精品解析：湖北省部分普通高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分 考试时间：2024年11月22日） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与轴平行，即可求解. 【详解】，直线与轴平行，故倾斜角为， 故选:A 2. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是（ ） A. 14.5 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】将这10个数据从小到大排列，根据，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将这10个数据从小到大排列得：， 因为，所以这10个数的分位数是. 故选：D. 3. 如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， . 故选：D 4. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数＝中位数＞众数 B. 图（2）的众数＜中位数＜平均数 C. 图（2）的平均数＜众数＜中位数 D. 图（3）的中位数＜平均数＜众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A错误； 图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故D错误. 故选：B. 5. 如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用距离公式即可得到答案. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系， 则,， 设平面的法向量为，则， 令得：，所以， 则点到平面的距离为， 故选：C. 6. 已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果. 【详解】因为，即，所以， 因为，即，所以， 所以. 故选：A. 7. 已知事件A，B满足，则 （ ） A. 若B⊆A，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则C与B相互对立 【答案】B 【解析】 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 8. 设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析所过的定点，然后根据时距离最大求出的方程，再结合直线位置关系，利用点斜式方程求解即可. 【详解】因为， 令，解得，所以过定点， 当到的距离最大时，， 理由如下： 当时，此时到的距离为， 当不垂直于时，过点作，显然在中，， 所以即为到的最大距离， 此时，所以，所以，即， 令，则，所以， 则过点且与直线垂直的直线方程为，即， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与相等 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用对立事件与相互独立事件的概念可判断A、B；求出概率可判断C、D. 【详解】由对立事件是在一次试验中，故A错误； ，为独立事件，B正确； 事件不是在一次试验中，事件不会相等，由， 可得C错误；D正确. 故选：BD． 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且可能垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可． 【解答】直线，直线， 对于选项A：在直线中，令，解得， 所以在轴上的截距为，故A正确； 对于选项B：因为直线的斜率， 即斜率存在，直线不垂直轴，故B错误， 对于选项C：若，则直线、均为， 即两直线重合，不平行，故C错误； 对于选项D：若，则，解得，故D正确． 故选：AD． 11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（ ） A. 若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则 B. 若点，都不在直线上，直线的方向向量是，若直线与异面且垂直，则 C. 若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点使得成立 D. 若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量共线即可求解A，根据垂直即可求解BCD. 【详解】对于A，由于为的方向向量，， 故存在实数使得，即可，因此，故A正确， 对于B, 与垂直,则，即，故B错误， 对于C,由于为平面的法向量，过作，即可得到，故C正确， 对于D，由于为平面的法向量， ，故，即，则，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的计算公式分析出结果. 【详解】因为， 所以， 由平方运算的特点可知，所以. 故答案为：. 13. 在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值________． 【答案】 【解析】 【分析】分别取为各边中点，连接，，且交于O，连接，首先证面面，转化为求与平面所成角余弦值，再利用线面、面面垂直的判定证面面，由线面角的定义有与平面所成角为或其补角，最后应用余弦定理求其余弦值. 【详解】如下图，分别取为各边中点，连接，，且交于O，连接， 由题设，易知， 由面，面，则面，同理可证面， 由，面，则面面， 所以与平面所成角，即为与平面所成角， 由，且等边中，，面， 所以面，面，则面面，面面， 故在面的投影在直线上，则与平面所成角为， 若正方体的棱长为1，则中，， 所以， 故与平面所成角，即与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，线段的垂直平分线分别交直线和直线于，两点．若，则点的横坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图示，分别求解出点的长度，由此可求，根据(为的倾斜角)求得结果. 【详解】因为，所以，又，所以， 又因为垂直平分，所以， 设的倾斜角为，所以，由可得， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 袋中有形状、大小都相同的编号为的只小球，从中随机摸出只小球，设事件：摸出或号小球，：摸出或号小球，：摸出或号小球． （1）求事件发生的概率． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式直接求得结果； （2）先分析事件包含的事件，然后可求其概率值，再根据的值求得结果. 【小问1详解】 样本空间为，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱，上的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角， （2）求两个平面的法向量，然后利用法向量即可求得面面角的余弦值． 【小问1详解】 以为原点，以的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 故 设直线与所成角为，则 【小问2详解】 因为，所以． 设平面的法向量为， 则， 令，得． 取平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 故， 即平面与平面夹角的正切值为． 17. 江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件） 质量指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数． （2）经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241．设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：） 【答案】（1）69 （2）可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 【解析】 【分析】（1）利用百分位数定义、计算公式直接求解． （2）根据定义先求出，，，，再利用频率分布表能求出结果． 【小问1详解】 设产品的某项质量指标值的70百分位数为， 则， 解得． 【小问2详解】 由，知， 则，， 该抽样数据落在内的频率约为， ，， 该抽样数据落在内的频率约为， 可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 18. 已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． （2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值. 【小问1详解】 当经过时，设，代入，所以，即， 当不经过时，设，代入，解得，即， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意设， 令，则，所以，令，则，所以， 所以，， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即(舍)时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最小值为. 19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． （1）求的长（用表示）； （2）为何值时，的长最小？ （3）当平面与平面夹角时．求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】． （1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标，直接由两点间的距离公式可得； （2）把（1）中求得利用配方法求最值； （3）求出两平面的法向量，根据面面夹角列方程求出参数，然后代入（1）可得． 【小问1详解】 因为，为正方形，所以， 又平面平面，所以， 如图建立空间直角坐标系， ，， ， ， 分别作，垂足分别为， 易知， 因为，由相似比可得， 所以， ． ； 【小问2详解】 ， 当时，最小，最小值为； 【小问3详解】 ， 设平面与平面的法向量分别为， 则， ， 令，得， 令，， 因为平面与平面夹角， 所以， 即，解得（增根已舍去）， 所以此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分 考试时间：2024年11月22日） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是（ ） A. 14.5 B. 15 C. 16 D. 17 3. 如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数＝中位数＞众数 B. 图（2）的众数＜中位数＜平均数 C. 图（2）的平均数＜众数＜中位数 D. 图（3）的中位数＜平均数＜众数 5. 如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 已知事件A，B满足，则 （ ） A. 若B⊆A，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则C与B相互对立 8. 设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与相等 D. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且可能垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（ ） A. 若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则 B. 若点，都不在直线上，直线的方向向量是，若直线与异面且垂直，则 C. 若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点使得成立 D. 若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______． 13. 在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值________． 14. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，线段的垂直平分线分别交直线和直线于，两点．若，则点的横坐标为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 袋中有形状、大小都相同的编号为的只小球，从中随机摸出只小球，设事件：摸出或号小球，：摸出或号小球，：摸出或号小球． （1）求事件发生的概率． （2）求的值． 16. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱，上的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的正切值． 17. 江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件） 质量指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数． （2）经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241．设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：） 18. 已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． （2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． （1）求的长（用表示）； （2）为何值时，的长最小？ （3）当平面与平面夹角时．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $