精品解析：山西省大同市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

大同市2024-2025学年度第一学期期中九年级教学质量监测数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回， 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 今年、大同文创产品的热度持续高涨，大同集文化与艺术的碰撞、传统与现代交融于一身的文创产品，极大带动了文旅消费热，成为旅游消费的重要增长点．下列文字上方的文创产品简化图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 佛小伴 B. 华严寺鸱吻 C. 平城瓦当 D. 云冈石窟莲花纹 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将方程的左边配成完全平方式后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形中，，将四边形绕点A逆时针旋转，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 大同市统计局数据显示，我市农林牧渔业总产值逐年增加，2022年上半年，大同市实现农林牧渔业总产值约60亿元，到2024年上半年，全市已实现农林牧渔业总产值约亿元，设2022到2024年上半年农林牧渔业总产值的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个根可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，且）的图象的对称轴是直线，有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④，其中正确的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，关于原点O中心对称，若点A的坐标为，则点C的坐标为______． 12. 已知一个等腰三角形的两边长度分别是方程的两个实数根，则该等腰三角形的第三边长度是______． 13. 国庆期间，大同古城热闹非凡，各大景区游人如织，大学生小云在东南邑街区卖气球，销售过程中发现每天的销量y（件）和售价x（元/件）之间满足一次函数的关系，已知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是______元． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，直径垂直于弦于点F，若，则的半径长为______． 15. 如图，在中，，，平分交边于点D．将绕点A逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接若．则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； （2）画出、使与关于y轴对称； （3）与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 18. 如图、抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C、点D是抛物线上一个动点、过点D作x轴的垂线、与直线交于点E． （1）求A、B、C三点的坐标、并直接写出直线的函数表达式． （2）当点D在直线下方的抛物线上运动时，求线段长的最大值及此时点D的坐标． 19. 如图，在中，为直径、是弦，平分，，求证：四边形是菱形． 20. 科学研究表明，农作物的产量与其接受的灌溉水量之间存在一定的关系．某实验站通过对冬小麦的灌水量与产量进行实验分析，发现灌水量和产量之间呈现某种函数关系．即在一定范围内，随着灌水量的增加，小麦产量也随之上升，但当灌水量超过某一适宜值时，再增加灌水量反而会导致产量下降，这说明多灌无益，反而有害．为了优化灌溉策略，提高作物产量，研究人员记录了不同灌溉水量下冬小麦的产量数据，部分数据如下表： 灌溉水量x（厘米/平方米） … 14 18 22 26 30 34 … 小麦产量y（千克平方米） … … （灌溉水量，通常指的是单位面积（如平方米）上的一次灌水量，这个量是用水的深度来表示的，单位是厘米） （1）请你根据表中数据判断灌水量和产量之间的关系近似于一次函数和二次函数中的哪一种？并求出这个函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）， （2）请根据上而的函数解析式求出灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量． （3）如果要求每平方米的小麦产量必须大于千克，那么灌溉水量应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 21. 2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为． （1）若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值． （2）是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 22. 综合与实践 问题情境：某中学计划在校园内足球场一侧修建一个膜结构看台，该看台的设计形状近似于一个开口向下的抛物线．为了方便学生观看比赛和表演，看台被设计为多层结构，每层的座位宽度相同，且层与层之间的高度差也都是固定的． 方案设计：设计图如图1所示，纵截面如图2所示．已知膜结构的最高点（即抛物线的顶点C）距离地面4米，膜结构与地面的交点间的长度为40米． 问题解决： 请根据上述数据，完成下列任务： （1）以的中点O为原点，所在直线为x轴，看台中心线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围． （2）假设每层看台的高度差为米，学生座位的平均宽度为米，且每层看台都紧密排列座位．问从直线（不包括）往上第4层看台大约能坐多少名学生？（忽略不可用做座位的通道的宽度，）． 23. 综合与探究 问题情境：我们使用两块大小相同的含角的直角三角板来探究一些数学问题． 将两块三角板按图1位置摆放，，，与重合，与在一条直线上． 旋转探究：（1）固定三角板，将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转，如图2，与交与点D，与交于点E，连接． ①求证：． ②猜想：是什么三角形，并说明理由． 平移探究：（2）将图2中的沿射线方向平移得到，此时B，C，在一条直线上．如图3，交于点M，交于点N，若，平移距离为，请直接写出的面积S与平移距离d之间的函数关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同市2024-2025学年度第一学期期中九年级教学质量监测数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回， 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 今年、大同文创产品的热度持续高涨，大同集文化与艺术的碰撞、传统与现代交融于一身的文创产品，极大带动了文旅消费热，成为旅游消费的重要增长点．下列文字上方的文创产品简化图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 佛小伴 B. 华严寺鸱吻 C. 平城瓦当 D. 云冈石窟莲花纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐项判定即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．即是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：B 【点睛】此题考查了二次函数顶点式，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键． 4. 将方程的左边配成完全平方式后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程配方法，属于基础题型．将方程常数项移到右边，再左右两边加上4左边即可配成完全平方，即可得出答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即 故选：A． 5. 如图，四边形中，，将四边形绕点A逆时针旋转，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再利用即可求出的度数． 【详解】解：∵将四边形绕点A逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， 故选：A 6. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，抛物线的平移，先将化为顶点式，再结合左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：∵， 将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得，即． 故选：B． 7. 大同市统计局数据显示，我市农林牧渔业总产值逐年增加，2022年上半年，大同市实现农林牧渔业总产值约60亿元，到2024年上半年，全市已实现农林牧渔业总产值约亿元，设2022到2024年上半年农林牧渔业总产值的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均增长率为x，根据2022年上半年至2024年上半年农林牧渔业总产值由60亿元增加到亿元，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设平均增长率为x，根据题意得： 故选：A． 8. 如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个根可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，， ∴方程的一个解， ∴方程的解可能为：， 故选：C． 9. 如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆的内接四边形，连接，得出，，进而可得出答案． 【详解】解：连接， ∵同弧所对的圆周角相等， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，且）的图象的对称轴是直线，有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④，其中正确的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象和性质， 根据抛物线的对称性质得的对称点为，再根据点与对称轴的距离的大小便可判断①；根据抛物线的对称轴得，再根可据抛物线与轴交点位置得，进而便可判断②；根据抛物线与轴的交点个数，便可判断③；根据抛物线的顶点坐标与二次函数的性质，便可判断④． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向下，，分别是抛物线上的两个点， 而，，， ∴，故①正确； 抛物线的开口向下， ， ， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ，故②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； 时，的最大值是， ， ∴，故④错误； 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，关于原点O中心对称，若点A的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，根据关于原点O中心对称，可得A、C关于原点对称，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得，A、C关于原点对称，所以C的坐标为． 故答案为： 12. 已知一个等腰三角形的两边长度分别是方程的两个实数根，则该等腰三角形的第三边长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程：因式分解法，也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．解一元二次方程，求出其根是解题的关键．求出方程的解，然后分类讨论：当腰为1，底边为2或当腰为2，底边为1，再根据三角形三边关系判定三角形是否存在，最后再确定答案即可． 【详解】解：， ∴，即， ∴， ∴，， 当腰为1，底边为2时， ∵，所以此三角形不存在； 当腰为2，底边为1时，符合三角形的三边关系， ∴该等腰三角形的第三边长度是， 故答案为：． 13. 国庆期间，大同古城热闹非凡，各大景区游人如织，大学生小云在东南邑街区卖气球，销售过程中发现每天的销量y（件）和售价x（元/件）之间满足一次函数的关系，已知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是______元． 【答案】450 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．设小云每天获得的利润是w元，结合总利润等于每个气球的利润乘以销售数量建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设小云每天获得的利润是w元， 由题意得，， ∵， ∴当时，w最大为元， 故答案为：450． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，直径垂直于弦于点F，若，则的半径长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据四边形是的内接四边形，得出，根据垂径定理得出，，连接，根据圆周角定理得出，根据解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵直径垂直于弦于点F，， ∴，， 连接， 则， ∴， 即半径为6， 故答案为：6． 【点睛】该题主要考查了圆内接四边形、垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 15. 如图，在中，，，平分交边于点D．将绕点A逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接若．则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，利用旋转的性质及全等三角形的判定和性质得出，过点E作，设，由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作，如图所示： ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解： 或， 解得：，； 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； （2）画出、使与关于y轴对称； （3）与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）否 【解析】 【分析】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称、轴对称的定义和旋转的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点和旋转变换的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （2）利用网格的特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （3）依次连接交于一点，可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，依次连接，可得，故与不成中心对称． 18. 如图、抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C、点D是抛物线上一个动点、过点D作x轴的垂线、与直线交于点E． （1）求A、B、C三点的坐标、并直接写出直线的函数表达式． （2）当点D在直线下方的抛物线上运动时，求线段长的最大值及此时点D的坐标． 【答案】（1），，，直线的解析式为：； （2）线段长的最大值为，； 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图像的性质和其与坐标轴的交点，二次函数的性质． （1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式； （2）设点D的横坐标为m，则坐标为，则E点的坐标为，设的长度为d，构建二次函数即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， ∴令，则， 解得：，， ∴，； 令，则， ∴点坐标为， 设直线的解析式为：，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为，则坐标为， ∴点的坐标为， 设的长度为， ∵点是直线下方抛物线上一点， 则， 整理得，， ∵， ∴当时， ∴点的坐标为． 19. 如图，在中，为直径、是弦，平分，，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明，证明，可得，为等边三角形，进一步从而可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，掌握基础图形的性质是解本题的关键． 20. 科学研究表明，农作物的产量与其接受的灌溉水量之间存在一定的关系．某实验站通过对冬小麦的灌水量与产量进行实验分析，发现灌水量和产量之间呈现某种函数关系．即在一定范围内，随着灌水量的增加，小麦产量也随之上升，但当灌水量超过某一适宜值时，再增加灌水量反而会导致产量下降，这说明多灌无益，反而有害．为了优化灌溉策略，提高作物产量，研究人员记录了不同灌溉水量下冬小麦的产量数据，部分数据如下表： 灌溉水量x（厘米/平方米） … 14 18 22 26 30 34 … 小麦产量y（千克平方米） … … （灌溉水量，通常指的是单位面积（如平方米）上的一次灌水量，这个量是用水的深度来表示的，单位是厘米） （1）请你根据表中数据判断灌水量和产量之间的关系近似于一次函数和二次函数中的哪一种？并求出这个函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）， （2）请根据上而的函数解析式求出灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量． （3）如果要求每平方米的小麦产量必须大于千克，那么灌溉水量应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【答案】（1）函数是二次函数， （2）灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量为千克平方米； （3）灌溉水量范围为 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由与在函数图象上，可得是的二次函数，求解抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，再进一步求解即可； （2）把代入，再计算即可得到答案； （3）把代入，再解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由与在函数图象上， ∴是的二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入可得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时， ， ∴灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量为千克平方米； 【小问3详解】 解：当时， ∴， 解得：，， ∴每平方米的小麦产量必须大于千克，那么灌溉水量范围为． 21. 2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为． （1）若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值． （2）是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x的值为10 （2）不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为，理由： 设该包装盒的容积为， ∴． ∵， ∴当时，此包装盒的容积最大，最大容积为， ∴不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用．根据长方体的容积公式列出等式是解题关键． （1）由题意可求出该包装盒的长为，再根据求长方体容积的公式即可可列出关于x的一元二次方程，最后解出x的值即可； （2）设该包装盒的容积为，结合（1）即可得出y与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知该包装盒的长为，宽为，高为， ∵此包装盒的容积为， ∴， 解得：， ∴x的值为10； 【小问2详解】 略． 22. 综合与实践 问题情境：某中学计划在校园内足球场一侧修建一个膜结构看台，该看台的设计形状近似于一个开口向下的抛物线．为了方便学生观看比赛和表演，看台被设计为多层结构，每层的座位宽度相同，且层与层之间的高度差也都是固定的． 方案设计：设计图如图1所示，纵截面如图2所示．已知膜结构的最高点（即抛物线的顶点C）距离地面4米，膜结构与地面的交点间的长度为40米． 问题解决： 请根据上述数据，完成下列任务： （1）以的中点O为原点，所在直线为x轴，看台中心线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围． （2）假设每层看台的高度差为米，学生座位的平均宽度为米，且每层看台都紧密排列座位．问从直线（不包括）往上第4层看台大约能坐多少名学生？（忽略不可用做座位的通道的宽度，）． 【答案】（1） （2）从直线（不包括）往上第4层看台大约能坐名学生． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）由题意设抛物线为，把，代入计算即可得到答案； （2）由不包含层，第四层的高度为米，第五层的高度为米，把代入，再解方程，进一步解答即可． 【小问1详解】 解：由题意设抛物线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 解：∵每层看台的高度差为米， ∴从直线（不包括）往上第4层看台的高度必须满足， ∵， ∴， 解得：，， ∴， ∴从直线（不包括）往上第4层看台大约能坐名学生． 23. 综合与探究 问题情境：我们使用两块大小相同的含角的直角三角板来探究一些数学问题． 将两块三角板按图1位置摆放，，，与重合，与在一条直线上． 旋转探究：（1）固定三角板，将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转，如图2，与交与点D，与交于点E，连接． ①求证：． ②猜想：是什么三角形，并说明理由． 平移探究：（2）将图2中的沿射线方向平移得到，此时B，C，在一条直线上．如图3，交于点M，交于点N，若，平移距离为，请直接写出的面积S与平移距离d之间的函数关系． 【答案】 （1）①证明：∵将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转60°， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ②是等边三角形，理由： ∵将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． （1）①由旋转的性质求出，然后根据内错角相等两直线平行即可得证； ②先证明得，进而可证是什么三角形； （2）由平移的性质得，，，，求出，由（1）②知，，求出，，进而求出，，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）由平移的性质得，，，， ∴， ∴． 由（1）②知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $