角形的周长比等于相似比可得，整理可得，可得有最大值且最大值为； 点在对称轴上，设点的坐标为，分三种情况：当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；当点恰好落在矩形对角线所在的直线上时，当点落实在矩形对角线的延长线上时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把、代入， 得到：， 解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为，则点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， 在中， 在中， ， ， 在和中，，， ， ，， ， ，的周长为， ， ， 整理得：， ， ， 有最大值， 最大值为； （3）解：如下图所示， 抛物线的解析式为， 对称轴为， 点在对称轴上，设点的坐标为， 抛物线的对称轴交轴于点，交边于点， 则，，， 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时， 则是的垂直平分线， ， ， 又四边形是矩形，，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； 当点恰好落在矩形对角线所在的直线上时， 如下图所示，连接交于点， 点和点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 、关于对称轴对称， 点是的中点，且， 点是的中点， 点的坐标是， ，， 在中，， ， 解得：，， 点的坐标为； 如下图所示，当点落实在矩形对角线的延长线上时， 过点作轴于点，连接交于点， 点和点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， 解得：，， ， 点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标是 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 综上所述点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想，是解题的关键． 一．解答题（共3小题） 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解题的关键是求解析式以及确定H点的位置： （1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 如图所示：连接交对称轴于点， ∵、两点关于对称， ∴ ∴周长 ∴当点C，H，B三点共线时，周长的最小，即的长度 当时，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ∴当时，， ． 2．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）先求出点坐标，再求出直线的解析式，设，其中，则，可得是等腰直角三角形，得到，进而求出周长，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）设点坐标为，点坐标为，分三种情况：①当为对角线时；②当为对角线时；当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组解答即可求解； 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用及性质，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1） 解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2） 解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，其中，则， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ， ， ∴当时，的周长有最大值，最大值为； （3） 解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点坐标为， ①当为对角线时，， 解得， ∴， ②当为对角线时，， 解得， ∴； ③当为对角线时，， 解得， 解得； 综上所述，存在点，以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 3.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像及性质、轴对称的性质等知识，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图像及性质． （1）首先确定点的坐标，再代入抛物线解析式，即可求出答案； （2）首先求出点坐标以及抛物线对称轴为，根据轴对称的性质可得，故有周长，当点在同一直线上时，的周长最小，利用待定系数法解得直线的解析式，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为； （2）如图所示， 对于抛物线，其对称轴为， 令，可得，解得， ∴， ∵点在直线上，关于直线对称， ∴，， ∴周长， 当点在同一直线上时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 题型4：二次函数中的面积最值问题 如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)连接、，求四边形面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）设点，点，则点，可得，，列出方程解答即可求解； （）设，则，即得，再根据可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值和几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，则点， ∴，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为． 1． 解答题（共3小题） 1．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)，； (3)见解析． 【分析】利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； 过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； 设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)取最大值；点P的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式 （1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为． ∴ 解得： ∴ （2）解：由， 当时，， 则， 设直线的解析式为，则把点、代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于点，如图： 设点P 为，则点D为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值； ∴， ∴点P的坐标为． 3．如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A、D两点，且．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．点E是线段上的一动点，从点D出发向点A匀速运动，同时点F从点A出发，以与点E大小相同的速度沿x轴正方向匀速运动，当点E到达点A时停止运动，此时点F也随之停止运动，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是射线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)请你求出四边形的面积的最大值； (4)的最小值是__________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，根据易得点B的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可； （3）联立一次函数与二次函数解析式求出点D的坐标，根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （4）连接并延长，过A作轴交延长线于点H，，使得，过点D作轴于点G，连接，过点作x轴的垂线，垂足为，先证明四边形是正方形，再证明，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，再求出点L的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于A、B两点，直线与抛物线交于A、D两点， 点A的纵坐标为0，则， 解得：， ，， ， ，即， 将，代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或（舍去）， ； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或； （3）解：联立一次函数与二次函数得，则， 解得：或， 当时，， ， 为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （4）解：连接并延长，过A作轴交延长线于点H，，使得，过点D作轴于点G，连接，过点作x轴的垂线，垂足为， ， ，即， ， ， ，， 同理得，， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， 根据题意得：， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，正方形的判定与性质，三角形全等的评定与性质，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$