2025年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03

2025年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．已知集合，集合，则（    ）. A． B． C． D． 3．下列命题中真命题的个数是（    ） ①存在实数m，使得;                   ②不是所有的直线都有斜率; ③有一个向量的模小于零;                           ④有一个等比数列中某一项是零. A．2 B．3 C．4 D．1 4．下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知则等于（    ） A． B． C．1 D． 6．正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（    ） A． B． C．8 D．12 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 9．设a，b，，则下列命题中为真命题的是（    ）. A． B． C． D． 10．2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（   ） A．该组数据的第60百分位数为7.5 B．该组数据的极差为5 C．该组数据的平均数为7.5 D．该组数据的中位数为7 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．已知向量，．若，则 ． 14．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 15．已知正数满足，则取得最小值时， ． 16．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是 ． 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）已知向量，且. (1)求; (2)求与的夹角. ． 18．（10分）甲、乙、丙3名同学各自独立的求解某道数学题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 19．（10分）如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. (1)证明：； (2)求五棱锥的体积 ． 20．（10分）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积． 21．（12分）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方运算求出，再利用复模的运算即可得解. 【详解】复数，所以. 故选：A. 2．已知集合，集合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算，可得答案. 【详解】由，则. 故选：D. 3．下列命题中真命题的个数是（    ） ①存在实数m，使得;                   ②不是所有的直线都有斜率; ③有一个向量的模小于零;                           ④有一个等比数列中某一项是零. A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】D 【分析】根据命题真假性的定义逐一判断各个序号即可得解. 【详解】对于①,因为方程无实数根，所以①错误， 对于②，不是所有的直线都有斜率，例如直线就不存在斜率，故②正确； 对于③，任何向量的模都是非负数，故③错误； 对于④，每个等比数列中的所有项都是非零项，故④错误. 故选：D. 4．下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断；对于②，由线面平行的性质判断；对于③，由线面平行的判定定理判断；对于④，由线面平行的定义判断. 【详解】对于①，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，也可能与平面平行，①错误； 对于②，当直线 平面时，直线与平面内的直线平行或异面，②错误； 对于③，当直线直线，直线平面，则直线平面，或直线在平面内，③错误； 对于④，当直线平面时，则直线与平面无公共点，所以直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，④正确. 故选：B. 5．已知则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的定义域代入求值即可. 【详解】根据题意，得， 所以. 故选：. 6．正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据锥体的体积公式运算求解即可. 【详解】因为正四棱锥的底面边长为2，高为2， 所以四棱锥的体积是. 故选：A. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将弦的齐次分式化弦为切，代值计算即得. 【详解】， 故选：D. 8．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理即可判断. 【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数， 又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是. 故选：B. 9．设a，b，，则下列命题中为真命题的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合举反例以及作差法，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，由，则，故A错误； 对于B，当时，由，则，故B错误； 对于C，当时，由，则，故C错误； 对于D，由，则，即，故D正确. 故选：D. 10．2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（   ） A．该组数据的第60百分位数为7.5 B．该组数据的极差为5 C．该组数据的平均数为7.5 D．该组数据的中位数为7 【答案】C 【分析】根据百分位数的计算即可判断A，根据极差的定义即可求解B，根据平均数的计算即可求解C，根据中位数的计算即可求解D. 【详解】A选项：，因此该组数据的第60百分位数为，故A正确； B选项：该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，故B正确； C选项：该组数据的平均数为，故C错误； D选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，故D正确， 故选：C. 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】主要利用正切函数的性质，即可解答本题. 【详解】当时， ； 反之，当时， . 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 12．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案. 【详解】对于选项A，由图象可得，所以，A错误； 对于选项B，，，，故不是单调增函数，B错误； 对于选项C，由图象可得的定义域为，C错误； 对于选项D，由图象可得的值域为，D正确． 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．已知向量，．若，则 ． 【答案】 【分析】先求出的坐标，再由根据向量平行的坐标性质后可求出的值. 【详解】∵，，∴， 由得，解得，解得. 故答案为：. 14．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 【答案】3 【分析】根据平均数得到方程，求出，从而求出众数. 【详解】∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4， ∴，解得， 由于3出现了2次，其他数据均出现1次， ∴这组数据的众数是3 故答案为：3 15．已知正数满足，则取得最小值时， ． 【答案】 【分析】根据基本不等式，利用隐藏“1”的解题思路，可得答案. 【详解】由题意得，又， 所以 当且仅当 时，取“=”． 故答案为：． 16．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是 ． 【答案】 【分析】先根据条件确定圆锥的底面半径和高，根据锥体的体积公式求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为. 则由题意： ， 所以. 所以圆锥的体积为：. 故答案为：. 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．已知向量，且. (1)求; (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得； （2）根据数量积的定义即可求得. 【详解】（1）因为向量，所以， 由得， 解得，所以 又，所以 （2）设向量与向量的夹角为，因为， 所以 又，所以， 即向量与向量的夹角是 18．甲、乙、丙3名同学各自独立的求解某道数学题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【答案】(1)乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为 (2) 【分析】（1）设事件为“甲独立解出该题”，事件为“乙独立解出该题”，事件为“丙独立解出该题”，根据独立事件的概率公式可得，，，进而求解即可； （2）先求出甲、乙、丙3人都未解出该题的概率，再求解甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【详解】（1）设事件为“甲独立解出该题”，事件为“乙独立解出该题”，事件为“丙独立解出该题”， 则，，， 解得， 即乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为. （2）甲、乙、丙3人都未解出该题的概率为， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 19．如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. (1)证明：； (2)求五棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析； (2)19 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）先证明平面，得，，勾股定理得，从而底面，即为五棱锥的高，再结合棱锥的体积公式计算得答案； 【详解】（1）由，，，， 得，，又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 所以，，又，平面， 所以平面，又平面，故； （2），，， ，即平面，所以，， 且，所以，由（1）， 而是平面内的两条相交直线， 由此得底面，即为五棱锥的高，过点作.则， 20．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和（差）正弦公式化简得，再利用正弦函数的周期公式计算周期； （2）代入计算角，在利用三角形面积公式计算的出结果； 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期． （2）因为，所以． 因为是锐角三角形的内角，所以或（舍去）， 所以．又， 所以的面积． 21．已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1），. （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增. （3）由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03·参考答案 1．A 【分析】利用复数的乘方运算求出，再利用复模的运算即可得解. 【详解】复数，所以. 故选：A. 2．D 【分析】根据集合的并集运算，可得答案. 【详解】由，则. 故选：D. 3．D 【分析】根据命题真假性的定义逐一判断各个序号即可得解. 【详解】对于①,因为方程无实数根，所以①错误， 对于②，不是所有的直线都有斜率，例如直线就不存在斜率，故②正确； 对于③，任何向量的模都是非负数，故③错误； 对于④，每个等比数列中的所有项都是非零项，故④错误. 故选：D. 4．B 【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断；对于②，由线面平行的性质判断；对于③，由线面平行的判定定理判断；对于④，由线面平行的定义判断. 【详解】对于①，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，也可能与平面平行，①错误； 对于②，当直线 平面时，直线与平面内的直线平行或异面，②错误； 对于③，当直线直线，直线平面，则直线平面，或直线在平面内，③错误； 对于④，当直线平面时，则直线与平面无公共点，所以直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，④正确. 故选：B. 5．A 【分析】根据分段函数的定义域代入求值即可. 【详解】根据题意，得， 所以. 故选：. 6．A 【分析】根据锥体的体积公式运算求解即可. 【详解】因为正四棱锥的底面边长为2，高为2， 所以四棱锥的体积是. 故选：A. 7．D 【分析】将弦的齐次分式化弦为切，代值计算即得. 【详解】， 故选：D. 8．B 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理即可判断. 【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数， 又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是. 故选：B. 9．D 【分析】根据不等式的性质，结合举反例以及作差法，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，由，则，故A错误； 对于B，当时，由，则，故B错误； 对于C，当时，由，则，故C错误； 对于D，由，则，即，故D正确. 故选：D. 10．C 【分析】根据百分位数的计算即可判断A，根据极差的定义即可求解B，根据平均数的计算即可求解C，根据中位数的计算即可求解D. 【详解】A选项：，因此该组数据的第60百分位数为，故A正确； B选项：该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，故B正确； C选项：该组数据的平均数为，故C错误； D选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，故D正确， 故选：C. 11．C 【分析】主要利用正切函数的性质，即可解答本题. 【详解】当时， ； 反之，当时， . 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 12．D 【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案. 【详解】对于选项A，由图象可得，所以，A错误； 对于选项B，，，，故不是单调增函数，B错误； 对于选项C，由图象可得的定义域为，C错误； 对于选项D，由图象可得的值域为，D正确． 故选：D． 13． 【分析】先求出的坐标，再由根据向量平行的坐标性质后可求出的值. 【详解】∵，，∴， 由得，解得，解得. 故答案为：. 14．3 【分析】根据平均数得到方程，求出，从而求出众数. 【详解】∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4， ∴，解得， 由于3出现了2次，其他数据均出现1次， ∴这组数据的众数是3 故答案为：3 15． 【分析】根据基本不等式，利用隐藏“1”的解题思路，可得答案. 【详解】由题意得，又， 所以 当且仅当 时，取“=”． 故答案为：． 16． 【分析】先根据条件确定圆锥的底面半径和高，根据锥体的体积公式求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为. 则由题意： ， 所以. 所以圆锥的体积为：. 故答案为：. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得； （2）根据数量积的定义即可求得. 【详解】（1）因为向量，所以， 由得， 解得，所以 又，所以 （2）设向量与向量的夹角为，因为， 所以 又，所以， 即向量与向量的夹角是 18．(1)乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为 (2) 【分析】（1）设事件为“甲独立解出该题”，事件为“乙独立解出该题”，事件为“丙独立解出该题”，根据独立事件的概率公式可得，，，进而求解即可； （2）先求出甲、乙、丙3人都未解出该题的概率，再求解甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【详解】（1）设事件为“甲独立解出该题”，事件为“乙独立解出该题”，事件为“丙独立解出该题”， 则，，， 解得， 即乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为. （2）甲、乙、丙3人都未解出该题的概率为， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 19．(1)证明见解析； (2)19 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）先证明平面，得，，勾股定理得，从而底面，即为五棱锥的高，再结合棱锥的体积公式计算得答案； 【详解】（1）由，，，， 得，，又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 所以，，又，平面， 所以平面，又平面，故； （2），，， ，即平面，所以，， 且，所以，由（1）， 而是平面内的两条相交直线， 由此得底面，即为五棱锥的高，过点作.则， 20．(1) (2) 【分析】（1）根据两角和（差）正弦公式化简得，再利用正弦函数的周期公式计算周期； （2）代入计算角，在利用三角形面积公式计算的出结果； 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期． （2）因为，所以． 因为是锐角三角形的内角，所以或（舍去）， 所以．又， 所以的面积． 21．(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1），. （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增. （3）由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 仿真模拟卷 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( 13 ． _______________________ 14 ． _______________________ 15 ． _______________________ 16 ． _______________________ 17. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 10 分） 19. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （ 10 分） 21. （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$