专题09 统计与概率（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（广东专用）

专题09 统计与概率 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲精练 5 考点一：简单随机抽样与分层抽样 5 考点二：求几个数的数字特征及性质 7 考点三：频率分布直方图 8 考点四：频率分布直方图的数字特征 11 考点五：百分位数的估计 16 考点六：古典概型的计算 18 考点七：互斥事件与对立事件 19 考点八：事件的相互独立 20 考点九：利用频率估计概率 22 实战能力训练 24 明晰学考要求 1、理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法； 2、了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点； 3、理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差； 4、能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释； 5、会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想； 6、会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题； 7、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别； 8、了解两个互斥事件的概率加法公式； 9、理解古典概型及其概率计算公式； 10、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率； 11、理解事件的相互独立及乘法公式. 基础知识梳理 一、简单随机抽样及分层抽样 定义 设一个总体含有个个体，从中逐个不放回抽取个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 方法 抽签法 把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本 随机数法 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样 抽签法与随机数法 相同点 ①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②都是从总体中逐个不放回地进行抽取 不同点 ①抽签法比随机数法操作简单； ②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况 利用随机数法抽取个体时的注意事项： ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． ②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)． ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数． 分层抽样：①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． ②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比． 二、频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；第2步：决定组距与组数；第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表；第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). 2.频率分布直方图的性质：落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积和等于1. 三、数字特征 ①众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 ②极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． ③性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 四、百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 五、事件间的关系及运算 定义 符号表示 图示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等 A=B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或A·B) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 五、古典概型 1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么． 性质5：如果A⊆B，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有． 六、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 3、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 P()P() A，B恰有一个发生 P(A)P()＋P()P(B) A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 七、频率稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率P(A)． 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且. 考点精讲精练 考点一：简单随机抽样与分层抽样 （1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取，常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)． （2）分层随机抽样中有关计算的方法:①抽样比=； ②总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 【典型例题】 例1．（2021高二上·新疆·学业考试）从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取数学教师的人数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（2023高三上·广西·学业考试）一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 例3．（2023高二上·新疆·学业考试）对总数为的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则为（    ） A．150 B．120 C．100 D．40 例4．（2024高二下·福建·学业考试）已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 【即时演练】 1．下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 2．某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（    ） A．150 B．180 C．200 D．250 3．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 . 类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类 种数 40 10 30 20 4．要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 考点二：求几个数的数字特征及性质 【典型例题】 例1．（2023高二下·浙江温州·学业考试）某地区连续六天的最低气温（单位：）为：，若该六天最低气温的平均数和众数分别为，则 ． 例2．（2024高二上·新疆·学业考试）数据的平均数为8，数据的平均数为.如果满足，，…，，则 . 例3．（2024高二下·浙江·学业考试）若一组数据的方差是5，则数据的方差是 ． 例4．（2024高二下·湖南·学业考试）两名射击运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：环）： 甲 8 9 10 9 7 9 9 10 9 10 乙 9 10 8 10 9 9 10 9 6 10 则甲的样本方差 乙的样本方差，可以估计 运动员的成绩更加稳定．（前面一空选填“大于”或“小于”，后面一空选填“甲”或“乙”） 【即时演练】 1．若一组数据为1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，则这组数据的众数为 . 2．国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 3．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为 ． 4．已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则 . 考点三：频率分布直方图 （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. 【典型例题】 例1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（    ） A．300 B．360 C．400 D．480 例2．（2024高二下·云南·学业考试）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人. 例3．（2024高二下·天津南开·学业考试）为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分为5组，即，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示．若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取n人做采访，其中年龄在中被抽取的人数为7，则 ． 例4．（2023高二上·山西·学业考试）某高校为了解学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想主题教育的学习情况，对全体党员进行了党史知识测试，从中随机抽取200名党员的测试成绩，进行适当分组（每组为左闭右开的区间），整理得到如下的频率分布直方图，则成绩在内的频率为 ． 【即时演练】 1．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 2．从某高中高三年级1000名随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：，，，，，，绘制了频率分布直方图如图所示，按此图估计，则高三年级全体学生中，成绩在区间内的学生有（    ） A．600名 B．650名 C．60名 D．65名 3．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数 .这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为 . 4．某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍.    (1)求和的值； (2)若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？ 考点四：频率分布直方图的数字特征 用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: （1）众数：最高小长方形底边中点的横坐标； （2）中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 【典型例题】 例1．（2023高二下·浙江温州·学业考试）某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）    A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 例2．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）为了解某地儿童生长发育情况，抽查了100名3周岁女童的身高，将统计结果绘制成频率分布直方图如图，则可以估计这100名女童身高的平均值为 cm.    例3．（2012高一下·江苏淮安·学业考试）为了了解某校女生视力情况，某中学对女生视力进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下： 组别 频数 频率 1 0.02 4 0.08 20 0.40 15 0.30 8 0.16 m n 合计 M N (1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？ (2)将频率分布直方图补充完整； (3)利用组中值计算女生视力的平均值. 例4．（2023高一·全国·学业考试）某市司法部门为了宣传《中华人民共和国宪法》举办法律知识问答活动，从该市岁的人群中随机抽取一个容量为的样本，并将样本按年龄分成五组：、、、、，再将其按从左到右的顺序分别编号为第组，第组，，第组，绘制了样本的频率分布直方图．对回答问题的情况进行统计后，结果如下表所示． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第组 第组 第组 第组 第组 (1)分别求出、的值； (2)从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则第、、组各应抽取多少人？ (3)根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数． 【即时演练】 1．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最少 B．成绩不低于80分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的极差为50 D．50名学生成绩的平均分小于中位数 2．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 3．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名，将其物理成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如图所示的频率分布直方图. 观察图中的信息，设估计这次考试的物理成绩的平均分为和中位数，则与大小关系是 （用“或或”作答） 4．某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的众数和平均数. 考点五：百分位数的估计 （1）求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列； （2）根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 【典型例题】 例1．（2022高二下·安徽马鞍山·学业考试）高二年级某班甲同学自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101 计算出学生甲的第25，50百分位数（    ） A．86，98 B．85，98.5 C．85，97.5 D．86，99 例2．（2020高二下·山东·学业考试）一组数据：，其中为正整数，且．若该组数据的分位数为，则该组数据的众数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 例3．（2022高二下·河北·学业考试）某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是（    ）    A．87 B．88 C．89 D．90 例4．（2023高二·安徽·学业考试）某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据（   ） A．中位数为 B．众数为 C．百分位数为3 D．平均数为 2．某市九月份30天的空气质量指数如下： 54    51    53    62    52    52    50    58    61    60 63    62    59    57    58    17    18    30    29    31 40    55    84    73    44    70    67    44    46    84 则将该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列，其分位数是（    ） A．61 B．62 C．61.5 D．62.5 3．某省教育厅对全省高三学生采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加化学，物理和英语三大学科的抽样考试，目的是为了更好地应对新高考的改革来调整日常教学同时检查各个学校的教学成果，考试结束后对这1000名同学的化学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则这些同学化学成绩的上四分位数约为（    ） A．79.5分 B．82.5分 C．81分 D．82分 4．某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是（    ）    A．29分钟 B．27分钟 C．29.5分钟 D．30.5分钟 考点六：古典概型的计算 （1）判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性； （2）计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 【典型例题】 例1．（2024高二下·福建·学业考试）某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（2022高二下·河北·学业考试）从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 例3．（2022高二下·河北·学业考试）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 例4．（2021高二上·新疆·学业考试）同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求： (1)点数之和是7的概率； (2)点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率． 【即时演练】 1．从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 2．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 3．某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 4．人类四种血型与基因类型的对应关系为：O型对应基因类型ii，A型对应基因类型ai或aa，B型对应基因类型bi或bb，AB型对应基因类型ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则其子女的血型中最可能出现的是 型，概率值为 ． 考点七：互斥事件与对立事件 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合；②若事件件与对立,则集合且. 【典型例题】 例1．（2021高二·湖北·学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（    ） A．三次均未中靶 B．只有两次中靶 C．只有一次中靶 D．三次都中靶 例2．（2023高三·广东·学业考试）某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（    ） A．至多投中一次 B．两次都投中 C．只投中一次 D．两次都没投中 例3．（2023高三·上海·学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（    ） A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4 例4．（2024高二下·浙江·学业考试）已知是互斥事件，且，则 . 【即时演练】 1．已知随机事件，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 2．一名射击爱好者击中目标的概率是不能击中目标概率的3倍，设表示其击中目标的次数，若他射击一次，则的值是（    ） A．0.33 B． C．0.75 D． 3．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（    ） A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上 C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上 考点八：事件的相互独立 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别是与．甲、乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·云南·学业考试）甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 例3．（2024高二下·湖南·学业考试）某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 例4．（2023高二下·辽宁·学业考试）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 【即时演练】 1．某大学选拔新生进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.假设某新生通过考核选拔进入“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为 . 4．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 考点九：利用频率估计概率 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 例2．（2024高二下·湖南·学业考试）抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 例3．（2023高二上·新疆·学业考试）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 例4．（2021高三下·河北·学业考试）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【即时演练】 1．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 2．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 3．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为 ; 4．盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 实战能力训练 1．某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 2．某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（    ） A．29 B．30 C．30.5 D．31 3．对某种电子元件的使用寿命（单位：h）跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的为（    ） A．500 h B．450 h C．350 h D．550 h 4．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 5．在三子棋游戏（规则同五子棋，三子连成一线即可获胜）中，两个未经训练的人工智能依次随机等可能地投放棋子（用A和B表示，A先下），某时刻战况如图，则A能获胜的概率为（    ） A B A B B A A． B． C． D． 6．若三个事件A、B、C两两互斥，，，，则等于（    ） A．0.1； B．0.5； C．0.9； D．1． 7．6G指的是第六代移动通信技术，6G通信广泛支持以人为中心的通信概念，某公司研发6G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为 ． 8．为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为 ． 9．若样本数据的方差为16，则数据的标准差为 . 10．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表： 最高水位范围（米） <10 [14，16） ≥16 频率 0.1 0.28 0.38 0．16 0.08 若当最高水位低于14米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是 . 11．2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； (2)求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 12．某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：）进行统计，所得数据都在内，按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值； (2)估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数； (3)若这批鱼有条，估计这批鱼中重量在内的数量． 13．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． (1)求； (2)求事件“且甲获胜”的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 统计与概率 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲精练 6 考点一：简单随机抽样与分层抽样 6 考点二：求几个数的数字特征及性质 8 考点三：频率分布直方图 10 考点四：频率分布直方图的数字特征 15 考点五：百分位数的估计 22 考点六：古典概型的计算 27 考点七：互斥事件与对立事件 31 考点八：事件的相互独立 33 考点九：利用频率估计概率 37 实战能力训练 40 明晰学考要求 1、理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法； 2、了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点； 3、理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差； 4、能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释； 5、会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想； 6、会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题； 7、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别； 8、了解两个互斥事件的概率加法公式； 9、理解古典概型及其概率计算公式； 10、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率； 11、理解事件的相互独立及乘法公式. 基础知识梳理 一、简单随机抽样及分层抽样 定义 设一个总体含有个个体，从中逐个不放回抽取个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 方法 抽签法 把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本 随机数法 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样 抽签法与随机数法 相同点 ①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②都是从总体中逐个不放回地进行抽取 不同点 ①抽签法比随机数法操作简单； ②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况 利用随机数法抽取个体时的注意事项： ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． ②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)． ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数． 分层抽样：①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． ②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比． 二、频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；第2步：决定组距与组数；第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表；第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). 2.频率分布直方图的性质：落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积和等于1. 三、数字特征 ①众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 ②极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． ③性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 四、百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 五、事件间的关系及运算 定义 符号表示 图示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等 A=B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或A·B) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 五、古典概型 1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么． 性质5：如果A⊆B，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有． 六、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 3、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 P()P() A，B恰有一个发生 P(A)P()＋P()P(B) A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 七、频率稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率P(A)． 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且. 考点精讲精练 考点一：简单随机抽样与分层抽样 （1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取，常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)． （2）分层随机抽样中有关计算的方法:①抽样比=； ②总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 【典型例题】 例1．（2021高二上·新疆·学业考试）从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取数学教师的人数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中， 用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本， 则应抽取的数学教师人数是人. 故选：C. 例2．（2023高三上·广西·学业考试）一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【详解】总人数有, 抽样比例为, 所以女运动员应抽取人. 故选：B. 例3．（2023高二上·新疆·学业考试）对总数为的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则为（    ） A．150 B．120 C．100 D．40 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，解得. 故选：C. 例4．（2024高二下·福建·学业考试）已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 【答案】 【详解】男生的分层比为，故人中男生的人数为， 故答案为：. 【即时演练】 1．下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①不是逐个抽取，③不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，②④是简单随机抽样. 故选：B. 2．某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（    ） A．150 B．180 C．200 D．250 【答案】C 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 3．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 . 类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类 种数 40 10 30 20 【答案】6 【详解】由已知可得抽样比为：， 所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为. 故答案为：6 4．要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】 【详解】由随机数表法可知，抽取的前颗种子的编号依次为：、、、， 故抽到的第颗种子的编号是. 故答案为：. 考点二：求几个数的数字特征及性质 【典型例题】 例1．（2023高二下·浙江温州·学业考试）某地区连续六天的最低气温（单位：）为：，若该六天最低气温的平均数和众数分别为，则 ． 【答案】 【详解】依题意，得，， 所以. 故答案为：. 例2．（2024高二上·新疆·学业考试）数据的平均数为8，数据的平均数为.如果满足，，…，，则 . 【答案】26 【详解】根据平均数性质知. 故答案为：26. 例3．（2024高二下·浙江·学业考试）若一组数据的方差是5，则数据的方差是 ． 【答案】45 【详解】若数据的方差为， 则数据的方差为， 所以当数据的方差是5时， 可得数据的方差是， 故答案为：. 例4．（2024高二下·湖南·学业考试）两名射击运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：环）： 甲 8 9 10 9 7 9 9 10 9 10 乙 9 10 8 10 9 9 10 9 6 10 则甲的样本方差 乙的样本方差，可以估计 运动员的成绩更加稳定．（前面一空选填“大于”或“小于”，后面一空选填“甲”或“乙”） 【答案】 小于 甲 【详解】甲成绩的平均数， 方差， 乙成绩的平均数， 方差， 由以上数据可知，甲的方差小于乙的方差，甲运动员的成绩更稳定. 故答案为：小于；甲 【即时演练】 1．若一组数据为1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，则这组数据的众数为 . 【答案】3 【详解】这组数据中，3出现的频数最大， 所以这组数据的众数为3. 故答案为： 2．国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【详解】将成绩（除了）从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10， 结合选项，只有时，这8次射击成绩的中位数. 故选：D. 3．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为 ． 【答案】65 【详解】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以， 由，得， 则， 可得：. 故答案为：65. 4．已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则 . 【答案】 19 8 【详解】因为的平均数为，方差为， 所以，的平均数为, 方差为. 故答案为：19；8. 考点三：频率分布直方图 （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. 【典型例题】 例1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（    ） A．300 B．360 C．400 D．480 【答案】A 【详解】依题意知的频率为， 故， 故选：A. 例2．（2024高二下·云南·学业考试）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人. 【答案】68 【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：68 例3．（2024高二下·天津南开·学业考试）为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分为5组，即，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示．若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取n人做采访，其中年龄在中被抽取的人数为7，则 ． 【答案】20 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 年龄在对应的频率为，所以. 故答案为：20. 例4．（2023高二上·山西·学业考试）某高校为了解学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想主题教育的学习情况，对全体党员进行了党史知识测试，从中随机抽取200名党员的测试成绩，进行适当分组（每组为左闭右开的区间），整理得到如下的频率分布直方图，则成绩在内的频率为 ． 【答案】/ 【详解】由频率分布直方图知：，， 则成绩在内的频率为 故答案为：. 【即时演练】 1．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 【答案】C 【详解】设竞拍人员总数为，由解得； 第三组的频数为 报价低于5万元的人数为， 报价不低于5万元得人数为人. 故选：C. 2．从某高中高三年级1000名随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：，，，，，，绘制了频率分布直方图如图所示，按此图估计，则高三年级全体学生中，成绩在区间内的学生有（    ） A．600名 B．650名 C．60名 D．65名 【答案】B 【详解】由题意可知每组的频率依次为：， 可知成绩在区间内的频率为，人数为. 故选：B. 3．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数 .这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为 . 【答案】 / 【详解】根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1， 所以，得， 阅读时间不少于小时的人数为. 故答案为：①，②. 4．某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍.    (1)求和的值； (2)若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？ 【答案】(1) (2)，人 【详解】（1）由题意得， 解得； （2）由图可知，超过分的组的频率分别为，，， 故优秀率为， 则全市优秀学生的人数约为（人）. 考点四：频率分布直方图的数字特征 用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: （1）众数：最高小长方形底边中点的横坐标； （2）中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 【典型例题】 例1．（2023高二下·浙江温州·学业考试）某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）    A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 【答案】D 【详解】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、， A：平均天数为天，故A错误； B：由上述频率知，则众数位于之间，则众数取中间值17.5，故B错误； C：人，故C错误； D：由、、频率和为，若中位数为x， 则，可得，故D正确； 故选：D. 例2．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）为了解某地儿童生长发育情况，抽查了100名3周岁女童的身高，将统计结果绘制成频率分布直方图如图，则可以估计这100名女童身高的平均值为 cm.    【答案】 【详解】依题意可得女童身高的平均值为 (cm). 故答案为： 例3．（2012高一下·江苏淮安·学业考试）为了了解某校女生视力情况，某中学对女生视力进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下： 组别 频数 频率 1 0.02 4 0.08 20 0.40 15 0.30 8 0.16 m n 合计 M N (1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？ (2)将频率分布直方图补充完整； (3)利用组中值计算女生视力的平均值. 【答案】(1)，，， (2)直方图见解析 (3) 【详解】（1）由数据组的频数为1，频率为，则，得， ， 所以，. （2）根据题意，变量落在区间的频率为，则该组对应矩形块的高为，同理，组对应矩形块的高为，补全直方图如下： （3）根据题意，女生视力的平均值为 . 例4．（2023高一·全国·学业考试）某市司法部门为了宣传《中华人民共和国宪法》举办法律知识问答活动，从该市岁的人群中随机抽取一个容量为的样本，并将样本按年龄分成五组：、、、、，再将其按从左到右的顺序分别编号为第组，第组，，第组，绘制了样本的频率分布直方图．对回答问题的情况进行统计后，结果如下表所示． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第组 第组 第组 第组 第组 (1)分别求出、的值； (2)从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则第、、组各应抽取多少人？ (3)根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数． 【答案】(1)； (2)第、、组各应抽取人、人、人 (3) 【详解】（1）解：第组人数为，所以． 第组频率为，人数为，所以． 第组人数为，所以． （2）解：第、、组回答正确的人数的比为， 从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则从第、、组各应抽取人、人、人． （3）解：设中位数为，前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为，所以，中位数在内， 由，可得． 所以抽取的样本数据的中位数约为． 【即时演练】 1．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最少 B．成绩不低于80分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的极差为50 D．50名学生成绩的平均分小于中位数 【答案】C 【详解】设这一组的频率为，则由各组频率之和为1， 得，解得， 各组频率依次为：， 对于A，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，A正确； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B正确； 对于C，极差为数据中最大值与最小值的差，而50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是，则极差小于等于，但不一定等于50，C错误； 对于D，根据频率分布直方图，得50名学生成绩的平均数是 ，而50名学生成绩的中位数为80， 因此50名学生成绩的平均分小于中位数，D正确. 故选：C 2．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【详解】由频率分布直方图得，解得，故正确； 频率最大的组为第二组，中间值为，所以众数为45，故正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，故错误； 由于质量指标在之间的频率之和为， 可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故正确； 故选：. 3．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名，将其物理成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如图所示的频率分布直方图. 观察图中的信息，设估计这次考试的物理成绩的平均分为和中位数，则与大小关系是 （用“或或”作答） 【答案】 【详解】物理成绩在对应的频率为， 物理成绩在对应的频率为， 中位数在之间，，； 又平均数， . 故答案为：. 4．某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的众数和平均数. 【答案】(1) (2)75；76.2 【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得. （2）由频率分布直方图，众数为：； 这100名学生语文成绩的平均数为： . 考点五：百分位数的估计 （1）求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列； （2）根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 【典型例题】 例1．（2022高二下·安徽马鞍山·学业考试）高二年级某班甲同学自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101 计算出学生甲的第25，50百分位数（    ） A．86，98 B．85，98.5 C．85，97.5 D．86，99 【答案】A 【详解】首先将数据从小到大排列好， ， 由，所以第25百分位数为第四个数； 由，所以第50百分位数为第七个数. 故选：A. 例2．（2020高二下·山东·学业考试）一组数据：，其中为正整数，且．若该组数据的分位数为，则该组数据的众数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】，故分位数为第4个数和第5个数的平均数，不妨设， ①若，则，解得，，众数为； ②若，则中位数大于或等于，不成立； ③若，则中位数，不成立； 综上所述：，，众数为； 故选：A. 例3．（2022高二下·河北·学业考试）某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是（    ）    A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】B 【详解】，解得， 前三组数据的频率之和为， 前四组数据的频率之和为， 故该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数落在第四组数据内， 设第80百分位数为， 则，解得， 该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是88. 故选：B 例4．（2023高二·安徽·学业考试）某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数据在的概率为， 数据在的概率为， 故样本数据的第25百分位数所在的区间为， 故选：B 【即时演练】 1．已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据（   ） A．中位数为 B．众数为 C．百分位数为3 D．平均数为 【答案】C 【详解】将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共个数， 中位数为，A选项错误， 出现最多的是和，均出现次，故众数为2和3，B选项错误， ，故分位数为，C选项正确， 平均数为，D选项错误； 故选：C. 2．某市九月份30天的空气质量指数如下： 54    51    53    62    52    52    50    58    61    60 63    62    59    57    58    17    18    30    29    31 40    55    84    73    44    70    67    44    46    84 则将该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列，其分位数是（    ） A．61 B．62 C．61.5 D．62.5 【答案】D 【详解】因为， 其中该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列第个数为，第个数为， 所以分位数是. 故选：D 3．某省教育厅对全省高三学生采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加化学，物理和英语三大学科的抽样考试，目的是为了更好地应对新高考的改革来调整日常教学同时检查各个学校的教学成果，考试结束后对这1000名同学的化学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则这些同学化学成绩的上四分位数约为（    ） A．79.5分 B．82.5分 C．81分 D．82分 【答案】B 【详解】上四分位数即第75百分位数， 由频率分布直方图知，分数在内的频率为， 在）内的频率为， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为． 故选:B． 4．某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是（    ）    A．29分钟 B．27分钟 C．29.5分钟 D．30.5分钟 【答案】B 【详解】健身运动时间在30分钟以下的比例为， 在25分钟以下的比例为，因此百分位数一定位于内， 由，可以估计健身运动时间的样本数据的百分位数是27分钟． 故选：B 考点六：古典概型的计算 （1）判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性； （2）计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 【典型例题】 例1．（2024高二下·福建·学业考试）某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，从7门中选一门，选到田径的概率为. 故选：C. 例2．（2022高二下·河北·学业考试）从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【详解】从长度为的5条线段中任取3条， 则可能结果有，，，，，，，，，共种情况， 其中满足这三条线段为边能构成一个三角形的有，，共种情况， 所以以这三条线段为边能构成一个三角形的概率. 故选：B 例3．（2022高二下·河北·学业考试）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是. 故选：A 例4．（2021高二上·新疆·学业考试）同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求： (1)点数之和是7的概率； (2)点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √ 2 ╳ ╳ ╳ ╳ √ ╳ 3 ╳ ╳ ╳ √ ╳ ╳ 4 ╳ ╳ √ ╳ ╳ ╳ 5 ╳ √ ╳ ╳ ╳ ╳ 6 √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 设样本空间为，则， 记“点数之和是7”为事件A，可知， 所以. （2）列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 记“点数中恰有一个奇数和一个偶数”为事件B，可知， 所以. 【即时演练】 1．从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记三名男生为A，B，C，两名女生为1，2， 任意选出两人的样本空间为，，共10个样本点， 恰好一男生和一女生的样本点有6个， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为. 故选：B. 2．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张， 有，，，，，，，，，，，，，，共15种取法， 其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，共9种情况， 则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率. 故选：C. 3．某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】； 故选：C. 4．人类四种血型与基因类型的对应关系为：O型对应基因类型ii，A型对应基因类型ai或aa，B型对应基因类型bi或bb，AB型对应基因类型ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则其子女的血型中最可能出现的是 型，概率值为 ． 【答案】 AB 【详解】因为A型对应基因类型ai或aa，B型对应基因类型bi或bb， 所以这对夫妻子女血型的基因类型有： 父母血型的基因组合 子女血型的基因类型 aibi ab ai bi ii aibb ab ab bi bi aabi ab ai ab ai aabb ab ab ab ab 以上种情况是等可能得，构成了该事件的样本空间， 其中基本事件，即基因类型ab共有个， 所以子女的血型中概率最大的是AB型，其概率为. 故答案为：AB； 考点七：互斥事件与对立事件 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合；②若事件件与对立,则集合且. 【典型例题】 例1．（2021高二·湖北·学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（    ） A．三次均未中靶 B．只有两次中靶 C．只有一次中靶 D．三次都中靶 【答案】A 【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”， 事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”， 所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥， 事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误； 故选：A. 例2．（2023高三·广东·学业考试）某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（    ） A．至多投中一次 B．两次都投中 C．只投中一次 D．两次都没投中 【答案】D 【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中，因此选项D正确． 故选：D． 例3．（2023高三·上海·学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（    ） A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4 【答案】D 【详解】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1. 所以在一次射击中不够8环的概率为， 故选：D 例4．（2024高二下·浙江·学业考试）已知是互斥事件，且，则 . 【答案】 【详解】根据概率的基本性质，若是互斥事件，则. 故答案为： 【即时演练】 1．已知随机事件，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， ∴， 故选：B. 2．一名射击爱好者击中目标的概率是不能击中目标概率的3倍，设表示其击中目标的次数，若他射击一次，则的值是（    ） A．0.33 B． C．0.75 D． 【答案】C 【详解】设击中目标的概率为，则不能击中目标概率是， 由题， 所以若他射击一次，则. 故选：C. 3．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（    ） A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上 C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上 【答案】C 【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”. 故选：C. 考点八：事件的相互独立 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别是与．甲、乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据独立事件的乘法公式得甲、乙两人投球都命中的概率为. 故选：A. 例2．（2024高二下·云南·学业考试）甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 【答案】(1)0.56 (2)0.94 【详解】（1）甲､乙两人都命中的概率为； （2）甲､乙两人均未命中的概率为， 故甲､乙两人至少有一人命中的概率为. 例3．（2024高二下·湖南·学业考试）某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 【答案】(1)8环 (2) (3) 【详解】（1）根据频数分布图得该名运动员100次射靶中，射中8环的频数最多， 则这名运动员射击成绩的众数为8环. （2）由题意，该运动员在100次训练中，射中9环的频数为25， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中9环的概率为. （3）由题意，该运动员在100次训练中，射中大于8环的频数为， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中大于8环的概率为， 则根据独立事件的乘法公式得他两次命中环数都大于8环的概率为. 例4．（2023高二下·辽宁·学业考试）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则 事件，，相互独立，且，，. 因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰， 所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 . （2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥. 所以该选手至多进入第二轮考核的概率为 . 【即时演练】 1．某大学选拔新生进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.假设某新生通过考核选拔进入“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立， 所以由题意得，解得. 故选：A. 2．某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为： 该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢， 则概率为； 故选：C. 3．甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为 . 【答案】/0.375 【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立， 所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为 故答案为： 4．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 考点九：利用频率估计概率 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 例2．（2024高二下·湖南·学业考试）抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 【答案】D 【详解】对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上，”四种情况， 故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误； 对于B，每次抛掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，故事件A发生的次数可以是中的任何一个，故B错误； 对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误； 对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确. 故选：D. 例3．（2023高二上·新疆·学业考试）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 例4．（2021高三下·河北·学业考试）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【详解】从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在之间的瓶数为7，频率为， 由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在之间的概率为. 故选：D 【即时演练】 1．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 2．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 3．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为 ; 【答案】/0.552 【详解】由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为 故答案为： 4．盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【答案】 【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为： 实战能力训练 1．某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 【答案】D 【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人. 故选：D. 2．某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（    ） A．29 B．30 C．30.5 D．31 【答案】B 【详解】将这12个数据从小到大排列为， ，所以排列后的第8个数即为第60百分位数：16， 中位数为，故所求为：. 故选：B. 3．对某种电子元件的使用寿命（单位：h）跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的为（    ） A．500 h B．450 h C．350 h D．550 h 【答案】A 【详解】由频率分布直方图可知电子元件寿命小于的频率为， 所以这一批电子元件中寿命的为． 故选：A 4．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】A 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以， 所以事件与事件是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A. 5．在三子棋游戏（规则同五子棋，三子连成一线即可获胜）中，两个未经训练的人工智能依次随机等可能地投放棋子（用A和B表示，A先下），某时刻战况如图，则A能获胜的概率为（    ） A B A B B A A． B． C． D． 【答案】B 【详解】1. A B A B B A A ； 2. A B A B A B A ； 3. A B A B B A A ； 故所求概率为. 故选：B. 6．若三个事件A、B、C两两互斥，，，，则等于（    ） A．0.1； B．0.5； C．0.9； D．1． 【答案】C 【详解】由可得, 因事件A、B、C两两互斥，故. 故选：C. 7．6G指的是第六代移动通信技术，6G通信广泛支持以人为中心的通信概念，某公司研发6G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，该公司攻克这项技术难题的概率为. 故答案为：. 8．为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为 ． 【答案】/ 【详解】由图可知，的频率为； 的频率为 所以不小于分的频率为 以频率估计概率，这次测验的优秀率为 故答案为：0.56 9．若样本数据的方差为16，则数据的标准差为 . 【答案】 【详解】设样本数据的方差为，则，可知数据的方差为，所以标准差为8. 故答案为：8. 10．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表： 最高水位范围（米） <10 [14，16） ≥16 频率 0.1 0.28 0.38 0．16 0.08 若当最高水位低于14米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是 . 【答案】0.76 【详解】由表格得：出现“安全水位”的频率是 故答案为：0.76 11．2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； (2)求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为， 则样本空间，共有10个样本点． （2）设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”， 则， 中包含9个样本点，故． 12．某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：）进行统计，所得数据都在内，按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值； (2)估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数； (3)若这批鱼有条，估计这批鱼中重量在内的数量． 【答案】(1) (2)中位数为 (3)条 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得； （2）设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为， 因为，， 所以， 则，解得， 即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为； （3）由频率分布直方图可知这批鱼中重量在内的频率是， 则这批鱼中重量在内的数量是条. 13．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． (1)求； (2)求事件“且甲获胜”的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此. （2）“且甲获胜”，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得分，后两球均为甲得分． 因此事件“X＝4且甲获胜”的概率为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 $$