精品解析：广西南宁市育才实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

2023年学年度南宁市育才实验中学秋季学期高二期中考试 数学 命题人：谢灿光 审题人：陆忠葵 考试时间：120分钟 总分: 150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 过点和的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k值为（ ） A. －6 B. 6 C. 3 D. －3 6. 椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 直线是双曲线一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 二、多选题（共4小题，每小题5分，部分选对得2分，多选或错选不得分，共20分） 9. 不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ） A. B. C. 事件A与事件B是对立事件 D. 事件A与事件B是相互独立事件 10. （多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则C是焦点在x轴上椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则C是双曲线，其离心率为或 11. 已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 若，则 C. 若射线n所在直线的斜率为k，则 D. 当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是的中点，则（ ） A. 四点共面 B 直线与平面平行 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 过三点的平面截正方体所得图形面积为 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 直线l：与圆C：有公共点，则实数的取值范围是__________________. 14. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为________． 15. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为__________. 16. 已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ___________ 四、解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分） 17. 已知直线 （1）若 ，求实数a的值； （2）当 时，求直线与之间的距离. 18. 新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生的某次历史测试成绩（满分100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求出这100名学生中历史成绩低于50分的人数． （2）根据调查，本次历史测试成绩不低于70分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于70分的学生，高考将选考物理科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人高考都选考历史科目的概率． 19. 如图所示，在多面体中，底面矩形，且底面∥. （1）证明：∥平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知圆 （1）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短. （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程； 21. 已知椭圆的离心率 ，左、右焦点分别为 ，点 在椭圆C上： （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 交椭圆C于A，B两点，求 面积的最大值. 22. 已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年学年度南宁市育才实验中学秋季学期高二期中考试 数学 命题人：谢灿光 审题人：陆忠葵 考试时间：120分钟 总分: 150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 过点和的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用直线的截距式方程，直接写出经过和两点的直线方程，化简求得结果. 【详解】∵直线经过两点和，而这两个点恰是直线和坐标轴的交点， ∴由直线的截距式方程可得，即， 故选：C. 2. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3. 若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的焦点相同,求出椭圆的焦点及,再根据双曲线的离心率求出,写出双曲线方程即可. 【详解】解:由题知在椭圆中, 焦点坐标为, 双曲线中,焦点坐标为,, , ,, 故双曲线的方程为． 故选:A 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆相切得圆心到直线距离即为圆的半径，由此可求得结果. 【详解】因为点为圆心到直线的距离为， 所以圆的半径为，圆的方程为. 故选：D. 5. 在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ） A. －6 B. 6 C. 3 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】由和的数量积为0，解出k的值. 【详解】由题意可得，，， 所以，即2k－12＝0，得k＝6. 故选：B. 6. 椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的半焦距为，由条件利用表示的面积，由条件列方程求，再由关系求，根据椭圆定义求，由此可求的周长. 【详解】设椭圆的半短轴长为，半焦距为， 则，的面积 由题知， 所以，， 由椭圆的定义知，又， 所以的周长为. 故选：C. 7. 直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解. 【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线， 所以， ， 又或， 或（舍去）， 故选：C 8. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 二、多选题（共4小题，每小题5分，部分选对得2分，多选或错选不得分，共20分） 9. 不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ） A. B. C. 事件A与事件B是对立事件 D. 事件A与事件B是相互独立事件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求事件的概率，判断AB，根据对立事件和独立事件的定义判断CD. 【详解】对于A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点， 随机事件包含的样本点的个数为，所以，A错误； 对于B，随机事件包含的样本点的个数为，所以，B正确， 对于C，事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件， 又，即事件为必然事件，所以事件与事件是对立事件，C正确； 对于D，随机事件包含的样本点的个数为，所以， 随机事件为不可能事件，所以，所以， 所以事件与事件不是相互独立事件，D错误， 故选：BC. 10. （多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则C是双曲线，其离心率为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，可得为焦点在轴上的椭圆，可判断A；由，可判断B；由，，求得双曲线的渐近线方程，可判断C；由，讨论，，求得离心率，可判断D． 【详解】解：曲线， 若，则是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 若，即，则是圆，故B正确； 若，，则是双曲线， 其渐近线方程为，即，故C错误； 若，则是双曲线， 当，可得双曲线的焦点在轴上，可得， 当，可得双曲线的焦点在轴上，可得，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 若，则 C. 若射线n所在直线的斜率为k，则 D. 当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10 【答案】AC 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线方程及勾股定理，结合双曲线的定义及两点间的距离公式即可求解. 【详解】对于A ，由题意可知，因为双曲线C的一条渐近线的方程为， 所以，即，所以双曲线方程为故A正确； 对于B，由，得，解得， 在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，解得，故B错误； 对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为， 由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时， 由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D错误. 故选：AC. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 直线与平面平行 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 过三点的平面截正方体所得图形面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，利用中位线定理与平行线的传递性证得，从而得以判断；对B，利用线面平行的性质即可判断；对C，由向量法求线线角即可判断；对D，过点M作，证所求截面为矩形，即可求得面积，从而得以判断. 【详解】对A，连接，如图， 因为侧面是正方形，分别是的中点，所以是的中点， 又点分别是的中点，所以， 又，所以，所以四点共面， 又面，所以四点共面，故A正确； 对B，连接，如图， 易得，，所以四边形是平行四边形，则， 假设直线与平面平行，又平面平面，平面， 所以，则，显然矛盾，假设不成立，故B错误； 对C，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设异面直线与面所成角为，则， 所以异面直线与面所成角余弦值为，C正确； 对D，过点M作，因为，所以且， 所以四边形为平行四边形，则五点共面，即过三点的平面截正方体所得图形为平行四边形， 由题意可知， 因为为正方体，所以平面， 又平面，所以， 所以平行四边形为矩形，则，故D错误. 故选：AC. . 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 直线l：与圆C：有公共点，则实数的取值范围是__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆有公共点即为圆心到直线的距离小于等于圆的半径列不等式求解． 【详解】圆的圆心，半径为， 从而有，即， 故. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，关键是几何法的熟练应用，是基础题. 14. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两圆的一般方程相减即可得出结果. 【详解】联立两圆的方程得， 两式相减并化简，得， 所以两圆公共弦所在直线的方程为． 故答案为：. 15. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出椭圆的焦点坐标，进而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】的焦点坐标为，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故答案为：9 16. 已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知画出圆及点结合点关于x轴对称，进而数形结合即可得出距离和的最小值. 【详解】根据题意画出圆，以及点的图象如图， 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值， 为点到点的距离减圆的半径， 即， 故答案：． 四、解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分） 17. 已知直线 （1）若 ，求实数a的值； （2）当 时，求直线与之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线一般方程，利用两直线垂直的判断方法求得值； （2）根据直线一般方程，利用两直线平行的判断方法求得值，再利用两平行直线的距离公式，计算即得. 【小问1详解】 因为直线，， 由可得： 即，解得； 【小问2详解】 因为直线，，， 由可得：，， 解得， 当时，方程为， 方程为，即， 故与的距离为. 18. 新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生的某次历史测试成绩（满分100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求出这100名学生中历史成绩低于50分的人数． （2）根据调查，本次历史测试成绩不低于70分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于70分的学生，高考将选考物理科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人高考都选考历史科目的概率． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出低于50分频率，再求出低于50分的人数. （2）求出学生成绩在和的频数，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，，先求出从这5人中任意选取2人的方法总数，再求出这2人高考都选考历史科目的方法总数，再由古典概率公式即可求出答案. 【小问1详解】 因为各组的频率和等于1， 所以低于50分的频率为， 所以低于50分的人数为． 【小问2详解】 由（1）可知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为．按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，． 从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，其中高考都选考历史科目的选法有，，3种． 所以这2人高考都选考历史科目的概率为． 19. 如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面∥. （1）证明：∥平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，则利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得，所以以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：取线段的中点，连接， 因为四边形是矩形，且， 所以且 因为且且， 所以且， 所以且 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面 【小问2详解】 因为底面平面，所以， 因为 所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 设平面的法向量为，则 ，令，则， 故平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，取，则， 故平面的一个法向量， 则. 设平面与平面的夹角为，则. 20. 已知圆 （1）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短. （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直线过定点,当时，弦长最短，圆的圆心为，可得，由，可求出；（2）设圆的圆心为，圆心与关于直线对称，可求出的坐标，再由两个圆半径相等，可求出圆的标准方程. 【详解】（1）由直线，可化为， 可得直线过定点,当时，弦长最短， 圆的圆心为， 则，因为，所以， （2）由题意，圆的圆心，半径为， 设圆的圆心为，因为圆心与关于直线对称， 所以，解得，则，半径， 所以圆标准方程为： 【点睛】本题考查了弦长问题，考查了两圆关于直线的对称问题，考查了学生的计算求解能力，属于中档题. 21. 已知椭圆的离心率 ，左、右焦点分别为 ，点 在椭圆C上： （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 交椭圆C于A，B两点，求 面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率 和点 在椭圆C上， 由和联立求解； （2）易知直线过焦点，与椭圆方程联立，由求解. 【小问1详解】 解：因为椭圆的离心率 ， 所以， 又点 在椭圆C上， 所以，又， 解得， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 如图所示： 由（1）知：，则直线过焦点， 设， 由，消去x得， 由韦达定理得：， 则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值. 22. 已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长公式求得. 【小问1详解】 若焦点F（c，0），其到渐近线的距离， 又因为双曲线C：经过点， 所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为： 设点，， 联立， 得， 所以，， 从而. 所以弦长|AB|的值为24． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$