4.2.1 等差数列的概念（第1课时 等差数列的概念及通项公式）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 第1课时等差数列的概念及通项公式 4.2.1　等差数列的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 1.理解等差数列的概念(难点). 2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点). 3.掌握等差数列的判定方法(重点). 学习目标 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了 函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等） 后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数， 指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了 数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的 通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数 学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。 情景导入 情景1 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为： 9，18，27，36，45，54，63，72，81 新知探究 情景2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 情景3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为： 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 情景4 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，若个人贷款月利率为r，则按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(= 万元，每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为： ar, (a－b)r, (a－2b)r, (a－3b)r, ... 如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是 每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数， 利息部分=(贷款总额-已归还本金累计额)×月利率. 思考 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律。例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了 A，B两地旅游人数的变化规律。类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗? 问题1 对于情境1中的数列，你能通过代数的运算发现其中的取值规律吗? 对于数列①我们发现： 换一种写法就是： 这表明数列①具有这样的取值规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母 d 表示． 问题2 你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗? 从第2项起 同一个常数 等差中项的概念 计算等差中项 的方法 等差数列通项公式的推导 问题3 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 于是： …… 归纳可得： 所以： 逐步迭代法 等差数列的通项公式的函数性质 问题4 我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 分析 课本例题 分析 课本例题 分析 令 课本例题 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 2. 求下列各组数的等差中项: 课本练习 3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. a1 a3 a5 a7 d －7 8 2 －6.5 0.5 15.5 3.75 15 －11 －24 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 例1　已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31. (1)求{an}的通项公式； (2)若an＝13，求n的值． 解析：(1)设{an}的首项为a1，公差为d， 则由题意可知解得 ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5. (2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6. 典例剖析 题型1　等差数列的通项公式 角度1　基本量的运算 (1)从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”． (2)已知数列的其中两项求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形公式an＝am＋(n－m)d. 归纳总结 例2　100是不是等差数列2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 解析：∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5， 由7n－5＝100，得n＝15， ∴100是这个数列的第15项． 典例剖析 题型1　等差数列的通项公式 角度2　判断数列中的项  判断数列中的项的步骤 归纳总结 例3　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列； 解析：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3. 又a是－1与b的等差中项，∴a＝＝1. 又c是b与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 典例剖析 题型2　等差中项及其应用 (2)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 解析： 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3. 归纳总结 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或解决有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)． 例4　已知数列{an}满足a1＝4且an＝4－(n>1)，记bn＝. (1)求证：数列{bn}是等差数列； 证明：∵bn＋1－bn＝ ＝ ＝ ＝＝ 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 题型3　等差数列的判定与证明 典例剖析 (2)求数列{an}的通项公式． 解析：由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝n， ∵bn＝， ∴an＝＋2＝＋2. 归纳总结 证明一个数列是等差数列的2种常用方法 例5　(1)在等差数列{an}中，a5－a3＝2，a3＋a5＋2a10＝24，则a9等于(　　) A．14　　　B．12 C．10　　　D．8 解析：因为2d＝a5－a3＝2，所以公差d＝1， 又因为a3＋a5＋2a10＝2a4＋2a10＝4a7＝24，所以a7＝6， 所以a9＝a7＋2d＝8. 典例剖析 题型4　等差数列的性质及应用 D (2)[2022·湖南怀化高二期末]在等差数列{an}中，a2，a4是方程x2－3x－4＝0的两根，则a3的值为(　　) A．2　　　 B．3 C．±2　　　D． 解析： a2、a4是方程x2－3x－4＝0的两根，所以a2＋a4＝3， 又{an}是等差数列，所以a2＋a4＝2a3，所以a3＝. D 方法归纳 利用等差数列的性质“若k＋l＝m＋n，且k，l，m，n∈N＋，则ak＋al＝am＋an”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量． 错因分析 例6　两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解析：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11， 又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2， 等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1. ∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12. ∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1. 又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302. 得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项． 易错辨析　混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错 出错原因：混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1， 解得n＝3，致错． 【易错警示】 纠错心得：解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必要的丢分． 错因分析 错因分析 1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 答案 A 解析 ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, ∴数列{an}是公差为2的等差数列. 随堂检测 2.(2021广西桂林高二期末)在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(　　) A.6 B.8 C.16 D.32 答案 B 解析 因为等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则a4=a1+3d=2+3×2=8. 3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=(　　) A.38 B.40 C.-36 D.-38 答案 B 解析 ∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40. 4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为　　　　　.  答案 3 解析 由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10. 两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6. 所以m和n的等差中项为 =3. 5.在等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0. (1)求公差d的值; (2)求{an}的通项公式. 解 (1)因为{an}是等差数列,a1=23,a6>0,a7<0, 又公差d为整数,所以d=-4. (2)因为等差数列{an}的首项为23,公差为-4, 所以an=23-4(n-1)=-4n+27. 1.等差数列的概念 （且） 4.等差数列的判定 是等差数列. （且）是等差数列. 2.等差中项 三个数成等差数列，叫做与的等差中项. 3.等差数列的通项公式 +() 是等差数列. 课堂小结 如果用来表示数列①,则有 特别地，由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列． 整理得：，即 这时，A叫做a与b的等差中项 (arithmetic mean)． 根据等差数列的定义有：， 根据等差数列的定义，可得就是等差数列的递推公式． 所以，，，…． 当时，上式为 这就是说，上式当时也成立． 设一个等差数列的首项为，公差为． 反之，任给一次函数(为常数)， 构成一个等差数列，其首项为，公差为． 则,,…,,…, 解：(1)当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为-2，首项为3 例1: (1)已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项. 已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义， 由即可求出公差； 可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式 求数列的第20项． 解：由已知条件，得： 把，代入，得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是- 49． 例1: (2)求等差数列8 ,5 ,2 ,...的第20项. 解：由，，得这个数列的通项公式为 解这个关于的方程，得 所以，-401是这个数列的项，是第100项． 例2: - 401是不是等差数列-5，-9，-13，... 的项？如果是，是第几项? 先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否 能使这个方程有正整数解． 解析：由题意可得a1＝eq \f(1,25)，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1)) 解得eq \f(8,75)<d≤eq \f(3,25)，故选D. 答案：D 易错辨析　忽视等差数列中的隐含条件致误 例7　已知{an}为等差数列，首项为eq \f(1,25)，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　) A．d>eq \f(8,75) B．d<eq \f(3,25) C.eq \f(8,75)<d<eq \f(3,25) D.eq \f(8,75)<d≤eq \f(3,25) 【易错警示】 出错原因 纠错心得 (1)错选A，只看到了a10>1而忽视了a9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C，误认为a9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件. 所以解得-<d<-. $$