第四章 数列（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第四章 数列（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是 ． 2．等差数列的前7项的和为，则 . 3．已知数列的前项和，则 . 4．已知数列满足，，则 . 5．等差数列的前项之和为，若，，则 ． 6．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 7．已知是公比为的等比数列，若，则 . 8．已知数列满足，，则的前10项和 . 9．已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 10．已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为 . 11．设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 12．任意实数a，b，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则= ； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．在等比数列中，，则（    ） A． B．2 C． D．1 14．已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式恒成立的是（  ） A． B． C． D． 16．数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分） 17．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 18．已知数列的前n项和为S，且有，数列满足，且，前11项和为220． (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 19．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知，.    (1)试写出，，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下； (2)这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切下能划分成段，由此求出数列的通项公式； (3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给个人.（已知） 20．已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 21．数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，； (1)若集合，求当时，的值； (2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中； (3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是 ． 【答案】 【分析】观察数列得到公差，再由等差基本量法求通项即可； 【解析】观察数列的前四项，后一项比前一项多4， 所以公差为4， 又首项为1，代入等差数列的通项公式可得 ， 所以数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是， 故答案为：. 2．等差数列的前7项的和为，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的前项公式有，再由解得答案． 【解析】设为等差数列的前项和， 因为等差数列的前7项的和为28， 所以由等差数列的前项公式有， 即，又因为，所以. 故答案为：4. 3．已知数列的前项和，则 . 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【解析】数列的前项和，所以. 故答案为：5 4．已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】由已知递推关系即可求解． 【解析】因为数列满足，， 所以， ， ， ． 故答案为： 5．等差数列的前项之和为，若，，则 ． 【答案】90 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答. 【解析】由得：，整理得，由得：，整理得， 而，即，于是得， 所以. 故答案为：90 6．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【解析】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 7．已知是公比为的等比数列，若，则 . 【答案】25 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【解析】因为 所以 故答案为：25 8．已知数列满足，，则的前10项和 . 【答案】75 【分析】根据题意分别求，进而求. 【解析】由题意可知：，，，， ，，，， ，， 所以的前10项和. 故答案为：75. 9．已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【解析】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 故答案为：. 10．已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，则，根据求出的值，可得出数列的通项公式，然后对任意的，计算出，即可得解. 【解析】设等差数列的公差为，则， 因为、、成等比数列，则，即， 即，因为，解得， 所以，， 所以，， 对任意的，， ，， ， 所以，， 因为，故数列的前项和为. 故答案为：. 11．设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】/ 【分析】由已知可设，，根据等差数列通项公式及对数运算公式可得，由，可得或，分别代入可得数列通项公式，进而可得解. 【解析】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 12．任意实数a，b，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则= ； 【答案】 【分析】根据定义可得函数的解析式．对等比数列的公比分三种情况讨论，再结合对数的运算性质即可求得数列的首项． 【解析】因为对任意实数a，b，定义 函数 数列是公比大于0的等比数列，且 ① 当时，因为 所以， 由等比数列通项公式可得，所以 整个数列为 因为 所以代入可得 即 由对数运算 所以化简后可得，即 所以 ②当时， 此时， 所以不成立 ③ 当时，，所以 整个数列为 所以， 因为 代入可得 即 由对数运算 所以化简后可得 因为当时，所以等式左边大于0，等式右边小于0，方程无解 综上所述， 故答案为 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及性质的综合应用，指数与对数的互换、对数的综合运算及求值，分类讨论思想的应用，计算量大，过程繁琐，需要很强的计算推理能力，属于难题． 二、单选题 13．在等比数列中，，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】利用等比中项化简计算即得解. 【解析】解：由题得. 故选：B 14．已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性. 【解析】充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，即数列是递增数列. “”是“数列是递增数列”的充分条件. 必要性：显然，当时，为递增数列. “”是“数列是递增数列”的不必要条件. 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 15．已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式恒成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项求出公比，再利用前n项和公式求出，然后逐项判断即得. 【解析】设等比数列的公比为，，由，得， 而，则，而，解得，有， 于是， 显然与不恒等，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B 16．数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】C 【分析】利用等比数列前n项和公式计算，再建立方程并判断①；求出等差数列的通项，再拆分成两个等差数列，结合等差数列前n项和建立方程判断②. 【解析】对于①，由等比数列，得， 若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题； 对于②，设等差数列的公差为，则. 令，，则， 下面证是“某数列”. 设的前项和为，则， 于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”. 同理，可证也是“某数列”. 所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题 17．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）求出等比数列的首项，可求得其通项公式，结合数列的单调性求解，即得答案. 【解析】（1）由题意设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 故； （2）由于等比数列的公比为，且满足， 而，则，故， 则， 又，则， 当时，显然成立， 由于随着n的增大而增大，随着n的增大而增大， 当时，，故时，无解， 故满足的所有正整数的值为. 18．已知数列的前n项和为S，且有，数列满足，且，前11项和为220． (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）先根据和的关系计算通项公式，再根据数列的递推公式证明为等差数列，结合已知条件计算公差，进而得通项公式； （2）利用裂项相消求数列的前n项和为，再适当变形即可证明. 【解析】（1），故当时，； 当时，，满足上式， 所以，. 又，， 数列为等差数列，令其前项和为，则， ， 公差， ，. （2）由（1）知：， 故， ； ． 19．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知，.    (1)试写出，，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下； (2)这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切下能划分成段，由此求出数列的通项公式； (3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给个人.（已知） 【答案】(1)，，图形见解析，最少要切下 (2) (3)，最多需要切4下 【分析】（1）根据题意，作出相应简图，从而分析得解； （2）根据题意分析得，从而利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解； （3）利用（2）中结论，分析得，进而利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解. 【解析】（1）如图：，，    可知，再作一条直线，使其与，，都相交于圆内，且与相交于圆上，可分为块，    故最少要切下. （2）记线段上个点将其划分成段，则， 为使得划分区域块尽可能多，每添加一条直线， 使其与前条直线，，，都相交于个不同的点， 则新增个区域块，即，且， 故. （3）记第刀所形成的切面所在平面为， 若切第刀，新增切面平面与前个平面，，，， 相交于条不同的直线，，，，， 这条不同的直线把划分的区块数即为新增的空间区块数， 由（2）可知为使此数最大，则，且， 故 ， 则，故此时最多切下即可. 20．已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）对于，得，两项相减即得到，从而利用等比数列通项公式求通项；对于数列，由等差数列通项公式求解即可； （2）由可知采用错位相减法求和； （3）求出的最大值为1，故，可得，分离参数得恒成立，故. 【解析】（1）数列的前项和为①， 当时，解得. 当时，②， ①－②得，整理得， 所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以. 数列满足，点在直线上. 所以（常数），所以. （2）， 所以①， ②， ①－②得， 整理得. （3）由（1）得， 所以， 所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1， 对所有的正整数都有都成立， 故，可得， 所以恒成立，只需满足，故， 故的取值范围为. 21．数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，； (1)若集合，求当时，的值； (2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中； (3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用的定义可得的值； （2）时，集合的中乘积由两部分构成，一部分是乘积中含，另一部分不含，从而可得之间的关系； （3）可先证明所有非空子集中各元素的乘积和为，从而可得． 【解析】（1）时，， ∴，，． （2）时，集合的中各乘积由两部分构成， 一部分是乘积中含因数，乘积的其他因数来自集合，故诸乘积和为； 另一部分不含，乘积的所有因数来自集合，故诸乘积的和为． 故． （3）我们先证明一个性质： 所有非空子集中各元素的乘积和为． 证明：考虑的展开式，该展开式共有项， 每一项均为各因式中选取或后的乘积（除去各项均选1）． 对于的任意非空子集， 该集合中各元素的乘积为的展开式中的某一项：即第个因式选择， ，其余的因式选择1， 注意到非空子集的个数为， 故的所有非空子集中各元素的乘积均在的展开式中恰好出现一次， ∴所有非空子集中各元素的乘积和为． 故对于， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$