专题02 二次函数的存在性问题-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题02 二次函数的存在性问题 题型1：二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型2：二次函数中的直角三角形存在性问题 题型3：二次函数中的相似三角形存在性问题 题型4：二次函数中的平行四边形存在性问题 题型5：二次函数中的特殊平行四边形存在性问题 题型6：二次函数中的角度存在性问题 ： 题型1：二次函数中的等腰三角形存在性问题 已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (4)抛物线的对称轴上有一动点M，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 【答案】(1) (2)点P (3) (4)或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． （4）分两种情况：当时，则，则，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （4）解：设点， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 则， 解得：， 即点或； 当时，， 则， 解得：或， 即点或； 综上，或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． 一．解答题（共3小题） 1．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）如图，连接，，，先求得，，利用两点坐标距离公式证得，根据勾股定理的逆定理可得结论； （3）设，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时；当时；当时；由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：是直角三角形，理由为： 如图，连接，，， 由（1）可得，， ∴， 当时，， ∴，又， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 由 得， 解得：（舍去），， ∴； 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与特殊三角形的综合运用，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握二次函数的性质以及分类讨论求解是解题的关键． 2．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出 ，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，即， 解得：． ∴图象与轴交于点，， 当时，， ∴图象与轴交于点； （2）解：∵，， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或 ； （3）解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得： 舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型2：二次函数中的直角三角形存在性问题 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，是否有最大值？若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)18 (3)点的坐标为或； (4)的最大值为． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式为，过N点作轴交于点G，可得，利用三角形的面积公式即可求得面积； （3）分两种情况讨论，①当时，②当时，求得直线的解析式，联立求解即可； （4）过点A作轴交直线于点N，过P点作轴交于点G，则，有，可得，设，则，分别求出，的长，则有，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点、代入， 得：， 解得：， ∴函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：． 直线的解析式为， 过N点作轴交于点G，如下图： ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：存在点P，使是直角三角形，理由如下： ①当时，设交轴于点D， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当时， 过点作直线的平行线，设此直线的解析式为， 则，解得， ∴此直线的解析式为， 联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ∴点的坐标为或； （4）解：过点A作轴交直线于点N，过P点作轴交于点G，如图， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大值为， 此时． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 一．解答题（共3小题） 1．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3)；点P到直线的距离为． 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，列式计算，解得，（舍去），故； （3）先求得直线的解析式，作轴交于K点，再设，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴：， 作轴交于K点， 设，则， ∴ ， ∴当时，最大为， ， ，且， 解得， ∴点P到直线的距离为． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，设，根据勾股定理得出，，进而解方程即可求解； （3）设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由，令，解得：， ∴， ∵，顶点坐标为，对称轴为直线， 点为该抛物线对称轴上的一个动点， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， 设点，使得是以为斜边的直角三角形， 设点为的中点，则， 如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点， ∴， 即， 解得：或． ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点； (3)点的坐标为：或或或 【分析】本题为二次函数的综合应用，面积问题，特殊三角形问题； （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当，，为斜边时，勾股定理建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点 ； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 题型3：二次函数中的相似三角形存在性问题 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为6，点P的坐标为 (3)Q点坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； （2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； （3）解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：， 此时，Q点坐标为； ②当时， 则，即， ∴， 整理得：， ， 则方程无解； 综上，Q点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键． 一．解答题（共3小题） 1．如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、 ，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 3.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，解方程即可得答案； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； （2）， ， 点在轴上方， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ， 得（舍去）或， 当时，， 点的坐标为； （3）如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 题型4：二次函数中的平行四边形存在性问题 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)的最大值为 (3) (4)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （4）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （3）∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）∵轴， ∴， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点P在线段上时，则有， ∴，此方程无实数根， 当点P不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 1． 解答题（共3小题） 1．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形； （3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得， 可解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：应为直角三角形， 证明如下： 由（1）得：抛物线的解析式为， 且是抛物线的顶点， ， 又， ， ， ， ， 故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形． （3）解：存在，均可满足条件． ∵要使以为顶点的四边形为平行四边形， 且平行四边形中对角线互相平分， ∴对角线的中点为固定值． ∵在抛物线对称轴上，在抛物线上， ∴可设， 则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ②两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ③两条对角线为时， 有， 解得， 即此时． 故满足条件的点有3个，分别为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全． 2．抛物线与轴交于点， 两点，与 轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，最大值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可得：，令，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式． （2）设，则，表示出，即可得到与的二次函数解析式，通过求二次函数的最值，可得的最大值． （3）①当为平行四边形的边时，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，证得，得到，由抛物线的表达式可得对称轴，设点，则，求出的值，据此可得点的坐标，继而得到点坐标． ②当为平行四边形的对角线时，设的中点为，易得点的坐标，由点在对称轴上，可得点的横坐标为，设点的横坐标为，由中点坐标公式可得的值，据此可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，代入得： ， 解得：， ． 设直线的解析式为，将，，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． （2）解：设，则． ． 依据二次函数的性质可知，存在最大值，最大值为． （3）解：①当为平行四边形的边时，则有，且，如图3，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点． 则． 在和中， ． ． ． 点到对称轴的距离为3． 又． 抛物线对称轴为直线． 设点，则． 解得：或． 当时，代入，得：． 当时，代入，． 点N坐标为或． ． ②当为平行四边形的对角线时，如图4，设的中点为． ，． ． 点在对称轴上． 点的横坐标为． 设点N的横坐标为x，根据中点公式得：． ． 此时． ． ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、灵活的将问题转化为二次函数的最值问题，并利用二次函数性质及平行四边形存在性问题求点坐标是解答本题的关键．在解题过程中，要注意思路的清晰性、方法的灵活性和计算的准确性，分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑平行四边形存在的各种可能性，才能顺利的解决此类题目． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1) (2)（4，-3） (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令代入求解可得A、B坐标，然后令可得C点的坐标，进而利用待定系数法可求直线解析式； （2）过点P作轴，交于点H，设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可进行求解； （3）由抛物线解析式可得对称轴为直线，则有，根据拓展可知，然后根据平行四边形的性质可得，进而求解即可． 【详解】（1）令时，则， 解得：， 令时，则有， ∴，，， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点H，如图所示： 设，则，所以， ∴， 因为，所以当时，的面积最大，此时点P的坐标为. （3）由题意，，所以，对称轴为直线， 令，则，所以 .所以， 因为四边形为平行四边形，所以，， 由题意知，则，所以， 所以，解得，（不符合题意，舍去）， 所以当时，四边形为平形四边形． 题型5：二次函数中的特殊平行四边形存在性问题 如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 1． 解答题（共4小题） 1．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移单位得到新的抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以，，，为顶点的四边形为矩形的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，待定系数法求出直线的解析式为：，作轴交于，设，则，求出，再表示出，结合二次函数的性质即可得解； （3）求出新抛物线解析式得到新抛物线的对称轴为直线，设，，则，，，若以，，，为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形，再分三种情况：当以点为直角顶点时，；当以点为直角顶点时，；当以点为直角顶点时，，分别利用勾股定理并结合矩形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 作轴交于， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； （3）解：， ∵将抛物线沿射线方向平移单位得到新的抛物线， ∴将抛物线先向左平移个单位，在向上平移个单位，即， ∴新抛物线的对称轴为直线， 设，，则，，， 若以，，，为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形， 当以点为直角顶点时，， ∴， 解得：， 此时， 由矩形的性质可得， 解得：，即此时； 当以点为直角顶点时，， ∴， 解得：， 此时， 由矩形的性质可得：， 解得：，即此时； 当以点为直角顶点时，， ∴， 解得：或， 此时或， 由矩形的性质可得：或， 解得：或，即此时或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 2．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作交线段于点，连接，记与面积分别为，设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，的值最大为1 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识． （1）运用待定系数法设，将代入，即可求得答案； （2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， 设，将代入， 得：， 解得：， ； 抛物线的解析式为； （2）解：∵是第四象限内抛物线上的动点， 设，，， 四边形是正方形， ，即， ， 解得； ， ， ； （3）解：如图2，连接，过点作轴交于点，    设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 由题意，得， 时，有最大值1． 3.如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标； (3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （）分两种情况进行讨论：当点位于直线下方时，当点位于直线上方时，分别画出图形求出结果即可； （）在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于，过点作轴，垂足为，设点，则，，求出直线的解析式为，得出，根据，得出，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图， ①当点位于直线下方时，过点作，垂足为，设满足条件的点在抛物线上，则 ，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； ②当点位于直线上方时，过点作直线，垂足为，设，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在． 如图，在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 过点作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∴，设点， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，三角函数，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4.如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，此时 (3)或或或 【分析】（1）求出当时，的值；将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）设，确定直线的解析式为，过点作垂直于轴，交于点，则点，得出，根据二次函数的最值可得结论； （3）分三种情况：①当，为邻边时；②当，为邻边时；③当，为邻边时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， 当时，得：， 当时，得：，解得：，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）设， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 过点作垂直于轴，交于点， ∴点， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴ ∴， ， ∴当时，有最大值，此时， ∴面积的最大值为，此时； （3）设； ， ∵， ∴， ， ， ∵点、、、构成的四边形为菱形， ①当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），，， ∴此时点的坐标为，； ②当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时点的坐标为； ③当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），（此时点、重合，舍去），， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点式，二次函数的最值的应用，待定系数法确定一次函数的解析式，菱形的性质，两点间的距离，一元二次方程的应用等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型6：二次函数中的角度存在性问题 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为．      (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连结，点不与A，B，C三点重合为抛物线上一动点，连结，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点P运动过程中，存在能够使得的点P，点P坐标为 【分析】（1）把点A坐标为代入抛物线中，则，即可得抛物线的解析式为； （2）由于经过B，C两点，则，设，根据两点间距离公式列方程即可求解； （3）分P点在x轴上方或下方两类讨论： ①设当P点在上方抛物线上时，设，作如图4所示，构三垂直模型后可表示出点P，证明此情形不存在； ②设当P点在下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，构三垂直模型后可表示出点R坐标为，求出直线解析式，再联立抛物线解析式即可求解点P坐标． 【详解】（1）解：把点A坐标为代入抛物线中， 则，得：， 故抛物线的解析式为：； （2）解：令，解得， ∴，， 经过B，C两点，则， 设，则， ，， ， 解得：， 故点D坐标为； （3）解：在点P运动过程中，存在能够使得的点P，理由如下： ①设当P点在上方抛物线上时，设，如图4所示，    作于，轴于，于N， ∴，， ∴，， ∴， ，， 设：，代入，，可得： ，解得， 故：， 设， ，， ∴点P坐标为， 把点代入抛物线中可得，解得， ∵， ∴点P不存在； ②设当P点在下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，    作，于，过作轴，过作于点Q， ∴，， ∴，， ∴， ，， 设，， 则，解得：， 点坐标为， 则由待定系数法可得直线：， 联立，解得：， 即点P坐标为． 综上所述，点P坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，圆与二次函数，一线三垂直解角存在性问题，熟悉一线三垂直模型是解题关键． 1． 解答题（共4小题） 1．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 【答案】(1)，，抛物线解析式为 (2)15 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式： （1）先求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再求出抛物线解析式，进而联立两函数解析式求出点C的坐标即可； （2）根据列式计算即可； （3）过点C作轴于D，可证明是等腰直角三角形，得到；当点Q在点A上方时，，当点Q在点A下方时，，两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴ （2）解： ； （3）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点Q在点A上方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 当点Q在点A下方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点，．交y轴于点C，点D为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接 求的面积； (3)如图2，在y轴上取一点，抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点H，点P在线段上运动，线段关于线段的对称线段是，若直线与直线所成夹角为，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求其中一个点的坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，过点D作轴交于点H，再求出的函数关系式为，进而求出，则，则； （3）由题意知，，则，由抛物线沿方向平移个单位，可知抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位，则平移后的函数解析式为，求出，；进而求出直线的解析式为；设，当轴时，直线与直线所成夹角为，如图2，由对称与平行的性质可得，，则，，由，解得或（舍去），则；当于时，直线与直线所成夹角为，如图3，则，，由勾股定理得，，证明，得到，即，可得，则，再由，得到，解得或（舍去），则． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，， ∴把点，分别代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴点D的坐标为． 过点D作轴交于点H，如图所示： 设的函数关系式为， 把，代入得：， 解得， ∴的函数关系式为， ∵轴 ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，， ∴， ∵抛物线沿方向平移个单位， ∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位， ∴平移后的函数解析式为， 在中，当时，， 解得，， ∴， 在中，当时，，即； 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； 设， 当轴时，直线与直线所成夹角为，如图2， 由对称与平行的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； 当于时，直线与直线所成夹角为，如图3， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，折叠的性质，二次函数图象的平移等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在， 【分析】（1）根据题意得出，，代入函数解析式得：，得出； （2）设，则，，则，，得出，故当时，的最大值为； （3）取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 把，，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：，， 设直线的解析式为，把代入，得， ， 设，则，， ，，， ，， ， 当时，的最大值为； （3）解：令，解得：，， ， ，点为的中点， ， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ，， ，， ， ， 取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，如图所示：    则，， 设的解析式为， ，解得， ， 联立，解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点直线与拋物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求地物线的解析式； (2)若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为，． (3)的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．根据，所以的值最大值时，的面积最大，求出的最大值即可． （3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，作点关于的对称点，设 交轴于点，则，分别求出直线，直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， 解得： 抛物线的解析式为， （2）∵点 ，在抛物线上， ∴ ∴， 直线经过、 设直线的解析式为， 则， 解得，， 直线的解析式为； 如图1中，过点作轴交于点．设，则． ， 的值最大值时，的面积最大， ， ， 时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，． （3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴，，， ∴ ∴ 又∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 在与中， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴， 设交轴于点，则， ， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 直线的解析式为，当时， ， 作点关于的对称点， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 则直线的解析式为， 设交轴于点，则，当时， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的存在性问题 题型1：二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型2：二次函数中的直角三角形存在性问题 题型3：二次函数中的相似三角形存在性问题 题型4：二次函数中的平行四边形存在性问题 题型5：二次函数中的特殊平行四边形存在性问题 题型6：二次函数中的角度存在性问题 ： 题型1：二次函数中的等腰三角形存在性问题 已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (4)抛物线的对称轴上有一动点M，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 【答案】(1) (2)点P (3) (4)或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． （4）分两种情况：当时，则，则，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （4）解：设点， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 则， 解得：， 即点或； 当时，， 则， 解得：或， 即点或； 综上，或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． 一．解答题（共3小题） 1．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2：二次函数中的直角三角形存在性问题 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，是否有最大值？若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)18 (3)点的坐标为或； (4)的最大值为． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式为，过N点作轴交于点G，可得，利用三角形的面积公式即可求得面积； （3）分两种情况讨论，①当时，②当时，求得直线的解析式，联立求解即可； （4）过点A作轴交直线于点N，过P点作轴交于点G，则，有，可得，设，则，分别求出，的长，则有，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点、代入， 得：， 解得：， ∴函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：． 直线的解析式为， 过N点作轴交于点G，如下图： ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：存在点P，使是直角三角形，理由如下： ①当时，设交轴于点D， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当时， 过点作直线的平行线，设此直线的解析式为， 则，解得， ∴此直线的解析式为， 联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ∴点的坐标为或； （4）解：过点A作轴交直线于点N，过P点作轴交于点G，如图， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大值为， 此时． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 一．解答题（共3小题） 1．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型3：二次函数中的相似三角形存在性问题 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为6，点P的坐标为 (3)Q点坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； （2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； （3）解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：， 此时，Q点坐标为； ②当时， 则，即， ∴， 整理得：， ， 则方程无解； 综上，Q点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键． 一．解答题（共3小题） 1．如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 3.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 题型4：二次函数中的平行四边形存在性问题 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)的最大值为 (3) (4)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （4）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （3）∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）∵轴， ∴， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点P在线段上时，则有， ∴，此方程无实数根， 当点P不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 1． 解答题（共3小题） 1．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．抛物线与轴交于点， 两点，与 轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 题型5：二次函数中的特殊平行四边形存在性问题 如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 1． 解答题（共4小题） 1．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移单位得到新的抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以，，，为顶点的四边形为矩形的点的坐标． 2．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作交线段于点，连接，记与面积分别为，设，求的最大值． 3.如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标； (3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 4.如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 题型6：二次函数中的角度存在性问题 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为．      (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连结，点不与A，B，C三点重合为抛物线上一动点，连结，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点P运动过程中，存在能够使得的点P，点P坐标为 【分析】（1）把点A坐标为代入抛物线中，则，即可得抛物线的解析式为； （2）由于经过B，C两点，则，设，根据两点间距离公式列方程即可求解； （3）分P点在x轴上方或下方两类讨论： ①设当P点在上方抛物线上时，设，作如图4所示，构三垂直模型后可表示出点P，证明此情形不存在； ②设当P点在下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，构三垂直模型后可表示出点R坐标为，求出直线解析式，再联立抛物线解析式即可求解点P坐标． 【详解】（1）解：把点A坐标为代入抛物线中， 则，得：， 故抛物线的解析式为：； （2）解：令，解得， ∴，， 经过B，C两点，则， 设，则， ，， ， 解得：， 故点D坐标为； （3）解：在点P运动过程中，存在能够使得的点P，理由如下： ①设当P点在上方抛物线上时，设，如图4所示，    作于，轴于，于N， ∴，， ∴，， ∴， ，， 设：，代入，，可得： ，解得， 故：， 设， ，， ∴点P坐标为， 把点代入抛物线中可得，解得， ∵， ∴点P不存在； ②设当P点在下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，    作，于，过作轴，过作于点Q， ∴，， ∴，， ∴， ，， 设，， 则，解得：， 点坐标为， 则由待定系数法可得直线：， 联立，解得：， 即点P坐标为． 综上所述，点P坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，圆与二次函数，一线三垂直解角存在性问题，熟悉一线三垂直模型是解题关键． 1． 解答题（共4小题） 1．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点，．交y轴于点C，点D为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接 求的面积； (3)如图2，在y轴上取一点，抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点H，点P在线段上运动，线段关于线段的对称线段是，若直线与直线所成夹角为，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求其中一个点的坐标的过程． 3．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点直线与拋物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求地物线的解析式； (2)若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$