精品解析：安徽省黄山市歙县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段练习 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项正确．请在答题卷的相应区域答题．） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，可知，二次项的系数不为0，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意； 故选：C． 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像开口向上 B. 函数的最大值为 C. 图像的对称轴为直线 D. 图像与轴的交点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，故A不符合题意； 对称轴为值，顶点坐标为， ∴函数最大值为，故B符合题意，C不符合题意， 当时，， 图像与轴的交点坐标为，故D不符合题意． 故选：B． 4. 把方程化成的形式，则m，n的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法，解题的关键是首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． ∴，， 故选A． 5. 如图，将绕着点逆时针旋转至，使点恰好落在线段上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，根据旋转可得：，即可得到结论． 【详解】解：由旋转可得：， ， ， ， ． 故选：C． 6. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 7. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键．，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】解：∵时，两个函数的函数值， ∴两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， ∴， ∴一次函数随着x的增大而增大， ∴A选项正确，C选项错误． 故选：A． 8. 一个微信群里共有个成员，每个成员都分别给群里的其他成员发一条信息，共发信息72条，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 9. 如图，在中，，，是边上一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到．下列结论错误的是（ ） A. 的面积为 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，，可得的面积为，则A不符合题意；由旋转的性质可得，， 证明；可得，，则，则B不符合题意；结合，可得，则C不符合题意；由，可得D符合题意； 【详解】解：如图，过作于， ∵，， ， ∴，， ∴的面积为，故A不符合题意； 由旋转的性质可得，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； ∴，， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟记基础图形的性质是解本题的关键． 10. 已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的对称轴为，且过，结合抛物线的对称轴即可求解． 【详解】解： ∵二次函数的对称轴为，且图像经过， ∴，即， ∴点在抛物线上， ∴，故结论①正确； 由结论①正确可得，，且，则 ∴，则，故结论②正确； ∵当，时， ∴点离对称轴更近， 当时，；当时，；故结论③错误； 由得，， ∵结论①正确可得，，结论②正确可得，， ∴，， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确； 综上所述，正确的有，个， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根与系数的关系，二次函数图像上点的特征，由对称轴确定系数的关系，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为， ∵，， ∴； 故答案为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点C，交y轴于点A，轴交抛物线于点B，则的面积是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出点A的坐标，抛物线的对称轴，然后根据对称轴求出点B的坐标，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 抛物线的对称轴为， 又轴交抛物线于点B， ∴， ∴的面积是． 故答案为：2． 13. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°到矩形GBEF位置，H是EG的中点．若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长． 【详解】解：过点H作HM⊥BC于点M， ∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8， ∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6， ∴HM∥BE， ∵H是EG的中点， ∴HM是△GBE的中位线， ∴HM＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3， ∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5， 在Rt△CHM中， CH＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 14. 已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是___________； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为， ∵顶点在直线上， ∴． 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为． 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； 方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：， 分解因式得：， 解得：． 16. 已知二次函数的图象的顶点是，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程、与一元二次不等式的关系是解决问题的关键． （1）将和代入，求出a，b的值，即得函数表达式； （2）求出二次函数与x轴的另一外交点，根据二次函数图象开口向下，即得时的x取值范围． 【小问1详解】 解：∵的图象经过和两点， ∴， 解得：， 该二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴二次函数图象与x轴的交点为，， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【答案】（1）且 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及配方法解一元二次方程，解题关键是熟知一元二次方程有两个不等实根等价于判别式． （1）根据一元二次方程根的判别式即得； （2）根据（1）得出方程，再利用配方法解一元二次方程即得． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ， ∴，且， ∴且； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴． 18. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是，．连接交于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定及等腰三角形的性质．解决本题的关键是熟练掌握旋转的性质与平行四边形的判定，由，，可得，从而得出，再由平行线的性质可得，可得出，最后由平行四边形的判定可得结论． 【详解】略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．） 19. 如图，劳动教育基地内有一块植物园地（矩形），墙长米，墙长米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在，，上各留米宽的门（不用木栏），木栏总长米． （1）若边的长为米，则边的长为___________米；若边的长为米，则边的长为___________米； （2）若植物园地的面积为平方米，求边的长． 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意，则总长加上个米的门的宽度减去，即可得到；根据题意，则为：，即可； （2）设，根据矩形的面积，则，即可． 【小问1详解】 ∵木栏总长米，的长为米 ∴（米）； 设的长为米， ∴（米）． 故答案为：，． 【小问2详解】 设， ∵， 当植物园地的面积为平方米时，， 解得， 当时，符合题意， ∴的长为米． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，列出方程，掌握一元二次方程的应用． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向左平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）； 【解析】 【分析】本题考查作——旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键； （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心； 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：如图，即为所作； 【小问3详解】 解：如图，若将 绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为； 故答案为：；． 六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．） 21. 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ (2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？ 【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能. 【解析】 【分析】（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5； （2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门． 【详解】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+， ∴当t=时，y最大=4.5； （2）把x=28代入x=10t得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门． 七、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．） 22. 如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证出，进而易求证； （2）由（1）知，从而，，根据四边形内角和定理求出进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了正方形性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 八、（本大题满分14分．请在答题卷的相应区域答题．） 23. 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将，代入求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点，则点，则，再根据二次函数的性质求解即可； （3）设点，则点，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图， 设直线解析式为，把、坐标代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 设点，则点， 则， ， 当时，线段有最大值，为； ②设点，则点， 则，， ， ， ， 解得：或5（舍去）， 经检验，是原方程的解， 点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段练习 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项正确．请在答题卷的相应区域答题．） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像开口向上 B. 函数的最大值为 C. 图像的对称轴为直线 D. 图像与轴的交点坐标为 4. 把方程化成的形式，则m，n的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕着点逆时针旋转至，使点恰好落在线段上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 7. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 一个微信群里共有个成员，每个成员都分别给群里的其他成员发一条信息，共发信息72条，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，是边上一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到．下列结论错误的是（ ） A. 的面积为 B. C. D. 10. 已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点C，交y轴于点A，轴交抛物线于点B，则的面积是________． 13. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°到矩形GBEF位置，H是EG的中点．若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为______． 14. 已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是___________； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．） 15. 解方程： 16. 已知二次函数的图象的顶点是，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，请直接写出自变量的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根． 18. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是，．连接交于点．求证：四边形是平行四边形． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．） 19. 如图，劳动教育基地内有一块植物园地（矩形），墙长米，墙长米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在，，上各留米宽的门（不用木栏），木栏总长米． （1）若边的长为米，则边的长为___________米；若边的长为米，则边的长为___________米； （2）若植物园地的面积为平方米，求边的长． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向左平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．） 21. 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ (2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？ 七、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．） 22. 如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，，． （1）求证：； （2）求的度数． 八、（本大题满分14分．请在答题卷的相应区域答题．） 23. 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $