专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（江苏专用）

专题01 集合与常用逻辑用语 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 1 考点一：集合的含义与表示 3 考点二：集合间的基本关系 4 考点三：集合的基本运算 4 考点四：充分条件与必要条件 5 考点五：全称量词与存在量词 6 实战训练 7 明晰学考要求 集合的考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以选择题为主．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．充分必要条件的判断、含有一个量词的命题的否定是常用逻辑用语考查的重点，只需要根据推出关系即可判断充分必要条件；而写出一个含一个量词的命题的否定，只需要按先改变量词再否定结论的步骤解答即可. 基础知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的. ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，如集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.如集合和是同一个集合. （2）元素与集合的关系：属于（）或 不属于（）.如对于集合. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图. ①列举法： 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法. ②描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.注意集合的代表元素表示的不同含义，如集合表示数集，表示点集；表示函数的定义域，表示函数的值域. （4）常见数集的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 2、集合间的基本关系 （1）子集：集合中任意一个元素都是集合中的元素，则集合为集合的子集 ，即（或）. （2）真子集：若集合，但存在元素，且，则集合是集合的真子集，即（或）. ①元素与集合的关系用或表示，注意与两个集合间的关系相区分.如，，. ②是的必要不充分条件. （3）相等：且. 同时注意，对于两个有限集，利用两个集合的元素完全相同进行判断更直接. （4）空集的性质：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.列举一个集合的子集或求子集个数时，不要遗漏. 3、集合的基本运算 （1）交集：与的交集，记作，即． （2）并集：与的并集，记作，即．若两个集合包含相同元素，列举时，相同元素只取其中一个. （3）补集：集合的补集，记作，即． 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立，即. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立，即. ②存在量词命题的否定：. 6、常用结论 （1）若,则. （2）若，则,. （3）条件，条件,则是的充分不必要条件. （4）命题和的真假性相反. 考点精讲讲练 考点一：集合的含义与表示 【典型例题】 例题1．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例题3．已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法. 【即时演练】 1．图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，则（    ） A． B． C．4 D． 3．设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 考点二：集合间的基本关系 【典型例题】 例题1．设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 例题3．设集合，，若，则的取值范围是 . 两个有限集集相等，只需要令它们的元素分别相等；计算一个集合的子集个数时，不要遗漏. 【即时演练】 1．设集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知全集为U，，则下面的图形表示的关系正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点三：集合的基本运算 【典型例题】 例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即时演练】 1．集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点四：充分条件与必要条件 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．已知两条直线和平面，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 由条件p推出条件q,则p是q的充分条件，由q能推出p，则p是q的必要条件. 【即时演练】 1．“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要 3．已知平面，是与无公共点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五：全称量词与存在量词 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）命题：“”的否定是（    ） A． B． C． D． 例题2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 写全称量词命题的否定，先将改为，再将结论否定；写存在量词命题的否定，先将改为，再将结论否定. 【即时演练】 1．命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 实战能力训练 1．设集合，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5.已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，若有且仅有3个不同元素，则的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设命题，则p为（    ） A． B． C． D． 8． 已知，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知命题，，则命题的为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．设全集，集合，，则（    ）． A． B． C． D． 11．已知命题：，，则命题的否定为（    ）． A．， B．， C．， D．， 12．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 1 考点一：集合的含义与表示 3 考点二：集合间的基本关系 5 考点三：集合的基本运算 7 考点四：充分条件与必要条件 8 考点五：全称量词与存在量词 11 实战训练 13 明晰学考要求 集合的考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以选择题为主．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．充分必要条件的判断、含有一个量词的命题的否定是常用逻辑用语考查的重点，只需要根据推出关系即可判断充分必要条件；而写出一个含一个量词的命题的否定，只需要按先改变量词再否定结论的步骤解答即可. 基础知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的. ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，如集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.如集合和是同一个集合. （2）元素与集合的关系：属于（）或 不属于（）.如对于集合. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图. ①列举法： 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法. ②描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.注意集合的代表元素表示的不同含义，如集合表示数集，表示点集；表示函数的定义域，表示函数的值域. （4）常见数集的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 2、集合间的基本关系 （1）子集：集合中任意一个元素都是集合中的元素，则集合为集合的子集 ，即（或）. （2）真子集：若集合，但存在元素，且，则集合是集合的真子集，即（或）. ①元素与集合的关系用或表示，注意与两个集合间的关系相区分.如，，. ②是的必要不充分条件. （3）相等：且. 同时注意，对于两个有限集，利用两个集合的元素完全相同进行判断更直接. （4）空集的性质：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.列举一个集合的子集或求子集个数时，不要遗漏. 3、集合的基本运算 （1）交集：与的交集，记作，即． （2）并集：与的并集，记作，即．若两个集合包含相同元素，列举时，相同元素只取其中一个. （3）补集：集合的补集，记作，即． 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立，即. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立，即. ②存在量词命题的否定：. 6、常用结论 （1）若,则. （2）若，则,. （3）条件，条件,则是的充分不必要条件. （4）命题和的真假性相反. 考点精讲讲练 考点一：集合的含义与表示 【典型例题】 例题1．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】直接由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 例题2．已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】由列举法即可判断 【详解】，共有9个元素. 故选：B 例题3．已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析. 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解； （3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以为中元素， 故. （2）取，此时， 满足. （3）当时，不存在集合，使得. （反证法） 假设时，存在集合，使得， 不妨设，且， 则， 所以为中7个不同的元素， 所以， 由解得. 此时，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在这样的集合. 列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法. 【即时演练】 1．图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合的定义以及表示方法，即可求解. 【详解】阴影中有两个数字，分别是1，2所以表示的集合为. 故选：C 2.已知集合，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由元素与集合的关系即可求解. 【详解】, 故选：B. 3．设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由元素与集合的关系可知，故A错误； 对于选项B：由元素与集合的关系可知，故B正确； 对于选项C：由元素与集合的关系可知，故C错误； 对于选项D：由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：B 考点二：集合间的基本关系 【典型例题】 例题1．设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等直接得解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：D 例题2．已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、并集的概念及运算、判断元素与集合的关系、交集的概念及运算 【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，，故A、B、C正确，D错误； 故选：D 例题3．设集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据列出不等式即可求解. 【详解】因为，，，故只需即可满足题意. 故答案为：. 两个有限集集相等，只需要令它们的元素分别相等；计算一个集合的子集个数时，不要遗漏. 【即时演练】 1．设集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、解不含参数的一元二次不等式 【分析】对于，求出的解集，化为区间的形式，进而与进行比较，即可得答案． 【详解】对有，，对于，有，解可得，或； 则；所以，，. 故选：C． 2．已知全集为U，，则下面的图形表示的关系正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答. 【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意. 故选：A 考点三：集合的基本运算 【典型例题】 例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 例题2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据集合求并集. 【详解】， . 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算，得到元素个数. 【详解】，则，则中元素的个数为 故选：C 【即时演练】 1．集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2．已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：A 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由，， 则， 故选：B. 考点四：充分条件与必要条件 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】化简得,再根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】因为, 所以， 解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 例题3．已知两条直线和平面，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】利用空间直观想象与线面平行的判定定理，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】因为， 当时，与可能异面，即充分性不成立； 当时，由线面平行的判定定理可知，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 由条件p推出条件q,则p是q的充分条件，由q能推出p，则p是q的必要条件. 【即时演练】 1．“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数；即可选出答案. 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 2． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】若，则，充分性成立，取特殊值，当“”成立时，“”不一定成立，则可得答案. 【详解】若，则，充分性得证； 若，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知平面，是与无公共点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两个平面平行的性质，结合充要条件的定义即可求解. 【详解】若，则与无交点， 若与无交点，则， 故是与无公共点的充要条件， 故选：C 考点五：全称量词与存在量词 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）命题：“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“”的否定为：“”. 故选：C. 例题2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题否定的定义判断. 【详解】特称命题的否定是全称命题， 因此命题“”的否定是 故选：D. 写全称量词命题的否定，先将改为，再将结论否定；写存在量词命题的否定，先将改为，再将结论否定. 【即时演练】 1．命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是：，. 故选：D 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可作出判断. 【详解】由命题“，”的否定是“，”, 故选：C. 实战能力训练 1．设集合，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合A，再根据元素与集合、集合与集合的关系及子集的性质逐一判断. 【详解】，显然A正确；B不正确； 因为是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故C、D正确； 故选：B. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】集合，根据集合交集的运算，可得. 故选：A. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解一元二次不等式，再结合交集求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5.已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解. 【详解】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选： 6．已知集合，若有且仅有3个不同元素，则的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解． 【详解】因为集合， 若有且仅有3个不同元素，则这3个元素为3，2，1， 故，即．故可取1， 故选：A． 7．设命题，则p为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】该命题含有量词“”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题， 故p为：． 故选：B 8． 已知，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质、充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若“且”，则； 若“”，则可能，不能得到“且”. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．已知命题，，则命题的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据含有一个全称量词的否定的定义选择即可. 【详解】已知命题，， 则命的为,. 故选:A. 10．设全集，集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据并集的运算法则可求出，再由补集运算即可求出结果. 【详解】由，可得， 再由以及补集概念可知. 故选：D 11．已知命题：，，则命题的否定为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定为，. 故选：B 12．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常用数集或数集关系应用、交集的概念及运算 【分析】利用自然数集的定义与集合的基本运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 13．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据向量平行的坐标表示,可得,简单计算,可得结果. 【详解】∵，则，或. ∴当时，命题成立， 反之，当时，不一定成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选；A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$