广东省广州市增城区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州市增城区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中只有一个是正确的） 1．（3分）窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．12cm，12cm，20cm 3．（3分）如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，这一做法用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝9，BE＝6，则DE的长为（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 6．（3分）如图，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，要根据“HL”判定△ABC≌△DEF，则需添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F 7．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．6 8．（3分）如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 9．（3分）△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝6，AC＝4，则AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜5 B．2＜AD＜6 C．4＜AD＜6 D．2＜AD＜10 10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　 　． 12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 　 　． 13．（3分）一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为　 　． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，若AB＝12，BC＝8，则△BCE的周长为 　 　． 15．（3分）如图，已知△ABC的周长为15，∠BAC和∠ABC的平分线AD和BE相交于点P．若点P到边AB的距离为2，则△ABC的面积为　 　． 16．（3分）在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝16cm，CD＝24cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　 　时，能够使△BPE与△CQP全等． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17．（4分）如图，点D是△ABC边BC延长线上一点，∠ACD＝120°，∠B＝20°，求∠A的度数． 18．（4分）如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C． 19．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积． 20．（6分）如图，点D在AC边上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝45°，求∠BDE的度数． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：在AC边上找一点D，使DB＝DC；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下若BD＝6，求AC的长． 22．（10分）如图1，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E． （1）求证：AD＝AE； （2）在图1的条件下，如图2，点M、N分别在AB、AC上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的长． 23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF． （1）求证：△BCD为等边三角形； （2）求证：∠DBF＝∠DCE． 24．（12分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：△AMN是等边三角形； （3）如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN．若点N恰好也是AE的中点，且AE＝2，求△ABE的面积． 25．（12分）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的两个动点，以B为直角顶点，以AB为腰作等腰Rt△ABC． （1）如图①，若点C的横坐标为2，点B的坐标为 　 　； （2）如图②，过C作CD⊥x轴于点D，连接BD．求∠BDC的大小； （3）如图③，移动点A，B的位置，使x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，试猜想线段AM、OB、OM之间的数量关系，并说明理由． 2024-2025学年广东省广州市增城区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中只有一个是正确的） 1．（3分）窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形的定义进行判断即可． 【解答】解：选项B、C、D中的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项A中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．12cm，12cm，20cm 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系定理判断即可． 【解答】解：3+4＜8，A不能摆成三角形； 8+7＝15，B不能摆成三角形； 5+5＜11，C不能摆成三角形； 12+12＞20，20﹣12＜12，D能摆成三角形； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 3．（3分）如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，这一做法用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【答案】A 【分析】根据作图过程可得MO＝NO，MC＝NC，再利用SSS可判定△MCO≌△CNO． 【解答】解：∵在△MCO和△NCO中， ∴△MCO≌△CNO（SSS）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法． 4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝9，BE＝6，则DE的长为（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可得解． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝9， ∴BD＝AC＝9， ∵BD＝BE+DE，BE＝6， ∴DE＝3， 故选：A． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键． 5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝＝70°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝35°， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 6．（3分）如图，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，要根据“HL”判定△ABC≌△DEF，则需添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F 【答案】B 【分析】利用“HL”的判定方法，添加两斜边相等即可． 【解答】解：∵∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE， ∴当添加AC＝DF时，△ABC≌△DEF（HL）． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 7．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式求出BC，再根据中线的定义求出BE即可． 【解答】解：∵S△ABC＝BC•AD＝12，AD＝4， ∴BC＝6， ∵AE是中线， ∴BE＝BC＝3． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握三角形面积公式及中线的定义是解题的关键． 8．（3分）如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】过C作CM∥直线l，根据等边三角形性质求出∠ACB＝60°，根据平行线的性质求出∠1＝∠MCB，∠2＝∠ACM，即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 过C作CM∥直线l， ∵直线l∥直线m， ∴直线l∥直线m∥CM， ∵∠ACB＝60°，∠1＝20°， ∴∠1＝∠MCB＝20°， ∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等． 9．（3分）△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝6，AC＝4，则AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜5 B．2＜AD＜6 C．4＜AD＜6 D．2＜AD＜10 【答案】A 【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB（SAS），推出AC＝BE＝4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可． 【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题； 【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∴PE+PC＝PB+PE＝BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝30°， ∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　（﹣3，﹣1）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案． 【解答】解：点A（3，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1）． 故答案为：（﹣3，﹣1）． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 　6　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得． 【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°， ∴（n﹣2）×180°＝720°， 解得n＝6， ∴这个多边形的边数是6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中． 13．（3分）一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为　18或21　． 【答案】见试题解答内容 【分析】因为已知条件给出的边，哪条边是腰没有明确，所以分两种情况讨论，还要根据三边关系看能否构成三角形． 【解答】解：（1）当5是腰时，5，5，8能够组成三角形， 周长＝5+5+8＝18； （2）当8是腰时，8，8，5能够组成三角形， 周长＝8+8+5＝21． 因此周长为18或21． 故填18或21． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，若AB＝12，BC＝8，则△BCE的周长为 　20　． 【答案】20． 【分析】证明EA＝EB，EB+EC＝AC，即可解决问题． 【解答】解：∵AB＝AC，AB＝12， ∴AC＝12， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴EB+EC＝EA+EC＝AC； ∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝AC+BC＝12+8＝20； 故答案为：20． 【点评】该题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的内容，并能灵活运用． 15．（3分）如图，已知△ABC的周长为15，∠BAC和∠ABC的平分线AD和BE相交于点P．若点P到边AB的距离为2，则△ABC的面积为　15　． 【答案】15． 【分析】连接CP，过点P作PF⊥AB于点F，PH⊥BC于点H，PG⊥AC于点G．可得PG＝PF＝PH＝2．据此即可求解． 【解答】解：如图，连接CP，过点P作PF⊥AB于点F，PH⊥BC于点H，PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠CAB，PG⊥AC于点G，PF⊥AB于点F， ∴PG＝PF． 同理可得：PF＝PH． ∴PG＝PF＝PH＝2． ∵△ABC的周长为15， ∴AB+BC+AC＝15． ∴S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP ＝ ＝ ＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握该定理是关键． 16．（3分）在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝16cm，CD＝24cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　4cm/s或5cm/s　时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段的中点定义得BE＝10cm，再设点P的运动时间为t s，则BP＝4t cm，从而可得CP＝（16﹣4t）cm，然后根据已知可得分两种情况：当BE＝CP＝10cm，BP＝CQ＝4t cm时；当BE＝CQ＝10cm，BP＝CP＝4t cm时，分别进行计算即可． 【解答】解：∵点E为AB的中点，AB＝20cm， ∴（cm）， 设点P的运动时间为t s，则BP＝4t cm， ∵BC＝16cm， ∴CP＝BC﹣BP＝（16﹣4t）cm， ①当BE＝CP＝10cm，BP＝CQ＝4t cm时，△BPE≌△CQP（SAS）， 此时16﹣4t＝10， 解得：， ∴CQ＝BP＝16﹣10＝6（cm）， 此时点Q的运动速度为：； ②当BE＝CQ＝10cm，BP＝CP＝4t cm时，△BPE≌△CPQ（SAS）， 此时4t＝16﹣4t， 解得：t＝2， 此时点Q的运动速度为：10÷2＝5（cm/s）； 综上所述：当点Q的运动速度为4cm/s或5cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 故答案为：4cm/s或5cm/s． 【点评】本题考查了全等三角形的判定以及分类讨论等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法，进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17．（4分）如图，点D是△ABC边BC延长线上一点，∠ACD＝120°，∠B＝20°，求∠A的度数． 【答案】100°． 【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠ACD＝∠B+∠A，再代入∠ACD＝120°，∠B＝20°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵点D是△ABC边BC延长线上一点， ∴∠ACD＝∠B+∠A， 即120°＝20°+∠A， ∴∠A＝100°． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 18．（4分）如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C． 【答案】见试题解答内容 【分析】要证∠B＝∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出． 【解答】证明：在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B＝∠C． 【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键． 19．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）图见解答； （2）． 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1； （2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝． 【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 20．（6分）如图，点D在AC边上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝45°，求∠BDE的度数． 【答案】（1）见解析； （2）67.5°． 【分析】（1）根据∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C推出∠C＝∠BDE即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得EC＝ED，∠C＝∠BDE，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C， ∴∠BDE＝∠C， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）， （2）解：∵△AEC≌△BED， ∴ED＝EC， ∴∠C＝∠EDC， ∵∠1＝45°， ∴， ∴∠BDE＝67.5°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：在AC边上找一点D，使DB＝DC；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下若BD＝6，求AC的长． 【答案】（1）见解析； （2）AC＝12． 【分析】（1）由DB＝DC可得点D在BC的垂直平分线，运用尺规作图——作垂直平分线的方法作出BC的垂直平分线，与AC的交点D即为所求； （2）由（1）可得CD＝BD＝6，从而∠DBC＝∠C，根据等角的余角相等得到∠ABD＝∠A，从而AD＝BD＝6，根据AC＝AD+CD即可解答． 【解答】解：（1）如图，点D为所求． （2）由（1）可得CD＝BD＝6， ∴∠DBC＝∠C， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝90°， ∠A+∠C＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD＝6， ∴AC＝AD+CD＝6+6＝12． 【点评】本题考查尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（10分）如图1，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E． （1）求证：AD＝AE； （2）在图1的条件下，如图2，点M、N分别在AB、AC上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）4． 【分析】（1）根据角平分线性质得到PD＝PE，利用HL证明Rt△APD≌Rt△APE，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用HL证明Rt△PEN≌Rt△PDM，根据全等三角形的性质得出NE＝MD，根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PD＝PE， 在Rt△APD和Rt△APE中， ， ∴Rt△APD≌Rt△APE（HL）， ∴AD＝AE； （2）解：在Rt△PEN和Rt△PDM中， ， ∴Rt△PEN≌Rt△PDM（HL）， ∴NE＝MD， ∵AM＝AD+MD＝5，AD＝AE＝AN+NE＝AN+MD， ∴AN+MD+MD＝5， ∵AN＝3， ∴MD＝1， ∴AD＝AM﹣MD＝4． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF． （1）求证：△BCD为等边三角形； （2）求证：∠DBF＝∠DCE． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程． 【分析】（1）先求出∠ABC＝60°，再根据直角三角形斜边中线的性质得CD＝BD＝AD，由此可得出结论； （2）根据等边三角形性质得BD＝CD，DF＝DE，∠BDC＝∠FDE＝60°，由此得∠BDF＝∠CDE，进而可依据“SAS”判定△BDF和△CDE全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【解答】证明：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴CD＝BD＝AD＝AB， ∴△BCD为等边三角形； （2）∵△BCD和△DEF均为等边三角形， ∴BD＝CD，DF＝DE，∠BDC＝∠FDE＝60°， ∴∠BDF+∠FDC＝∠FDC+∠CDE， ∴∠BDF＝∠CDE， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）， ∴∠DBF＝∠DCE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 24．（12分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：△AMN是等边三角形； （3）如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN．若点N恰好也是AE的中点，且AE＝2，求△ABE的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）△ABE的面积为2． 【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°，可推导出∠BAE＝∠DAC，进而证明△BAE≌△DAC，得BE＝CD； （2）由BM＝BE，DN＝CD，且BE＝CD，证明BM＝DN，而AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，可证明△BAM≌△DAN，得∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，可推导出∠MAN＝∠BAD＝60°，则△AMN 是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，可推导出∠BAE＝∠DAC，进而证明△BAE≌△DAC，得BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，而BM＝BE，DN＝CD，所以BM＝DN，可证明△BAM≌△DAN，得∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，推导出∠MAN＝∠BAD＝90°，因为AE＝2，点N是AE的中点，所以AM＝AN＝EN＝1，则S△AMN＝AM•AN＝，所以S△AEM＝2S△AMN＝1，S△ABE＝2S△AEM＝2． 【解答】（1）证明：∵△ABD与△AEC 都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠DAC＝60°+∠DAE， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD； （2）证明：∵点M，N分别是BE，CD的中点， ∴BM＝BE，DN＝CD， ∵BE＝CD， ∴BM＝DN， ∵△BAE≌△DAC， ∴∠ABE＝∠ADC， 在△BAM和△DAN中， ， ∴△BAM≌△DAN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∴∠MAN＝∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝60°， ∴△AMN 是等边三角形． （3）解：∵△ABD与△AEC都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°， ∴∠BAE＝∠DAC＝90°+∠DAE， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC， ∵点M，N分别是BE，CD的中点， ∴BM＝BE，DN＝CD， ∴BM＝DN， 在△BAM和△DAN中， ， ∴△BAM≌△DAN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∴∠MAN＝∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°， ∵AE＝2，且点N也是AE的中点， ∴AM＝AN＝EN＝AE＝1， ∴S△AMN＝AM•AN＝×1×1＝， ∵AE＝2AN，BE＝2EM， ∴S△AEM＝2S△AMN＝2×＝1， ∴S△ABE＝2S△AEM＝2×1＝2， ∴△ABE的面积为2． 【点评】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明△BAE≌△DAC是解题的关键． 25．（12分）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的两个动点，以B为直角顶点，以AB为腰作等腰Rt△ABC． （1）如图①，若点C的横坐标为2，点B的坐标为 　（0，2）　； （2）如图②，过C作CD⊥x轴于点D，连接BD．求∠BDC的大小； （3）如图③，移动点A，B的位置，使x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，试猜想线段AM、OB、OM之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（0，2）； （2）∠BDC＝45°； （3）AM＝2（OB+OM），理由见解析． 【分析】（1）过点C作y轴垂线CD⊥y轴，证明△DCB≌△AOB（ASA），推出OB＝DC＝2，可得结论； （2）过C作CE⊥x轴于点E，则CE＝OD，证明Rt△OBD为等腰直角三角形，再求解即可； （3）OP＝OM，点P在x轴上，AC交y轴于点N，先证明△ABP≌△BCN（ASA），可得AP＝OB+ON，再证明△AOB≌△AON（AAS），可得OB＝ON，再求解即可． 【解答】解：（1）如图①，过点C作y轴垂线CD⊥y轴，即CD＝2（即C点横坐标为2）， ∵∠DBC+∠DCB＝90°， ∵∠DBC+∠OBA＝90°， ∴∠DCB＝∠OBA， ∵∠COB＝∠AOB＝90°， 又∵BC＝AB， ∴△DCB≌△AOB（ASA）， ∴OB＝DC＝2， ∴B坐标为（0，2）； （2）∵由①得，CE＝OB， 如图②，过C作CE⊥x轴于点E，则CE＝OD， ∵OB＝OD， ∴Rt△OBD为等腰直角三角形， ∴∠OBD＝∠ODB＝45°， ∴∠BDC＝90°﹣∠ODB＝45°． （3）∵在Rt△ABM与Rt△BOM中， 作OP＝OM，点P在x轴上，AC交y轴于点N，如图③， ∵∠ABC＝90°， ∴∠OMB+∠OBM＝∠OMB+∠BAM＝90°， ∴∠OBM＝∠BAM， ∵OP＝OM， ∴∠OBM＝∠OBP， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠MAC， ∴∠BAC＝∠PBM， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠PBM＝45°， ∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBM＝45°， ∴∠ABP＝∠BCA， 又∵AB＝AC， ∴△ABP≌△BCN（ASA）， ∴AP＝BN＝OB+ON， ∵∠BAM＝∠MAC， ∴△AOB≌△AON（AAS）， ∴OB＝ON， ∵OP＝OM， ∴AM＝AP+PM＝2（OB+OM）． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/26 1:17:24；用户：18328501451；邮箱：18328501451；学号：43314264 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$