专题02 等式与不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题02 等式与不等式 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 4 考点一：等式的性质与方程的解 4 考点二：一元二次方程及其根与系数的关系 5 考点三：一元一次不等式（组）的解与不等式性质 6 考点四：一元二次不等式的解 7 考点五：分式不等式的解 9 考点六：绝对值不等式的解 9 考点七：平均值不等式 10 考点八：三角不等式 11 实战训练 13 明晰学考要求 本章节，不等式的性质，一元二次不等式、分式不等式与绝对值不等式的求解，平均值不等式求最值都是常考的考点，2022~2024年春考中，不等式的性质3年2考，不等式的解法3年2考，平均值不等式3年3考。 基础知识梳理 1．等式的性质与方程的解集 （1）用等号“＝”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式． （2）等式的传递性：设a，b，c均为实数，如果a=b且b=c，那么 a=c ; 等式的加法性质：设a，b，c均为实数，如果a=b,那么 a+c=b+c ; 等式的乘法性质：设a，b，c均为实数，如果a=b,那么 ac=bc 。 （3） 含有未知数的等式被称为方程．使得方程左右两边相等的未知数的值，称为 方程的解 。 以方程的所有解为元素组成的集合称为 方程的解集 。 （4）方程的解和未知数取值范围有关，同一方程在未知数的不同取值范围内求解，其解 不一定 相同. 2．一元二次方程的解集及根与系数的关系 （1）一元二次方程的解习惯上叫做该方程的 根 ．如果一元二次方程的两个根相等，那么这两个根叫做 重根 ，它在解集中只能出现一次. （2）如果一元二次方程的两个根为，则 3．不等式的性质 （1）大于号“＞”、小于号“＜”、大于等于号“≥”，小于等于号“≤”都称为 不等号 .用不等号将两个表达式连接起来、就得到一个不等式 . （2）不等式的传递性：设a，b，c均为实数，如果a>b且b>c，那么 a>c 不等式的加法性质：设a，b，c均为实数，如果a>b，那么 a+c>b+c 不等式的乘法性质：设a，b，c均为实数，如果a>b且c>0，那么ac>bc，如果a>b且c<0，那么 ac<bc （3）对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当 a=b 时成立. （4）从不等式的基本性质出发，可以得到下面的推论 推论1. 同向可加性： 推论2. 推论3. 推论4. 推论5. 推论6. 推论7. 4．不等式（组）的求解 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的 解集 .求不等式的解集的过程称为不等式的求解或解不等式.将含有相同未知数的多个不等式联立起来就得到不等式组.解不等式组就是求不等式组中所有不等式的解集的交集 . 5．一元二次不等式的求解 （1）设为实数，且，形如的不等式统称为一元二次不等式. (2)设一元二次方程的两根为、且，，则不等式的解的各种情况 如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 6．分式不等式的求解 （1）基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要． （2）基本方法： ①通过移项，将分式不等式右边化为零； ②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：（1）； （2）； （3）；（4）． 7．含绝对值不等式的求解 绝对值的实际含义，就是数轴上两点之间的距离．所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解． 8．平均值不等式及其应用 （1）对于正数，称是的算术平均值，是的几何平均值. （2）平均值不等式定理：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有，且等号当且仅当a=b时成立. （3）定理的另一形式：对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 9．三角不等式 三角不等式：两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对任意的实数，有，且等号当且仅当 时成立. 考点精讲讲练 考点一：等式的性质与方程的解 【典型例题】 例1．（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 例2．设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 【即时演练】 1．下列说法正确的是 ．（填序号） ①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故； ②解方程时，对比方程两边知，，故； ③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根． 2．（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 3．解关于x，y的方程组． 考点二：一元二次方程及其根与系数的关系 【典型例题】 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 例2．（2023·上海嘉定·一模）已知，若关于的方程解集为，则的值为 . 【即时演练】 1．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知实系数一元二次方程的两根分别为，且，则实数m的值为 . 考点三：一元一次不等式（组）的解与不等式性质 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．（21-22高二下·上海奉贤·期末）不等式组的解集为 . 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 例4．（24-25高三上·上海松江·期中）如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．函数的定义域为 . 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 3．（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 考点四：一元二次不等式的解 【典型例题】 例1．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）解关于的一元二次不等式． 例2．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 例3．（2022·上海浦东新·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【即时演练】 1．（2023·上海金山·二模）若实数满足不等式，则的取值范围是 . 2．（2023·上海青浦·二模）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 . 3．（2023·上海浦东新·模拟预测）设关于的不等式的解集为，则 . 4．（24-25高一上·上海·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 . 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为 ． 6．（23-24高三上·上海·期中）已知，关于x的不等式． (1)若，且，求解该不等式； (2)若该不等式解集为，求a的取值范围． 考点五：分式不等式的解 【典型例题】 例1．（2023·上海徐汇·一模）不等式的解集为 . 例2．（23-24高三上·上海静安·期末）已知：，：，则是的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 2．（2023·上海·模拟预测）不等式的解集是 . 考点六：绝对值不等式的解 【典型例题】 例1．（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ． 例2．（2023·上海虹口·三模）若关于x的不等式的解集，则实数的取值范围是 ． 【即时演练】 1．（2023·上海宝山·一模）设，则方程的解集为 2．（2023·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 . 3．（2023·上海闵行·二模）若不等式的解集为，则实数等于 . 考点七：平均值不等式 【典型例题】 例1．（2020·上海·模拟预测）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·上海金山·二模）已知正实数满足,则的最小值为 . 例3．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 例4．（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足，则的最小值为 ． 例5．（2022·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用． 【即时演练】 1．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 2．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 3．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为 . 4．（2021·上海浦东新·一模）对于任意的正实数，，则的取值范围为 . 5．（2023·上海长宁·二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏． 考点八：三角不等式 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 例3．（21-22高三上·上海徐汇·期中）已知函数． (1)若，且恒成立，求实数m的最小值； (2)若，求的值域． 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 3．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知、且，则的最小值是 ． 4．已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若，使得，求的取值范围． 实战能力训练 1．（2024·上海闵行·二模）设，则“”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·上海宝山·一模）设，定义运算“”和“”如下： ，．若正数m，n，p，q满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若不等式，当时总成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2024春考真题），下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 6．（2023·上海长宁·一模）不等式的解集为 7．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 8．（2023·上海普陀·模拟预测）不等式的解集是 ． 9.（2023春考）已知正实数满足，则的最大值 10．（2024·上海春考真题）已知，的最小值为 ． 11．（2023·上海浦东新·三模）不等式的解集是 ． 12．（2023·上海徐汇·一模）若实数满足，则的最小值为 ． 13．（2019·上海杨浦·二模）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中． （1）请求出的值，并说明的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 14．（2021·上海闵行·模拟预测）已知，，. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 4 考点一：等式的性质与方程的解 4 考点二：一元二次方程及其根与系数的关系 7 考点三：一元一次不等式（组）的解与不等式性质 8 考点四：一元二次不等式的解 11 考点五：分式不等式的解 15 考点六：绝对值不等式的解 16 考点七：平均值不等式 18 考点八：三角不等式 24 实战训练 28 明晰学考要求 本章节，不等式的性质，一元二次不等式、分式不等式与绝对值不等式的求解，平均值不等式求最值都是常考的考点，2022~2024年春考中，不等式的性质3年2考，不等式的解法3年2考，平均值不等式3年3考。 基础知识梳理 1．等式的性质与方程的解集 （1）用等号“＝”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式． （2）等式的传递性：设a，b，c均为实数，如果a=b且b=c，那么 a=c ; 等式的加法性质：设a，b，c均为实数，如果a=b,那么 a+c=b+c ; 等式的乘法性质：设a，b，c均为实数，如果a=b,那么 ac=bc 。 （3） 含有未知数的等式被称为方程．使得方程左右两边相等的未知数的值，称为 方程的解 。 以方程的所有解为元素组成的集合称为 方程的解集 。 （4）方程的解和未知数取值范围有关，同一方程在未知数的不同取值范围内求解，其解 不一定 相同. 2．一元二次方程的解集及根与系数的关系 （1）一元二次方程的解习惯上叫做该方程的 根 ．如果一元二次方程的两个根相等，那么这两个根叫做 重根 ，它在解集中只能出现一次. （2）如果一元二次方程的两个根为，则 3．不等式的性质 （1）大于号“＞”、小于号“＜”、大于等于号“≥”，小于等于号“≤”都称为 不等号 .用不等号将两个表达式连接起来、就得到一个不等式 . （2）不等式的传递性：设a，b，c均为实数，如果a>b且b>c，那么 a>c 不等式的加法性质：设a，b，c均为实数，如果a>b，那么 a+c>b+c 不等式的乘法性质：设a，b，c均为实数，如果a>b且c>0，那么ac>bc，如果a>b且c<0，那么 ac<bc （3）对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当 a=b 时成立. （4）从不等式的基本性质出发，可以得到下面的推论 推论1. 同向可加性： 推论2. 推论3. 推论4. 推论5. 推论6. 推论7. 4．不等式（组）的求解 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的 解集 .求不等式的解集的过程称为不等式的求解或解不等式.将含有相同未知数的多个不等式联立起来就得到不等式组.解不等式组就是求不等式组中所有不等式的解集的交集 . 5．一元二次不等式的求解 （1）设为实数，且，形如的不等式统称为一元二次不等式. (2)设一元二次方程的两根为、且，，则不等式的解的各种情况 如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 6．分式不等式的求解 （1）基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要． （2）基本方法： ①通过移项，将分式不等式右边化为零； ②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：（1）； （2）； （3）；（4）． 7．含绝对值不等式的求解 绝对值的实际含义，就是数轴上两点之间的距离．所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解． 8．平均值不等式及其应用 （1）对于正数，称是的算术平均值，是的几何平均值. （2）平均值不等式定理：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有，且等号当且仅当a=b时成立. （3）定理的另一形式：对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 9．三角不等式 三角不等式：两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对任意的实数，有，且等号当且仅当 时成立. 考点精讲讲练 考点一：等式的性质与方程的解 【典型例题】 例1．（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【解析】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 例2．设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 【解析】（1）若，则，假命题； （2）由，且，所以，真命题； （3）若，则或，真命题； （4）设，则， 所以，又，所以，真命题. 【即时演练】 1．下列说法正确的是 ．（填序号） ①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故； ②解方程时，对比方程两边知，，故； ③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根． 【答案】④ 【解析】①在解方程的过程中，两边同时除以，就产生失根：即，所以原方程的根为：或.故①错误； ②对方程，对比方程可知：或，可得或，故②错误； ③对方程，两边开平方，可得，解得或，故③错误； ④一元二次方程的常数项为0，则方程为或，可知必为方程的一个根，故④成立. 故答案为：④ 2．（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【解析】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且3 3．解关于x，y的方程组． 【答案】答案见解析 【解析】当时无解； 当时，两式相减，解得, 综上所得，当时无解；当时，解集为 考点二：一元二次方程及其根与系数的关系 【典型例题】 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/ 【解析】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 例2．（2023·上海嘉定·一模）已知，若关于的方程解集为，则的值为 . 【答案】 【解析】的解集为R， 先令等号左右两边的常数项相等，即，解得：， 将代入方程可得：，解集为R，满足要求. 故答案为：2 【即时演练】 1．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 【答案】或. 【解析】解：当时，为方程的两个不等实根， 可得， 所以 ， 当时，则. 故答案为：或. 2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知实系数一元二次方程的两根分别为，且，则实数m的值为 . 【答案】 【解析】由题意可得，解得或， ， 则，解得. 故答案为：. 考点三：一元一次不等式（组）的解与不等式性质 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 例2．（21-22高二下·上海奉贤·期末）不等式组的解集为 . 【答案】 【解析】原不等式组化简为 故答案为：. 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，， 所以，所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 例4．（24-25高三上·上海松江·期中）如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，，取，故ABC均不正确； ，则，故D正确； 故选：D 【即时演练】 1．函数的定义域为 . 【答案】 【解析】解：由题可得，解得，，且； 的定义域为：． 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【答案】 【解析】因为 ，当时等号成立， 所以. 考点四：一元二次不等式的解 【典型例题】 例1．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）解关于的一元二次不等式． 【答案】详见解析. 【解析】原不等式可化为． （1）当时，或， （2）当时，， （3）当时，或． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 例2．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【答案】 【解析】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根且， 所以，所以， 由不等式，可得，因为， 所以，所以，解得或， 所以不等式解集为. 故答案为：. 例3．（2022·上海浦东新·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】由，可得或 则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“” 则“”是“”的充分非必要条件 故选：A 【即时演练】 1．（2023·上海金山·二模）若实数满足不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是. 故答案为：. 2．（2023·上海青浦·二模）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】根据函数的图像可知： ，即， 不等式可化为， 即， 解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 3．（2023·上海浦东新·模拟预测）设关于的不等式的解集为，则 . 【答案】【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以一元二次方程的两个根为， 所以根据韦达定理可得，解得， 所以， 故答案为: . 4．（24-25高一上·上海·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由解得， 所以， 故不等式的解集为, 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为 ． 【答案】 【解析】由题意知，二次函数开口向上，且与轴最多有一个交点， 则. 故答案为：. 6．（23-24高三上·上海·期中）已知，关于x的不等式． (1)若，且，求解该不等式； (2)若该不等式解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，且，故， 又，故则， 所以不等式可化为， 即，解得或 故不等式的解集为 （2）若不等式的解集为， 则的解集为,即在上恒成立， 故， 且的解集为，即是方程的两根， 则， 由， 得， 解得，又， 故a的取值范围为 考点五：分式不等式的解 【典型例题】 例1．（2023·上海徐汇·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】恒成立，原不等式可化为，即， 解得， 故答案为： 例2．（23-24高三上·上海静安·期末）已知：，：，则是的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】因为， 解得或， 根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出是充分不必要条件， 故选：B 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 【答案】或 【解析】由，得到，等价于， 因为，则有，即，解得或， 故答案为：或. 2．（2023·上海·模拟预测）不等式的解集是 . 【答案】或 【解析】因为， 所以当时，， 解得，所以， 当时，， 解得，所以， 当时，， 解得，满足条件的不存在， 所以不等式的解集是或， 故答案为：或. 考点六：绝对值不等式的解 【典型例题】 例1．（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ． 【答案】； 【解析】或， 即或，所以不等式的解集为或， 故答案为：. 例2．（2023·上海虹口·三模）若关于x的不等式的解集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】关于x的不等式的解集，则对任意的，都有不等式恒成立 此时，故原不等式化为，故， 则对任意的成立，故实数的取值范围是. 故答案为：. 【即时演练】 1．（2023·上海宝山·一模）设，则方程的解集为 【答案】 【解析】当时，原方程可得，解得， 又，故方程的解为； 当时，原方程可得，解得，故无解； 当时，原方程可得，解得； 当时，原方程可得，解得，所以. 综上，方程的解集为. 故答案为： 2．（2023·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】，当时，，解得，故解集为， 当时，，解集为， 当时，，解得，故解集为， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 3．（2023·上海闵行·二模）若不等式的解集为，则实数等于 . 【答案】3 【解析】不等式，化为，因此不等式的解集为， 依题意，，于是，解得， 所以实数等于3. 故答案为：3 考点七：平均值不等式 【典型例题】 例1．（2020·上海·模拟预测）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 例2．（2023·上海金山·二模）已知正实数满足,则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为正实数满足, 所以, 当且仅当即时等号成立, 所以的最小值为. 故答案为:. 例3．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 【答案】 【解析】由题知， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 例4．（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由且且a、b异号， 由， 所以， 当且仅当时取等号， 即当或时取等号， 故答案为： 例5．（2022·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用． 【答案】(1) (2)x=24,12800 【解析】（1）解：设矩形的另一边长为am， 则， ， 因为， 所以， 则； （2）由（1）知：， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最少总费用为12800元. 【即时演练】 1．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【解析】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 2．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 3．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为 . 【答案】 【解析】， 而，当且仅当时等号成立， 由可得或， 故，当且仅当或等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 4．（2021·上海浦东新·一模）对于任意的正实数，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】法一：转化为斜率 先把化作，故可看作 与两点的斜率 其中点在上，数形结合（如下图）， 故最小值为相切时取得， 设，联立 由解得（舍） 当时，（极限思想） 故的取值范围是. 法二：令，则， 再令，则原式， 当且仅当时取等号， 再令，则， 当且仅当时取等号，故原式， 又时，， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．（2023·上海长宁·二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏． 【答案】 【解析】设矩形植物种植园的宽、长为， 所以， 则，当且仅当“”时取等. 故至少需要米栅栏． 故答案为：． 考点八：三角不等式 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】存在,不等式成立，变形即成立， 由于， 因此有， 两边平方， 解得或. 故选：A. 例2．（2023·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 例3．（21-22高三上·上海徐汇·期中）已知函数． (1)若，且恒成立，求实数m的最小值； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， ∴，，故m的最小值为． （2），， , 当时，， 当或时，， 所以， 所以函数的值域为. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，当且仅当，即时取等号， 故. 故选：C 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 【答案】3 【解析】因为，当且仅当时，等号成立， 若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则， 所以实数a的最大值是3. 故答案为：3. 3．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知、且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】， 当且仅当时等号成立，所以最小值为， 故答案为： 4．已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若，使得，求的取值范围． 【答案】（1）或}；（2）答案见解析. 【解析】解：（1）当时，． 当时，，所以； 当时，，不成立； 当时，，所以， 所以，综上可知，所求解集为或}． （2）要求，使得时，的取值范围， 可先求，使得时，的取值范围， ，， 当时，恒成立； 当时，， 综上，，使得时，的取值范围为， 故，使得时，的取值范围为． 实战能力训练 1．（2024·上海闵行·二模）设，则“”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】当时，或，不能推出有成立； 当时，则，必有成立， 故“”是“”的必要非充分条件， 故选：B 2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 3．（2022·上海宝山·一模）设，定义运算“”和“”如下： ，．若正数m，n，p，q满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由运算“”和“”定义知， 表示数较小的数， 表示数较大的数， 当时，，故选项A、C错误； 当时，，故选项B错误； ∵，且，∴， ∵，，∴，故选项D正确； 故选：D． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若不等式，当时总成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以不等式，当时总成立等价于， ，，，所以， 故选：C. 5.（2024春考真题），下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 6．（2023·上海长宁·一模）不等式的解集为 【答案】 【解析】因为， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 7．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【解析】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 8．（2023·上海普陀·模拟预测）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 9.（2023春考）已知正实数满足，则的最大值 【答案】 【解析】因为，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立. 10．（2024·上海春考真题）已知，的最小值为 ． 【答案】12 【解析】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 11．（2023·上海浦东新·三模）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 12．（2023·上海徐汇·一模）若实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由， 当且仅当时取得最小值，即的最小值为2. 故答案为：2 13．（2019·上海杨浦·二模）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中． （1）请求出的值，并说明的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【答案】（1）950；发车间隔为5，载客量为950；（2），． 【解析】（1）， 的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950； （2）当时，， 当且仅当时，等号成立； 当时，， 当且仅当时，等号成立； 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. 14．（2021·上海闵行·模拟预测）已知，，. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）， 当时，由， 所以不等式的解集为 （2），该函数的对称轴为， 当时，，不存在实数，使得成立； 当时，函数在上单调递增，显然在上也单调递增，而，所以当时，，故不存在，使得成立； 当时，因为函数在上单调递增，所以在时也单调递增，而 ，所以此时不成立； 当时，即时，要想在有解，只需，或，而， 因此， 当时，即时，要想在有解，只需 ，即， 综上所述：实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$